matematica di base – 3

F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
MATEMATICA DI BASE – 3
Francesco Oliveri
Serena Sammarco
Dipartimento di Matematica, Università di Messina
1 Settembre 2010
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
MATEMATICA DI BASE
MODULO 3
Geometria del Piano
Perimetri e Aree di Figure Piane
Superfici e Volumi di Solidi
Geometria Analitica
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Matematica: Concetti Primitivi
Da qualche parte bisogna pur partire! In Matematica ci sono i cosiddetti
concetti primitivi.
I concetti primitivi sono quelli che non sono suscettibili di una definizione
che non sia circolare. Se ne fissano soltanto le proprietà elencando i
cosiddetti assiomi o postulati.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Nozioni comuni
1
Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.
2
Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
3
Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
4
Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono
uguali tra loro.
5
Il tutto è maggiore della parte.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Nozioni comuni
1
Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.
2
Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
3
Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
4
Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono
uguali tra loro.
5
Il tutto è maggiore della parte.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Nozioni comuni
1
Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.
2
Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
3
Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
4
Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono
uguali tra loro.
5
Il tutto è maggiore della parte.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Nozioni comuni
1
Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.
2
Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
3
Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
4
Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono
uguali tra loro.
5
Il tutto è maggiore della parte.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Nozioni comuni
1
Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.
2
Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
3
Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
4
Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono
uguali tra loro.
5
Il tutto è maggiore della parte.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Nozioni comuni
1
Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.
2
Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
3
Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
4
Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono
uguali tra loro.
5
Il tutto è maggiore della parte.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Definizioni, 1–9
Un punto è ciò che non ha parti.
Una linea è una lunghezza senza larghezza.
Gli estremi di una linea sono punti.
Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
Gli estremi di una superficie sono linee.
Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è
detto rettilineo.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni.
10–16
Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la
retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.
Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.
Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che
tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo
punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni.
10–16
Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la
retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.
Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.
Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che
tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo
punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni.
10–16
Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la
retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.
Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.
Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che
tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo
punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni.
10–16
Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la
retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.
Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.
Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che
tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo
punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni.
10–16
Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la
retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.
Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.
Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che
tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo
punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
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10–16
Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la
retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.
Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.
Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che
tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo
punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni.
10–16
Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la
retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.
Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.
Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che
tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo
punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
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10–16
Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la
retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.
Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.
Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che
tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo
punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.
Quel punto si chiama centro del cerchio.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni,
17–20
Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e
terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la
quale retta taglia anche il cerchio per metà.
Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla
circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello
stesso che è anche centro del cerchio.
Si dicono rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure
trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese
da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.
Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali,
triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno
quella che ha i tre lati disuguali.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni,
17–20
Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e
terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la
quale retta taglia anche il cerchio per metà.
Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla
circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello
stesso che è anche centro del cerchio.
Si dicono rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure
trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese
da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.
Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali,
triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno
quella che ha i tre lati disuguali.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni,
17–20
Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e
terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la
quale retta taglia anche il cerchio per metà.
Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla
circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello
stesso che è anche centro del cerchio.
Si dicono rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure
trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese
da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.
Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali,
triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno
quella che ha i tre lati disuguali.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni,
17–20
Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e
terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la
quale retta taglia anche il cerchio per metà.
Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla
circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello
stesso che è anche centro del cerchio.
Si dicono rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure
trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese
da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.
Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali,
triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno
quella che ha i tre lati disuguali.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni,
17–20
Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e
terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la
quale retta taglia anche il cerchio per metà.
Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla
circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello
stesso che è anche centro del cerchio.
Si dicono rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure
trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese
da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.
Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali,
triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno
quella che ha i tre lati disuguali.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni,
21–23
Dicesi inoltre triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo
retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, e
triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.
Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli
retti.
Diconsi parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate
illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da
nessuna delle due parti.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni,
21–23
Dicesi inoltre triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo
retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, e
triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.
Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli
retti.
Diconsi parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate
illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da
nessuna delle due parti.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni,
21–23
Dicesi inoltre triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo
retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, e
triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.
Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli
retti.
Diconsi parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate
illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da
nessuna delle due parti.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – . . . Definizioni,
21–23
Dicesi inoltre triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo
retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, e
triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.
Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli
retti.
Diconsi parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate
illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da
nessuna delle due parti.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Postulati
1
È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni
altro punto.
2
È possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.
3
È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza
(raggio) qualsiasi.
4
Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
5
Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con
esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di
due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate
finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Postulati
1
È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni
altro punto.
2
È possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.
3
È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza
(raggio) qualsiasi.
4
Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
5
Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con
esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di
due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate
finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Postulati
1
È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni
altro punto.
2
È possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.
3
È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza
(raggio) qualsiasi.
4
Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
5
Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con
esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di
due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate
finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Postulati
1
È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni
altro punto.
2
È possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.
3
È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza
(raggio) qualsiasi.
4
Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
5
Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con
esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di
due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate
finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.
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Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Postulati
1
È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni
altro punto.
2
È possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.
3
È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza
(raggio) qualsiasi.
4
Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
5
Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con
esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di
due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate
finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) – Postulati
1
È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni
altro punto.
2
È possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.
3
È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza
(raggio) qualsiasi.
4
Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
5
Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con
esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di
due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate
finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figura piana e figura solida
Una figura i cui punti appartengono tutti ad un piano si dice figura piana.
Nel caso contrario si parla di figura solida.
Poligonali
Consideriamo dei punti nel piano e congiungiamoli con dei segmenti a
due a due consecutivi: otteniamo una poligonale o spezzata.
Spezzata
chiusa
Spezzata
aperta
Spezzata
non intrecciata
Spezzata
intrecciata
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figura piana e figura solida
Una figura i cui punti appartengono tutti ad un piano si dice figura piana.
Nel caso contrario si parla di figura solida.
Poligonali
Consideriamo dei punti nel piano e congiungiamoli con dei segmenti a
due a due consecutivi: otteniamo una poligonale o spezzata.
Spezzata
chiusa
Spezzata
aperta
Spezzata
non intrecciata
Spezzata
intrecciata
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non
intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
3 angoli → triangolo;
4 angoli → quadrangolo;
5 angoli → pentagono;
6 angoli → esagono;
10 angoli → decagono;
15 angoli → pentadecagono;
n angoli → n–agono;
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non
intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
3 angoli → triangolo;
4 angoli → quadrangolo;
5 angoli → pentagono;
6 angoli → esagono;
10 angoli → decagono;
15 angoli → pentadecagono;
n angoli → n–agono;
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non
intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
3 angoli → triangolo;
4 angoli → quadrangolo;
5 angoli → pentagono;
6 angoli → esagono;
10 angoli → decagono;
15 angoli → pentadecagono;
n angoli → n–agono;
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non
intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
3 angoli → triangolo;
4 angoli → quadrangolo;
5 angoli → pentagono;
6 angoli → esagono;
10 angoli → decagono;
15 angoli → pentadecagono;
n angoli → n–agono;
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non
intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
3 angoli → triangolo;
4 angoli → quadrangolo;
5 angoli → pentagono;
6 angoli → esagono;
10 angoli → decagono;
15 angoli → pentadecagono;
n angoli → n–agono;
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Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non
intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
3 angoli → triangolo;
4 angoli → quadrangolo;
5 angoli → pentagono;
6 angoli → esagono;
10 angoli → decagono;
15 angoli → pentadecagono;
n angoli → n–agono;
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Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non
intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
3 angoli → triangolo;
4 angoli → quadrangolo;
5 angoli → pentagono;
6 angoli → esagono;
10 angoli → decagono;
15 angoli → pentadecagono;
n angoli → n–agono;
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Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non
intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
3 angoli → triangolo;
4 angoli → quadrangolo;
5 angoli → pentagono;
6 angoli → esagono;
10 angoli → decagono;
15 angoli → pentadecagono;
n angoli → n–agono;
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Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non
intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
3 angoli → triangolo;
4 angoli → quadrangolo;
5 angoli → pentagono;
6 angoli → esagono;
10 angoli → decagono;
15 angoli → pentadecagono;
n angoli → n–agono;
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Triangolo
Figura piana che ha tre angoli e tre lati.
Proprietà
La somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo piatto
(1800 o π radianti).
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Triangolo
Figura piana che ha tre angoli e tre lati.
Proprietà
La somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo piatto
(1800 o π radianti).
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Triangolo
Si distinguono i triangoli in:
ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente:
congruenti);
EQUILATERI, se tutti e tre i lati uguali;
SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa.
ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti;
OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso;
RETTANGOLI, se un angolo è retto.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Triangolo
Si distinguono i triangoli in:
ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente:
congruenti);
EQUILATERI, se tutti e tre i lati uguali;
SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa.
ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti;
OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso;
RETTANGOLI, se un angolo è retto.
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Triangolo
Si distinguono i triangoli in:
ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente:
congruenti);
EQUILATERI, se tutti e tre i lati uguali;
SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa.
ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti;
OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso;
RETTANGOLI, se un angolo è retto.
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Triangolo
Si distinguono i triangoli in:
ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente:
congruenti);
EQUILATERI, se tutti e tre i lati uguali;
SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa.
ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti;
OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso;
RETTANGOLI, se un angolo è retto.
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Triangolo
Si distinguono i triangoli in:
ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente:
congruenti);
EQUILATERI, se tutti e tre i lati uguali;
SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa.
ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti;
OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso;
RETTANGOLI, se un angolo è retto.
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Triangolo
Si distinguono i triangoli in:
ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente:
congruenti);
EQUILATERI, se tutti e tre i lati uguali;
SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa.
ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti;
OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso;
RETTANGOLI, se un angolo è retto.
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Triangolo
Si distinguono i triangoli in:
ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente:
congruenti);
EQUILATERI, se tutti e tre i lati uguali;
SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa.
ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti;
OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso;
RETTANGOLI, se un angolo è retto.
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Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
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Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
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Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
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Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
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Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
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Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
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Punti Notevoli di un triangolo
Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente
(formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
Gli assi partono dal punto medio di un segmento in modo
perpendicolare.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Triangoli Simili
Se due triangoli hanno lati corrispondenti proporzionali ed angoli
ordinatamente uguali, essi sono simili.
Criteri di Similitudine
Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali;
Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra lati
proporzionali;
Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente
proporzionali.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Triangoli Simili
Se due triangoli hanno lati corrispondenti proporzionali ed angoli
ordinatamente uguali, essi sono simili.
Criteri di Similitudine
Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali;
Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra lati
proporzionali;
Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente
proporzionali.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Triangoli Simili
Se due triangoli hanno lati corrispondenti proporzionali ed angoli
ordinatamente uguali, essi sono simili.
Criteri di Similitudine
Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali;
Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra lati
proporzionali;
Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente
proporzionali.
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Triangoli Simili
Se due triangoli hanno lati corrispondenti proporzionali ed angoli
ordinatamente uguali, essi sono simili.
Criteri di Similitudine
Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali;
Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra lati
proporzionali;
Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente
proporzionali.
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Triangoli Simili
Se due triangoli hanno lati corrispondenti proporzionali ed angoli
ordinatamente uguali, essi sono simili.
Criteri di Similitudine
Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali;
Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra lati
proporzionali;
Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente
proporzionali.
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Corollari
Tutti i triangoli equilateri sono simili fra loro;
Due triangoli isosceli sono simili se hanno l’angolo al vertice uguale
Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto
rispettivamente uguale, o quando i cateti dell’uno sono proporzionali
a quelli dell’altro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Corollari
Tutti i triangoli equilateri sono simili fra loro;
Due triangoli isosceli sono simili se hanno l’angolo al vertice uguale
Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto
rispettivamente uguale, o quando i cateti dell’uno sono proporzionali
a quelli dell’altro.
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Corollari
Tutti i triangoli equilateri sono simili fra loro;
Due triangoli isosceli sono simili se hanno l’angolo al vertice uguale
Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto
rispettivamente uguale, o quando i cateti dell’uno sono proporzionali
a quelli dell’altro.
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Corollari
Tutti i triangoli equilateri sono simili fra loro;
Due triangoli isosceli sono simili se hanno l’angolo al vertice uguale
Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto
rispettivamente uguale, o quando i cateti dell’uno sono proporzionali
a quelli dell’altro.
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Quadrilateri
I quadrilateri sono figure con quattro lati e quattro angoli.
Proprietà
La somma degli angoli interni è di 360◦ (2π radianti); in generale la
somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti
quanti sono i lati diminuiti di 2;
Le diagonali di un quadrilatero, ovvero i segmenti che uniscono due
vertici non consecutivi, sono sempre due.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Quadrilateri
I quadrilateri sono figure con quattro lati e quattro angoli.
Proprietà
La somma degli angoli interni è di 360◦ (2π radianti); in generale la
somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti
quanti sono i lati diminuiti di 2;
Le diagonali di un quadrilatero, ovvero i segmenti che uniscono due
vertici non consecutivi, sono sempre due.
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Quadrilateri
I quadrilateri sono figure con quattro lati e quattro angoli.
Proprietà
La somma degli angoli interni è di 360◦ (2π radianti); in generale la
somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti
quanti sono i lati diminuiti di 2;
Le diagonali di un quadrilatero, ovvero i segmenti che uniscono due
vertici non consecutivi, sono sempre due.
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Quadrilateri
I quadrilateri sono figure con quattro lati e quattro angoli.
Proprietà
La somma degli angoli interni è di 360◦ (2π radianti); in generale la
somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti
quanti sono i lati diminuiti di 2;
Le diagonali di un quadrilatero, ovvero i segmenti che uniscono due
vertici non consecutivi, sono sempre due.
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Quadrilateri
Classi particolari di quadrilateri sono:
i TRAPEZI: quadrilateri con due lati paralleli;
i PARALLELOGRAMMI: quadrilateri dove i lati opposti sono paralleli;
i RETTANGOLI: quadrilateri che hanno tutti gli angoli retti;
i ROMBI: quadrilateri che hanno tutti i lati uguali e quelli opposti sono
paralleli, in effetti esso risulta essere un particolare parallelogramma
con i lati uguali;
i QUADRATI: quadrilateri che sono ROMBI e RETTANGOLI
contemporaneamente.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Quadrilateri
Classi particolari di quadrilateri sono:
i TRAPEZI: quadrilateri con due lati paralleli;
i PARALLELOGRAMMI: quadrilateri dove i lati opposti sono paralleli;
i RETTANGOLI: quadrilateri che hanno tutti gli angoli retti;
i ROMBI: quadrilateri che hanno tutti i lati uguali e quelli opposti sono
paralleli, in effetti esso risulta essere un particolare parallelogramma
con i lati uguali;
i QUADRATI: quadrilateri che sono ROMBI e RETTANGOLI
contemporaneamente.
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Quadrilateri
Classi particolari di quadrilateri sono:
i TRAPEZI: quadrilateri con due lati paralleli;
i PARALLELOGRAMMI: quadrilateri dove i lati opposti sono paralleli;
i RETTANGOLI: quadrilateri che hanno tutti gli angoli retti;
i ROMBI: quadrilateri che hanno tutti i lati uguali e quelli opposti sono
paralleli, in effetti esso risulta essere un particolare parallelogramma
con i lati uguali;
i QUADRATI: quadrilateri che sono ROMBI e RETTANGOLI
contemporaneamente.
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Quadrilateri
Classi particolari di quadrilateri sono:
i TRAPEZI: quadrilateri con due lati paralleli;
i PARALLELOGRAMMI: quadrilateri dove i lati opposti sono paralleli;
i RETTANGOLI: quadrilateri che hanno tutti gli angoli retti;
i ROMBI: quadrilateri che hanno tutti i lati uguali e quelli opposti sono
paralleli, in effetti esso risulta essere un particolare parallelogramma
con i lati uguali;
i QUADRATI: quadrilateri che sono ROMBI e RETTANGOLI
contemporaneamente.
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Quadrilateri
Classi particolari di quadrilateri sono:
i TRAPEZI: quadrilateri con due lati paralleli;
i PARALLELOGRAMMI: quadrilateri dove i lati opposti sono paralleli;
i RETTANGOLI: quadrilateri che hanno tutti gli angoli retti;
i ROMBI: quadrilateri che hanno tutti i lati uguali e quelli opposti sono
paralleli, in effetti esso risulta essere un particolare parallelogramma
con i lati uguali;
i QUADRATI: quadrilateri che sono ROMBI e RETTANGOLI
contemporaneamente.
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Quadrilateri
Classi particolari di quadrilateri sono:
i TRAPEZI: quadrilateri con due lati paralleli;
i PARALLELOGRAMMI: quadrilateri dove i lati opposti sono paralleli;
i RETTANGOLI: quadrilateri che hanno tutti gli angoli retti;
i ROMBI: quadrilateri che hanno tutti i lati uguali e quelli opposti sono
paralleli, in effetti esso risulta essere un particolare parallelogramma
con i lati uguali;
i QUADRATI: quadrilateri che sono ROMBI e RETTANGOLI
contemporaneamente.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari
Un poligono regolare è un poligono in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono
uguali.
In pratica i poligoni sono: equilateri ed equiangoli.
Un poligono può essere equilatero senza essere equiangolo e viceversa.
il rombo è equilatero ma non è equiangolo;
il rettangolo è equiangolo ma non è equilatero.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari
Un poligono regolare è un poligono in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono
uguali.
In pratica i poligoni sono: equilateri ed equiangoli.
Un poligono può essere equilatero senza essere equiangolo e viceversa.
il rombo è equilatero ma non è equiangolo;
il rettangolo è equiangolo ma non è equilatero.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari
Un poligono regolare è un poligono in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono
uguali.
In pratica i poligoni sono: equilateri ed equiangoli.
Un poligono può essere equilatero senza essere equiangolo e viceversa.
il rombo è equilatero ma non è equiangolo;
il rettangolo è equiangolo ma non è equilatero.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari
Un poligono regolare è un poligono in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono
uguali.
In pratica i poligoni sono: equilateri ed equiangoli.
Un poligono può essere equilatero senza essere equiangolo e viceversa.
il rombo è equilatero ma non è equiangolo;
il rettangolo è equiangolo ma non è equilatero.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari: Esempi
triangolo equilatero;
quadrato;
pentagono regolare;
esagono regolare;
...
Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una
circonferenza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari: Esempi
triangolo equilatero;
quadrato;
pentagono regolare;
esagono regolare;
...
Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una
circonferenza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari: Esempi
triangolo equilatero;
quadrato;
pentagono regolare;
esagono regolare;
...
Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una
circonferenza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari: Esempi
triangolo equilatero;
quadrato;
pentagono regolare;
esagono regolare;
...
Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una
circonferenza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari: Esempi
triangolo equilatero;
quadrato;
pentagono regolare;
esagono regolare;
...
Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una
circonferenza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari: Esempi
triangolo equilatero;
quadrato;
pentagono regolare;
esagono regolare;
...
Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una
circonferenza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Poligoni regolari: Esempi
triangolo equilatero;
quadrato;
pentagono regolare;
esagono regolare;
...
Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una
circonferenza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti P di un piano che
sono equidistanti da un punto prefissato, C, detto centro.
La distanza tra ogni punto della circonferenza e il suo centro si
chiama raggio;
Ogni segmento che congiunge due punti distinti della circonferenza si
chiama corda;
Una qualsiasi corda passante per il centro si chiama diametro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti P di un piano che
sono equidistanti da un punto prefissato, C, detto centro.
La distanza tra ogni punto della circonferenza e il suo centro si
chiama raggio;
Ogni segmento che congiunge due punti distinti della circonferenza si
chiama corda;
Una qualsiasi corda passante per il centro si chiama diametro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti P di un piano che
sono equidistanti da un punto prefissato, C, detto centro.
La distanza tra ogni punto della circonferenza e il suo centro si
chiama raggio;
Ogni segmento che congiunge due punti distinti della circonferenza si
chiama corda;
Una qualsiasi corda passante per il centro si chiama diametro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti P di un piano che
sono equidistanti da un punto prefissato, C, detto centro.
La distanza tra ogni punto della circonferenza e il suo centro si
chiama raggio;
Ogni segmento che congiunge due punti distinti della circonferenza si
chiama corda;
Una qualsiasi corda passante per il centro si chiama diametro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
In una circonferenza una qualunque corda non passante per il centro
minore del diametro;
Se indichiamo con H il piede della perpendicolare condotta dal centro
C di una circonferenza ad una corda AB della stessa circonferenza
allora tale perpendicolare dimezza la corda;
Se due corde appartenenti alla stessa circonferenza sono isometriche
allora esse sono equidistanti dal centro della circonferenza;
Se due corde sono equidistanti dal centro della circonferenza allora
tali corde sono isometriche.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
In una circonferenza una qualunque corda non passante per il centro
minore del diametro;
Se indichiamo con H il piede della perpendicolare condotta dal centro
C di una circonferenza ad una corda AB della stessa circonferenza
allora tale perpendicolare dimezza la corda;
Se due corde appartenenti alla stessa circonferenza sono isometriche
allora esse sono equidistanti dal centro della circonferenza;
Se due corde sono equidistanti dal centro della circonferenza allora
tali corde sono isometriche.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
In una circonferenza una qualunque corda non passante per il centro
minore del diametro;
Se indichiamo con H il piede della perpendicolare condotta dal centro
C di una circonferenza ad una corda AB della stessa circonferenza
allora tale perpendicolare dimezza la corda;
Se due corde appartenenti alla stessa circonferenza sono isometriche
allora esse sono equidistanti dal centro della circonferenza;
Se due corde sono equidistanti dal centro della circonferenza allora
tali corde sono isometriche.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
In una circonferenza una qualunque corda non passante per il centro
minore del diametro;
Se indichiamo con H il piede della perpendicolare condotta dal centro
C di una circonferenza ad una corda AB della stessa circonferenza
allora tale perpendicolare dimezza la corda;
Se due corde appartenenti alla stessa circonferenza sono isometriche
allora esse sono equidistanti dal centro della circonferenza;
Se due corde sono equidistanti dal centro della circonferenza allora
tali corde sono isometriche.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
In una circonferenza una qualunque corda non passante per il centro
minore del diametro;
Se indichiamo con H il piede della perpendicolare condotta dal centro
C di una circonferenza ad una corda AB della stessa circonferenza
allora tale perpendicolare dimezza la corda;
Se due corde appartenenti alla stessa circonferenza sono isometriche
allora esse sono equidistanti dal centro della circonferenza;
Se due corde sono equidistanti dal centro della circonferenza allora
tali corde sono isometriche.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
Ogni angolo alla circonferenza è uguale alla metà del corrispondente
angolo al centro.
Corollari
Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo
rettangolo, la cui ipotenusa coincide con il diametro della
semicirconferenza;
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, o su
archi isometrici, sono uguali fra loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
Ogni angolo alla circonferenza è uguale alla metà del corrispondente
angolo al centro.
Corollari
Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo
rettangolo, la cui ipotenusa coincide con il diametro della
semicirconferenza;
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, o su
archi isometrici, sono uguali fra loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
Ogni angolo alla circonferenza è uguale alla metà del corrispondente
angolo al centro.
Corollari
Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo
rettangolo, la cui ipotenusa coincide con il diametro della
semicirconferenza;
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, o su
archi isometrici, sono uguali fra loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Circonferenza
Ogni angolo alla circonferenza è uguale alla metà del corrispondente
angolo al centro.
Corollari
Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo
rettangolo, la cui ipotenusa coincide con il diametro della
semicirconferenza;
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, o su
archi isometrici, sono uguali fra loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Perimetro e Area
Ad ogni figura piana si possono associare due valori numerici:
perimetro, che è pari alla somma delle misure dei lati della figura
piana;
area, che è la misura della superficie occupata dalla figura piana.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Perimetro e Area
Ad ogni figura piana si possono associare due valori numerici:
perimetro, che è pari alla somma delle misure dei lati della figura
piana;
area, che è la misura della superficie occupata dalla figura piana.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Perimetro e Area
Ad ogni figura piana si possono associare due valori numerici:
perimetro, che è pari alla somma delle misure dei lati della figura
piana;
area, che è la misura della superficie occupata dalla figura piana.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Perimetro e Area di Figure Piane
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Primo Teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo il quadrato avente come lato uno dei cateti è
equivalente (ha la stessa area) al rettangolo che ha per dimensioni
l’ipotenusa e la proiezione del predetto cateto sull’ipotenusa.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Teorema di Pitagora
Nell’enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituiti
da altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o anche figure
irregolari, purché simili tra loro.
Le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non
per forma. In altre parole, due figure simili sono l’una l’ingrandimento
dell’altra.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Secondo Teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa
all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figure Solide
Prismi;
Parallelepipedi;
Piramidi;
Cilindri;
Cono;
Sfera;
Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice REGOLARE quando le sue facce sono poligoni
regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figure Solide
Prismi;
Parallelepipedi;
Piramidi;
Cilindri;
Cono;
Sfera;
Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice REGOLARE quando le sue facce sono poligoni
regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figure Solide
Prismi;
Parallelepipedi;
Piramidi;
Cilindri;
Cono;
Sfera;
Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice REGOLARE quando le sue facce sono poligoni
regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figure Solide
Prismi;
Parallelepipedi;
Piramidi;
Cilindri;
Cono;
Sfera;
Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice REGOLARE quando le sue facce sono poligoni
regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figure Solide
Prismi;
Parallelepipedi;
Piramidi;
Cilindri;
Cono;
Sfera;
Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice REGOLARE quando le sue facce sono poligoni
regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figure Solide
Prismi;
Parallelepipedi;
Piramidi;
Cilindri;
Cono;
Sfera;
Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice REGOLARE quando le sue facce sono poligoni
regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figure Solide
Prismi;
Parallelepipedi;
Piramidi;
Cilindri;
Cono;
Sfera;
Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice REGOLARE quando le sue facce sono poligoni
regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figure Solide
Prismi;
Parallelepipedi;
Piramidi;
Cilindri;
Cono;
Sfera;
Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice REGOLARE quando le sue facce sono poligoni
regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Figure Solide
Prismi;
Parallelepipedi;
Piramidi;
Cilindri;
Cono;
Sfera;
Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice REGOLARE quando le sue facce sono poligoni
regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Domande
1
Quanti angoli retti o ottusi ci possono essere al massimo in un
triangolo?
2
Quanti poligoni regolari esistono?
3
Quanti poliedri regolari esistono?
Risposte
1
1.
2
Infiniti.
3
Solo 5.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Domande
1
Quanti angoli retti o ottusi ci possono essere al massimo in un
triangolo?
2
Quanti poligoni regolari esistono?
3
Quanti poliedri regolari esistono?
Risposte
1
1.
2
Infiniti.
3
Solo 5.
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Domande
1
Quanti angoli retti o ottusi ci possono essere al massimo in un
triangolo?
2
Quanti poligoni regolari esistono?
3
Quanti poliedri regolari esistono?
Risposte
1
1.
2
Infiniti.
3
Solo 5.
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Domande
1
Quanti angoli retti o ottusi ci possono essere al massimo in un
triangolo?
2
Quanti poligoni regolari esistono?
3
Quanti poliedri regolari esistono?
Risposte
1
1.
2
Infiniti.
3
Solo 5.
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Domande
1
Quanti angoli retti o ottusi ci possono essere al massimo in un
triangolo?
2
Quanti poligoni regolari esistono?
3
Quanti poliedri regolari esistono?
Risposte
1
1.
2
Infiniti.
3
Solo 5.
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Domande
1
Quanti angoli retti o ottusi ci possono essere al massimo in un
triangolo?
2
Quanti poligoni regolari esistono?
3
Quanti poliedri regolari esistono?
Risposte
1
1.
2
Infiniti.
3
Solo 5.
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Domande
1
Quanti angoli retti o ottusi ci possono essere al massimo in un
triangolo?
2
Quanti poligoni regolari esistono?
3
Quanti poliedri regolari esistono?
Risposte
1
1.
2
Infiniti.
3
Solo 5.
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Domande
1
Quanti angoli retti o ottusi ci possono essere al massimo in un
triangolo?
2
Quanti poligoni regolari esistono?
3
Quanti poliedri regolari esistono?
Risposte
1
1.
2
Infiniti.
3
Solo 5.
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Solidi Platonici
Esistono solo cinque tipi di poliedri regolari noti come Solidi Platonici.
Tetraedro regolare: 4 facce triangolari;
Ottaedro regolare: 8 facce triangolari;
Icosaedro regolare: 20 facce triangolari;
Esaedro regolare o cubo: 6 facce quadrate;
Dodecaedro regolare: 12 facce pentagonali.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Solidi Platonici
Esistono solo cinque tipi di poliedri regolari noti come Solidi Platonici.
Tetraedro regolare: 4 facce triangolari;
Ottaedro regolare: 8 facce triangolari;
Icosaedro regolare: 20 facce triangolari;
Esaedro regolare o cubo: 6 facce quadrate;
Dodecaedro regolare: 12 facce pentagonali.
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Solidi Platonici
Esistono solo cinque tipi di poliedri regolari noti come Solidi Platonici.
Tetraedro regolare: 4 facce triangolari;
Ottaedro regolare: 8 facce triangolari;
Icosaedro regolare: 20 facce triangolari;
Esaedro regolare o cubo: 6 facce quadrate;
Dodecaedro regolare: 12 facce pentagonali.
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Solidi Platonici
Esistono solo cinque tipi di poliedri regolari noti come Solidi Platonici.
Tetraedro regolare: 4 facce triangolari;
Ottaedro regolare: 8 facce triangolari;
Icosaedro regolare: 20 facce triangolari;
Esaedro regolare o cubo: 6 facce quadrate;
Dodecaedro regolare: 12 facce pentagonali.
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Solidi Platonici
Esistono solo cinque tipi di poliedri regolari noti come Solidi Platonici.
Tetraedro regolare: 4 facce triangolari;
Ottaedro regolare: 8 facce triangolari;
Icosaedro regolare: 20 facce triangolari;
Esaedro regolare o cubo: 6 facce quadrate;
Dodecaedro regolare: 12 facce pentagonali.
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Solidi Platonici
Esistono solo cinque tipi di poliedri regolari noti come Solidi Platonici.
Tetraedro regolare: 4 facce triangolari;
Ottaedro regolare: 8 facce triangolari;
Icosaedro regolare: 20 facce triangolari;
Esaedro regolare o cubo: 6 facce quadrate;
Dodecaedro regolare: 12 facce pentagonali.
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Volume di solidi elementari
Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo.
Formule
Volume del Cubo: V = s3 , dove s è la lunghezza dei lati;
Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a · b · c dove a, b, c
sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; per i
prismi generici il volume V = Ab h, dove Ab indica l’area di base e h
l’altezza;
Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 13 πr 2 h;
Volume della Sfera di raggio r : V = 43 π · r 3 ;
Volume della Piramide V = 31 A · h, dove A è l’area di base ed h
l’altezza.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Volume di solidi elementari
Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo.
Formule
Volume del Cubo: V = s3 , dove s è la lunghezza dei lati;
Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a · b · c dove a, b, c
sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; per i
prismi generici il volume V = Ab h, dove Ab indica l’area di base e h
l’altezza;
Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 13 πr 2 h;
Volume della Sfera di raggio r : V = 43 π · r 3 ;
Volume della Piramide V = 31 A · h, dove A è l’area di base ed h
l’altezza.
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Volume di solidi elementari
Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo.
Formule
Volume del Cubo: V = s3 , dove s è la lunghezza dei lati;
Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a · b · c dove a, b, c
sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; per i
prismi generici il volume V = Ab h, dove Ab indica l’area di base e h
l’altezza;
Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 13 πr 2 h;
Volume della Sfera di raggio r : V = 43 π · r 3 ;
Volume della Piramide V = 31 A · h, dove A è l’area di base ed h
l’altezza.
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Volume di solidi elementari
Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo.
Formule
Volume del Cubo: V = s3 , dove s è la lunghezza dei lati;
Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a · b · c dove a, b, c
sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; per i
prismi generici il volume V = Ab h, dove Ab indica l’area di base e h
l’altezza;
Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 13 πr 2 h;
Volume della Sfera di raggio r : V = 43 π · r 3 ;
Volume della Piramide V = 31 A · h, dove A è l’area di base ed h
l’altezza.
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Volume di solidi elementari
Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo.
Formule
Volume del Cubo: V = s3 , dove s è la lunghezza dei lati;
Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a · b · c dove a, b, c
sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; per i
prismi generici il volume V = Ab h, dove Ab indica l’area di base e h
l’altezza;
Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 13 πr 2 h;
Volume della Sfera di raggio r : V = 43 π · r 3 ;
Volume della Piramide V = 31 A · h, dove A è l’area di base ed h
l’altezza.
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Volume di solidi elementari
Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo.
Formule
Volume del Cubo: V = s3 , dove s è la lunghezza dei lati;
Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a · b · c dove a, b, c
sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; per i
prismi generici il volume V = Ab h, dove Ab indica l’area di base e h
l’altezza;
Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 13 πr 2 h;
Volume della Sfera di raggio r : V = 43 π · r 3 ;
Volume della Piramide V = 31 A · h, dove A è l’area di base ed h
l’altezza.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Volume di solidi elementari
Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo.
Formule
Volume del Cubo: V = s3 , dove s è la lunghezza dei lati;
Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a · b · c dove a, b, c
sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; per i
prismi generici il volume V = Ab h, dove Ab indica l’area di base e h
l’altezza;
Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 13 πr 2 h;
Volume della Sfera di raggio r : V = 43 π · r 3 ;
Volume della Piramide V = 31 A · h, dove A è l’area di base ed h
l’altezza.
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Piano cartesiano
Prendiamo nel piano due rette orientate (asse x e asse y ) tra di loro
perpendicolari e indichiamo con O il loro punto di intersezione;
Fissiamo una unità di misura u.
Tale piano viene detto Piano Cartesiano Ortogonale.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Piano cartesiano
Prendiamo nel piano due rette orientate (asse x e asse y ) tra di loro
perpendicolari e indichiamo con O il loro punto di intersezione;
Fissiamo una unità di misura u.
Tale piano viene detto Piano Cartesiano Ortogonale.
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Piano cartesiano
Prendiamo nel piano due rette orientate (asse x e asse y ) tra di loro
perpendicolari e indichiamo con O il loro punto di intersezione;
Fissiamo una unità di misura u.
Tale piano viene detto Piano Cartesiano Ortogonale.
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Piano cartesiano
Prendiamo nel piano due rette orientate (asse x e asse y ) tra di loro
perpendicolari e indichiamo con O il loro punto di intersezione;
Fissiamo una unità di misura u.
Tale piano viene detto Piano Cartesiano Ortogonale.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Piano cartesiano
Un punto qualsiasi P del piano sarà individuato da due numeri
(x1 , y1 ):
x1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse x e l’asse
x stesso;
y1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse y e l’asse
y stesso;
I numeri reali x1 , y1 sono le coordinate cartesiane del punto P
(rispettivamente: ascissa e ordinata del punto P);
I due assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti (Il primo
quadrante è quello dei punti con entrambe le coordinate positive; gli
altri nell’ordine si susseguono ruotando in senso antiorario).
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Piano cartesiano
Un punto qualsiasi P del piano sarà individuato da due numeri
(x1 , y1 ):
x1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse x e l’asse
x stesso;
y1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse y e l’asse
y stesso;
I numeri reali x1 , y1 sono le coordinate cartesiane del punto P
(rispettivamente: ascissa e ordinata del punto P);
I due assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti (Il primo
quadrante è quello dei punti con entrambe le coordinate positive; gli
altri nell’ordine si susseguono ruotando in senso antiorario).
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Piano cartesiano
Un punto qualsiasi P del piano sarà individuato da due numeri
(x1 , y1 ):
x1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse x e l’asse
x stesso;
y1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse y e l’asse
y stesso;
I numeri reali x1 , y1 sono le coordinate cartesiane del punto P
(rispettivamente: ascissa e ordinata del punto P);
I due assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti (Il primo
quadrante è quello dei punti con entrambe le coordinate positive; gli
altri nell’ordine si susseguono ruotando in senso antiorario).
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Piano cartesiano
Un punto qualsiasi P del piano sarà individuato da due numeri
(x1 , y1 ):
x1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse x e l’asse
x stesso;
y1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse y e l’asse
y stesso;
I numeri reali x1 , y1 sono le coordinate cartesiane del punto P
(rispettivamente: ascissa e ordinata del punto P);
I due assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti (Il primo
quadrante è quello dei punti con entrambe le coordinate positive; gli
altri nell’ordine si susseguono ruotando in senso antiorario).
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Piano cartesiano
Un punto qualsiasi P del piano sarà individuato da due numeri
(x1 , y1 ):
x1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse x e l’asse
x stesso;
y1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse y e l’asse
y stesso;
I numeri reali x1 , y1 sono le coordinate cartesiane del punto P
(rispettivamente: ascissa e ordinata del punto P);
I due assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti (Il primo
quadrante è quello dei punti con entrambe le coordinate positive; gli
altri nell’ordine si susseguono ruotando in senso antiorario).
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Piano cartesiano
Un punto qualsiasi P del piano sarà individuato da due numeri
(x1 , y1 ):
x1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse x e l’asse
x stesso;
y1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto
di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse y e l’asse
y stesso;
I numeri reali x1 , y1 sono le coordinate cartesiane del punto P
(rispettivamente: ascissa e ordinata del punto P);
I due assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti (Il primo
quadrante è quello dei punti con entrambe le coordinate positive; gli
altri nell’ordine si susseguono ruotando in senso antiorario).
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Distanza tra due punti
Considerati due punti P≡ (x1 , y1 ) e Q≡ (x2 , y2 ), per determinare la
distanza fra due punti si ha la seguente formula che deriva dal Teorema di
Pitagora:
q
d=
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
vale a dire:
In coordinate ortogonali la distanza di due punti è data dalla radice
quadrata della somma dei quadrati delle differenze tra le coordinate
omologhe.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Distanza tra due punti
La distanza di un punto P≡ (x1 , y1 ) dall’origine è data da
q
OP = x12 + y12
cioè è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle
coordinate.
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Retta
La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che
si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più
niente).
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
Per due punti passa una e una sola retta;
Domanda: Cosa è più facile: disegnare una retta o una
circonferenza?
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Retta
La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che
si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più
niente).
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
Per due punti passa una e una sola retta;
Domanda: Cosa è più facile: disegnare una retta o una
circonferenza?
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Retta
La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che
si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più
niente).
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
Per due punti passa una e una sola retta;
Domanda: Cosa è più facile: disegnare una retta o una
circonferenza?
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Retta
La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che
si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più
niente).
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
Per due punti passa una e una sola retta;
Domanda: Cosa è più facile: disegnare una retta o una
circonferenza?
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Retta
La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che
si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più
niente).
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
Per due punti passa una e una sola retta;
Domanda: Cosa è più facile: disegnare una retta o una
circonferenza?
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Retta
La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che
si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più
niente).
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
Per due punti passa una e una sola retta;
Domanda: Cosa è più facile: disegnare una retta o una
circonferenza?
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Retta
La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che
si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più
niente).
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
Per due punti passa una e una sola retta;
Domanda: Cosa è più facile: disegnare una retta o una
circonferenza?
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Retta
La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che
si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più
niente).
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
Per due punti passa una e una sola retta;
Domanda: Cosa è più facile: disegnare una retta o una
circonferenza?
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Retta
La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
Due rette nel piano possono essere:
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che
si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più
niente).
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
Per due punti passa una e una sola retta;
Domanda: Cosa è più facile: disegnare una retta o una
circonferenza?
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Equazione della retta
Ogni retta è rappresentata da una equazione di primo grado in due
variabili (x e y ).
Equazione della retta in forma implicita
ax + by + c = 0
dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non
contemporaneamente nulli.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Equazione della retta
Ogni retta è rappresentata da una equazione di primo grado in due
variabili (x e y ).
Equazione della retta in forma implicita
ax + by + c = 0
dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non
contemporaneamente nulli.
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Equazione della retta
Ogni retta è rappresentata da una equazione di primo grado in due
variabili (x e y ).
Equazione della retta in forma implicita
ax + by + c = 0
dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non
contemporaneamente nulli.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Retta
Se b 6= 0 oppure a 6= 0 , è possibile descrivere la stessa retta in
forma esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:
y = mx + q,
oppure x = m0 y + q 0 ,
dove
a
b
m = − , m0 = −
b
a
è il coefficiente angolare (rispetto all’asse x o all’asse y ) e quantifica
la pendenza della retta.
Nell’eq. y = mx +q il coefficiente angolare m
è la tangente trigonometrica dell’angolo che
la retta forma con il semiasse positivo delle
x. Il coefficiente q (l’intercetta) l’ordinata del
punto di intersezione con l’asse y .
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Retta
Se b 6= 0 oppure a 6= 0 , è possibile descrivere la stessa retta in
forma esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:
y = mx + q,
oppure x = m0 y + q 0 ,
dove
a
b
m = − , m0 = −
b
a
è il coefficiente angolare (rispetto all’asse x o all’asse y ) e quantifica
la pendenza della retta.
Nell’eq. y = mx +q il coefficiente angolare m
è la tangente trigonometrica dell’angolo che
la retta forma con il semiasse positivo delle
x. Il coefficiente q (l’intercetta) l’ordinata del
punto di intersezione con l’asse y .
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Retta
Se b 6= 0 oppure a 6= 0 , è possibile descrivere la stessa retta in
forma esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:
y = mx + q,
oppure x = m0 y + q 0 ,
dove
a
b
m = − , m0 = −
b
a
è il coefficiente angolare (rispetto all’asse x o all’asse y ) e quantifica
la pendenza della retta.
Nell’eq. y = mx +q il coefficiente angolare m
è la tangente trigonometrica dell’angolo che
la retta forma con il semiasse positivo delle
x. Il coefficiente q (l’intercetta) l’ordinata del
punto di intersezione con l’asse y .
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Retta: Esempi
Consideriamo la retta
y = x − 1.
(1)
Tutti i punti di questa retta godono di avere per coordinate le coppie di
numeri
(x, x − 1),
per ogni scelta di x.
Cioè, coppie di numeri che, sostituiti ordinatamente al posto delle variabili
x e y nella equazione (1), soddisfano l’equazione stessa.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Retta: Proprietà
Assegnata quindi una retta
ax + by + c = 0
i punti del piano cartesiano rimangono suddivisi in 3 insiemi, per
semplicità chiamiamoli A, B, C, che sono rispettivamente
A = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c = 0}
B = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c > 0}
C = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c < 0}
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Retta: Proprietà
Assegnata quindi una retta
ax + by + c = 0
i punti del piano cartesiano rimangono suddivisi in 3 insiemi, per
semplicità chiamiamoli A, B, C, che sono rispettivamente
A = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c = 0}
B = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c > 0}
C = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c < 0}
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Retta: Proprietà
Assegnata quindi una retta
ax + by + c = 0
i punti del piano cartesiano rimangono suddivisi in 3 insiemi, per
semplicità chiamiamoli A, B, C, che sono rispettivamente
A = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c = 0}
B = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c > 0}
C = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c < 0}
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Retta: Proprietà
Assegnata quindi una retta
ax + by + c = 0
i punti del piano cartesiano rimangono suddivisi in 3 insiemi, per
semplicità chiamiamoli A, B, C, che sono rispettivamente
A = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c = 0}
B = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c > 0}
C = {P ≡ (x, y ) : ax + by + c < 0}
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In figura. . .
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Retta per due punti
Dati due punti di coordinate (x1 , y1 ) (x2 , y2 ), per essi passa una ed una
sola retta!
L’equazione della retta passante per essi è:
x − x1
y − y1
=
.
x2 − x1
y2 − y1
Questa formula rappresenta il modo più pratico per scrivere l’equazione
della retta, non parallela ad alcun asse coordinato, passante per i punti
suddetti.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Rette
Date due rette, r , di equazione y = mx + p, ed r 0 , di equazione
y = m0 x + p0 , allora
condizione di parallelismo: m = m0 ;
condizione di perpendicolarità m · m0 = −1.
Fascio di rette
Tutte le rette passanti per un punto P ≡ (x0 , y0 ) (fascio di rette) hanno
equazione
y − y0 = m(x − x0 ).
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Rette
Date due rette, r , di equazione y = mx + p, ed r 0 , di equazione
y = m0 x + p0 , allora
condizione di parallelismo: m = m0 ;
condizione di perpendicolarità m · m0 = −1.
Fascio di rette
Tutte le rette passanti per un punto P ≡ (x0 , y0 ) (fascio di rette) hanno
equazione
y − y0 = m(x − x0 ).
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Rette
Date due rette, r , di equazione y = mx + p, ed r 0 , di equazione
y = m0 x + p0 , allora
condizione di parallelismo: m = m0 ;
condizione di perpendicolarità m · m0 = −1.
Fascio di rette
Tutte le rette passanti per un punto P ≡ (x0 , y0 ) (fascio di rette) hanno
equazione
y − y0 = m(x − x0 ).
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Rette
Date due rette, r , di equazione y = mx + p, ed r 0 , di equazione
y = m0 x + p0 , allora
condizione di parallelismo: m = m0 ;
condizione di perpendicolarità m · m0 = −1.
Fascio di rette
Tutte le rette passanti per un punto P ≡ (x0 , y0 ) (fascio di rette) hanno
equazione
y − y0 = m(x − x0 ).
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Intersezione tra due rette
Date due rette, di equazione
ax + by + c = 0,
a0 x + b 0 y + c 0 = 0
che non sono parallele (il che analiticamente corrisponde alla condizione
a · b0 − a0 · b 6= 0), il loro punto di intersezione si trova risolvendo il sistema
lineare
ax + by + c = 0,
a0 x + b0 y + c 0 = 0,
che è determinato e ha un’unica soluzione.
Nel caso di rette parallele si ha un sistema indeterminato (le due
equazioni identificano la stessa retta) o impossibile (le due equazioni
identificano due rette parallele ma distinte).
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Intersezione tra due rette
Date due rette, di equazione
ax + by + c = 0,
a0 x + b 0 y + c 0 = 0
che non sono parallele (il che analiticamente corrisponde alla condizione
a · b0 − a0 · b 6= 0), il loro punto di intersezione si trova risolvendo il sistema
lineare
ax + by + c = 0,
a0 x + b0 y + c 0 = 0,
che è determinato e ha un’unica soluzione.
Nel caso di rette parallele si ha un sistema indeterminato (le due
equazioni identificano la stessa retta) o impossibile (le due equazioni
identificano due rette parallele ma distinte).
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Casi particolari
Retta parallela all’asse delle ordinate
x = k,
(per k = 0 si ha l’asse y )
Retta parallela all’asse delle ascisse
y = k,
(per k = 0 si ha l’asse x)
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Casi particolari
Retta parallela all’asse delle ordinate
x = k,
(per k = 0 si ha l’asse y )
Retta parallela all’asse delle ascisse
y = k,
(per k = 0 si ha l’asse x)
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Casi particolari
Retta parallela all’asse delle ordinate
x = k,
(per k = 0 si ha l’asse y )
Retta parallela all’asse delle ascisse
y = k,
(per k = 0 si ha l’asse x)
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Casi particolari
Retta passante per l’origine
y = mx;
se m = 1, si ha la bisettrice del primo e terzo quadrante;
se m = −1, si ha la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
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Casi particolari
Retta passante per l’origine
y = mx;
se m = 1, si ha la bisettrice del primo e terzo quadrante;
se m = −1, si ha la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
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Casi particolari
Retta passante per l’origine
y = mx;
se m = 1, si ha la bisettrice del primo e terzo quadrante;
se m = −1, si ha la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
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Retta perpendicolare
Data la retta r di equazione
ax + by + c = 0,
e un punto P ≡ (x0 , y0 ), la retta r 0 di equazione
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0,
è perpendicolare alla retta r e passa per P.
Infatti:
l’equazione della retta r 0 è identicamente soddisfatta per x = x0 e
y = y0 ;
è perpendicolare alla retta r in quanto il prodotto dei rispettivi
coefficienti angolari è −1.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Retta perpendicolare
Data la retta r di equazione
ax + by + c = 0,
e un punto P ≡ (x0 , y0 ), la retta r 0 di equazione
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0,
è perpendicolare alla retta r e passa per P.
Infatti:
l’equazione della retta r 0 è identicamente soddisfatta per x = x0 e
y = y0 ;
è perpendicolare alla retta r in quanto il prodotto dei rispettivi
coefficienti angolari è −1.
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Retta perpendicolare
Data la retta r di equazione
ax + by + c = 0,
e un punto P ≡ (x0 , y0 ), la retta r 0 di equazione
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0,
è perpendicolare alla retta r e passa per P.
Infatti:
l’equazione della retta r 0 è identicamente soddisfatta per x = x0 e
y = y0 ;
è perpendicolare alla retta r in quanto il prodotto dei rispettivi
coefficienti angolari è −1.
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Retta perpendicolare
Data la retta r di equazione
ax + by + c = 0,
e un punto P ≡ (x0 , y0 ), la retta r 0 di equazione
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0,
è perpendicolare alla retta r e passa per P.
Infatti:
l’equazione della retta r 0 è identicamente soddisfatta per x = x0 e
y = y0 ;
è perpendicolare alla retta r in quanto il prodotto dei rispettivi
coefficienti angolari è −1.
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Distanza di un punto dalla retta
Preso un punto P ≡ (x0 , y0 ), e una retta r di equazione ax + by + c = 0,
la distanza di P da r è la distanza tra il punto P e l’intersezione tra la retta
r e la perpendicolare alla retta r passante per il punto P. In formule:
d(P, r ) =
|ax0 + by0 + c|
√
.
a2 + b 2
La formula si ricava con i seguenti passi:
si scrive l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla
retta r :
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0;
si determina il punto Q di intersezione tra questa retta e la retta r ;
si calcola la distanza tra P e Q.
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Distanza di un punto dalla retta
Preso un punto P ≡ (x0 , y0 ), e una retta r di equazione ax + by + c = 0,
la distanza di P da r è la distanza tra il punto P e l’intersezione tra la retta
r e la perpendicolare alla retta r passante per il punto P. In formule:
d(P, r ) =
|ax0 + by0 + c|
√
.
a2 + b 2
La formula si ricava con i seguenti passi:
si scrive l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla
retta r :
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0;
si determina il punto Q di intersezione tra questa retta e la retta r ;
si calcola la distanza tra P e Q.
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Distanza di un punto dalla retta
Preso un punto P ≡ (x0 , y0 ), e una retta r di equazione ax + by + c = 0,
la distanza di P da r è la distanza tra il punto P e l’intersezione tra la retta
r e la perpendicolare alla retta r passante per il punto P. In formule:
d(P, r ) =
|ax0 + by0 + c|
√
.
a2 + b 2
La formula si ricava con i seguenti passi:
si scrive l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla
retta r :
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0;
si determina il punto Q di intersezione tra questa retta e la retta r ;
si calcola la distanza tra P e Q.
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Distanza di un punto dalla retta
Preso un punto P ≡ (x0 , y0 ), e una retta r di equazione ax + by + c = 0,
la distanza di P da r è la distanza tra il punto P e l’intersezione tra la retta
r e la perpendicolare alla retta r passante per il punto P. In formule:
d(P, r ) =
|ax0 + by0 + c|
√
.
a2 + b 2
La formula si ricava con i seguenti passi:
si scrive l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla
retta r :
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0;
si determina il punto Q di intersezione tra questa retta e la retta r ;
si calcola la distanza tra P e Q.
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Distanza di un punto dalla retta
Preso un punto P ≡ (x0 , y0 ), e una retta r di equazione ax + by + c = 0,
la distanza di P da r è la distanza tra il punto P e l’intersezione tra la retta
r e la perpendicolare alla retta r passante per il punto P. In formule:
d(P, r ) =
|ax0 + by0 + c|
√
.
a2 + b 2
La formula si ricava con i seguenti passi:
si scrive l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla
retta r :
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0;
si determina il punto Q di intersezione tra questa retta e la retta r ;
si calcola la distanza tra P e Q.
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Esercizio
Calcolare perimetro e area dei triangoli di vertici:
A ≡ (3, −5), B ≡ (3, 4), C ≡ (−1, 7);
A ≡ (2, 3), B ≡ (1, 0), C ≡ (0, 1);
A ≡ (−1, 4), B ≡ (−1, 0), C ≡ (3, 0).
È sufficiente calcolare la distanza tra A e B (base) e la distanza tra C e la
retta passante per A e B (altezza). Il semiprodotto di base e altezza
fornisce l’area. Trovando la distanza tra B e C, e la distanza tra A e C
possiamo calcolare il perimetro.
Noto il perimetro, potremmo calcolare l’area con la formula di Erone:
p
A = p(p − a)(p − b)(p − c),
dove p è il semiperimetro, e a, b, c i tre lati.
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Esercizio
Calcolare perimetro e area dei triangoli di vertici:
A ≡ (3, −5), B ≡ (3, 4), C ≡ (−1, 7);
A ≡ (2, 3), B ≡ (1, 0), C ≡ (0, 1);
A ≡ (−1, 4), B ≡ (−1, 0), C ≡ (3, 0).
È sufficiente calcolare la distanza tra A e B (base) e la distanza tra C e la
retta passante per A e B (altezza). Il semiprodotto di base e altezza
fornisce l’area. Trovando la distanza tra B e C, e la distanza tra A e C
possiamo calcolare il perimetro.
Noto il perimetro, potremmo calcolare l’area con la formula di Erone:
p
A = p(p − a)(p − b)(p − c),
dove p è il semiperimetro, e a, b, c i tre lati.
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Esercizio
Calcolare perimetro e area dei triangoli di vertici:
A ≡ (3, −5), B ≡ (3, 4), C ≡ (−1, 7);
A ≡ (2, 3), B ≡ (1, 0), C ≡ (0, 1);
A ≡ (−1, 4), B ≡ (−1, 0), C ≡ (3, 0).
È sufficiente calcolare la distanza tra A e B (base) e la distanza tra C e la
retta passante per A e B (altezza). Il semiprodotto di base e altezza
fornisce l’area. Trovando la distanza tra B e C, e la distanza tra A e C
possiamo calcolare il perimetro.
Noto il perimetro, potremmo calcolare l’area con la formula di Erone:
p
A = p(p − a)(p − b)(p − c),
dove p è il semiperimetro, e a, b, c i tre lati.
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Esercizio
Calcolare perimetro e area dei triangoli di vertici:
A ≡ (3, −5), B ≡ (3, 4), C ≡ (−1, 7);
A ≡ (2, 3), B ≡ (1, 0), C ≡ (0, 1);
A ≡ (−1, 4), B ≡ (−1, 0), C ≡ (3, 0).
È sufficiente calcolare la distanza tra A e B (base) e la distanza tra C e la
retta passante per A e B (altezza). Il semiprodotto di base e altezza
fornisce l’area. Trovando la distanza tra B e C, e la distanza tra A e C
possiamo calcolare il perimetro.
Noto il perimetro, potremmo calcolare l’area con la formula di Erone:
p
A = p(p − a)(p − b)(p − c),
dove p è il semiperimetro, e a, b, c i tre lati.
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Esercizio
Calcolare perimetro e area dei triangoli di vertici:
A ≡ (3, −5), B ≡ (3, 4), C ≡ (−1, 7);
A ≡ (2, 3), B ≡ (1, 0), C ≡ (0, 1);
A ≡ (−1, 4), B ≡ (−1, 0), C ≡ (3, 0).
È sufficiente calcolare la distanza tra A e B (base) e la distanza tra C e la
retta passante per A e B (altezza). Il semiprodotto di base e altezza
fornisce l’area. Trovando la distanza tra B e C, e la distanza tra A e C
possiamo calcolare il perimetro.
Noto il perimetro, potremmo calcolare l’area con la formula di Erone:
p
A = p(p − a)(p − b)(p − c),
dove p è il semiperimetro, e a, b, c i tre lati.
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Esercizio
Determinare il valore di k per cui,
√ dati i punti A ≡ (2k − 1, 3k − 5) e
B ≡ (k − 2, 2k − 6), sia AB = 2 2
Si ha:
AB =
=
=
q
(xB − xA )2 + (yB − yA )2
q
(k − 2 − 2k + 1)2 + (2k − 6 − 3k + 5)2
√
(k + 1)2 + (k + 1)2 = |k + 1| 2.
q
Dovendo essere:
√
√
|k + 1| 2 = 2 2 ⇒ |k + 1| = 2 ⇒ k + 1 = ±2 ⇒ k = 1 o k = −3.
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Esercizio
Determinare il valore di k per cui,
√ dati i punti A ≡ (2k − 1, 3k − 5) e
B ≡ (k − 2, 2k − 6), sia AB = 2 2
Si ha:
AB =
=
=
q
(xB − xA )2 + (yB − yA )2
q
(k − 2 − 2k + 1)2 + (2k − 6 − 3k + 5)2
√
(k + 1)2 + (k + 1)2 = |k + 1| 2.
q
Dovendo essere:
√
√
|k + 1| 2 = 2 2 ⇒ |k + 1| = 2 ⇒ k + 1 = ±2 ⇒ k = 1 o k = −3.
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Baricentro di un triangolo
Le cordinate del baricentro di un triangolo sono date dalle medie
aritmetiche delle rispettive coordinate dei suoi tre vertici.
Esercizio
Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo OAB di vertici
O ≡ (0, 0), A ≡ (3, 2), B ≡ (6, −4)
Le coordinate del baricentro sono date da:
xG =
0+3+6
3
yG =
⇓
2
G ≡ (3, − )
3
0+2−4
3
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Baricentro di un triangolo
Le cordinate del baricentro di un triangolo sono date dalle medie
aritmetiche delle rispettive coordinate dei suoi tre vertici.
Esercizio
Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo OAB di vertici
O ≡ (0, 0), A ≡ (3, 2), B ≡ (6, −4)
Le coordinate del baricentro sono date da:
xG =
0+3+6
3
yG =
⇓
2
G ≡ (3, − )
3
0+2−4
3
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Baricentro di un triangolo
Le cordinate del baricentro di un triangolo sono date dalle medie
aritmetiche delle rispettive coordinate dei suoi tre vertici.
Esercizio
Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo OAB di vertici
O ≡ (0, 0), A ≡ (3, 2), B ≡ (6, −4)
Le coordinate del baricentro sono date da:
xG =
0+3+6
3
yG =
⇓
2
G ≡ (3, − )
3
0+2−4
3
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Esercizio
Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per i punti:
A = (2, − 34 ), B = ( 12 , 85 );
A = (−5, 4), B = (1, 4);
A = (1, −3), B = (1, 1);
Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x1 , y1 ) e
A = (x2 , y2 ) è dato da:
y2 − y1
m=
x2 − x1
purché x1 6= x2 . Si ha quindi:
m=
. . . al resto pensateci voi!
5
8
1
2
+
3
4
−2
=
11
8
− 32
=−
11
12
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Esercizio
Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per i punti:
A = (2, − 34 ), B = ( 12 , 85 );
A = (−5, 4), B = (1, 4);
A = (1, −3), B = (1, 1);
Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x1 , y1 ) e
A = (x2 , y2 ) è dato da:
y2 − y1
m=
x2 − x1
purché x1 6= x2 . Si ha quindi:
m=
. . . al resto pensateci voi!
5
8
1
2
+
3
4
−2
=
11
8
− 32
=−
11
12
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Esercizio
Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per i punti:
A = (2, − 34 ), B = ( 12 , 85 );
A = (−5, 4), B = (1, 4);
A = (1, −3), B = (1, 1);
Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x1 , y1 ) e
A = (x2 , y2 ) è dato da:
y2 − y1
m=
x2 − x1
purché x1 6= x2 . Si ha quindi:
m=
. . . al resto pensateci voi!
5
8
1
2
+
3
4
−2
=
11
8
− 32
=−
11
12
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Esercizio
Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per i punti:
A = (2, − 34 ), B = ( 12 , 85 );
A = (−5, 4), B = (1, 4);
A = (1, −3), B = (1, 1);
Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x1 , y1 ) e
A = (x2 , y2 ) è dato da:
y2 − y1
m=
x2 − x1
purché x1 6= x2 . Si ha quindi:
m=
. . . al resto pensateci voi!
5
8
1
2
+
3
4
−2
=
11
8
− 32
=−
11
12
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Esercizio
Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per i punti:
A = (2, − 34 ), B = ( 12 , 85 );
A = (−5, 4), B = (1, 4);
A = (1, −3), B = (1, 1);
Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x1 , y1 ) e
A = (x2 , y2 ) è dato da:
y2 − y1
m=
x2 − x1
purché x1 6= x2 . Si ha quindi:
m=
. . . al resto pensateci voi!
5
8
1
2
+
3
4
−2
=
11
8
− 32
=−
11
12
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Esercizio
Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per i punti:
A = (2, − 34 ), B = ( 12 , 85 );
A = (−5, 4), B = (1, 4);
A = (1, −3), B = (1, 1);
Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x1 , y1 ) e
A = (x2 , y2 ) è dato da:
y2 − y1
m=
x2 − x1
purché x1 6= x2 . Si ha quindi:
m=
. . . al resto pensateci voi!
5
8
1
2
+
3
4
−2
=
11
8
− 32
=−
11
12
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Esercizio
Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per i punti:
A = (2, − 34 ), B = ( 12 , 85 );
A = (−5, 4), B = (1, 4);
A = (1, −3), B = (1, 1);
Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x1 , y1 ) e
A = (x2 , y2 ) è dato da:
y2 − y1
m=
x2 − x1
purché x1 6= x2 . Si ha quindi:
m=
. . . al resto pensateci voi!
5
8
1
2
+
3
4
−2
=
11
8
− 32
=−
11
12
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Circonferenza
L’equazione di una circonferenza di centro C ≡ (x0 , y0 ) e raggio r è
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 ,
che traduce analiticamente che i punti di coordinate (x, y ) della
circonferenza hanno distanza pari a r dal centro C ≡ (x0 , y0 ).
Intersezione di una circonferenza e una retta
L’intersezione tra una circonferenza e una retta si studia determinando le
soluzioni del sistema
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 ,
ax + by + c = 0.
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Circonferenza
L’equazione di una circonferenza di centro C ≡ (x0 , y0 ) e raggio r è
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 ,
che traduce analiticamente che i punti di coordinate (x, y ) della
circonferenza hanno distanza pari a r dal centro C ≡ (x0 , y0 ).
Intersezione di una circonferenza e una retta
L’intersezione tra una circonferenza e una retta si studia determinando le
soluzioni del sistema
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 ,
ax + by + c = 0.
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Le soluzioni del sistema
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 ,
ax + by + c = 0
si trovano risolvendo l’equazione della retta rispetto ad x oppure rispetto
a
c
ad y e sostituendo nella prima. Ad es., sostituendo y = − x −
b
b
nell’equazione della circonferenza, si trova un’equazione di secondo
grado in x. Se per questa equazione risulta:
∆ > 0: ci sono due soluzioni distinte di x che sono le ascisse dei
punti di intersezione; si calcolano poi i corrispondenti valori di y ; la
retta interseca la circonferenza in due punti (retta secante);
∆ = 0: ci sono due soluzioni coincidenti di x cui corrispondono due
valori uguali di y ; la retta è tangente alla circonferenza;
∆ < 0: non ci sono soluzioni reali per x; la retta è esterna.
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Le soluzioni del sistema
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 ,
ax + by + c = 0
si trovano risolvendo l’equazione della retta rispetto ad x oppure rispetto
a
c
ad y e sostituendo nella prima. Ad es., sostituendo y = − x −
b
b
nell’equazione della circonferenza, si trova un’equazione di secondo
grado in x. Se per questa equazione risulta:
∆ > 0: ci sono due soluzioni distinte di x che sono le ascisse dei
punti di intersezione; si calcolano poi i corrispondenti valori di y ; la
retta interseca la circonferenza in due punti (retta secante);
∆ = 0: ci sono due soluzioni coincidenti di x cui corrispondono due
valori uguali di y ; la retta è tangente alla circonferenza;
∆ < 0: non ci sono soluzioni reali per x; la retta è esterna.
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Le soluzioni del sistema
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 ,
ax + by + c = 0
si trovano risolvendo l’equazione della retta rispetto ad x oppure rispetto
a
c
ad y e sostituendo nella prima. Ad es., sostituendo y = − x −
b
b
nell’equazione della circonferenza, si trova un’equazione di secondo
grado in x. Se per questa equazione risulta:
∆ > 0: ci sono due soluzioni distinte di x che sono le ascisse dei
punti di intersezione; si calcolano poi i corrispondenti valori di y ; la
retta interseca la circonferenza in due punti (retta secante);
∆ = 0: ci sono due soluzioni coincidenti di x cui corrispondono due
valori uguali di y ; la retta è tangente alla circonferenza;
∆ < 0: non ci sono soluzioni reali per x; la retta è esterna.
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Le soluzioni del sistema
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 ,
ax + by + c = 0
si trovano risolvendo l’equazione della retta rispetto ad x oppure rispetto
a
c
ad y e sostituendo nella prima. Ad es., sostituendo y = − x −
b
b
nell’equazione della circonferenza, si trova un’equazione di secondo
grado in x. Se per questa equazione risulta:
∆ > 0: ci sono due soluzioni distinte di x che sono le ascisse dei
punti di intersezione; si calcolano poi i corrispondenti valori di y ; la
retta interseca la circonferenza in due punti (retta secante);
∆ = 0: ci sono due soluzioni coincidenti di x cui corrispondono due
valori uguali di y ; la retta è tangente alla circonferenza;
∆ < 0: non ci sono soluzioni reali per x; la retta è esterna.
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Determinare le intersezioni (se esistono) tra:
1
Retta 3x + 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.
2
Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.
3
Retta 5x + 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio
1
2.
1
√
√ !
3−4 3 2+6 3
,
,
13
13
√
√ !
3+4 3 2−6 3
,
(retta secante).
13
13
2
Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).
3
Non ci sono intersezioni (retta esterna).
F. Oliveri, S. Sammarco, Matematica di Base – 3
Intersezione di una circonferenza e una retta
Determinare le intersezioni (se esistono) tra:
1
Retta 3x + 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.
2
Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.
3
Retta 5x + 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio
1
2.
1
√
√ !
3−4 3 2+6 3
,
,
13
13
√
√ !
3+4 3 2−6 3
,
(retta secante).
13
13
2
Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).
3
Non ci sono intersezioni (retta esterna).
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Determinare le intersezioni (se esistono) tra:
1
Retta 3x + 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.
2
Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.
3
Retta 5x + 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio
1
2.
1
√
√ !
3−4 3 2+6 3
,
,
13
13
√
√ !
3+4 3 2−6 3
,
(retta secante).
13
13
2
Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).
3
Non ci sono intersezioni (retta esterna).
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Determinare le intersezioni (se esistono) tra:
1
Retta 3x + 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.
2
Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.
3
Retta 5x + 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio
1
2.
1
√
√ !
3−4 3 2+6 3
,
,
13
13
√
√ !
3+4 3 2−6 3
,
(retta secante).
13
13
2
Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).
3
Non ci sono intersezioni (retta esterna).
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Determinare le intersezioni (se esistono) tra:
1
Retta 3x + 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.
2
Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.
3
Retta 5x + 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio
1
2.
1
√
√ !
3−4 3 2+6 3
,
,
13
13
√
√ !
3+4 3 2−6 3
,
(retta secante).
13
13
2
Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).
3
Non ci sono intersezioni (retta esterna).
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Determinare le intersezioni (se esistono) tra:
1
Retta 3x + 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.
2
Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.
3
Retta 5x + 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio
1
2.
1
√
√ !
3−4 3 2+6 3
,
,
13
13
√
√ !
3+4 3 2−6 3
,
(retta secante).
13
13
2
Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).
3
Non ci sono intersezioni (retta esterna).
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Determinare le intersezioni (se esistono) tra:
1
Retta 3x + 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.
2
Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.
3
Retta 5x + 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio
1
2.
1
√
√ !
3−4 3 2+6 3
,
,
13
13
√
√ !
3+4 3 2−6 3
,
(retta secante).
13
13
2
Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).
3
Non ci sono intersezioni (retta esterna).
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Intersezione di una circonferenza e una retta
Determinare le intersezioni (se esistono) tra:
1
Retta 3x + 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.
2
Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.
3
Retta 5x + 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio
1
2.
1
√
√ !
3−4 3 2+6 3
,
,
13
13
√
√ !
3+4 3 2−6 3
,
(retta secante).
13
13
2
Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).
3
Non ci sono intersezioni (retta esterna).