Introduzione all`approssimazione numerica del problema di Cauchy

Introduzione all’approssimazione numerica del problema di Cauchy
Problema di Cauchy:
 0
 y (t) = f (t, y(t))

t0 < t ≤ T
y(t0 ) = y0
condizione iniziale
Formulazione integrale:
Z
t
y(t) − y(t0 ) =
t0
Z
y 0 (τ )dτ =
t
f (τ, y(τ ))dτ,
t0 < t ≤ T
t0
METODI NUMERICI
Si suddivide l’intervallo di integrazione I = [t0 , T ], con T < +∞, in Nh sottointervalli [tn , tn+1 ] di ampiezza h = (T − t0 )/Nh , per n = 0, 1, ..., Nh − 1.
h è detto parametro di discretizzazione (può essere anche variabile), i tn sono i
nodi della discretizzazione.
In corrispondenza dell’insieme dei nodi tn il metodo numerico genera un insieme
di valori un , soluzione numerica o discreta, cioè l’approssimazione dei valori y(tn )
della soluzione del problema continuo nei nodi tn .
Definizione Un metodo numerico si dice a un passo se ∀n ≥ 0, un+1 dipende
solo da un e non da un−1 , un−2 ,... In caso contrario si dirà a più passi o
multistep.
• Costruzione del metodo di Eulero esplicito
1) per via geometrica (costruendo la retta tangente a y(x) in tn e calcolandola
in tn+1 ).
2) mediante lo sviluppo di Taylor di y(x) troncato al primo ordine (centro in
tn , passo h).
3) per differenziazione numerica (approssimando la derivata y 0 (tn ) con il rapporto incrementale in avanti)
4) per integrazione numerica (sfruttando la formulazione integrale ed approssimando l’integrale con la formula del rettangolo che utilizza f (tn , y(tn )).
I quattro approcci sono equivalenti e portano alla seguente formula:

 u0 = y0

un+1 = un + hf (tn , un ) n = 0, 1, 2, ...
• Analogamente si costruisce il metodo di Eulero implicito:

 u0 = y0

un+1 = un + hf (tn+1 , un+1 )
n = 0, 1, 2, ...
• Metodo dei trapezi o di Crank-Nicolson.
Si ottiene facendo la media aritmetica dei valori di un+1 ottenuti con i metodi
di Eulero esplicito e implicito, o, analogamente, sfruttando la formulazione integrale ed approssimando l’integrale con la formula dei trapezi:

 u0 = y0

un+1 = un + h2 (f (tn , un ) + f (tn+1 , un+1 )) n = 0, 1, 2, ...
• Metodo di Heun.
Si ottiene a partire dal metodo di Crank-Nicolson utilizzando un+1 calcolata con
un passo del metodo di Eulero esplicito per il calcolo di f (tn+1 , un+1 ). In questo
modo si ’rende esplicita’ la formula di Crank-Nicolson e si ottiene il seguente
metodo:

u = y0

 0
h

)) n = 0, 1, 2, ...
 un+1 = un + 2 (f (tn , un ) + f (tn+1 , un + hf (tn , un )
|
{z
}≈un+1
Cenni sull’analisi dei metodi a un passo
• Consistenza
Un metodo esplicito a un passo si può scrivere nella forma compatta
un+1 = un + hΦ(tn , un , fn ; h)
dove fn = f (tn , un ) e Φ è detta funzione incremento. Ponendo yn = y(tn )
(soluzione esatta) e sostituendo la soluzione esatta nello schema del generico
metodo a un passo, possiamo scrivere:
yn+1 = yn + hΦ(tn , yn , f (tn , yn ); h) + εn+1
dove εn+1 è il residuo che si genera nel punto tn avendo ’preteso’ di far verificare
alla soluzione esatta lo schema numerico.
Riscriviamo il residuo nella forma
εn+1 = hτn+1 (h).
La quantità τn+1 è detta errore di troncamento locale (relativa al nodo tn+1 ).
Definiamo
τ (h) =
max
0≤n≤Nh −1
|τn+1 (h)|
(errore di troncamento globale).
Definizione Un metodo numerico si definisce consistente se
lim τ (h) = 0
h→0
Un metodo numerico ha ordine di consistenza p se τ (h) = O(hp ) per h → 0.
Definizione Un metodo numerico si definisce convergente se ∀n = 0, ..., Nh si
ha
|un − yn | ≤ C(h)
dove C(h) è un infinitesimo rispetto a h per h → 0. Se C(h) = O(hp ) diremo
che il metodo converge con ordine p.
Si può dimostrare che il metodo di Eulero esplicito è convergente con ordine 1.
• Stabilità
Si possono introdurre diversi concetti di stabilità nell’analisi dei metodi numerici
per l’approssimazione di un problema di Cauchy.
Zero-stabilità
Garantisce che, in un intervallo limitato e fissato, piccole perturbazioni sui dati
(dato iniziale e termine f ) producano perturbazioni limitate sulla soluzione
quando h → 0.
Teorema di equivalenza di Lax-Ritchmyer
Ogni metodo consistente è convergente se e solo se è zero-stabile.
Assoluta stabilità - Stabilità su intervalli illimitati
Nello studio della zero-stabilità si considerano intervalli limitati e il numero
Nh di sottointervalli può andare all’infinito solo per h → 0. Esistono tuttavia
numerose situazioni nelle quali si è interessati a determinare la soluzione di un
problema di Cauchy per tempi ’grandi’, in teoria ’infiniti’.
L’assoluta stabilità riguarda la proprietà di un metodo numerico di riprodurre
l’andamento della soluzione analitica per x → ∞, (nel caso discreto n → ∞, per
h fissato), dunque riguarda il comportamento asintotico di un .
Si consideri il problema di Cauchy lineare (problema modello Pm )
 0
 y (t) = λy(t) t > 0

y(0) = 1
con λ < 0, λ ∈ R, e soluzione esatta y(t) = eλt , dove y(t) → 0 per t → ∞.
Definizione Un metodo numerico per Pm si definisce assolutamente stabile se
|un | → 0 per tn → ∞.
Definizione Si definisce intervallo di assoluta stabilità l’insieme A dei valori
del prodotto hλ per i quali il metodo numerico produce soluzioni che tendono
a zero quando tn → ∞:
A = {hλ : |un | → 0 per tn → ∞}
• Eulero esplicito: A = (−2, 0).
• Eulero implicito: A = (−∞, 0).
• Crank-Nicolson : A = (−∞, 0).
• Heun: A = (−2, 0).
Definizione Un metodo numerico si dice A−stabile se per λ < 0 è assolutamente stabile, cioè l’intervallo di assoluta stabilità è A = (−∞, 0)