Corrente
elettrica
F i s i c a
s p e r i m e n t a l e
I I
Per descrivere il moto di una singola carica introdurremo il
vettore velocità
Se, come in un metallo, abbiamo un numero enorme di cariche
libere di muoversi dovremo introdurre il vettore velocità media
3
v ( r ) = ∫ η ( r, v ) ⋅ v dv = vd
Velocità di deriva
Densità di probabilità che la
particella abbia, nel punto
considerato, velocità v
Due grandezze macroscopiche legate alla velocità media
Intensità di corrente elettrica
Vettore densità di corrente
Intensità di corrente
Grandezza scalare
A seconda della direzione di n, la
corrente sarà positiva o negativa
A seconda del
segno delle cariche
in moto, la corrente
sarà positiva o
negativa
V
N
3
dq
i=
dt
Il valore della corrente eguaglia quello della carica che
oltrepassa in un secondo la superficie nel senso indicato
dalla normale
Unità di misura : Ampere
Unità di misura fondamentale nel sistema MKSA
Coulomb = Ampere ·Secondi
Vettore densità di corrente
j ( r ) = ρ ( r ) vd ( r )
dqS 1
i=
= ∫ ρ ( r ) ( vd ( r ) dt ⋅ n ) ds = ∫ ρ ( r ) vd ( r ) ⋅ n ds = Φ S j
dt
dt S
S
()
VDT
N
L’attraversamento della superficie
è legato alla componente della
velocità parallela alla normale
VNDT
Nel caso di cariche discrete in moto:
i
j ( r ) = ∑ qi ni ( r ) vd ( r )
i
Legge di conservazione della carica elettrica
Avendo identificato una grandezza vettoriale che descrive come
si muovono le cariche, possiamo esprimere, in forma locale, la
legge di conservazione
In parole:
In formule:
Se la carica elettrica si conserva, la diminuizione
di carica che si verifichi all’interno di un volume
dato dovrà eguagliare il flusso di carica uscente
attraverso la superficie delimitante il volume
dQint
−
= ΦS j
dt
()
dQint
−
= ΦS j
dt
()
dQint
d
−
= − ∫ ρ dv =Φ S j = ∫ j ⋅ n ds = ∫ ∇ j dv
dt
dt v
S
V
()
Per cui, in forma differenziale:
dρ (r )
∇j ( r ) = −
dt
Ricordate le basi sperimentali di questa legge?
Conduzione nei metalli
In un metallo vi sono particelle cariche libere di muoversi
In quali condizioni daranno luogo ad una corrente elettrica?
Il valore della corrente a quali parametri fisici è correlato?
Come possiamo identificare la particella responsabile del
passaggio di corrente?
In quali condizioni daranno luogo ad una corrente elettrica?
3
Se tutte le direzioni sono
fisicamente equivalenti:
vd = 0
j =0
i=0
La presenza di un campo Elettrico origina una anisotropia.
Prendiamo un lungo filo metallico
L’esperienza ci dice che per produrre una corrente occorre
connetterne i capi a due punti tra i quali esista una d.d.p. (ad es.
ad una batteria)
Come può la chiusura
dell’interruttore alterare il
valore dei campi presenti nel
filo?
Le cariche si muovono in
opposte direzioni
Si genererà nel filo una densità di carica che varierà in modo
continuo tra i due valori, positivo e negativo, caratteristici dei
bottoni del generatore
DL
R
RDR
− ∫ E ⋅ dl = V
γ
Campo elettrico locale
V
E =
L
Nel caso più semplice:
L’effetto di questo campo?
Se accadesse solo questo avremo un moto uniformemente
accelerato per cui la corrente elettrica dovrebbe aumentare
linearmente nel tempo
I
66
66
Indica che una ulteriore
forza agisce sui portatori
di carica
T
I
66
Spesso, il valore della corrente a
regime è proporzionale alla d.d.p.
applicata
66
T
1
i (t = ∞ ) = V
R
Resistenza elettrica
In questi casi si dice che il conduttore segue la Legge di Ohm
i = S⋅ j
L E =V
j=
L1 L
R=
= ρ
Sσ S
L
⋅E = σ ⋅E
RS
Conducibilità elettrica
Resistività elettrica
Come si possono interpretare questi dati sperimentali?
I
Supponendo che agisca
sul portatore di carica
anche una forza di tipo
viscoso
66
66
T
Soluzione
Equazione
di moto
ma = qE − kv
k
− t⎞
qE ⎛
m
v=
1
−
e
⎟⎠
k ⎜⎝
I
k
− t⎞
qE ⎛
m
v=
1− e ⎟
k ⎜⎝
⎠
66
66
k
− i t⎞
ni qi 2 ⎛
mi
j ( t ) = ∑ ni qi vi = E ∑
1
−
e
⎜
⎟
k
i
i
⎠
i ⎝
T
⎛ ni qi 2 ⎞
i(t) S ⋅ E ⎜ ∑
t
⎟
m
⎝ i
i ⎠
⎛ ni qi 2 ⎞ 1
σ = ⎜∑
=
⎟
⎝ i ki ⎠ ρ
⎛ ni qi 2 ⎞
i(t) S ⋅ E ⎜ ∑
⎝ i ki ⎟⎠
Resistività in Ωm x 108
Materiale
Resistività
Argento
1.59
Rame
1.7
Oro
2.44
Alluminio
2.82
Tungsteno
5.6
Ferro
10.0
Platino
11.1
Piombo
22.
Come si è pervenuti alla scoperta
che in un metallo i portatori di carica
sono gli elettroni?
Esperimento di Tolmann e
Stewart (1916)
G F Moorhead and G I Opat (1996)
Quando si blocca il cilindro, un impulso
di corrente attraversa il galvanometro
'
Lo strumento fornisce il valore della carica
totale associata all’impulso di corrente
Dalla direzione della corrente si determina il segno del
portatore
Dal valore della carica totale si determina il rapporto
“q/m” del portatore
Dopo che il cilindro è stato bloccato:
dv
F = −kv = m
dt
'
⎡ k ⎤
⎡ k ⎤
v ( t ) = v0 exp ⎢ − t ⎥ = Ω R exp ⎢ − t ⎥
⎣ m ⎦
⎣ m ⎦
⎡ k ⎤
j(t) = nqv ( t ) = Ω Rnq exp ⎢ − t ⎥
⎣ m ⎦
∞
∞
m
nqm
⎡ k ⎤
Q = S ∫ j(t) dt = SΩ Rnq ∫ exp ⎢ − t ⎥ dt = SΩ Rnq = S Ω R
k
k
⎣ m ⎦
0
0
Per risalire alle informazioni sulla particella occorre conoscere
il rapporto “n/k”
Questo rapporto appare nella espressione della conducibilità
elettrica
nqm
Q = SΩR
k
n σ
= 2
k q
⎛ ni qi 2 ⎞ 1
σ = ⎜∑
=
⎟
⎝ i ki ⎠ ρ
q S Ω Rσ
=
m
Q
m
Q = S Ω Rσ
q
Sperimentalmente si trova:
q
−1.8 ⋅10 8 Coulomb / grammo
m
I portatori sono quindi elettroni!
Quale è il valore della velocità di deriva?
J
vd =
nq
Numero portatori
per unità di volume
Densità di corrente
Solo gli
elettroni
esterni
saranno liberi
di muoversi
Densità
δ N0
n=
nc
M
numero elettroni di
conduzione per atomo
Peso Atomico
M
vd = J
qδ N 0 nc
vd = J
Numero di Avogadro
Es : Rame
Sezione: 1mm2
Corrente : 10 A
M
64 g mole
⎛ 10 ⎞
= ⎜ −6 ⎟
−19
qδ N 0 nc ⎝ 10 ⎠ 1.6 ⋅10 ⋅ 9 g cm 3 6.02 ⋅10 23 ⋅1
(
)(
)
−3
64
⋅10
−3
vd = 10 7
=
0.74
⋅10
m / sec
−19
3
23
1.6 ⋅10 ⋅ 9 ⋅10 6.02 ⋅10
(
)(
)
Conclusione:
La velocità di deriva dei portatori di carica in un metallo è, al
massimo, dell’ordine del mm/sec
Questa velocità è grande o piccola?
Per quale motivo la domanda?
ma = qE − kv
Il termine di paragone è la velocità con cui si muovono i
portatori di carica in assenza di campo elettrico applicato!
Non si era detto che in assenza di campo la velocità era nulla?
Un semplice modello: il modello degli elettroni liberi
Prima di affrontare il modello, una breve premessa.
Come si descrive un sistema di elettroni, una volta specificata la
situazione fisica?
La fenomenologia di un sistema di elettroni mostra sempre una
caratteristica: compaiono numeri interi!
Ad esempio, l’energia eventualmente fornita ad un atomo di
idrogeno ci viene restituita sotto forma di “radiazione
elettromagnetica” le cui possibili frequenze sono date da:
υ n, m
1 ⎞
⎛ 1
= R⎜ 2 − 2 ⎟
⎝n
m ⎠
Numeri interi
R = 3.28787 ⋅1015 s −1
In quali campi della Fisica vi sono fenomeni la cui descrizione
coinvolge numeri interi?
Acustica, od in generale, nelle oscillazioni dei corpi elastici
,
,
,
Modi di una corda vibrante di lunghezza L
,
,
L’ampiezza
dell’oscillazione dipende
dalla coordinata “x”
,
y(x,t) = Φ(x) ⋅ cos(ω t) = φ0 sin(k x) ⋅ cos(ω t)
Usando la funzione seno, è automaticamente
soddisfatta la condizione:
Φ(0) = 0
La seconda condizione: sin(k L) = 0
π
, n = 1, 2,
porta alle condizioni sul valore di “k”: k = n
L
In meccanica, tutto deriva dalla soluzione di equazioni
differenziali del secondo ordine
Di quale equazione
differenziale è soluzione la : Φ(x) = φ0 sin(k x) ?
L’equazione differenziale che
descrive il comportamento
della corda è:
∂2
Φ(x) = −A Φ(x)
2
∂x
Una equazione analoga descriverà pure i sistemi atomici in
quanto essi pure sono caratterizzabili tramite numeri interi
Equazione di Schroedinger
Al secondo membro:
Funzione che descrive lo stato elettronico
Energia dello stato
Al primo membro:
Operatore differenziale associato alla
energia, detto Hamiltoniana, operante
sulla funzione che descrive lo stato
H Φ n (x) = En Φ n (x)
Il modulo quadro della funzione d’onda dà la densità di
probabilità di trovare in quel punto la particella. Essa è quindi
nulla ove la particella non possa assolutamente trovarsi
La Hamiltoniana del sistema dovrà esprimere il fatto che
l’energia contiene termini di energia cinetica e termini di
energia potenziale
Quindi:
H = H cin + H pot
nel caso più semplice:
H = H cin
Ora
Ecin
p2
=
2m
per cui:
p̂ 2
Φ n (x) = En Φ n (x)
2m
Operatore associato all’impulso
deve dare luogo ad:
∂2
Φ(x) = −A Φ(x)
2
∂x
Essendo le energie cinetiche positive, l’operatore impulso deve
contenere a fattore il coefficiente immaginario “i”
∂
p̂ = −i
∂x
nel caso unidimensionale
In tre dimensioni:
e quindi:
̂
p = −i∇
2 2
−
∇ Φ n ( r ) = En Φ n ( r )
2m
Detto questo torniamo alla descrizione degli stati di conduzione
in un metallo
Si procede come per
trovare lo stato
fondamentale di una
molecola
1) Si ricavano gli stati elettronici
2) Se si hanno N elettroni, lo
stato fondamentale è quello in
cui sono doppiamente occupati
i primi “N/2” livelli e sono vuoti
tutti gli altri
Per ricavare gli stati vengono introdotte due ipotesi
semplificatrici
1) Gli elettroni di valenza sono perfettamente liberi di muoversi
all’interno del metallo, ma non possono uscire da esso
Le interazioni con i “core” , i nuclei più gli
elettroni interni, danno semplicemente
luogo ad una barriera di energia potenziale
molto maggiore dell’energia elettronica
l’energia potenziale,
all’interno del metallo è
costante.
%
% MAX
X
Si possono considerare le
barriere come infinitamente
alte
In Fisica per “punto” si intende una regione di spazio
molto piccola rispetto alle dimensioni lineari del sistema
Il potenziale in un “punto” è il valor medio del potenziale
in detta regione
Dato che nel nostro caso le dimensioni lineari del sistema sono
macroscopiche, il “punto” conterrà al suo interno molti atomi
Ne consegue che il valor medio sarà lo stesso per tutti i “punti”
2) Si suppone che gli elettroni di conduzione non interagiscano
tra loro
Come fanno a non interagire se, essendo carichi dello stesso
segno, si respingono tra loro?
L’obiezione è fisicamente errata, in quanto inverte i termini
della questione
Infatti, introduciamo una forza repulsiva in quanto, e solo in
quanto, li osserviamo interagire tra loro.
In definitiva la validità dell’ipotesi, risiede unicamente nella
osservazione di un comportamento, che porta alla
formulazione del “Principio di esclusione di Pauli”, e sarà
verificata a posteriori sulla base di dati sperimentali.
Il modello è adatto solo per i metalli nobili, non per quelli
appartenenti alle seri di transizione
Caso unidimensionale: catena di atomi lunga L
%
d
d
,
Zero dell’energia,
quindi l’energia
sarà solo cinetica
Se l’elettrone non può uscire,
la funzione d’onda sarà nulla
all’esterno della buca
X
Se l’elettrone non può uscire,
la funzione d’onda sarà nulla
all’esterno della buca
Per motivi di continuità, la funzione d’onda all’interno
della buca tenderà a zero avvicinandosi agli estremi
%
d
d
All’interno:
,
X
con le condizioni agli estremi:
La soluzione sarà:
2 ∂2
−
Ψ n ( x ) = En Ψ n ( x )
2
2m ∂x
Ψn (0) = Ψn ( L ) = 0
Ψ n ( x ) = an sin(kn x)
π
kn = n
, n = 1, 2,
con
L
Sostituendo, si ricavano gli autovalori:
⎛ nπ ⎞
En =
⎜⎝ ⎟⎠
2m L
2
2
Si sono trovati gli stati, occorre riempirli.
Se, ad esempio, la catena è formata da N atomi monovalenti
lo stato fondamentale sarà quello in cui sono doppiamente
occupati i primi N/2 stati e vuoti i superiori
2 ⎛ Nπ ⎞
L’energia dell’ultimo livello occupato sarà: EF =
⎜
⎟
2m ⎝ 2L ⎠
2
Energia di Fermi
Dipende dalla densità lineare di
atomi nella catena, non da quanti
atomi la formano!
1) Dove si è usata l’ipotesi che gli elettroni non interagiscano
tra loro?
2) Quale è l’analogo atomico dell’energia di Fermi?
Una importante differenza con le molecole
In una molecola le
differenze di energia tra i
livelli sono dell’ordine
dello eV
A temperatura
ordinaria le molecole
sono nel loro stato
fondamentale
2 ⎛ ( N + 1) π ⎞
2 ⎛ Nπ ⎞
ΔE =
−
⎜
⎟
⎜
⎟
2m ⎝ 2L ⎠
2m ⎝ 2L ⎠
2
Nel metallo:
2
2 π 2
2 π 2
ΔE
2N =
N
2
2
2m 4L
4m L
Es: catena lunga 10 cm formata da atomi distanti 1.5 Å
(
1.054 ⋅10 −34
)
2
π
π 2 ⎛ 0.1 ⎞
−27
−8
ΔE
N
2.0
⋅10
Joule
=
1.25
⋅10
eV
⎜
⎟
2
−31
2
−10
⎝
⎠
4m L
4 ⋅ 9.11⋅10
0.1 1.5 ⋅10
2
2
A temperatura ambiente:
K BT
1
eV
40
Gli stati sono così vicini da formare una “banda” continua
Solo allo zero assoluto il sistema di elettroni sarà nello stato
fondamentale
Per quale motivo la differenza di energia tra gli stati elettronici
è enormemente minore che nel caso delle molecole?
&
&
&
&
Φ+ =
1
( Φ1 + Φ2 )
2
ρ+ =
1
Φ12 + Φ 2 2 + 2Φ1 ⋅ Φ 2
2
Φ− =
1
( Φ1 − Φ2 )
2
ρ− =
1
Φ12 + Φ 2 2 − 2Φ1 ⋅ Φ 2
2
Le energie sono diverse in quanto :
(
)
(
)
Φ1 ⋅ Φ 2 ≠ 0
La differenza di energia
tra gli stati contigui è
diminuita rispetto a
quella relativa alla
coppia
Come descrivere il caso tridimensionale?
Equazione da risolvere:
Soluzione generale:
2 2
−
∇ Φ n ( r ) = En Φ n ( r )
2m
Φ n ( r ) = exp ⎡⎣i kn ⋅ r ⎤⎦
̂
p Φ n ( r ) = pn Φ n ( r )
Essa è anche soluzione dell’equazione:
̂
p Φ n ( r ) = −i∇ exp ⎡⎣i kn ⋅ r ⎤⎦ = −i ⋅ i kn exp ⎡⎣i kn ⋅ r ⎤⎦ = kn exp ⎡⎣i kn ⋅ r ⎤⎦
( )
Con autovalori:
2 kn2
En =
2m
Regole di quantizzazione:
( kn ) x
2π
=l
ed analoghe per y e z
L
Φ n ( r ) = exp ⎡⎣i kn ⋅ r ⎤⎦
Ciò che caratterizza un
particolare stato è il vettore K
2 kn2
En =
2m
Gli stati con uguale valore del
modulo di K sono degeneri
+Z
Ad ogni stato è associato un
punto nello spazio dell’impulso
+
+Y
+X
Nello stato fondamentale saranno occupati
solo gli stati il cui punto rappresentativo è
situato all’interno di una sfera di raggio KF
+Z
Si definiscono quindi:
Sfera di Fermi
Impulso di Fermi
+
+Y
+X
Energia di Fermi
2 kF2
2
EF =
=
3π 2η
2m 2m
Velocità di Fermi
vF =
3π 2η
m
(
(
)
1
3
numero di atomi per unità di volume
Valenza
Metallo
Concentrazione
elettronica in m-3
Energia di
Fermi in eV
Velocità di
Fermi in m/sec
1
Sodio
2.65 1028
3.23
1.07 106
1
Rame
8.45 1028
7.00
1.57 106
2
Zinco
13.1 1028
9.39
1.82 106
3
Alluminio
18.06 1028
11.6
2.02 106
4
Piombo
13.2 1028
9.37
1.82 106
Sono un centesimo della velocità della luce! Cosa ne consegue?
)
2
3
Conducibilità elettrica
+Z
+
+Y
L’ipotesi che esista una
configurazione spazialmente isotropa
è in conflitto con la supposta non
interazione tra gli elettroni
+X
Potremmo supporre gli elettroni come non non perfettamente
liberi, ma soggetti ad interazioni separate temporalmente in
media di un tempo τ
l’effetto delle iterazioni è quello di ridistribuire tra le
particelle l’energia acquistata o persa
T
p (t ) = p ( 0 ) − e E t
T
eE
k (t ) = k ( 0 ) −
t
%
Impulso medio del sistema di elettroni
La Sfera di Fermi trasla nel tempo con velocità costante
X
TT
T
Diagramma temporale delle collisioni
L’effetto delle interazioni è quello di
impedire alla velocità di deriva di
crescere indefinitivamente
eE
vd = −
τ
m
2
⎛ nq 2τ ⎞
q E
τ =⎜
E
Scriveremo quindi: J = nqvd = n
⎟
m
⎝ m ⎠
nq 2τ
σ=
m
T
%
Espressione per la conducibilità elettrica
Dai valori sperimentali della conducibilità possiamo ricavare il
tempo medio che separa una interazione dalla successiva
Se il tempo fosse “lungo” allora il modello degli elettroni liberi è adeguato
Se il tempo fosse “corto” allora il modello degli elettroni liberi è errato
Metallo
Cu
Ag
Au
Al
Fe
Pb
Bi
Resistività
5.88 107
6.21 107
4.55 107
3.65 107
1.02 107
0.48 107
0.086 107
m
τ = 2σ
nq
Per il rame :
τ (T = 300K ) 2.5 ⋅10 −14 sec
τ (T = 4K ) 2 ⋅10 sec
−9
Per sapere se i tempi sono grandi o piccoli, dovremo valutare
la distanza percorsa e confrontare questa con l’interdistanza
media tra i bersagli, che sarà dell’ordine dell’ Å
λ ≈ vFτ 3 mm
Il modello degli elettroni liberi
risulta corretto ben oltre ogni
previsione!
Quale è il motivo?
Un elettrone non può cambiare stato se non ha uno stato libero
su cui trasferirsi.
+Z
La massima parte gli elettroni non ha
stati liberi vicini in energia e quindi
non può interagire con l’ambiente.
+
+Y
+X
Si tratta quindi di un motivo prettamente quantistico, che
si traduce nella formulazione del principio di Pauli
