φ ω 1 ω φ ≈ - Università degli Studi di Messina

Trasformatore monofase
Il flusso risulta indipendente dal carico, infatti, è direttamente proporzionale alla forza
elettromotrice indotta ed approssimativamente alla tensione di alimentazione. Quest’ultima,
dipende solo dalle caratteristiche della rete di alimentazione e non varia al variare del carico.
V1 ≈ E1 = jωN1φ
φ ≈
V1
jω N 1
Poiché il flusso è indipendente dal carico, la forza magnetomotrice resta costante al variare
del carico, si ha infatti:
ℜ feφ = N 1 I 10 = N 1 I1 − N 2 I 2
Si può quindi scrivere:
I1 =
N1 I1m N2 I 2
+
= I1m + I12
N1
N1
Trasformatore monofase
La corrente di primario I1 può essere scomposta in due termini: la corrente di
magnetizzazione I1m ,sempre presente, e la corrente di reazione I12, proporzionale alla
corrente di secondario. Quest’ultima è p
presente solo se il trasformatore è sotto carico,, ed è
pari alla corrente di secondario riportata al primario:
I12 =
N2
I2
N1
Poiché la forza magnetomotrice totale è indipendente dal carico, la corrente di reazione può
essere vista come l’incremento della corrente di primario (rispetto al valore a vuoto)
necessaria a bilanciare la forza magnetomotrice di secondario (N2I2),
) generata dalla presenza
del carico.
La corrente di reazione è pertanto una componente fittizia della corrente I1 che, attraversando
le N1 spire dell’avvolgimento primario, genera la stessa forza magnetomotrice che in realtà è
generata dalla corrente I 2 , circolando nelle N2 spire di secondario. Si ha infatti:
N1 I12 = N1
N2 I 2
= N2 I 2
N1
Trasformatore monofase
Circuito equivalente del trasformatore con reattanza di magnetizzazione
Le equazioni divengono:
⎧V1 = R1 I1 + E1 = R1 I1 + jω N1Φ = R1 I1 + jX 1 m I1 m
⎪
N1
N2
⎨
V
=
−
R
I
+
E
=
−
R
I
+
j
ω
N
Φ
=
−
R
I
+
j
X 1 m I1 m
2
2
2
2
2
2
2
2
12
⎪
N
N
⎩
2
1
I1 = I1m + I12
Trasformatore monofase
Flusso disperso
A vuoto, il flusso è sostenuto totalmente dalla forza magnetomotrice N1i1. Poiché però la
permeabilità magnetica del ferro non è infinita, alcune linee di flusso dϕi1d si chiudono in aria,
concatenandosi totalmente o parzialmente solo con l’avvolgimento primario.
Il flusso concatenato col primario vale:
λ1 = N1Φ + ∑ λi 1d dϕ i 1d =N 1Φ + N1φ1d = λ1m + λ1d
λi1d =coefficiente di concatenamento della linea di flusso disperso dϕi1d (0<λi1d < N1)
λ1m = flusso principale concatenato col primario
λ1d = flusso disperso concatenato col primario
Trasformatore monofase
Come già visto nel caso di due avvolgimenti accoppiati, il flusso di dispersione è sostenuto
dalla forza magnetomotrice N1i1. In regime qualsiasi si ha quindi:
λ1 = λ1m + λ1d
N12
N12
=
i1m +
i1 = L1m i1m + L1d i1
ℜ fe
ℜ1 d
essendo:
L1d
N12
=
= induttanza di dispersione del primario
ℜ 1d
ℜ 1d = riluttanza media del cammino seguito (in aria) dalle linee di flusso disperso dϕi1d
Il flusso disperso causa una variazione della tensione indotta al primario che, in regime
sinusoidale,, è pari
p
a:
ΔV1d = − jωL1d I1 = − jX 1d I1
essendo:
X 1d
N12
=ω
= reattanza di dispersione del primario
ℜ 1d
Trasformatore monofase
Analogamente, se I 2 ≠0, viene generato un flusso di dispersione secondario Φ2d e di
conseguenza una caduta di tensione pari a:
ΔV2 d = − jωL2 d I 2 = − jX 2 d I 2
essendo:
L2 d
N 22
=
= induttanza di dispersione del secondario
ℜ 2d
ℜ 2 d = riluttanza media del cammino seguito (in aria) dalle linee di flusso disperso dϕi2d
X 2d
N 22
=ω
= reattanza di dispersione del secondario
ℜ 2d
Per tener conto delle cadute di tensione dovute ai flussi dispersi si inseriscono le reattanze di
dispersione in serie agli avvolgimenti di primario e di secondario del trasformatore ideale
ideale.
Le reattanze di dispersione sono praticamente costanti, perché il flusso di dispersione che le
origina, sviluppandosi in gran parte in aria, percorre un circuito magnetico a permeabilità
magnetica costante
costante.
Trasformatore monofase
Circuito equivalente del trasformatore con reattanze di dispersione
Le equazioni divengono:
⎧⎪V1 = R1 I1 + jX 1d I1 + E1
⎨
⎪⎩V2 = − R2 I 2 − jX 2 d I 2 + E 2
Trasformatore monofase
Eff tti d
Effetti
della
ll saturazione
t
i
Si definisce flusso di magnetizzazione, la quantità:
Il trasformatore è stato visto fin
fin’ora
ora come un sistema lineare,
lineare in realtà a causa della
saturazione del nucleo ferromagnetico la relazione tra corrente di magnetizzazione e flusso di
magnetizzazione è non lineare. In particolare, a partire dal ginocchio della curva di
magnetizzazione, a parità di corrente, il flusso reale è inferiore di una quantità Δλ rispetto a
quello
ll calcolato
l l t assumendo
d il sistema
i t
lineare.
li
Trasformatore monofase
A causa della saturazione del nucleo ferromagnetico la corrente di magnetizzazione
magnetizzazione, non solo
risulta maggiore, a parità di flusso, rispetto al caso lineare, ma risulta anche distorta. Infatti a
causa del legame non lineare tra flusso e corrente di magnetizzazione, se una delle due
grandezze è sinusoidale l’altra necessariamente deve essere non sinusoidale, almeno per un
valore
l
di picco
i
sufficientemente
ffi i t
t elevato.
l
t
Trasformatore monofase
IIn un trasformatore
t
f
t
monofase
f
alimentato
li
t t da
d una tensione
t
i
sinusoidale
i
id l la
l corrente
t di
magnetizzazione non può essere sinusoidale. Infatti:
v 1 ( t ) = V1 sin( ω t ) ≈ e1 ( t ) = N1
dφ ( t )
dt
Φ =
V1
jωN1
prossimi al g
ginocchio della curva BH.
I trasformatori lavorano con valori d'induzione massima p
In tali condizioni la corrente magnetizzante risulta in pratica uguale alla somma delle
componenti di prima e terza armonica.
Nella pratica, per semplificare lo studio del trasformatore, si approssima la corrente di
magnetizzazione alla sola prima armonica, trascurando così gli effetti della saturazione.
Tuttavia, poiché la distorsione della corrente di magnetizzazione causa essenzialmente un
lieve incremento delle perdite per effetto Joule nei conduttori
conduttori, si può tener conto degli effetti
della saturazione aumentando l’ampiezza della componente di prima armonica, ponendola
pari a:
p
di prima
p
e di terza armonica.
Essendo I1m1 e I1m3 i valori efficaci delle componenti
Trasformatore monofase
Effetti delle perdite nel ferro
Le perdite nel nucleo ferromagnetico valgono:
η
2
2
2
=
P
+P
=
k
f
B
+
k
f
B
≈
k
B
= kf
Pfe
c
f
i t
ist
cp
i
M
M
f M
1
(4.44 fN1S )2
E12
perdite nel ferro inserendo nel circuito equivalente
q
una resistenza
Si tiene conto delle p
trasversale R0 (o R’0) in parallelo alla reattanza di magnetizzazione che dissipa la stessa
potenza dissipata nella realtà nel nucleo ferromagnetico.
La resistenza equivalente delle perdite nel ferro è posta in parallelo al trasformatore ideale
perché in tal modo la potenza dissipata dipende dal quadrato della tensione indotta E1, come
nella realtà le perdite nel nucleo ferromagnetico.
Poiché ai terminali di R0 è presente la forza elettromotrice indotta E1 , si avrà:
E12
R0 =
Pfe
Attraverso R0 passa una componente di corrente I1 p in quadratura con la corrente di
magnetizzazione.
Trasformatore monofase
La corrente I10 che percorre il parallelo R0 // X1m è detta corrente a vuoto del trasformatore, perché coincide
con la corrente di primario quando la corrente di secondario è nulla. La corrente I10 non varia
apprezzabilmente al variare del carico ed è composta da:
•
•
•
•
la fondamentale della corrente di magnetizzazione I1m1
l terza
la
t
armonica
i della
d ll corrente
t di magnetizzazione,
ti
i
d
dovuta
t alla
ll saturazione
t
i
del
d l nucleo.
l
I1m3
una componente di quinta armonica spesso trascurabile I15.
una componente alla frequenza fondamentale ma sfasata di 90° rispetto all’armonica fondamentale
dovuta alle perdite nel nucleo I1p.
Trasformatore monofase
Ci
Circuito
it equivalente
i l t esatto
tt del
d l trasformatore
t
f
t
monofase
f
t=
N1 E1 V1
=
≠
= t’= Rapporto di trasformazione
N2 E 2 V2
⎧V1 = R1 I 1 + jX 1d I 1 + E 1
⎨
⎩V 2 = − R 2 I 2 − jX 2 d I 2 + E 2
E1 = jω λ1 = jω N1Φ = jX 1 m I1 m
I1 = I12 + I10 = I12 + I1m + I1 p
E2 =
E 1 = R 0 I1 p
N2
E1
N1