Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2

Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Punti
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2
Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di Milano
A.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Tema n°1
ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a
pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)
ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
Equazioni differenziali
1.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cww aBb € $Cw aBb  %CaBb œ !Þ
b) Determinare una soluzione particolare dell'equazione
Cww aBb € $Cw aBb  %CaBb œ &/%B Þ
1
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 1
_________________________________________________________________________________
2.
Si consideri l'equazione differenziale:
Cw œ
C#
Þ
#B € "
a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.
b. Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale
Ca!b œ "Þ
c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è
definita.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare il momento d'inerzia di una linea materiale omogenea rappresentata da una
circonferenza di raggio V e massa Q , rispetto a un asse passante per un punto della
circonferenza e perpendicolare al piano che la contiene.
(Prestare particolare cura nell'impostazione dell'esercizio, scrivendo esplicitamente le equazioni parametriche
della curva in un opportuno riferimento e indicando qual è l'asse di rotazione in questo riferimento).
2
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 1
_________________________________________________________________________________
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure
dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati.
BC# € $CB#
lim Π%

aBßCbÄa!ß!b B € C # € &C %
5. Sia 0 À ‘8 Ä ‘ definita da
0 aBb œ log# kBkß per B − ‘8 Ï a!ß !bÞ
`0
a. Calcolare `B
aBb per 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 8Þ
3
.
b. Detta <a>b À M Ä ‘8 un arco di curva regolare, calcolare .>
c0 a<a>bbd, dove 0 è la
funzione del punto a, e semplificare l'espressione ottenuta.
c. Applicare la formula trovata al punto b alla curva < À a!ß "b Ä ‘$ data da
<a>b œ a>cos>ß >sin>ß >b
e semplificare l'espressione trovata.
3
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_________________________________________________________________________________
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 aBß Cb œ /B ˆ#BC  C# ‰
#
4
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Punti
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Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di Milano
A.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Tema n°2
ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a
pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)
ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
Equazioni differenziali
1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cww aBb € $Cw aBb œ #BÞ
b) Risolvere il problema di Cauchy:
Ú Cww aBb € $Cw aBb œ #B
Û C a !b œ !
Ü Cw a!b œ "$ Þ
1
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 2
_________________________________________________________________________________
2. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cw €
#BC
"
œ Þ
#
"€B
B
b) Risolvere il problema di Cauchy:
œ
#BC
Cw € "€B
# œ
C a "b œ #
"
B
precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del problema.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva piana la cui equazione in forma polare è:
* #
3 œ Œsin  ß * − c!ß #1dÞ
#
2
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 2
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Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Sia I © ‘# l'insieme di definizione della funzione
loga"  B#  %C# b
0 aBß Cb œ
.
CsinB
Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se:
I è aperto
I è limitato
SI' ú NO ú
SI' ú NO ú
SI' ú NO ú
I è chiuso
I è connesso SI' ú NO ú
5. Data la funzione
0 aBß Cb œ ā
B$ C#B$ #BC#
B# €C# €B# C#
!
per aBß Cb Á a!ß !b
per aBß Cb œ a!ß !bÞ
1) Stabilire se 0 è continua o meno nell'origine.
2) Stabilire se 0 è derivabile o meno nell'origine.
3) Stabilire se 0 è differenziabile o meno nell'origine.
(Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non di
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
3
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 2
_________________________________________________________________________________
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 aBß Cb œ B# CaB  C € "b
4
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Punti
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2
Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di Milano
A.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Tema n°3
ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
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pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)
ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
Equazioni differenziali
1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cww aBb € #CaBb œ !Þ
b) Determinare una soluzione particolare dell'equazione
Cww aBb € #CaBb œ $/B sin#BÞ
1
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 3
_________________________________________________________________________________
2.
Risolvere il problema di Cauchy:
sinB
Cw œ cos
C
ā Cˆ 1 ‰ œ 1
#
'
e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è
definita.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare l'integrale di linea
( ÈD.=
#
dove # è l'arco di curva:
Ú B œ >cos>
Û C œ >sin>
Ü D œ >#
2
> − c!ß #1d.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 3
_________________________________________________________________________________
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure
dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati.
Bloga" € BCb
Þ
lim
aBßCbÄa!ß!b B# sin# B € #C #
5. Data la funzione
0 aBß Cb œ ā
per aBß Cb Á a!ß !b
per aBß Cb œ a!ß !bÞ
#BC2
B# €C%
!
1) Calcolare la derivata direzionale di 0 nell'origine rispetto al generico versore
acos*ß sin*bÞ
2) Stabilire se nell'origine vale la formula del gradiente.
3) Stabilire se 0 è differenziabile o meno nell'origine.
(Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non di
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
3
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 3
_________________________________________________________________________________
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 aBß Cb œ /C ˆ#C# € B# € %B‰
4
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Punti
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2
Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di Milano
A.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Tema n°4
ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a
pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)
ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
Equazioni differenziali
1.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cww aBb € 'Cw aBb € *CaBb œ !Þ
b) Risolvere il problema di Cauchy:
Ú Cww aBb € 'Cw aBb € *CaBb œ !
Û C a !b œ #
Ü Cw a!b œ "Þ
1
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 4
_________________________________________________________________________________
2.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cw €
#C
œ "  B# Þ
#
"B
b) Risolvere il problema di Cauchy:
#C
#
Cw € "B
# œ "  B
œ
C a !b œ "
precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del problema.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare l'integrale di linea
( C.=
#
dove # è l'arco di sinusoide C œ sinB per B − c!ß 1dÞ
2
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 4
_________________________________________________________________________________
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Sia I © ‘# l'insieme di definizione della funzione
0 aBß Cb œ
"
.
loga"  logaB# € Cbb
Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se:
I è aperto
I è limitato
SI' ú NO ú
SI' ú NO ú
SI' ú NO ú
I è chiuso
I è connesso SI' ú NO ú
5. Data la funzione
0 aBß Cb œ ā
per aBß Cb Á a!ß !b
per aBß Cb œ a!ß !bÞ
B' €C'
B# €C%
!
1) Stabilire in quali punti del piano è derivabile, calcolando esplicitamente le derivate in
tal caso (semplificare le espressioni trovate!);
2) Stabilire in quali punti del piano è differenziabile;
(Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non di
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
3
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 4
_________________________________________________________________________________
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 aBß Cb œ BC# aB € C  "b
4
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Punti
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2
Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di Milano
A.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n°1
ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni
Equazioni differenziali
1.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cww aBb € $Cw aBb  %CaBb œ !Þ
b) Determinare una soluzione particolare dell'equazione
Cww aBb € $Cw aBb  %CaBb œ &/%B Þ
a)
! # € $!  % œ !
a!  "ba! € %b œ !à ! œ "ß ! œ %Þ
Integrale generale dell'omogenea:
D aBb œ -" /B € -# /%B Þ
b) Poiché il termine noto è soluzione dell'omogenea, cerchiamo una soluzione particolare
dell'equazione nella forma
CaBb œ EB/%B
Cw œ E/%B a%B € "b
Cww œ E/%B a"'B  )b
E/%B ca"'B  )b € $a%B € "b  %Bd œ &/%B
&E œ &à E œ "
CaBb œ B/%B
2.
Si consideri l'equazione differenziale:
Cw œ
C#
Þ
#B € "
a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.
b. Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale
Ca!b œ "Þ
1
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 1
_________________________________________________________________________________
c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è
definita.
a. Soluzioni costanti: C œ !Þ Per C Á !ß
.C
.B
"
"
œ
à  œ logk#B € "k € #
C
#B € "
C
#
"
# logk#B € "k € -
Cœ"
"
" œ Ca!b œ  à - œ "Þ
-
b.
CaBb œ
"
"
"
# logk#B
€ "k
poiché dev'essere B Á  "# e logk#B € "k Á #ß cioè B Á
nell'intervallo:
"„/#
# ,
la soluzione è definita
" /#  "

ß
Œ
Þ
#
#
Curve e integrali di linea
3. Calcolare il momento d'inerzia di una linea materiale omogenea rappresentata da una
circonferenza di raggio V e massa Q , rispetto a un asse passante per un punto della
circonferenza e perpendicolare al piano che la contiene.
(Prestare particolare cura nell'impostazione dell'esercizio, scrivendo esplicitamente le equazioni parametriche
della curva in un opportuno riferimento e indicando qual è l'asse di rotazione in questo riferimento).
Circonferenza passante per l'origine:
<a*b œ aV € V cos*ß V sin*bß * − c!ß #1d
Asse di rotazione: l'asse D , quindi la distanza del punto dall'asse è la sua distanza
dall'origine nel piano aBß Cb:
Mœ
œ
#1
Q
Q
#
#
#‰
#
#
ˆ
B
€
C
.=
œ
(
( V ’a" € cos*b € sin *“V. * œ
P #
#1V !
Q V # #1
Q V # #1
Q V#
%1 œ #Q V # Þ
( #a" € cos*b. * œ
( #. * œ
#1 !
#1 !
#1
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure
dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati.
BC# € $CB#
lim Π%

aBßCbÄa!ß!b B € C # € &C %
2
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 1
_________________________________________________________________________________
BC# € $CB#
BC#
$CB#
œ
€
´ 0 aBß Cb € 1aBß CbÞ
B% € C# € &C%
B% € C# € &C%
B% € C# € &C%
perciò 0 aBß Cb Ä !Þ
k0 aBß Cbk œ º
BC#
kBkC#
Ÿ
œ kBk Ä !,
º
B% € C# € &C%
C#
1aBß Bb œ
$B$
µ $B Ä !à
B# € 'B%
1ˆBß B# ‰ œ
$B%
$
Ä Þ
%
)
#B € &B
#
Perciò non esiste il limite di 1, e pertanto neanche il limite di partenza.
5. Sia 0 À ‘8 Ä ‘ definita da
0 aBb œ log# kBkß per B − ‘8 Ï a!ß !bÞ
a. Calcolare
`0
aBb per 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 8Þ
`B3
b. Detta <a>b À M Ä ‘8 un arco di curva regolare, calcolare
.
0 a<a>bb
.>
dove 0 è la funzione del punto a, e semplificare l'espressione ottenuta.
c. Applicare la formula trovata al punto b alla curva < À a!ß "b Ä ‘$ data da
<a>b œ a>cos>ß >sin>ß >b
e semplificare l'espressione trovata.
Attenzione: i primi due punti di questo esercizio sono ambientati in ‘8 con 8 qualsiasi.
Vanno quindi svolti per 8 qualsiasi (e non per 8 œ # o $), usando le opportune notazioni.
a.
`
#logkBk B3
#B3 logkBk
ˆlog# kBk‰ œ
†
œ
Þ
`B3
kBk
kB k
kBk#
b.
8
.
#<3 a>blogk<a>bk w
#logk<a>bk 8
w
"<3 a>b<3w a>bÞ
0 a<a>bb œ f0 a<a>bb † < a>b œ "
<3 a>b œ
#
#
.>
k
<
a
>
b
k
k
<
a
>
b
k
3œ"
3œ"
c.
.
#logk<a>bk $
"<3 a>b<3w a>b
0 a<a>bb œ
#
.>
k<a>bk 3œ"
<a>b œ a>cos>ß >sin>ß >bà
3
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 1
_________________________________________________________________________________
k<a>bk œ È#># œ >È#à
<w a>b œ acos>  >sin>ß sin> € >cos>ß "b
"<3 a>b<3w a>b œ >cos>acos>  >sin>b € >sin>asin> € >cos>b € > œ #>Þ
$
3œ"
#logŠ>È#‹
#logŠ>È#‹
.
#log> € log#
0 a<a>bb œ
#> œ
œ
Þ
#
.>
#>
>
>
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 aBß Cb œ /B ˆ#BC  C# ‰
#
0B œ /B a#Ba#BC  C# b € #Cb œ #C/B a#B# € BC € "b œ !
ā 0 œ /B# a#B  #Cb œ #/B# aB  Cb œ !Þ
C
#
#
I punti stazionari sono:
a!ß !bà a"ß "bà a"ß "bÞ
Matrice hessiana:
L0 aBß Cb œ /B Œ
#
#Ca'B € %B$ € C  #B# Cb
a#  %B# € %BCb
L0 a!ß !b œ Œ
!
#
a#  %B# € %BCb
Þ
#
#
indef.; a!ß !b punto di sella
# 
L0 a"ß "b œ /" Œ
'
#
#
def. neg. a"ß "b punto di max. rel.
# 
L0 a"ß "b œ /" Œ
'
#
#
def. neg. a"ß "b punto di max. rel
# 
4
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2
Punti
Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di Milano
A.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n°2
ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni
Equazioni differenziali
1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cww aBb € $Cw aBb œ #BÞ
b) Risolvere il problema di Cauchy:
Ú Cww aBb € $Cw aBb œ #B
Û C a !b œ !
Ü Cw a!b œ "$ Þ
a) Soluzione omogenea:
! # € $! œ !
! œ !à ! œ $
Integrale generale dell'omogenea:
D aBb œ -" € -# /$B Þ
Soluzione particolare della non omogenea: cerco
CaBb œ EB# € FBà
Cw aBb œ #EB € Fà Cww aBb œ #EÞ
#E € $a#EB € F b œ #BÞ
#E € $F œ !
ā 'E œ #
E œ "$
ā F œ #
*
Integrale generale:
"
#
CaBb œ -" € -# /$B € B#  BÞ
$
*
b) Soluzione del problema di Cauchy:
#
#
Cw aBb œ -# /$B € B 
$
*
1
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 2
_________________________________________________________________________________
Ca!b œ -" € -# œ !
œ Cw a!b œ $-  # œ
#
CaBb œ
*
"
$
-# œ 
&
&
à -" œ
Þ
#(
#(
&
"
#
a"  /B b € B#  BÞ
#(
$
*
2.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cw €
#BC
"
œ Þ
#
"€B
B
b) Risolvere il problema di Cauchy:
#BC
Cw € "€B
# œ
œ
C a "b œ #
"
B
precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del problema.
#B
+aBb œ "€B
#à
'
EaBb œ +aBb.B œ loga" € B# b
Cœ
"
"
"
B#
ˆ" € B# ‰ .B œ
€
€
log
k
B
k
€
(
œ
œ
Þ
" € B#
B
" € B#
#
b)
# œ C a "b œ
Cœ
"
"
(
œ- € à - œ à
#
#
#
"
(
B#
€
log
B
€
œ
per B − a!ß _bÞ
" € B# #
#
Curve e integrali di linea
3. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva piana la cui equazione in forma polare è:
* #
3 œ Œsin  ß * − c!ß #1dÞ
#
*
*
3w œ sin cos à
#
#
.= œ
É 3#
€
3w # . *
Pœ(
#1
!
* %
*
* #
*
œ ËŒsin  € Œsin cos  . * œ ºsin º. *
#
#
#
#
1
*
1
ºsin º. * œ #( sin>.> œ #ccos>d! œ %Þ
#
!
2
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 2
_________________________________________________________________________________
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Sia I © ‘# l'insieme di definizione della funzione
0 aBß Cb œ
loga"  B#  %C# b
.
CsinB
Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se:
I è aperto
I è limitato
SI' ú NO ú
SI' ú NO ú
I è chiuso
SI' ú NO ú
I è connesso SI' ú NO ú
I œ ˜aBß Cb − ‘# À B# € %C# 8 "à B Á !ß C Á !™Þ
I è aperto
I è limitato
SI' ú
X NO ú
SI' ú
X NO ú
I è chiuso
SI' ú NO ú
X
I è connesso SI' ú NO ú
X
5. Data la funzione
0 aBß Cb œ ā
B$ C#B$ #BC#
B# €C# €B# C#
!
per aBß Cb Á a!ß !b
per aBß Cb œ a!ß !bÞ
1) Stabilire se 0 è continua o meno nell'origine.
2) Stabilire se 0 è derivabile o meno nell'origine.
3) Stabilire se 0 è differenziabile o meno nell'origine.
(Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non di
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
1) Proviamo che
0 aBß Cb œ !Þ
aBßCbÄa!ß!b
lim
kB$ Ck € #kBk$ € #kBkC#
kB$ Ck € #kBk$ € #kBkC#
k0 aBß Cbk Ÿ
Ÿ
œ
B# € C# € B# C#
B# € C#
œ
kB$ Ck
#kBk$
#kBkC#
€
€
´ 0" € 0# € 0$ Þ
B# € C#
B# € C#
B# € C#
Ora: 0" è positivamente omogenea di grado #, 0# è positivamente omogenea di grado ", 0$
è positivamente omogenea di grado ", sono tutte continue fuori dall'origine, quindi ciascuna
delle tre tende a ! per aBß Cb Ä a!ß !b. Per il teorema del confronto anche 0 aBß Cb Ä !, quindi
è continua.
2)
0 aBß !b œ 
#B$
`0
œ #Bà
a!ß !b œ #Þ
#
B
`B
3
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 2
_________________________________________________________________________________
0 a!ß Cb œ !à
`0
a!ß !b œ !Þ
`C
In particolare, 0 è derivabile nell'origine.
3) 0 differenziabile nell'origine se e solo se:
0 aBß Cb € #B
Ä ! per aBß Cb Ä a!ß !bÞ
ÈB# € C#
â B$ C#B$ #BC#
â
â # # # # € #B â
0 aBß Cb € #B
B$ C € #B$ C#
â B €C €B C
â
œ
œ
œ
â
â
» ÈB# € C# » â
ÈB# € C#
â » aB# € C# € B# C# bÈB# € C# »
â
â
kB$ Ck € #kBk$ C#
kB$ Ck € #kBk$ C#
Ÿ
Ÿ
œ
aB# € C# € B# C# bÈB# € C#
aB# € C# b$Î#
œ
kB$ Ck
aB# € C# b$Î#
€
#kBk$ C#
aB# € C# b$Î#
´ 1 " € 1# Þ
Ora: 1" è positivamente omogenea di grado ", 1# è positivamente omogenea di grado 2,
quindi entrambe tendono a zero. Per il teorema del confronto, il limite desiderato è zero, e 0 è
differenziabile nell'origine.
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 aBß Cb œ B# CaB  C € "b
0B œ $B# C  #BC# € #BC œ BCa$B  #C € #b œ !
œ 0 œ B$  #B# C € B# œ B# aB  #C € "b œ !Þ
C
I punti stazionari sono:
" "
a"ß !bà Œ ß à e la retta a!ß C! bÞ
# %
Matrice hessiana:
L0 aBß Cb œ Œ
L0 a"ß !b œ Œ
 $)
" "
L0 Œ ß  œ Ž "
# %
%
#Ca" € $B  Cb
Ba# € $B  %Cb
Ba# € $B  %Cb
Þ
#B#
"
indef.; a"ß !b punto di sella
# 
!
"
"
%
 "#
" "
 def. neg. Œ # ß %  punto di max. rel.
4
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 2
_________________________________________________________________________________
L0 a!ß C! b œ Œ
#C! a"  C! b
!
!
semidef. a!ß C! b casi dubbi.
!
Studiamo i punti della retta B œ ! mediante il segno, poiché 0 a!ß C! b œ !.
Lo studio del segno ci dice che:
i punti a!ß C! b per C! ā " e per C! 8 ! sono punti di massimo relativo (perché in quei
punti 0 è nulla e in un intorno è negativa);
per ! 8 C! 8 " sono punti di minimo relativo (perché in quei punti 0 è nulla e in un
intorno è positiva);
i punti a!ß !b e a!ß "b sono di sella (perché in quei punti 0 è nulla e in ogni intorno cambia
di segno).
5
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Punti
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2
Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di Milano
A.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n°3
ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni
Equazioni differenziali
1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cww aBb € #CaBb œ !Þ
b) Determinare una soluzione particolare dell'equazione
Cww aBb € #CaBb œ $/B sin#BÞ
a)
!# € # œ !
! œ „3È#
Integrale generale dell'omogenea:
D aBb œ -" cosŠÈ#B‹ € -# sinŠÈ#B‹Þ
b)
$/B sin#B œ Imˆ$/Ba"€#3b ‰
Cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione complessa
Aww € #A œ $/Ba"€#3b
della forma
AaBb œ E/Ba"€#3b
Aww œ Ea  " € #3b# /Ba"€#3b
E/Ba"€#3b ’a  " € #3b# € #“ œ $/Ba"€#3b
Eœ
$
a" € %3b
$
œ$
œ
a" € %3b
"  %3
" € "'
"(
1
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 3
_________________________________________________________________________________
AaBb œ
$
$ B
a" € %3b/Ba"€#3b œ
/ a" € %3bacos#B € 3sin#Bb
"(
"(
CaBb œ ImAaBb œ
2.
$ B
/ asin#B € %cos#Bb
"(
Risolvere il problema di Cauchy:
sinB
Cw œ cos
C
ā Cˆ 1 ‰ œ 1
#
'
e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è
definita.
Risolviamo l'equazione a variabili separabili:
( cosC.C œ ( sinB.B
sinC œ cosB € Imponiamo la condizione iniziale:
sin
1
1
œ cos € '
#
"
œ#
sinC œ
"
 cosBÞ
#
Devo risolvere l'equazione in C, quando B varia in un intorno di B œ 1# . La condizione
" Ÿ
"
"
$
#
#
 cosB Ÿ " dà  Ÿ cosB Ÿ , quindi  1 Ÿ B Ÿ 1.
#
#
#
$
$
In questo intervallo risulta
"
#
#
CaBb œ arcsinŒ  cosB per  1 8 B 8 1
#
$
$
(negli estremi dell'intervallo la funzione arcsin non è derivabile).
Curve e integrali di linea
3. Calcolare l'integrale di linea
( ÈD.=
#
2
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 3
_________________________________________________________________________________
dove # è l'arco di curva:
Ú B œ >cos>
Û C œ >sin>
Ü D œ >#
> − c!ß #1d.
<w a>b œ acos>  >sin>ß sin> € >cos>ß #>b
k<w a>bk œ Éacos>  >sin>b# € asin> € >cos>b# € a#>b# .> œ
œ È" € &># .>Þ
( ÈD.= œ (
#
#1
!
"
$Î#
>È" € &># .> œ ” ˆ" € &># ‰ • œ
"&
!
œ
#1
"
$Î#
’ˆ" € #!1# ‰  "“Þ
"&
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale j, oppure
dimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati.
Bloga" € BCb
lim
Þ
aBßCbÄa!ß!b B# sin# B € #C #
Calcoliamo il limite di qualche restrizione.
0 aBß Bb œ
Bloga" € B# b
B † B#
B$
B
µ
µ
œ
Ä !Þ
B# sin# B € #B#
B% € #B#
#B#
#
0 ˆBß B# ‰ œ
Bloga" € B$ b
B † B$
"
µ
œ Þ
#
#
%
%
%
B sin B € #B
B € #B
$
Poiché restrizioni di 0 lungo curve diverse hanno limiti diversi, il limite di partenza non
esiste.
5. Data la funzione
0 aBß Cb œ ā
per aBß Cb Á a!ß !b
per aBß Cb œ a!ß !bÞ
#BC2
B# €C%
!
1) Calcolare la derivata direzionale di 0 nell'origine rispetto al generico versore
acos*ß sin*bÞ
2) Stabilire se nell'origine vale la formula del gradiente.
3) Stabilire se 0 è differenziabile o meno nell'origine.
(Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non di
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
3
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 3
_________________________________________________________________________________
1.
#>$ cos*sin# *
#>cos*sin# *
#>sin# *
1a>b œ 0 a>cos*ß >sin*b œ # #
œ
µ
per > Ä !ß
> cos * € >% sin% *
cos# * € ># sin% *
cos*
purché sia cos* Á 0. Per cos* Á 0 si ha
Hacos*ßsin*b 0 a!ß !b œ 1w a!b œ
#sin# *
à
cos*
per cos* œ ! è 1a>b ´ ! e Ha0ß„1b 0 a!ß !b œ !Þ
2. La formula del gradiente non vale nell'origine perché la generica derivata direzionale
non è combinazione lineare di cos*ß sin*.
3. Pertanto 0 non è differenziabile nell'origine.
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 aBß Cb œ /C ˆ#C# € B# € %B‰
0B œ /C a#B € %b œ #/C aB € #b œ !
œ 0 œ /C a#C#  B#  %B € %Cb œ !Þ
C
I punti stazionari sono:
Š#ß "„È$‹Þ
Matrice hessiana:
L0 aBß Cb œ /C Œ
L0 Š#ß " € È$‹ œ /
Š"€È$‹
L0 Š#ß "  È$‹ œ /"€
È$
a% € #Bb
Þ
%B € B € #a#  %C € C# b 
#
a% € #Bb
Œ
Œ
#
!
#
!
#
!
 indef.; Š#ß " € È$‹ punto di sella
%È$
!
 def. pos.; Š#ß "  È$‹ punto di min. rel.
È
% $
4
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Punti
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2
Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni
Politecnico di Milano
A.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n°4
ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni
Equazioni differenziali
1.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cww aBb € 'Cw aBb € *CaBb œ !Þ
b) Risolvere il problema di Cauchy:
Ú Cww aBb € 'Cw aBb € *CaBb œ !
Û C a !b œ #
Ü Cw a!b œ "Þ
a)
! # € '! € * œ !
! œ $
Integrale generale:
b)
CaBb œ /$B a-" B € -# bÞ
Cw aBb œ /$B a$-" B  $-# € -" b
Ca!b œ -# œ #
œ Cw a!b œ $- € - œ "
#
"
-# œ #à -" œ (
CaBb œ /$B a(B € #bÞ
2.
a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione
Cw €
#C
œ "  B# Þ
"  B#
b) Risolvere il problema di Cauchy:
œ
#C
#
Cw € "B
# œ "  B
C a !b œ "
precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del problema.
1
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 4
_________________________________________________________________________________
a).
#
+aBb œ "B
#à
‰
EaBb œ ' +aBb.B œ logˆ "€B
"B
CœŒ
"B
"€B
"B
#
#
œ- € ( Œ
ˆ"  B ‰.B œ Œ
œ- € ( a" € Bb .B œ
"€B
"B
"€B
œŒ
"B
a" € Bb $
€

ŸÞ
"€B ā
$
"
#
" œ C a !b œ œ - € à - œ à
$
$
b)
"B
#
a" € Bb $
CœŒ
€

Ÿ per B − a"ß "b
" € B ā$
$
perché a"ß "b è il più ampio intervallo contenente B! œ !, in cui la soluzione e i coefficienti
dell'equazione sono definiti.
E' accettabile anche la risposta "per B − a"ß _b" in quanto la soluzione è definita in
questo intervallo; in B œ " la soluzione si annulla, il denominatore del coefficiente +aBb si
annulla ma, nel senso dei limiti, l'equazione è ancora soddisfatta.
Curve e integrali di linea
3. Calcolare l'integrale di linea
( C.=
#
dove # è l'arco di sinusoide C œ sinB per B − c!ß 1dÞ
.= œ É" € 0 w aBb# .B œ È" € cos# B.B
( C.= œ ( sinBÈ" € cos# B.B œ ccosB œ >d
1
#
œ(
"
"
!
È" € ># .> œ ( È" € ># .> œ #( È" € ># .> œ c> œ Sh?d
œ #(
"
"
"
SettSh"
!
!
"
Ch# ?.? œ cSh?Ch? € ?dSettSh
œ È# € SettSh".
!
2
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 4
_________________________________________________________________________________
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
4. Sia I © ‘# l'insieme di definizione della funzione
0 aBß Cb œ
"
.
loga"  logaB# € Cbb
Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se:
I è aperto
I è limitato
SI' ú NO ú
SI' ú NO ú
SI' ú NO ú
I è chiuso
I è connesso SI' ú NO ú
I œ ˜aBß Cb − ‘# À ! 8 B# € C 8 " o " 8 B# € C 8 /™Þ
I è aperto
I è limitato
SI' ú
X NO ú
SI' ú NO ú
X
I è chiuso
SI' ú NO ú
X
I è connesso SI' ú NO ú
X
5. Data la funzione
0 aBß Cb œ ā
per aBß Cb Á a!ß !b
per aBß Cb œ a!ß !bÞ
B' €C'
B# €C%
!
1) Stabilire in quali punti del piano è derivabile, calcolando esplicitamente le derivate in
tal caso (semplificare le espressioni trovate!);
2) Stabilire in quali punti del piano è differenziabile;
(Si chiede di dimostrare ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non di
limitarsi ad affermare come vanno le cose).
1) Fuori dall'origine 0 è certamente derivabile. Calcoliamo:
'B& ˆB# € C% ‰  #BaB' € C' b
`0
%B( € 'B& C%  #BC'
œ
œ
`B
aB# € C% b#
aB# € C% b#
'C& ˆB# € C% ‰  %C$ aB' € C' b
`0
'B# C& € #C*  %B' C$
œ
œ
#
#
`C
aB# € C% b
aB# € C% b
Nell'origine:
0 aBß !b œ B% à
`0
`0
aBß !b œ %B$ à
a!ß !b œ !à
`B
`B
0 a!ß Cb œ C# à
`0
`0
a!ß Cb œ #Cà
a!ß !b œ !Þ
`C
`C
2) Le derivate parziali calcolate al punto precedente sono evidentemente continue fuori
dall'origine, quindi 0 − G " a‘# Ï a!ß !bb e pertanto è differenziabile fuori dall'origine.
Studiamo la differenziabilità nell'origine.
3
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 4
_________________________________________________________________________________
0 differenziabile in a!ß !b se e solo se
0 aBß Cb
Ä ! per aBß Cb Ä a!ß !bÞ
ÈB# € C#
0 aBß Cb
B' € C'
œ
œ
»È #
»
B € C#
aB# € C% bÈB# € C#
œ
B'
C'
B'
C'
€
Ÿ
€
œ ¸B$ ¸ € kCk Ä !
% ÈC #
È
#
#
aB# € C% bÈB# € C#
aB# € C% bÈB# € C#
C
B B
per aBß Cb Ä a!ß !b. Per il teorema del confronto, anche
nell'origine.
0 aBßCb
ÈB# €C#
Ä !, e 0 è differenziabile
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la
natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).
0 aBß Cb œ BC# aB € C  "b
0B œ C# a" € #B € Cb œ !
œ 0 œ BCa# € #B € $Cb œ !Þ
C
I punti stazionari sono:
" "
a!ß "bà Œ ß à e la retta aB! ß !bÞ
% #
Matrice hessiana:
L0 aBß Cb œ Œ
#C#
Ca# € %B € $Cb
L0 a!ß "b œ Œ
"
" "
L0 Œ ß  œ Ž #"
% #
%
L0 aB! ß !b œ Œ
!
!
Ca# € %B € $Cb
Þ
#Ba" € B € $Cb 
"
indef.; a!ß "b punto di sella
!
#
"
"
%
$
)
" "
 def. pos. Œ % ß #  punto di min. rel.
!
semidef. aB! ß !b casi dubbi.
#B! a" € B! b 
Studiamo i punti della retta C œ ! mediante il segno, poiché 0 aB! ß !b œ !.
Lo studio del segno ci dice che:
i punti aB! ß !b per B! ā " e per B! 8 ! sono punti di minimo relativo (perché in quei punti
0 è nulla e in un intorno è positiva);
per ! 8 B! 8 " sono punti di massimo relativo (perché in quei punti 0 è nulla e in un
intorno è negativa);
4
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 4
_________________________________________________________________________________
i punti a!ß !b e a!ß "b sono di sella (perché in quei punti 0 è nulla e in ogni intorno cambia
di segno).
5