1 Argomenti aggiuntivi sugli spazi quoziente

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Argomenti aggiuntivi sugli spazi quoziente
Assumiamo come note le definizioni riportate a pag. 113 del libro di Tallini
(edizione 1991), e alcune nozioni di base di topologia (che si trovano nelle
pagine precedenti del medesimo libro).
Proposizione 1 Sia f : S → S 0 un’applicazione tra spazi topologici tale che
la topologia di S 0 sia immagine diretta della topologia di S tramite f . Allora
per ogni funzione continua g : S 0 → T si ha
g è continua ⇐⇒ g ◦ f è continua.
Dimostrazione. L’implicazione “=⇒” è immediata. Per dimostrare “⇐=”,
sia A un aperto di T . Poiché g ◦f è continua, (g ◦ f )−1 (A) è aperto in S. Ma,
posto B = g −1 (A), si ha ovviamente che (g ◦ f )−1 (A) = f −1 (B). Dunque
per definizione di topologia immagine diretta, B è aperto in S 0 in quanto la
sua controimmagine tramite f è aperta in S. Ma B = g −1 (A), e A era un
qualunque aperto di T , dunque g è continua. C.V.D.
In quanto segue il simbolo R indicherà una relazione di equivalenza in un
fissato insieme S (che talvolta potrà anche essere uno spazio topologico), e
P :S→
S
R
sarà la proiezione canonica, che associa ad ogni elemento la sua classe di
equivalenza:
P
x 7→ R (x) .
Notiamo subito che per definizione di topologia quoziente (cfr. Tallini, pag.
113), la proposizione 1 implica la proposizione I di pag. 114 del libro di
Tallini.
Definizione 1 Sia f : S → T un’applicazione tra insiemi e sia R una relazione di equivalenza in S. Allora diremo che f è compatibile con R se e
solo se vale l’implicazione
xRy =⇒ f (x) = f (y) .
Dunque, più discorsivamente, un’applicazione è compatibile con R se
assume valori uguali su elementi equivalenti.
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S
Osservazione 1 La proiezione canonica P : S → R
è compatibile con R.
Infatti, dalla definizione di P si ricava subito che vale addirittura il “se e
solo se”:
xRy ⇐⇒ R (x) = R (y) ⇐⇒ P (x) = P (y) .
Tra tutte le applicazioni compatibili con R, la proiezione canonica ha un
ruolo speciale: ha la cosiddetta proprietà universale (rispetto alle funzioni
compatibili). In termini precisi la proprietà universale si può enunciare come
segue.
Proposizione 2 Per ogni applicazione f : S → T tra insiemi, compatibile
con R, esiste un’unica applicazione
f:
S
→T
R
tale che
f = f ◦ P.
S
Dimostrazione. Osserviamo che se F : R
→ T è un applicazione soddisfacente la richiesta che abbiamo fatto su f , cioè f = F ◦ P , allora per ogni
S
classe di equivalenza c ∈ R
e per ogni x ∈ c si deve avere
F (c) = F (P (x)) = (F ◦ P ) (x) = f (x) .
Questa osservazione ci suggerisce come costruire f . Per ogni classe c ∈
scegliamo un x ∈ c e poniamo per definizione
S
,
R
def
f (c) = f (x) .
Questa definizione è ben posta, cioè non dipende dalla scelta di x. Infatti se
scegliamo un qualsiasi altro x0 ∈ c abbiamo che x0 Rx (perchè appartengono
alla stessa classe di equivalenza c) e allora, siccome f è compatibile con R,
si ha
f (x0 ) = f (x) .
Con questa definizione si ha subito che, per ogni x ∈ S,
x∈P (x)
f ◦ P (x) = f (P (x)) = f (x) .
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Dunque f = f ◦ P . L’unicità discende subito da quanto detto all’inizio della
dimostrazione: una qualsiasi altra F tale che f = F ◦P , deve per forza essere
definita come f . C.V.D.
La condizione f = f ◦ P si può visualizzare dicendo che il diagramma
S
P
↓ &f
S
R
f
99K T
è commutativo (abbiamo tratteggiato la freccia di f per sottolineare che
f si ottiene in maniera univoca a partire dalle altre due applicazioni). Tale
condizione si può discorsivamente esprimere dicendo che f si fattorizza tramite
P . Dunque possiamo sinteticamente enunciare la proprietà universale di P ,
dicendo che P è un’applicazione (compatibile con R) tale che ogni altra
applicazione compatibile con R si fattorizza tramite di essa.
Definizione 2 Se f : S → T è un’applicazione compatibile con R, l’unica
applicazione
S
f:
→T
R
tale che
f =f ◦P
si dice applicazione quoziente di f .
Il discorso fatto finora è puramente insiemistico. Vogliamo far vedere che
anche in ambito topologico vale qualcosa di simile: cioè nella proposizione
enunciata, possiamo sostituire “insieme” con “spazio topologico” e “applicazione” con “funzione continua”. In effetti, la propozione topologica è un
corollario di quella insiemistica, tenendo presente la proposizione 1. Dunque,
stabiliamo il corollario.
Corollario 1 Per ogni funzione continua f : S → T tra spazi topologici,
compatibile con R, esiste un’unica funzione continua
f:
S
→T
R
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tale che
f = f ◦ P.
Dimostrazione. Poiché f è comunque un’applicazione tra insiemi, sapS
piamo già che esiste un’unica applicazione tra insiemi f : R
→ T tale che
f = f ◦ P ; tutto sta a dimostrare che è continua. L’applicazione f ◦ P è
continua perché è uguale ad f , che è continua per ipotesi; ma in base alla
proposizione 1, la continuità di f ◦ P implica la continuità di f . C.V.D.
Dunque l’applicazione quoziente di un’applicazione continua e compatibile è ancora continua.
Abbiamo sottolineato il ruolo particolare di P tra tutte le applicazioni
compatibili con R. Tuttavia, P non è l’unica ad avere la proprietà universale:
S
→ S (dove S è un qualsiasi
se componiamo P con un omeomorfismo o : R
S
spazio omeomorfo ad R ) otteniamo un’applicazione P 0 : S → S, compatibile
con R, che ha la stessa proprietà universale di P (cioè è un’applicazione
compatibile con R tale che ogni altra applicazione compatibile con R si
fattorizza tramite di essa). La cosa sorprendente – e sorprendentemente
facile da dimostrare – è che vale il viceversa, cioè che se P 0 : S → S è
compatibile con R e ha la stessa proprietà universale di P , allora esiste
S
un omeomorfismo o : R
→ S tale che P 0 = o ◦ P . Lasciamo al lettore
la dimostrazione come esercizio facoltativo (si può fare utilizzando solo le
proprietà della composizione e la proprietà universale di P e P 0 ).
L’osservazione appena fatta è interessante perché spesso è utile “rappresentare” uno spazio quoziente con uno spazio “più concreto” ad esso omeomorfo. Ad esempio, lo spazio quoziente ottenuto “identificando i due estremi”
di un’intervallo chiuso è omeomorfo alla circonferenza; o anche, il gruppo
quoziente RZ (dove ovviamente la relazione di equivalenza da considerare per
definire la topologia quoziente è quella indotta dal sottogruppo Z di R) pure
è omeomorfo alla circonferenza. Per dimostrare dunque che un certo spazio
S
S è omeomorfo a R
, basta dimostrare che c’è un’applicazione P 0 : S → S
tale che sia compatibile con S e che abbia la proprietà universale.
Per avere delle condizioni più dirette su una funzione P 0 : S → S, che
S
assicurino che S è omeomorfo a R
, esaminiamo quali proprietà di P abbiamo
utilizzato per dimostrare la proprietà universale. Esse sono le seguenti:
1. suriettività di P ;
2. P (x) = P (y) =⇒ xRy;
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3. la topologia di
S
R
è immagine diretta della topologia di S tramite P .
Bisogna poi aggiungere la compatibilità con R, cioè bisogna richiedere
che valga anche il viceversa dell’implicazione (2).
Vale dunque la seguente proposizione (di cui diamo anche una dimostrazione
diretta, sebbene discenda immediatamente da quanto detto sopra).
Proposizione 3 Sia P 0 : S → S un’applicazione tale che valgano:
(1) P 0 è suriettiva;
(2) P 0 (x) = P 0 (y) ⇐⇒ xRy (cioè P 0 è compatibile con R ed assume valori
distinti su elementi non equivalenti);
(3) la topologia di S è immagine diretta della topologia di S tramite P 0 .
S
Allora S è omeomorfo allo spazio quoziente R
e P 0 corrisponde alla proiezione
S
→ S tale che P 0 = o ◦ P ).
P (cioè esiste un omeomorfismo o : R
Dimostrazione. La (3) implica in particolare che P 0 è continua; inoltre,
in base alla (2), P 0 è anche compatibile con R. Dunque per il corollario
S
→ S tale che P 0 = o ◦ P . Basta
1, esiste un’applicazione continua o : R
dimostrare che o è un omeomorfismo. Per la (1), P 0 è suriettiva, quindi a
maggior ragione o è suriettiva (infatti l’immagine della composizione o ◦ P
deve essere contenuta nell’immagine di o). L’iniettività segue dalla prima
implicazione in (2), infatti se o (c1 ) = o (c2 ), presi x1 ∈ c1 e x2 ∈ c2 , si ha
(2)
P 0 (x1 ) = o (P (x1 )) = o (c1 ) = o (c2 ) = o (P (x2 )) = P 0 (x2 ) =⇒ xRy =⇒ c1 = c2 .
Dunque o è continua e biettiva. Rimane solo da dimostrare che o−1 è continua:
P 0 = o ◦ P =⇒ o−1 ◦ P 0 = P
(3)+Prop.
=⇒
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o−1 è continua.
C.V.D.
Poiché la condizione (3) della proposizione 3 è a volte noiosa da verificare,
può essere utile tenere presente il seguente fatto.
Proposizione 4 Sia f : S → T un’applicazione continua e suriettiva. Se
f è aperta oppure chiusa, allora la topologia di T è immagine diretta della
topologia di S tramite f .
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Dimostrazione. Siccome f è continua, la topologia di T è meno fine della
topologia immagine diretta: basta allora dimostrare che la topologia di T
è anche più fine della topologia immagine diretta. Sia dunque A ⊆ T un
sottoinsieme tale che f −1 (A) è aperto in S e facciamo vedere che esso è
aperto in T .
Nel caso f sia aperta, f (f −1 (A)) è aperto in T . Ma poiché f è suriettiva,
si ha che f (f −1 (A)) è proprio A. Quindi A è aperto in T , come volevamo.
Nel caso f sia chiusa, poiché f −1 (T − A) = S−f −1 (A) è chiuso in S, si ha
che f (f −1 (T − A)) è chiuso in T . Ma poiché f è suriettiva, f (f −1 (T − A))
è proprio T − A. Quindi T − A è chiuso in T , il che significa che anche in
questo caso A è aperto in T .C.V.D.
Le proposizioni 3 e 4 si possono riassumere nella seguente, che stabilisce
condizioni sufficienti (ma non necessarie in generale) affinché S sia omeomorfo
allo spazio quoziente.
Proposizione 5 Sia P 0 : S → S un’applicazione continua tale che valgano:
(1) P 0 è suriettiva;
(2) P 0 (x) = P 0 (y) ⇐⇒ xRy;
(3) P 0 è aperta oppure è chiusa.
S
e P 0 corrisponde alla proiezione
Allora S è omeomorfo allo spazio quoziente R
S
P (cioè esiste un omeomorfismo o : R
→ S tale che P 0 = o ◦ P ).
Dimostrazione. Immediata conseguenza delle proposizioni 3 e 4.
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