INTRODUZIONE ALLA INFERENZA STATISTICA
1) CONCETTO DI INFERENZA STATISTICA E SCOPI :
L’inferenza statistica è il procedimento induttivo che, avvalendosi del calcolo delle
probabilità, consente di estendere all’intera popolazione le informazioni fornite dal
campione.
2) POPOLAZIONE E CAMPIONE:
la popolazione è l’insieme degli elementi che costituiscono l’oggetto dell’analisi;
il campione è un sottoinsieme della popolazione.
3) CAMPIONE CASUALE:
il modo più comune di scegliere le unità da inserire nel campione è quello di
sorteggiarlo o, come si suol dire, di sceglierle a caso. Il campione che ne risulta è detto
campione casuale.
4) RILEVAZIONE CAMPIONARIA:
i principali vantaggi della rilevazione campionaria, rispetto a quella totale sull’intera
popolazione, possono essere così riassunti:
a) maggiore tempestività delle informazioni;
b) possibilità di effettuare indagini più complesse;
c) maggiore economicità;
d) livello medio più elevato dei rilevatori ( ne occorrono di meno rispetto alle rilevazioni
totali tipo il censimento della popolazione ) e quindi, sovente, maggiore cura ed
esattezza.
5) UNIVERSO DEI CAMPIONI O SPAZIO CAMPIONARIO:
è l’insieme di tutti i possibili campioni di numerosità n deducibili da una popolazione
mediante scelta casuale
Campione bernoulliano o Campione esaustivo : le unità Campione in blocco : le
con reinserimento: le unità non possono essere estratte unità
possono
essere
estratte più volte; disposizioni semplici
più volte ; disposizioni con
vengono
contemporaneamente;
combinazioni semplici
ripetizione
Nn
estratte
N ⋅ ( N − 1) ⋅ (N − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( N − n + 1)
N
n
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6) PARAMETRI E STATISTICHE:
a) i parametri sono dei valori caratteristici della popolazione ( media, varianza,
frequenza relativa o percentuale) e si indicano con i simboli
µ; σ 2 ; π
b) le statistiche sono invece delle FUNZIONI DELLE OSSERVAZIONI CAMPIONARIE
nel senso che esse dipendono dagli elementi del campione ( media del campione,
varianza del campione, frequenza relativa o percentuale del campione ) e si
indicano con i simboli
x ; s2 ; p
7) DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLE “STATISTICS”:
al variare del campione nell’universo campionario la statistica assume valori diversi,
per cui è possibile costruire la sua distribuzione. E’ questa la distribuzione campionaria
della statistica.
Esempio: Consideriamo una popolazione composta da 4 unità, N=4 .
I valori sono : 1; 2 ; 3 ; 4 ; la media della popolazione è µ=2,5;
L’universo dei campioni di ordine 2 con estrazione bernoulliana, cioè tutti i possibili campioni composti
n
2
da due elementi con ripetizione , è dato da N =4 =16 .
La distribuzione campionaria delle medie è la seguente :
campioni di due elementi
(1 ; 1)
(1 ; 2)
(1 ; 3)
(1 ; 4)
(2 ; 1)
(2 ; 2)
(2 ; 3)
(2 ; 4)
(3; 1)
(3; 2)
(3 ; 3)
(3 ; 4)
(4 ; 1)
(4 ; 2)
(4 ; 3)
(4 ; 4)
distribuzione
campionaria
delle medie
1
1,5
2
2,5
1,5
2
2,5
3
2
2,5
3
3,5
2,5
3
3,5
4
medie campionarie
frequenze
assolute
frequenze
relative
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
Totale
1
2
3
4
3
2
1
16
1/16
2/16
3/16
4/16
3/16
2/16
1/16
1
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La statistica - media del campione – viene pertanto a configurarsi in una serie di
modalità e frequenze; quest’ultime, espresse in termini relativi , assumono il significato
particolare di probabilità.
L’importanza della distribuzione campionaria delle statistiche è legata alla possibilità di
determinare i limiti di validità dei risultati campionari per l’intera popolazione. Tale
distribuzione campionaria è una funzione discreta o continua che comprende tutti i
valori di una statistica nell’universo dei campioni, è variabile, e non va confusa con la
distribuzione del carattere oggetto di studio nella popolazione che è costante.
8) DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA MEDIA :
la distribuzione campionaria della media aritmetica è caratterizzata dal fatto di avere la
stessa media della popolazione originaria in tutti i tipi di universo prima considerati:
E (x ) = µ
quindi la media delle medie campionarie è uguale alla media della popolazione
e la varianza della distribuzione campionaria media aritmetica è sempre uguale a :
VAR ( x ) =
VAR ( x ) =
σ2
nell’universo bernoulliano
n
σ2 N −n
n
⋅
N −1
nell’universo dei campioni estratti in blocco
quindi la varianza delle medie campionarie è uguale alla varianza della
popolazione diviso la numerosità del campione ( nell’universo bernoulliano ).
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Riprendiamo l’esempio precedente , disponiamo in dati in tabella per il calcolo della
media e della varianza campionaria :
medie campionarie
frequenze assolute
prodotti medie
campionarie frequenze
_
xi
ni
x i ⋅ ni
x i ⋅ ni
1
1
1
1
1,5
2
3
4,50
2
3
6
12
2,5
4
10
25
3
3
9
27
3,5
2
7
24,50
4
1
4
16
Totale
16
40
110
_
media aritmetica delle
medie campionarie
varianza campionaria
x=
σ2 =
_
x
valori quadratici per
frequenze
_2
_
40
= 2,5
16
110
− 2,52 = 0,625
16
media popolazione
2,5
varianza popolazione
1,25
varianza popolazione/n
1,25
= 0,625
2
9) ALCUNI TEOREMI SULLE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ DELLA MEDIA:
1° CASO: POPOLAZIONE AVENTE DISTRIBUZIONE NORMALE N (µ ; σ 2 )
La variabile casuale media del campione ha distribuzione normale con media u e
varianza
σ2
n
.
Attuando la trasformazione di variabile Z =
(x − µ ) ⋅ n
σ
la variabile casuale Z è una
normale standardizzata con media 0 e varianza uguale a 1 , N (0;1) .
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2° CASO: POPOLAZIONE NON AVENTE DISTRIBUZIONE NORMA LE
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE: sia (x1; x2 ; x3 ;... xn ) un campione bernoulliano
estratto da una popolazione non normale di media u e varianza σ 2 . La
distribuzione della media campionaria al crescere di n tende alla distribuzione
normale con media u e varianza
variabile Z =
(x − µ ) ⋅ n
σ
σ2
n
. Ne deriva che attuando la trasformazione di
la variabile casuale Z per n sempre più grande tende a
distribuirsi secondo una normale standardizzata.
L’importanza di questo teorema nell’inferenza statistica è collegata al fatto che ,
grazie ad esso, la distribuzione campionaria della v.c. media del campione si
riconduce sempre, per n sufficientemente grande, ad una distribuzione normale
qualunque possa essere la forma della funzione di probabilità
f (x ) della
popolazione di partenza dalla quale il campione è stato estratto.
Nelle applicazioni si ha una buona approssimazione alla variabile normale qualora
n ≥ 12 .
10) DIMENSIONE DEL CAMPIONE:
Nella teoria dei campioni si distinguono:
a) grandi campioni , con n>30 oppure n>50 ;
b) piccoli campioni, con n<30 oppure n<50 ;
un limite preciso di separazione tra i due gruppi, piccoli o grandi, non esiste. In
generale i piccoli campioni si riferiscono alle ricerche sperimentali e il numero degli
elementi è in genere limitato ( n minore di 30 ) .
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STIMA PUNTUALE E STIMA PER INTERVALLO PER UNA STATISTICA
In base all’osservazione campionaria si tende a risalire al parametro incognito del
collettivo di origine o popolazione; la valutazione del parametro incognito viene
effettuata tramite uno stimatore che dovrà dare la migliore stima del parametro ignoto ;
lo stimatore, essendo determinato dalle osservazioni campionarie, risulta essere una
variabile casuale e pertanto il suo valore tende ad essere diverso nelle varie estrazioni
del campione. Generalmente l’indice viene scelto in stretta analogia con il parametro
incognito, la media campionaria per stimare la media della popolazione , la varianza
campionaria per stimare la varianza della popolazione e così via. Indicato con θ ( teta )
)
la caratteristica o parametro della popolazione e con θ lo stimatore valgono le
seguenti proprietà per gli stimatori:
1) sia corretto o centrato o non tendenzioso:
()
)
E θ =θ
, il valor medio delle
osservazione campionarie dello stimatore sia uguale al parametro della popolazione;
σ θ2)
2) sia efficiente:
sia minima o comunque la
varianza dello stimatore sia minore rispetto alle varianze di altri stimatori;
)
lim Pr ob( θ − θ < e = 1 , al crescere
3) sia consistente:
n→∞
della numerosità campionaria il valore stimato deve tendere sempre di più al parametro
)
quindi
lim E (θ ) = θ e lim σ θ2) = 0
n→∞
n→∞
I metodi di stima dei parametri sono due: stima puntuale e stima per intervallo.
STIMA PUNTUALE
Con la stima puntuale viene calcolato un solo valore che sarà lo stimatore del
parametro incognito; in genere si calcola con il metodo della massima verosimiglianza.
STIMA MEDIANTE GLI INTERVALLI
Con la stima per intervallo si ricava un intervallo della statistica campionaria all’interno
del quale si ha fiducia che il parametro della popolazione possa essere contenuto.
Nel caso della distribuzione della media campionaria , con popolazione distribuita
normalmente, sappiamo che essa è distribuita normalmente con media quella della
popolazione u e varianza σ 2 / n ; introdotta la variabile normale standardizzata :
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Z=
(x − µ) ⋅ n
σ
si può affermare che, con probabilità 0,95 , la variabile Z è compresa
fra i limiti ± 1,96 e sarà P ( −1,96 < Z < 1,96) = 0,95 e sostituendo il valore Z si ottiene
P ( −1,96 <
(x − µ) ⋅ n
σ
_
σ
σ
< 1,96) ⇒ P u − 1,96 ⋅
< x < u + 1,96 ⋅
= 0,95 . Ciò significa che
n
n
su 100 medie di campioni , di dimensione
n
, 95 cadono nell’intervallo
σ
σ
= u − 1,96 ⋅
; u + 1,96 ⋅
mentre 5 cadono fuori , vi è quindi probabilità del 95%
n
n
_
che, scelto a caso un campione casuale dalla popolazione , la sua media x cada
nell’intervallo determinato. La rappresentazione grafica è la seguente:
Se la probabilità è del 99% il valore di z sarà uguale a ± 2,576 ; se la probabilità salisse
a 99,73% , come avviene di solito nel controllo di qualità di un prodotto, il valore di z
sarà uguale a ± 3 . L’intervallo tende ad ampliarsi per essere fiduciosi o quasi certi che
la percentuale stabilita delle statistiche delle osservazioni campionarie siano comprese
nell’intervallo .
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INTERVALLI DI CONFIDENZA
In pratica però si presenta il quesito opposto: è stato estratto un campione casuale di
n elementi estratti da una popolazione e di questo campione si conosce la media e la
varianza e si vuole stimare la media
incognita della popolazione. Partendo dalle
relazioni precedenti si possono trasformare le disuguaglianze isolando la media
incognita della popolazione:
dall’espressione
P ( −1,96 <
( x − µ) ⋅ n
P( x − 1,96 ⋅
σ
σ
n
< +1,96) = 0,95 possiamo ricavare l’altra
< µ < x + 1,96 ⋅
σ
n
) = 0,95
σ
σ
< µ < x + 1,96 ⋅
l’intervallo x − 1,96 ⋅
è chiamato
n
n
INTERVALLO DI CONFIDENZA o DI FIDUCIA e la probabilità 0,95 che contenga la
media incognita u è detta LIVELLO DI FIDUCIA.
Con gli intervalli di confidenza si cerca di determinare, accettando un prefissato rischio
di errore che si indica con α , un intervallo entro il quale dovrebbe trovarsi il
corrispondente valore caratteristico della popolazione.
Il rischio si indica con α = 1 − P , mentre P = 1 − α è detto livello di confidenza.
Particolare attenzione bisogna porre nella illustrazione dell’intervallo di confidenza;
mentre è corretto affermare che la media di un campione ha una probabilità del 95% di
cadere nell’intervallo fisso di u , è invece errato dire che con una probabilità del 95% la
σ
σ
< µ < x + 1,96 ⋅
media u della popolazione cade nell’intervallo x − 1,96 ⋅
perché
n
n
la media u della popolazione è una costante , mentre è variabile la media del
campione e, quindi, è variabile l’intervallo di stima.
Si può dire , allora, che estratti tanti campioni casuali di n elementi dalla popolazione e
considerati i relativi intervalli di confidenza del 95 % , il 95% di tali intervalli contiene la
quantità incognita u mentre il 5% di tali intervalli non conterrà la media incognita.
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Noi realizzeremo un solo campione; a quale delle due categorie apparterà? A quella
dei campioni “buoni”, ossia con una media non troppo distante da quella della
popolazione, oppure a quella dei campioni “cattivi”, con una media sottostimata o
sovrastimata per più di z ⋅
σ
n
rispetto alla media esatta?
Poiché i campioni buoni sono 95 per ogni 5 campioni cattivi, CONFIDIAMO che la
nostra estrazione porti ad un risultato che rientri nella prima categoria. Il rischio che
questa supposizione sia inesatta è ovviamente del 5% e in genere è α .
Lavorando con un livello di fiducia maggiore con α sempre più piccolo l’ampiezza
dell’intervallo cresce, ma la stima è meno precisa; per ottenere una stima più precisa si
deve diminuire l’ampiezza dell’intervallo e questo si ottiene solo aumentando la
numerosità del campione.
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INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA
M E D I A DI UNA POPOLAZIONE
Per determinare gli intervalli di confidenza per media incognita u della popolazione ,
occorre conoscere la distribuzione campionaria della media del campione. Per procedere
alla costruzione dell’intervallo di confidenza bisogna distinguere vari casi a seconda che la
varianza della popolazione sia nota o ignota e se la popolazione di partenza è normale o
meno.
1° CASO Popolazione distribuita normalmente e varia nza nota
Tenendo conto che la v.c. x , media campionaria, è normale con media uguale a quella
(x − µ ) ⋅ n
σ2
della popolazione u e varianza uguale a
, si considera la v.c. z=
normale
σ
n
standardizzata; l’intervallo di confidenza , dopo pochi passaggi, risulterà:
σ
<µ < x + z⋅
σ
) = 1−α
n
n
dove z si trova sulle tavole della normale standardizzata a livello di fiducia 1- α .
Esempi:
1
1) α =0,05 , P=0,95 , f(z)=0,5- α =0,5-0,025=0,475 , scorrendo la seconda colonna delle
2
tavole si trova z=1,96;
P( x − z ⋅
1
2) α =0,01 P=0,99 , f(z)=0,5- α =0,5-0,005=0,495, scorrendo la seconda colonna delle
2
tavole si trova z=2,57 .
Non possiamo affermare ,però, a questo punto , che nell’1- α dei casi la media incognita u
si troverà nell’intervallo, ma “che in una lunga serie di campioni di n osservazioni, tratti da
una popolazione distribuita normalmente con media incognita u e varianza nota, si può
σ
e che circa l’1- α di tali intervalli
n
, detti di confidenza, deve includere la quantità fissa incognita u. Se α =0,05 e 1- α =0,95 ,
determinare una corrispondente serie di intervalli x ± z ⋅
95 campioni su 100 non differiranno più del valore ± z ⋅
σ
dalla media cercata ed esatta.
n
Noi realizzeremo un solo campione. CONFIDIAMO che la nostra estrazione porti ad un
risultato che rientri nei campioni buoni, essendo questi 95 sul totale di 100.
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2° CASO Popolazione distribuita normalmente e varia nza ignota- piccoli campioni
Allorché la varianza della popolazione non è nota ( come succede in tutti i casi pratici )
occorre stimarla con la VARIANZA CORRETTA del campione :
n
∑ (x
s2 =
i =1
i
− x)2
n−1
Tenuto conto che la v.c. x , media del campione, è normale con media uguale a quella
σ2
(x − µ) ⋅ n
della popolazione u e varianza uguale a
, si considera la v.c. t =
che non è
n
s
distribuita normalmente ma come una T di “Student” con (n-1) gradi di libertà . Scelto il
livello di fiducia 1 − α , dopo pochi passaggi si arriva all’intervallo di confidenza:
P( x − t ⋅
s
n
<µ<x +t⋅
s
n
) =1−α
Questo procedimento si riferisce, in particolare, ai piccoli campioni; per i grandi campioni,
data la tendenza di T, all’aumentare dei gradi di libertà, ad approssimarsi alla normale,
l’intervallo di confidenza può essere calcolato come per il caso precedente.
I gradi di libertà attengono al numero di informazioni che si ha della distribuzione. Per un
campione di numerosità n basta conoscere n-1 valori per determinare l’ultimo e pertanto i
valori “liberi” ( gradi di libertà ) sono (n-1).
Particolare attenzione bisogna porre per calcolare i valori di t una volta scelto α ; mentre
nella distribuzione normale il valore f(z) dà l’area della semicurva e pertanto bisogna
1
considerare il valore 0,5 - α , nella funzione T di Student f(t) l’area si riferisce all’intera
2
curva e quindi sulle tavole si punta direttamente al valore 1- α scorrendo le righe per i
gradi di libertà.
Esempio: α =0,05 , P=0,95 , f(t)=0,95 e considerato una numerosità campionaria di 16 elementi i
gradi di libertà saranno (16-1)=15; nella tavola il valore sarà ottenuto dall’incrocio della probabilità
pari a 0,95 lungo la colonna e 15 gradi di libertà sulle righe: il valore sarà t=2,131.
3° CASO: POPOLAZIONE NON DISTRIBUITA NORMALMENTE – GRANDI CAMPIONI –
Se il carattere della popolazione non è distribuito normalmente in virtù del teorema del
limite centrale si potrà ancora applicare l’intervallo di confidenza basato sulla distribuzione
normale standardizzata per i grandi campioni, con procedimento analogo al primo caso.
4° CASO: POPOLAZIONE NON DISTRIBUITA NORMALMENTE – PICCOLI CAMPIONI –
Per i piccoli campioni occorrerà conoscere la distribuzione campionaria dello stimatore
utilizzato ( nel caso la media del campione ) e procedere con questa distribuzione.
Qualora si conosca soltanto lo scarto quadratico medio di tale distribuzione ( caso non
pratico ) , si potrà utilizzare il teorema di Bienaymè – Chebyshev.
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INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA
PERCENTUALE DIUNA POPOLAZIONE
Consideriamo una popolazione di N unità delle quali la frazione π possiede un certo
attributo e la frazione complementare ( 1- π ) non la possiede .
Estraendo un campione di n elementi , k elementi presentano l’attributo considerato,
pertanto con p =
k
indichiamo la frequenza relativa delle unità del campione che
n
presentano l’attributo considerato ( percentuale ).
La frequenza relativa p è lo stimatore del parametro incognito π .
Per determinare gli intervalli di confidenza della percentuale della popolazione ( π ) si
utilizza lo stimatore p =
x
, percentuale del campione.
n
Popolazione distribuita normalmente e grandi campioni, n>30
Tenendo conto che la v.c. p =
k
, percentuale campionaria, è normale con media uguale a
n
quella della popolazione u e varianza uguale a
σ2
n
, si considera la v.c. Z =
(p −π)
π ⋅ (1 − π )
n
che sarà normale standardizzata; l’intervallo di confidenza , dopo pochi passaggi, risulterà:
p ⋅ (1 − p )
P p − z
<π < p + z⋅
n
p ⋅ (1 − p )
= 1− α
n
dove z si trova sulle tavole della normale standardizzata a livello di fiducia 1- α .
Esempi:
1
1) α =0,05 , P=0,95 , f(z)=0,5- α =0,5-0,025=0,475 , scorrendo la seconda colonna delle
2
tavole si trova z=1,96;
1
2) α =0,01 P=0,99 , f(z)=0,5- α =0,5-0,005=0,495, scorrendo la seconda colonna delle
2
tavole si trova z=2,57 .
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Aree di probabilità sotto la curva normale standardizzata
F(z)= P(0<Z<z)
valori
di z
valori di
F( z )
valori
di z
valori di
F( z )
valori
di z
valori di
F( z )
valori
di z
valori di
F( z )
valori
di z
valori di
F( z )
valori
di z
valori di
F( z )
valori
di z
valori di
F( z )
valori
di z
valori di
F( z )
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,3
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,4
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,6
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
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1
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2
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2,01
2,02
2,03
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2,05
2,06
2,07
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2,09
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0,4985
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3,02
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3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,1
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,2
3,21
3,22
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3,31
3,32
3,33
3,34
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3,37
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3,41
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3,50
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3,52
3,53
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3,61
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3,69
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3,75
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3,81
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0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
0,5000
FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Triennale in ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33
STATISTICA Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO
VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagina 15 di 16
gradi di
libertà
Area di probabilità T di Student valori di a
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,05
0,02
0,01
0,001
1
1,000
1,376
1,963
3,078
6,314
12,706
31,821
63,656
636,578
2
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1,061
1,386
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
31,600
3
0,765
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1,250
1,638
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4
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0,941
1,190
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5
0,727
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1,156
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3,365
4,032
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6
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7
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1,119
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1,895
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12
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1,083
1,356
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1,061
1,321
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24
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25
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0,856
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1,708
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1,057
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0,682
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2,738
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0,682
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1,308
1,692
2,035
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34
0,682
0,852
1,052
1,307
1,691
2,032
2,441
2,728
3,601
35
0,682
0,852
1,052
1,306
1,690
2,030
2,438
2,724
3,591
36
0,681
0,852
1,052
1,306
1,688
2,028
2,434
2,719
3,582
37
0,681
0,851
1,051
1,305
1,687
2,026
2,431
2,715
3,574
38
0,681
0,851
1,051
1,304
1,686
2,024
2,429
2,712
3,566
39
0,681
0,851
1,050
1,304
1,685
2,023
2,426
2,708
3,558
40
0,681
0,851
1,050
1,303
1,684
2,021
2,423
2,704
3,551
50
0,679
0,849
1,047
1,299
1,676
2,009
2,403
2,678
3,496
100
0,677
0,845
1,042
1,290
1,660
1,984
2,364
2,626
3,390
200
0,676
0,843
1,039
1,286
1,653
1,972
2,345
2,601
3,340
1000
0,675
0,842
1,037
1,282
1,646
1,962
2,330
2,581
3,300
B i b l i o g r a f i a: lezioni ed esercizi hanno trovato spunto ( o ripresi ) dai seguenti testi:
1.
2.
3.
4.
A. IZZI, Inferenza Statistica, Utet;
G. Marbach , Marketing;
Gambotto Manzone – Consolini , matematica con applicazioni informatiche 2, Tramontana ;
Trovato – Manfredi, calcolo delle probabilità e statistica inferenziale, Ghisetti e Corvi editori.
FACOLTÀ DI ECONOMIA PESCARA Corso di Laurea Triennale in ECONOMIA E COMMERCIO Classe L-33
STATISTICA Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO
VARIABILI CASUALI CONTINUE Pagina 16 di 16
