Moto in due dimensioni-vettore accelerazione istantanea
Si definisce :
Vettore accelerazione
istantanea
!
!
Δv dv
a ≡ lim
=
!
dt
Δt→0 Δt
Derivata del vettore
velocità
rispetto al tempo
Attenzione!!
L’accelerazione può variare la velocità in modi differenti, modificando il
modulo della velocità e/o la direzione e/o il verso….
Nei moti rettilinei l’unica cosa che poteva variare era il valore numerico
della velocità ed il suo segno
Moto in due dimensioni con accelerazione costante(1)
Consideriamo un moto in due dimensioni in cui il vettore accelerazione rimanga
costante, cioè rimangano costanti il modulo, la direzione ed il verso di tale vettore
!
a = costante
Spesso conviene considerare il moto bidimensionale come la combinazione di due
moti unidimensionali lungo gli assi di un sistema di riferimento scelto
opportunamente e studiare i due moti separatamente
Conviene quindi scomporre tutti i vettori che descrivono il moto nelle loro due
componenti x ed y
#! x = x(t)
!
"
r ≡ xî + yĵ
#$ y = y(t)
!
! dr d xî + yĵ
dx
dy
v=
=
=
î +
ĵ = vx î + vy ĵ
dt
dt
dt
dt
(
)
!
dv
! dv d vx î + vy ĵ dvx
a=
=
=
î + y ĵ = ax î + a y ĵ
dt
dt
dt
dt
(
)
!
! dr
= vx î + vy ĵ
v=
dt
!
! dv
a=
= ax î + a y ĵ
dt
Costante
Costanti
!#v = dx dt
dove " x
#$vy = dy dt
!#a = dv dt
x
dove " x
$#a y = dvy dt
Moto in due dimensioni con accelerazione costante
!
Poiché a è costante anche ax ed ay sono costanti e si possono applicare le formule
del moto uniformemente accelerato separatamente alle componenti lungo x e lungo
y della velocità e dello spostamento.
!
!
Definiamo quindi v0 la velocità di una particella all’istante iniziale t=0 e con v la sua
velocità in un certo istante t, allora:
!#v = v + a t
!
x
0x
x
"
v = vx î + vy ĵ= v0x + axt î + v0 y + a yt ĵ
#$vy = v0 y + a yt
(
Equazioni della velocità in due
moti uniformemente accelerati,
uno lungo x ed uno lungo y
) (
! ! !
v = v0 + at
)
Velocità vettoriale di una
particella con accelerazione
costante
!
!
In maniera analoga, definiamo r0 il vettore posizione all’istante t=0 e con r il vettore
posizione al generico istante t, avremo:
!
1 2
## x = x0 + v0xt + axt
!
2
"
r = xî + yĵ = x0 + v0xt +1 2axt2 î + y0 + v0 yt +1 2a yt2 ĵ
# y = y + v t + 1 a t2
0
0y
#$
Vettore posizione di una
2 y
! ! !
1!
(
Equazioni di due moti
uniformemente accelerati, uno
lungo x ed uno lungo y
r = r0 + v0t + at2
2
) (
particella con accelerazione
costante
)
Moto in due dimensioni con accelerazione costante(2)
!2
!r! = r! + v! t +1 2 at
## ! !0 !0
"v = v0 + at
#!
#$a = costante
y
x
y
x
! x = x + v t +1 2a t2
0
0x
x
##
"vx = v0x + axt
#
#$ax = a0x
! y = y + v t +1 2a t2
0
0y
y
##
"vy = v0 y + a yt
#
#$a y = a0 y
Il moto a due dimensioni con accelerazione costante può essere studiato come due
moti completamente indipendenti nelle direzioni x ed y.
Caso Particolare Moto in due dimensioni con accelerazione
costante-Moto del proiettile(1)
! ! !
1!2
r = r0 + v0t + at
2
NB: Il vettore posizione in funzione del tempo è la somma vettoriale di:
1) la posizione all’istante iniziale
2) lo spostamento dovuto alla velocità iniziale della particella
3) lo spostamento dovuto alla presenza di un’accelerazione costante.
Caso Particolare
MOTO DEL PROIETTILE
Ø L’accelerazione è dovuta solo all’accelerazione gravitazionale che è considerata
costante e rivolta verso il suolo (l’effetto della resistenza dell’aria viene trascurato)
! !# ax = 0
a="
#$ a = −g
y
Il moto lungo x è un moto rettilineo uniforme
Il moto lungo y è il moto di un grave
Moto del proiettile-velocità(2)
Moto del proiettile → si sceglie il sistema di riferimento in modo tale che:
Ø asse x sia l’asse orizzontale
Ø asse y sia l’asse verticale con y positive verso l’alto (una delle scelte possibili)
Accelerazione: solo la componente lungo y è non nulla ed è identicamente uguale a -g
!
g = − gˆj
Istante iniziale:
!
Il proiettile lascia l’origine del sistema con una velocità iniziale v
0
che forma un angolo θ0 con l’asse orizzontale
! ! #%ax ≡ 0
a= g =$
%&a y ≡ −g
! !#v0x = v0 cosθ 0
x0 = y0 = 0 v0 = "
#$v0 y = v0 sin θ 0
Velocità: cambia continuamente in direzione e modulo secondo l’equazione:
Rimane sempre
uguale a se stessa
(vx=costante)
! !
! !
v = v t = v0 + gt
()
⎧vx = vx (t) = vx 0 + 0t = vx 0 = v0 cosθ0
⎨
⎩vy = vy (t) = vy0 - gt = v0 sin θ0 − gt
y
θ
θ0
NB:
La componente lungo x della velocità rimane costante nel tempo, mentre la componente lungo
y segue l’andamento della velocità di un moto rettilineo uniformemente accelerato con
accelerazione –g (caduta libera)
Moto del proiettile-posizione(3)
Posizione del proiettile per ogni istante t:
! !
! !
1!
r = r t = r0 + v0t + gt2
2
()
" x = x t = x + v t = (v cosθ ) t
0
$
!0 0x !0#"#$
0
v0 x
$
#
$ y = y t = y + v t − 1 gt2 = (v sin θ ) t − 1 gt2
0
!0 0 y 2
!0#"#$
$
2
0
v
%
oy
()
()
NB:
La componente lungo x della posizione del proiettile varia linearmente con il tempo (moto
rettilineo uniforme), mentre la componente lungo y segue l’andamento della caduta libera di un
grave.
Equazioni del moto di un proiettile:
y
θ0
" x = (v cosθ )t
0
0
! $
r =#
1
$ y = (v0 sin θ 0 )t − gt2
%
2
! "$ v x = v0 cosθ 0
v=#
$% v y = v0 sin θ 0 − gt
! "$ax = 0
a=#
$%a y = −g
Moto del proiettile-traiettoria (4)
Da queste espressioni possiamo ricavare diverse informazioni riguardo al moto del proiettile:
1) TRAIETTORIA (equazione in xy che descrive il percorso del proiettile nello spazio)
=> dobbiamo trovare l’equazione che descrive y in funziona di x
a) Dall’equazione di x mi ricavo il tempo in funzione di x:
x
t=
(v0 cosθ0 )
x = (v0 cosθ 0 )t
b) Sostituisco questa espressione di t nella componente y della posizione:
1
y = (v0 sin θ 0 )t − gt2
2
y = tan θ 0 x −
1
g
2 v cosθ
0
0
(
)
2
x
2
2
%
x
1 "$
x
'
y = (v0 sin θ 0 )
− g$
v0 cosθ 0 2 # v0 cosθ 0 '&
v0 sin θ 0
1
g
=
x−
v0 cosθ 0
2 v cosθ
0
0
(
)
2
x
2
0 < θ0 < π 2
La traiettoria che compie un proiettile è una parabola
ed è completamente definita se si conoscono la velocità
iniziale v0 e l’angolo θ0 che essa forma con l’asse
orizzontale
TRAIETTORIA:
Equazione di una
parabola passante per
l’origine
y
y = ax − bx 2
v0 θ
0
https://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_it.html
x
Moto del proiettile-altezza massima(5)
2) ALTEZZA MASSIMA della traiettoria
y = tan θ 0 x −
y
vy = 0
Ø Corrisponde al punto della traiettoria in cui vy si annulla
!
v
1
g
2 v cosθ
0
0
(
)
2
x2
Ø La coordinata x di questo punto si trova a metà della
distanza orizzontale (gittata) che percorre il proiettile
Imponendo che la vy si anulli ci ricaviamo l’istante in cui
La traiettria raggiunge il massimo:
vy=h = v0 sin θ 0 − gt = 0
ty=h =
v0 sin θ 0
h
v0 θ
0
g
R/2
Sostituendo in y(t) il valore di ty=h troviamo l’altezza massima
th
x
R
2
(v0 sin θ 0 ) 1 " (v0 sin θ 0 ) %
1 2
'
y = h = (v0 sin θ 0 )th − gth= (v0 sin θ 0 )
− g $$
'
2
g
2 #
g
&
h=
(v0 sin θ 0 )
g
2
1 (v0 sin θ 0 )
−
2
g
2
h=
(v0 sin θ 0 ) 2
2g
Altezza
Massima
NB: Si può aumentare l’altezza massima sia aumentando la velocità iniziale sia
aumentando l’angolo θ0, oppure lanciando il proiettile da un luogo con accelerazione
gravitazionale minore https://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_it.html
Moto del proiettile-Gittata(6)
3) GITTATA: si può ricavare dall’equazione
della traiettoria imponendo y=0.
1
g
y = tan θ 0 x −
2 v cosθ
0
0
(
)
y = tan θ 0 x −
y
!
v
vy = 0
(
)
2
x2
2
x
=0
2
h
v0 θ
0
#
&
%
(
1
g
1
g
2
tan θ 0 x −
x
=
x
⋅
tan
θ
−
x
%
(=0
0
2
2
2 v cosθ
2 v cosθ
%
(
0
0
0
0
$
$!!!#!!!"'
)
(
)
x
R
R/2
(
1
g
2 v cosθ
0
0
!x = 0
##
"
tan θ 0 v0 cosθ 0
#x = R = 2
#$
g
(
)
=0
R=2
2
0
2
sin θ 0 v cos θ 0
cosθ 0
g
2
0
=v
2sin θ 0 cosθ 0
g
sin 2θ 0
R=
v02 sin 2θ 0
g
Gittata
NB: La gittata massima (a parità di modulo della velocità iniziale) si ha quando
l’inclinazione con cui viene lanciato il proiettile è di 45° ( sin90=1) ed è Rmax=vo2/g
2
Esempio alla lavagna
Moto circolare uniforme(1)
Il moto di una particella che si muove lungo una traiettoria circolare di raggio r con
velocità costante in modulo, viene chiamato
!!!
la tangente in un punto ad una circonferenza è sempre
perpendicolare al raggio della circonferenza in quel punto
Ø la direzione del vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria della particella
ed è perpendicolare al raggio del percorso.
Ø La direzione della velocità cambia in ogni istante
!
v
!
v
!
a
!
a
Ø Il modulo della velocità resta costante
Ø Poiché il vettore velocità varia ( in direzione)
l’accelerazione deve essere non nulla
r
!
v
Ø L’accelerazione risulta essere in ogni istante perpendicolare alla traiettoria ( e
quindi alla velocità) e rivolta verso il centro della traiettoria
Ø Il modulo dell’accelerazione è:
! v2
a=
r
Moto circolare uniforme(2)
Intuitivamente si può capire perché nel moto circolare uniforme l’accelerazione deve
essere perpendicolare alla velocità, cioè avere solo componente perpendicolare alla
traiettoria:
Se ci fosse una componente parallela alla velocità! la velocità dovrebbe cambiare
! in
modulo ( in particolare
dovrebbe aumentare
se a avesse stesso verso di v
e
!
!
tan
diminuire se atan avesse verso opposto a v )
Come si determina il modulo dell’accelerazione?
Consideriamo che la nostra particella si trovi:
§ nel punto
! A della traiettoria all’istante ti ed abbia
velocità vi
!
§ nel punto B all’istante tf con velocità vf
Velocità costante in modulo
!
!
vi = vf = v
L’accelerazione media della particella tra l’istante ti e l’istante tf sarà:
!
amedia
! !
vf − vi
!
Δv
=
=
tf − ti
Δt
!
Δv!
Dove il vettore
si !ottiene congiungendo le due
punte dei vettori vi e v
f
!
amedia
!
Δv
=
Δt
Moto circolare uniforme(3)
!
!
v sempre perpendicolare ad r
O
! !
! !
L’angolo Δθ tra ri e rf è uguale a quello formato dai due vettori vi e vf
i due triangoli isosceli in figura sono simili ( stesso angolo e stesso rapporto tra le
lunghezze dei due lati che lo contengono) quindi il rapporto tra la base ed uno dei
due lati uguali è lo stesso per i due triangoli
Usiamo i moduli poiché
!
Δv
Vale quindi la relazione:
!
Mettendo in evidenza Δv
! v !
Δv = Δr
r
:
v
=
!
Δr
stiamo parlando di
lunghezze di lati
r
!
amedia
!
Δv
!
!
v = vi = vf
! !
r = ri = rf
!
v Δr
=
=
Δt r Δt
Moto circolare uniforme(4)
!
amedia
!
Δv
!
v Δr
=
=
Δt r Δt
Passando al limite di Δt→0 si ha che:
!
$ a!
→a
&& media
Δt → 0 ⇒ % Δr!
&
→v
&' Δt
! v
a= v
r
! v2
a=
r
Accelerazione
centripeta
!
!
Δr
v = lim
Δt→0 Δt
Il modulo dell’accelerazione centripeta è
costante nel tempo e pari a v2/r e la direzione
è sempre rivolta verso il centro della
traiettoria
! v2
a=
−r̂
r
( )
Moto circolare uniforme(5)
Introduciamo alcun grandezze necessarie per descrivere il
moto circolare:
!
v
Ø T = periodo (s) = tempo impiegato dalla particella per
compiere un giro completo ( che è pari a 2πr )
Ø Il modulo della velocità è quindi:
!
v
!
a
!
a
2π R
v=
T
r
Ø f = frequenza (s-1=Hz )= numero di rotazioni al secondo, quindi f=1/T
Ø ω=velocità angolare (rad/s) = > quanti radianti vengono spazzati al secondo
2π
ω=
T
v = ωR
ω = 2π f
2
ac = ω R
v
ω=
r
v2 ac
ω = 2=
r
r
2
ω=
2π R v
=
T R r
Accelerazione tangenziale e radiale
Consideriamo una traiettoria curva, in cui la particella istante dopo istante vari la sua velocità
sia in direzione che in modulo.
La velocità è sempre tangente alla traiettoria
L’accelerazione forma un certo angolo con la
tangente alla traiettoria e varia di punto in
punto sia in modulo che direzione
Si approssima in ogni punto la traiettoria con una circonferenza il cui raggio rappresenti il
raggio di curvatura della traiettoria stessa in quel punto e si studia il moto scomponendo, in
ogni punto, l’accelerazione nelle sue componenti tangenziale e radiale rispetto alla traiettoria
!
dv
! ! !
a = at + ar
L’accelerazione tangenziale è associata alla variazione
del modulo della velocità della particella è parallela
(o antiparallela) alla velocità stessa
⎧a =
⎪ t dt
⎨
v2
⎪ar = −ac = −
⎩
r
!
a = a = at2 + ar2
L’accelerazione radiale è associata alla
variazione della direzione della velocità
ed è rivolta in verso opposto alla direzione
del versore radiale (segno -)
ar è inversamente proporzionale al raggio di curvatura,
più è piccolo il raggio più è grande ar
NB:
Se at=0, il moto è circolare uniforme, se ar=0 il moto è rettilineo (unidimensionale)
