MAX e MIN, Sup e Inf
Gli intervalli sono sottoinsiemi di ℜ
[a , b] chiuso a⩽x⩽b
(a ,b) aperto a< x<b
(Oppure [ a , b) .......( a , b ] )
A=[ 0,1) è superiormente limitato, perché esistono dei numeri che sono più grandi di tutti i
numeri di A , ad esempio 2,4 , .....
A '={∀ x ∈ℜ: x⩾1} non è superiormente limitato
Questi numeri maggiori di tutti gli elementi di A sono detti maggioranti.
Se è inferiormente limitato vuol dire che avrà dei minoranti, infatti A ' è inferiormente limitato e
ad esempio 0,−5,−6,.... sono tutti minoranti di A ' .
Un numero M è detto massimo di A se appartiene a A ed è maggiorante di A (è il più
piccolo tra i maggioranti).
Un numero m è detto minimo di A se appartiene a A ed è minorante di A (è il più
grande tra i minoranti).
min
MAX
[0,1]
0
1
(0,1)
Non esiste
Non esiste
[0,1 )
0
Non esiste
( 0,1 ]
Non esiste
1
Nel caso di (0,1) (oppure [0,1 ) )
1 non è il max ma è detto estremo superiore (si scrive sup A)
Nel caso di (0,1) (oppure (0,1 ] )
0 non è il min ma è detto estremo inf (si scrive inf A)
+∞ è l'estremo superiore di ogni insieme superiormente illimitato.
−∞ è l'estremo inferiore di ogni insieme inferiormente illimitato.
[ a ,+∞ ) → x⩾a
(a ,+∞) → x>a
(−∞ , a ) → x<a
(−∞ , a ]→ x⩽a
Si dice intorno di x 0 ogni intervallo aperto contenente x 0 .
(0,3) o (−1,3) sono intorni di x 0=1
(2,3) non è intorno di x 0=1
I =( x 0−r , x 0+r )
Intorno circolare di raggio r >0
Intorno sinistro
Intorno destro
Funzioni
f si dice funzione di dominio A e codominio B una relazione che associa a ogni elemento di A uno e
uno solo elemento di B.
f : A→ B
Dominio
Il dominio dipende dal tipo di funzione, è l'insieme di esistenza delle x (y=f(x)).
E' l'insieme di tutti i valori di x per cui è definita l'espressione f(x).
Es.
2
y=x +1 D={∀ x∈ℜ}
Es.
y=
x+1
x +3x−4
2
x 2+3x−4≠0 →( x+4)( x−1)≠0
D={∀ x∈ℜ: x≠1, x≠−4}
Es.
y=√ 5x−x 2
5x−x 2⩾0
D={∀ x∈ℜ:0⩽x⩽5}
Segno e punti di intersezione con gli assi
y=x 5−9x3
Dominio D={∀ x∈ℜ}
Intersezione con gli assi
y=0
y=0 asse x
y=0
3
5
3
5
3
x (x +3)( x−3)=0
y=x −9x
0=x −9x
A(0,0) , B (−3,0) ,C (3,0)
x=0 asse y
x=0
5
3
5
y=x −9x
y=0 −9⋅0 3=0
Studio del segno
x 5−9x 3>0
x 3 ( x 2−9)>0
x 3 ( x−3)( x+3)>0
{
{
{
{
{
−3<x<0 ∨ x>3
Proprietà di una funzione
Si dice insieme immagine l'insieme formato da tutti i valori della y al variare di x.
Es.
y=e x
Imf =(0,+∞)
Sia f : D → ℜ con I insieme immagine infI e supI sono chiamati estremo inferiore e superiore
della funzione e si scrive:
inf f(x) e sup f(x)
Se I ha max e/o min:
min f(x) e max f(x)
(Idem per superiormente e inferiormente limitata).
Sia I ⊂D di y=f(x)
f è strettamente crescente se
x 1<x 2 → f ( x 1)< f ( x 2) ∀ x 1, x 2∈I
f è strettamente decrescente se
f è crescente in senso lato se
f è decrescente in senso lato se
x 1< x 2 → f ( x 1)> f ( x 2) ∀ x 1, x 2 ∈I
x 1< x 2 → f ( x 1)⩽ f (x 2 ) ∀ x1, x 2∈I
x 1< x 2 → f ( x 1)⩾ f ( x 2 ) ∀ x1, x 2∈I
y= f ( x ) con dominio D si dice pari se f(-x)=f(x) ∀ x∈ D
Il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle y.
Es.
y=∣x∣ è pari
Si dice dispari se f (−x)=− f ( x ) ∀ x∈ D
Il grafico è simmetrico rispetto all'origine.
Es.
f (x )=2x 7+3x 5+4x
f (−x)=−2x7−3x 5−4x=− f (x )
f si dice iniettiva se x 1≠x 2 → f (x 1)≠ f ( x 2 ) ∀ x1, x 2∈D
Es.
y=3x è iniettiva
y=x
2
non è iniettiva
Una funzione si dice invertibile se e solo se è iniettiva. In tal caso si dice funzione inversa di f e si
indica con f −1 la funzione che associa ogni elemento della sua immagine la sua unica
controimmagine.
Vale la condizione di invertibilità se ogni retta orizzontale attraversa il grafico della funzione al
massimo in un punto.
Infatti come si vede dal prossimo grafico la funzione non è invertibile perchè la retta attraversa il
suo grafico in due punti.
Es
y=2x+3
( y−3)
( x−3)
x=
→ f −1 → y=
2
2
Es.
3
−1
3
y=x → f → y=√ x
Per rendere una funzione invertibile possiamo eventualmente restringere il suo dominio.
Es.
y=x 2
Abbiamo detto non essere invertibile.
Ma se prendessimo come dominio solo x⩾0 , la funzione diventa invertibile e la sua inversa
sarebbe y=√ x
Date f e g si dice funzione composta di f e g e si indica con g o f la funzione definita da:
(g o f)(x)=g(f(x))
Es.
f (x )=√ x e g ( x)= x−2
g ( f ( x))=√ x−2
f ( g ( x))=√ x−2
Esempio funzione inversa (esponenziale e logaritmica)
x
y=2
Voglio la sua inversa (è iniettiva quindi invertibile).
Devo trovare quel numero che posto come esponente di 2 mi restituisce y...
In pratica cerco il logaritmo.
Esempi
log 2 8=3
log 5 25=2
........
Quindi:
x=log 2 y → f −1 → y=log 2 x
Infatti le coppie sono invertite:
