M. D’Aprile, Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 2012-13
2. Esercizi su relazioni di equivalenza, vettori applicati
Esercizi su: relazioni di equivalenza.
1) Definiamo una relazione ∼ nell’insieme dei piani dello spazio ponendo
α ∼ β se due piani α, β o sono coincidenti oppure non hanno nessun punto in comune.
Verificare che ∼ è una relazione di equivalenza1.
2) Nel piano A2 è fissata una retta x. Indichiamo con p la funzione “proiezione ortogonale su x”, che
ad ogni punto P di A2 associa il punto p(P) che è l’intersezione di x con la retta per P
perpendicolare a x (aiutarsi con una figura!). Definiamo una relazione in A2 ponendo
P ≈ Q se è o P ≡ Q oppure p(P) = p(Q).
La relazione ≈ è una relazione di equivalenza? Se lo è, descrivere le classi di equivalenza e
l’insieme quoziente.
3) Nell’insieme Z dei numeri interi relativi, definiamo una relazione ponendo
m ∼ n se la differenza m − n è divisibile per 5.
La relazione ∼ è una relazione di equivalenza? Se lo è, descrivere le classi di equivalenza e
l’insieme quoziente.
Esercizi su: vettori applicati
1. Disegnare un triangolo scaleno ABC. Chiamare M il punto medio di AB, N il punto medio di AC,
u, v i vettori applicati in A che hanno come secondo estremo, rispettivamente, M, N.
Sia X il secondo estremo del vettore u+v. In quale relazione è X con i punti del triangolo ABC ?
2. In un piano, è dato un quadrilatero ABCD, che non è un parallelogrammo. Chiamiamo u il vettore
applicato in A equivalente (o equipollente) a BC , v il vettore applicato in A equivalente a CD , w il
vettore applicato in A equivalente a DA .
Calcolare il vettore, applicato in A, che è la somma AB + u + v + w .
3. I punti C, A, B sono vertici consecutivi di un parallelogramma per il quale vale l’uguaglianza
| AB + AC | =| AB − AC | : di che tipo di parallelogrammo si tratta?
4. ABCD è un quadrato, e O è il suo centro (punto d’incontro delle diagonali). Scrivere il vettore AO
come somma di vettori proporzionali ai vettori AB, AD.
5. HKL è un triangolo, G il suo baricentro, cioè il punto comune alle sue mediane. Esprimere il
vettore HG utilizzando somme di opportuni multipli dei vettori HK , HL. (Suggerimenti: il
baricentro divide ogni mediana in segmenti che sono in un rapporto noto, quindi mandando dal
baricentro la parallela ad un lato si dividono gli altri lati in parti che .....)
6. Nel piano, è assegnato un sistema di coordinate cartesiane (O, i, j ) . Sono dati i vettori
1
OA = 2i − 4 j , OB = −i + 3 j , OC = − i
3
1
Trovare le componenti ( o coordinate) dei vettori OA − OB + OC , OB − OA, OC − OA. . Stabilire,
2
senza ulteriori calcoli, se i punti A,B,C sono allineati.
7. Per familiarizzare con le applicazioni traslazione e omotetia: disegnare un punto O, un vettore v
applicato in O ed un poligono P a piacere, quindi costruire:
i) i traslati dei vertici e dei lati di P nella traslazione di vettore v
ii) i punti corrispondenti ai vertici di P nell’omotetia di centro O e rapporto 1/3
iii) i punti corrispondenti ai vertici di P nell’omotetia di centro O e rapporto −1/3
iv) i punti che sono immagini dei vertici e dei lati di P nella traslazione di vettore −2v
v) i punti corrispondenti ai vertici di P nell’omotetia di centro O e rapporto −1.
1
L’insieme quoziente è detto “insieme delle giaciture” dello spazio.
