Esempi introduttivi
Esempio tipico di problema della meccanica razionale: traiettoria di un
proiettile.
Esempio tipico di problema idraulico: altezza d'acqua corrispondente a
una portata assegnata.
Come si assegna la portata?
Esempio della costruzione di un'arginatura.
Esempio della mappatura del rischio idraulico.
Necessità di associare a ogni valore di portata un grado di rarità.
Variabili casuali
Relazione tra variabili deterministiche:
y = f(x) .
Caso particolare di determinismo: la previsione del futuro.
Esempio della previsione dell'altezza di pioggia.
Impossibilità di risolvere il problema in modo deterministico.
Necessità di introdurre le variabili casuali.
Variabili casuali discrete e continue, limitate e illimitate.
Popolazione di una variabile casuale: l'insieme di tutti i valori possibili
(con ripetizioni).
Definizione pratica: la popolazione dei valori come l'insieme dei valori di
una serie temporale di lunghezza infinita.
Costanza nel tempo.
Valori provenienti da popolazioni diverse per cambiamento di strumenti
di misura o di regime idrologico.
Eventi casuali e probabilità
Evento casuale: la nozione comprende quella di variabile casuale.
Probabilità: rapporto p tra il numero m dei casi favorevoli a un evento e
il numero N dei casi ugualmente possibili.
Considerazione di due eventi: possibilità di influenza dell'uno sull'altro.
Probabilità incondizionata p(E 1 ) e probabilità condizionata p(E 1 |E 2 ).
Eventi mutuamente dipendenti ed eventi mutuamente indipendenti.
Eventi (dipendenti) incompatibili.
Probabilità composta di due eventi: p(E 1 ∩ E 2 ) (intersezione).
Probabilità totale di due eventi p(E 1 ∪ E 2 ) (unione).
Assiomi fondamentali del calcolo delle probabilità:
1) p è compresa nell'intervallo (0,1);
2) p = 1 per evento certo;
3) p = 0 per evento impossibile;
4) p(E 1 ∩ E 2 ) = p(E 1 )p(E 2 |E 1 );
5) p(E 1 ∪ E 2 ) = p(E 1 ) + p(E 2 ) per eventi incompatibili.
1
Gli assiomi 4) e 5) si estendono immediatamente al caso di più di due
eventi:
4) p(E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ) = p(E 1 )p(E 2 |E 1 )p(E 3 |E 1 ,E 2 );
5) p(E 1 ∪ E 2 ∪ E 3 ) = p(E 1 ) + p(E 2 ) + p(E 3 ).
Probabilità totale di due eventi (compatibili o incompatibili)
Possono darsi tre casi, in ciascuno dei quali accade almeno uno dei due
eventi considerati:
E1 ∩ E 2,
E 1∩ ¬ E 2 ,
E 2∩ ¬ E 1.
I tre eventi sono incompatibili. Quindi la probabilità totale è
[
]
p ( E 1 ∪ E 2 ) = p ( E 1 ∩ E 2 ) ∪ ( E 1∩ ¬ E 2 ) ∪ ( E 2∩ ¬ E 1 ) =
= p ( E 1 ∩ E 2 ) + p ( E 1∩ ¬ E 2 ) + p ( E 2∩ ¬ E 1 ).
Occorre determinare p( E1∩ ¬ E 2 ) e p( E 2∩ ¬ E1 ) . Dalle relazioni (valide per
eventi incompatibili)
p( E1 ) = p( E1 ∩ E 2 ) + p( E1∩ ¬ E 2 ),
p( E 2 ) = p( E1 ∩ E 2 ) + p( E 2∩ ¬ E1 ),
si ricavano p( E1∩ ¬ E 2 ) e p( E 2∩ ¬ E1 ) . Sostituendo si ottiene:
p( E1 ∪ E 2 ) = p( E1 ) + p( E 2 ) − p( E1 ∩ E 2 ).
Probabilità totale di due eventi.
Esempio grafico.
Probabilità di un valore di variabile discreta
Funzione di probabilità di variabile discreta.
Esempio della somma delle letture di due dadi da gioco (due
trasparenti).
Probabilità di un valore di variabile continua
Non definibile come diverso da zero.
Probabilità di non superamento.
Funzione di probabilità di variabile continua.
2
Probabilità di superamento del valore x 1 (con variabile
qualsiasi)
I due eventi
x ≤ x1,
x > x1
sono incompatibili; la probabilità totale è 1; quindi
p( x ≤ x 1 ) + p( x > x 1 ) = 1,
da cui immediatamente
p( x > x 1 ) = 1 − p( x ≤ x 1 ).
Probabilità di cadere in un intervallo (x 1 , x 2 ) (con variabile
qualsiasi)
Si hanno tre eventi incompatibili, che insieme esauriscono la totalità
degli eventi possibili:
x ≤ x1,
x 1 <x ≤ x 2 ,
x > x2.
Quindi è
[
]
p (x ≤ x 1 ) ∪ (x 1 < x ≤ x 2 ) ∪ (x > x 2 ) =
= p( x ≤ x 1 ) + p( x 1 < x ≤ x 2 ) + p( x > x 2 ) = 1,
da cui immediatamente si ricava
p( x 1 < x ≤ x 2 ) = p( x ≤ x 2 ) − p( x ≤ x 1 ).
Densità di probabilità:
Probabilità di ricadere in un intervallo infinitesimo:
P (x + d x ) - P (x ) = P (x ) + p (x )dx - P (x ) = d P (x )
dP (x) = p(x)dx .
La derivata p(x) di P (x) è la densità di probabilità
Probabilità di ricadere in un intervallo come area sottesa dalla curva.
Teorema dell'area.
3
Somma x delle letture di due dadi da gioco corrispondente a tutte le
combinazioni possibili
x
N
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
somma delle letture
numero dei casi in cui la somma delle letture è uguale a x
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
-
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
Distribuzione dei valori della sommax delle letture di due dadi da gioco
7
6
5
N
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
8
9 10 11 12 13
p(x)
0,2
0,1
0,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
x
Distribuzione di probabilità della somma x delle letture di due dadi da
gioco
1,0
0,8
P(x)
0,6
0,4
0,2
0,0
-100
0
100
200
300
x
Esempio di funzione di probabilità di non superamento di variabile
continua
1,0
0,8
P(x)
0,6
0,4
0,2
0,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
Esempio di funzione di probabilità di non superamento di variabile
discreta (somma delle letture di due dadi da gioco)
p(x)
0,02
0,01
0,00
-100
0
100
200
300
x
Esempio di funzione di densità di probabilità di variabile continua
