Esercizi di dinamica dei sistemi di punti materiali. 20/12/2008

Esercizi di dinamica dei sistemi di punti materiali.
20/12/2008
ESERCIZIO 1
Quattro masse puntiformi sono poste agli spigoli di un quadrato ideale di lato L = 30 cm, come in figura. Le masse
non sono collegate tra di loro e si trovano inizialmente in quiete.
Ad un certo istante t1 , a causa di quattro forze FA , FB , FC , FD agenti in un ∆t=10−3 s, ogni massa del sistema
acquisisce una velocità, diretta come in figura, di modulo pari a v = 10 m\s.
Le masse puntiformi si trovano su un piano orizzontale privo di attrito e valgono rispettivamente mA = 1 kg,
mB = 2 kg, mC = 1 kg, mD = 2 kg.
1) Dato il sistema di riferimento della figura, calcolare la posizione del centro di massa;
2) Calcolare il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa subito dopo l’azione delle forze.
3) Calcolare in modulo e direzione (notazione vettoriale) le forze FA , FB , FC , FD ;
4) Scrivere le due equazioni cardinali della dinamica nell’istante in cui le forze F agiscono sul sistema di punti,
considerando come polo il centro di massa del sistema;
5) Descrivere schematicamente il moto del centro di massa del sistema di punti e il moto delle singole masse;
6) Il momento angolare rispetto al centro di massa si conserva durante il moto?
7) La quantità di moto del centro di massa si conserva durante il moto?
ESERCIZIO 2
In un tipico esperimento di fisica nucleare un nucleo bersaglio è mantenuto fermo nel sistema di riferimento
inerziale del laboratorio, mentre un altro nucleo proiettile viene sparato contro il primo.
Si supponga che il nucleo proiettile possa viaggiare di moto rettilineo uniforme su una qualsiasi retta parallela all’asse
delle y, ad una distanza b non nulla da questo.
Tra i due nuclei è presente una forza attrattiva che inizia ad agire quando la distanza tra i centri dei due nuclei è
inferiore a un certo valore. Si consideri come proiettile il 12 C, come bersaglio il 238 U, i numeri in apice si riferiscono
alla massa dei nuclei in a.m.u., la distanza b = 0.6 · 10−14 m e la velocità, vC , del proiettile pari al 9 % della velocità
della luce. Si trascuri l’effetto della forza di gravità e si considerino i nuclei come particelle puntiformi.
Trasformare le masse mC , mU (1 a.m.u. = 1.660 · 10−27 kg), la velocitá vC e la distanza b nelle unità del sistema
internazionale.
Prima che la forza nucleare inizi ad agire:
1) Calcolare il modulo della velocità, vc.m. , del centro di massa del sistema;
2) È presente un momento angolare tra i due nuclei, calcolato rispetto all’origine degli assi? Nel caso fosse presente
calcolarne il valore, L1 , e individuare il piano su cui giace il suo vettore, nel caso opposto fornire una spiegazione.
Quando la forza inizia ad agire tra i nuclei, questi si trovano ad una distanza b e cosı̀ rimangono per tutto il moto:
3) Calcolare la posizione del centro di massa sulla retta che congiunge i due nuclei;
4) Il momento angolare si conserva?
5) Calcolarne il valore, L2 , rispetto all’origine degli assi e definire il piano su cui giace ;
6) La quantità di moto del centro di massa si conserva?
7) Descrivere il moto del sistema
12
C+
238
U.
ESERCIZIO 3
Tre masse inizialmente in quiete, ma = 2 kg, mb = 1 kg e mc = 1 kg, sono appoggiate su un piano orizzontale liscio
e sono collegate da molle come in figura. Le masse A e C distano L = 10 cm dall’origine degli assi che corrisponde
alla posizione della massa B. A partire da un certo istante due forze di uguale modulo, F = 20 N, sono applicate
alle masse A e C come in figura in modo che, all’istante t1 , le masse A e C si trovino ad una distanza dall’origine
rispettivamente pari a xA = L/2 e xC = L/3.
1) Calcolare la posizione del centro di massa del sistema nell’istante iniziale;
2) Calcolare la quantità di moto, pc.m. , del centro di massa prima e dopo l’applicazione delle forze. Si conserva?
3) Calcolare la posizione, xB della massa B all’istante t1 ;
4) Quale massa, mc1 , dovrebbe possedere C affinché il corpo B non si muova dalla sua posizione iniziale?
Se, improvvisamente, la forza agente su A cessasse di agire e tra il piano e ciascuna massa fosse presente una forza
di attrito dinamico, di coefficiente µ = 0.3:
5) Scrivere la prima equazione della dinamica per il sistema;
6) La quantità di moto del sistema si conserva?
7) Calcolare l’accelerazione acm del centro di massa.
ESERCIZIO 4
Cinque palline sono a contatto e sono collegate tramite dei fili di uguale lunghezza, L = 10 cm, indeformabili e di
massa trascurabile, ad un piano orizzontale come in figura. Una di queste palline viene sollevata, con il filo sempre
in tensione, di un’altezza h = L/5 rispetto alla posizione iniziale di equilibrio ed è lasciata cadere sotto effetto della
forza di gravità. Tutti i punti materiali hanno la stessa massa, m = 100 g, e il raggio di ogni pallina è pari a 5 cm.
Si considerino puntiformi le palline nello svolgimento dell’esercizio.
Considerando il corpo puntiforme sollevato:
1) Scrivere le equazioni della dinamica, proiettandole sulla direzione del filo e sulla direzione tangente ad essa;
2) Calcolare il momento della forza peso, M, calcolato rispetto al punto O di sospensione della massa, rispetto
all’angolo θ tra il filo e la verticale;
3) Il momento angolare si conserva?
Considerando il sistema a partire dall’istante in cui la massa sollevata raggiunge le altre masse in quiete:
4) Calcolare la velocità della massa in movimento che urta contro le altre;
5) Calcolare la posizione del centro di massa del sistema nell’istante della collisione;
6) La quantità di moto si conserva nella collisione?
7) Calcolare la quantità di moto, pcm , del centro di massa appena prima, pcm,i , e appena dopo, pcm,f , il contatto.
8) Calcolare la legge oraria del centro di massa, x(t), subito dopo la collisione;
9) Spiegare come evolve il sistema ed esprimere il numero delle masse, tra quelle inizialmente ferme, che acquistano
velocità.
10) Calcolare la velocità o le velocità delle masse che si sono messe in moto.
11) Calcolare l’altezza che raggiunge o raggiungono la massa o le masse in moto.
12) L’energia meccanica del sistema si conserva?