parte 4: cinematica del punto materiale

PARTE 4: CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE
4.1 INTRODUZIONE
Fissata una terna di assi cartesiani (mutuamente ortogonali fra loro) Oxyz, con origine nel
punto O, si riferisca il moto di un corpo materiale a tale terna, cioè si esaminino in funzione
del tempo le variazioni rispetto ad essa della posizione dell’elemento. Si dice che si è fissato
in tal modo un sistema di riferimento. La descrizione del moto di un corpo, la quale prescinda
dallo studio delle cause che lo determinano, va sotto il nome di cinematica.
Un corpo mobile abbia dimensioni piccole rispetto a quelle della regione dello spazio
all’interno della quale ha luogo il moto ed, inoltre, non interessino le variazioni di forma ed
orientamento del corpo rispetto al riferimento considerato. In tali condizioni il sistema
meccanico può essere schematizzato con un elemento materiale puntiforme. Nel caso in cui
venga assunto tale schema, la descrizione del moto si traduce nella determinazione delle tre
funzioni:
x = x(t); y = y(t); z = z(t)
(4.1)
che forniscono le coordinate cartesiane dell’elemento materiale in funzione del tempo.
4.2 Equazioni parametriche di un arco di linea
Data un arco di curva l regolare, che rappresenti ad esempio la traiettoria di un elemento
materiale mobile, è possibile, ed in infiniti modi, stabilire una corrispondenza biunivoca fra i
punti dell’arco di curva ed i valori di una variabile numerica s appartenenti ad un intervallo
[s1,s2]; ciò equivale a dire che sono definite nell’intervallo [s1,s2] le tre funzioni:
x=x(s); y=y(s); z=z(s)
(4.2)
che esprimono le coordinate cartesiane del generico punto P ∈ l in termini della variabile
scalare s. Tali relazioni vanno sotto il nome di equazioni parametriche dell’arco di curva.. La
posizione di P su l può essere individuata anche tramite il vettore di posizione avente l’origine
in un punto fisso O, che assumiamo qui coincidente con l’origine della terna cartesiana, ed
estremo in P, ossia tramite la funzione vettoriale:
OP=OP(s)
(4.3)
Tale funzione rappresenta l’equazione parametrica vettoriale dell’arco di curva l.
1
Ascissa curvilinea
Tra i possibili parametri s, di particolare importanza è l’ascissa curvilinea, che è definita al
modo seguente: fissato sulla linea un verso di
percorrenza ed un’origine Ω, si associ ad ogni punto
z
P(x,y,z) della linea la lunghezza dell’arco ΩP, presa
Ω
P(s)
con segno positivo o negativo, a seconda che P segua
o preceda Ω nel verso di percorrenza prefissato. La
y
lunghezza con segno dell’arco ΩP rappresenta
Fig. 4.1
x
l’ascissa curvilinea s.
4.3 Proprietà differenziali di una curva
Data una curva OP =OP(s) si esamini il significato del vettore
dOP  dx dy dz 
OP'− OP
PP'
≡  ; ;  = lim∆s → 0
= lim∆s→ 0
 ds ds ds 
∆s
∆s
ds
Ω
PP’
P(s)
PP’’
P’(s+∆s’)
z
P’’(s+∆s’’)
O
y
Fig. 4.2
x
Il
ha:
modulo
del
vettore
derivato
dOP
ds
è
unitario.
Infatti
PP'
corda
dOP
= lim∆s → 0
= lim∆s → 0
=1
∆s
ds
arco
si
(4.4)
La direzione ed il verso di PP’, al tendere a zero di ∆s, coincidono con quelli della tangente
alla curva. Si ha quindi:
dOP
 dx dy dz 
= t̂ ≡  ; ;  ≡ (α;β; γ )
ds
 ds ds ds 
(4.5)
dove α, β e γ sono i coseni direttori della tangente alla curva nel punto di ascissa s.
2
4.4 Curvatura locale
Siano t̂ e t̂ ′ i versori della tangente nei punti di ascissa s e s+∆s; si chiama curvatura locale
in s la quantità:
ε
1
c = lim∆s → 0
=
∆s ρ
P(s)
(4.6)
t̂
t̂
ε
dove ε e ρ sono l’angolo di
t̂ '
z
contingenza, cioè l’angolo fra t̂
e t̂ ′ (ε ≤ π ), ed il raggio di
P(s+∆s)
curvatura, rispettivamente. Al
O
tendere a zero di ∆s il versore t̂
ed il punto P’ individuano un
y
t̂ ' − t̂ = 2 t̂ sin
ε
2
t̂ '
Fig. 4.3
x
piano limite che è detto piano osculatore alla curva. Come si osserva dalla figura (4.3), il
vettore
t̂ (s + ∆s) − t̂ (s)
dt̂
t̂ ′ − t̂
= lim
= lim
∆s → 0
ds ∆s →0 ∆s
∆s
è normale a t̂ , si trova sul piano osculatore ed è orientato verso la concavità della curva. Fra
le ∞1 normali alla curva in P il vettore
dt
individua quella contenuta nel piano osculatore, che
ds
prende il nome di normale principale alla curva stessa.
Al tendere a zero di ∆s anche ε → 0; risulta, quindi:
dt̂
t̂ ′ − t̂
= lim
= lim
∆s → 0
ds ∆s →0 ∆s
ε
ε

 sen  ε  1
2 = lim 
2 
=
∆s → 0
ε  ∆s  ρ
∆s


 2 
2 sen
(4.7)
essendo:
ε

 sen 
2  =1
lim 
∆s → 0
ε 


 2 
Ove si indichi con n̂ il versore della normale principale, si può quindi scrivere:
dt  d 2 x d 2 y d 2 z  1
≡
;
;
 = n
ds  dt 2 dt 2 dt 2  ρ
(4.8)
Il moto di un elemento materiale è noto quando si conosca la funzione vettoriale:
3
OP=OP(t)
(4.9)
od, equivalentemente, le tre funzioni scalari:
x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t)
(4.10)
E’ utile talvolta scindere l’aspetto geometrico del moto, compendiato dalla equazione della
traiettoria:
OP=OP(s)
(4.11)
da quello temporale, compendiato dalla legge oraria:
s=s(t)
(4.12)
che indica la posizione istantaneamente occupata dall’elemento materiale.
4.5 Moto uniforme
Il moto di un elemento materiale lungo la traiettoria di equazione parametrica OP=OP(s), sia
caratterizzato dal fatto che, ∀∆t e ∀t0, risulti:
s(t 0 + ∆t ) − s(t )
= s 0 = cos t.
∆t
(4.13)
Si dice in tal caso che il moto è uniforme e che s 0 è la velocità scalare media dell’elemento
materiale nell’intervallo temporale [t0, t0+∆t]. La (15) esprime la circostanza che in uguali
intervalli di tempo ∆t vengono descritti archi di uguale lunghezza, qualunque sia l’istante
iniziale t0 considerato e qualunque sia l’intervallo di tempo considerato.
4.6 Moto vario
In un moto generico il rapporto incrementale
s(t 0 + ∆t ) − s(t 0 )
della funzione s(t) non è
∆t
costante al variare di ∆t . Il limite a cui esso tende al tendere a zero ∆t rappresenta la velocità
scalare istantanea:
∆s
ds
= lim
= s
∆
→
s
0
dt
∆t
Un diagramma nel quale sia riportata in ordinate l’ascissa curvilinea ed in ascissa il tempo si
chiama diagramma orario.
4
In un tale grafico la velocità
s
C
istantanea è rappresentata dalla
pendenza (coefficiente angolare)
A
della tangente geometrica alla curva
s(t). Negli intervalli temporali in cui
s > 0 (cioè s(t) è una funzione
crescente di t) il moto si dice
progressivo, in quelli in cui s < 0
regressivo, quelli in cui s = 0 punti
O
t
B
Fig. 4.4
di arresto (punto A ), oppure di inversione (punto B ), nella fig. (4.4). Si divida l’intervallo
temporale complessivo nel quale siano state effettuate le misure di s ( t ) in intervalli ∆ti
sufficientemente piccoli in modo che all’interno di ciascuno di essi la variazione di velocità
scalare non sia rivelabile tramite lo strumento di misura (tachimetro). In ciascuno di questi
intervalli la variazione dell’ascissa curvilinea ∆si è uguale a s i ∆t e quella totale s(t)-s(0) a:
t
s( t ) − s(0) = ∑ ∆s i = ∑ s i dt = ∫ s(t )dt
i
i
(4.14)
0
Data la funzione s (t) si pone il problema di calcolarne l’integrale, che rappresenta l’area
sottesa dalla curva s (t) in fig. (4.4). Per il moto uniforme risulta: s ( t ) = s 0 = cost . L’integrale
nella (4.14) fornisce allora:
s( t ) = s 0 t + s 0
s
(4.15)
Il diagramma orario, in tal caso, è una retta la cui
s 0
pendenza vale s 0 e la cui intercetta s 0 con l’asse delle s
rappresenta il valore dell’ascissa curvilinea all’istante
s0
t
Fig. 4.5
t=0 (Figura 4.5)
4.7 Moto uniformemente vario
E’ un moto per cui risulta:
s(t 0 + ∆t ) − s(t 0 )
= s0 = cost ∀∆t e ∀t0 considerati. Dalla costanza del rapporto incrementale
∆t
segue la costanza della derivata della funzione s ( t ) , ossia
s = s0 = cost
(4.16)
5
s prende il nome di accelerazione scalare. Dalla costanza di s segue che s è una funzione
lineare di t del tipo :
s =
ds
= s0 t + s 0
dt
(4.17)
Dove s 0 è una costante che rappresenta il valore della velocità scalare all’istante t=0. Dalla
relazione (20), integrando ulteriormente, si deduce:
1
s( t ) = s0 t + s 0 t + s 0
2
(4.18)
dove s0 rappresenta il valore dell’ascissa curvilinea all’istante t=0. Il diagramma orario
associato a questo tipo di moto è una parabola.
4.8 Moto vario generico
Si tratta di un moto per il quale s varia con il tempo; si dice accelerato (decelerato) ad un
istante t se nell’intorno di tale istante s , o, equivalentemente, s 2 , sono funzioni crescenti
(decrescenti) del tempo. Risulta quindi:
(moto accelerato)
( )
( )
d 2
s = 2ss > 0
dt
d 2
s = 2ss < 0
dt
(moto accelerato)
(4.19)
(moto decelerato)
4.9 Velocità vettoriale
Sia P la posizione dell’elemento materiale all’istante t e P’ quella all’istante t1= t+∆t. Il
vettore OP(t) che
Ω
congiunge un punto
fisso (generalmente
l’origine
di
z
una
P(t+∆t),P(x+∆x,y+∆y,z+∆z)
terna cartesiana di
O
riferimento) con la
posizione mobile P
P(t),P(x,y,z)
x
y
Fig. 4.6
6
è il vettore di posizione; PP’ è il vettore spostamento nell’intervallo di tempo ∆t. La velocità
&
vettoriale v (t ) è definita come la derivata temporale della funzione vettoriale OP(t):
& dOP(t )  dOP(t )  ds 
=
v=
   = st
dt
 ds   dt 
(4.20)
(
)
La velocità vettoriale è costante soltanto qualora il moto sia rettilineo t̂ = costante ed
uniforme ( s = costante) . Dalla (4.20) segue che:
( x + ∆x ) − x
= x
∆t
( y + ∆y ) − y
v y = lim∆t → 0
= y
∆t
( z + ∆z ) − z
vz = lim∆t → 0
= z
∆t
vx = lim∆t → 0
(4.21)
Dalla prima uguaglianza della (4.20) segue, inoltre, che lo spostamento elementare è dato da:
&
PP ′ = d(OP ) = v dt
(4.22)
Lo spostamento finito P0P, effettuato nell’intervallo temporale [0,t] può quindi esprimersi
come somma (integrale) di spostamenti infinitesimi:
t
&
P0 P = ∫ v (t ')dt '
(4.23)
0
Le componenti cartesiane dello spostamento elementare dOP, date da: dx = x dt , dy = y dt ,
dz = z dt , rappresentano anche le variazioni infinitesime delle coordinate di posizione
dell’elemento materiale. In corrispondenza di uno spostamento finito le variazioni delle
coordinate risultano fornite dalle relazioni:
t
x ( t ) = x 0 + ∫ x (t ')dt '
0
t
y( t ) = y 0 + ∫ y (t ')dt '
(4.24)
0
t
z( t ) = z 0 + ∫ z (t ')dt '
0
4.10 Accelerazione vettoriale
L’accelerazione vettoriale è definita come la derivata della velocità vettoriale:
7
&
 dt̂  ds 
& dv d
dt̂
=
a=
st̂ = st̂ + s = st̂ + s  
dt dt
dt
 ds  dt 
()
(4.25)
Ricordando la (4.8) si ha anche :
&
s 2
a = st̂ + n̂
ρ
(4.26)
che mostra come il vettore accelerazione possa essere decomposto nella somma di due vettori,
 s 2 
di cui uno tangente alla traiettoria st̂ ed uno diretto come la normale principale  n̂  .
ρ 
()
Risulta inoltre:
2
& d OP(t )
a=
≡ ( ,
x ,
y z)
dt 2
(4.27)
&
&
s 2
Il vettore accelerazione a = st + n è identicamente nullo quando risulti v = cost , ossia
ρ
quando il moto sia simultaneamente rettilineo (ρ=∞) ed uniforme
( s =0).
Il prodotto scalare della velocità e della accelerazione vettoriali risulta uguale a ss , come si
evince dalla seguente relazione:

& &
s 2 
v ⋅ a = st̂ ⋅  st̂ + n̂  = ss
ρ 

()
(4.28)
Pertanto, se il moto è accelerato ( ss >0) l’angolo fra i vettori accelerazione e velocità è minore
di π/2, l’opposto accade se il moto è decelerato. Nel caso in cui il prodotto scalare sia espresso
cartesianamente le condizioni di moto accelerato e decelerato si esprimono quindi nel modo
seguente:
& &
v ⋅ a = x x + yy + zz > 0 ⇒ acceler
& &
v ⋅ a = x x + yy + zz < 0 ⇒ deceler
(4.29)
4.11 Moti piani
Coordinate polari nel piano
Sia Oxy un sistema di assi cartesiani nel piano, OP(t)= ρû il vettore di posizione, θ l’angolo,
crescente in senso antiorario, formato fra il raggio vettore OP(t) ed il semiasse positivo delle
x; τ̂ il versore del piano, ⊥ ad OP(t), ed orientato nel verso delle θ crescenti (vedi Fig.9):
8
y
P(x,y)
ρ
ĵ
τ̂
û
θ
Fig. 4.7
î
x
Dalla figura (4.7) segue che:
(
ρ = x2 + y2
x = ρ cosθ
y = ρ sen θ
)
1
2
(4.30)
 y
θ = tg  
 x
−1
Dalla figura 5 risulta inoltre:
û = cos(θ)î + sin (θ)ĵ

 τˆ = −sin (θ)î + cos(θ)ĵ
da cui segue:
dτˆ
= − û
dθ
dû
= τˆ;
dθ
Risulta quindi:
(4.31)
& dOP d(ρû )
 dû  dθ 
v=
=
= ρ û + ρ  
dt
dt
 dθ  dt 
ossia
&
v = ρ û + ρθ τˆ = v ρ û + v θ τˆ
ed anche:
&
2
& dv d ρ û + ρθ τˆ
2 û + 1  d ρ θ
a=
=
= ρ − ρϑ

dt
dt
ρ  dt
(
) (
)
( ) τˆ


(4.32)
ossia:
&
a = a ρ û + a θ τˆ
9
Le quantità v ρ , v θ e a ρ , a θ rappresentano le componenti radiale e trasversa della velocità e
dell’accelerazione, rispettivamente.
4.12 Velocità areolare
All’istante t=0 l’elemento materiale si trovi in P*, all’istante t esso sia nel punto P (Fig.6). Si
consideri la funzione A(t) che fornisce l’area spazzata dal raggio vettore OP nell’intervallo
temporale [0,t]. La derivata temporale di A(t) è la velocità areolare all’istante t.
y
P(t+∆t)
ρ'
P(t)
ρ
S
θ
x
θ+∆θ
Fig. 4.8
Come risulta dalla figura 6, valgono le seguenti disuguaglianze:
1 2 ∆θ ∆A 1 2 ∆θ
ρ
≤
≤ ρ′
2
∆t
∆t 2
∆t
dalle quali, passando al limite e tenendo conto che limρ' = ρ , segue che:
∆t→ 0
1
A = ρ 2θ
2
(4.33)
Utilizzando le formule di conversione tra coordinate polari e cartesiane ed effettuando la
derivata temporale della θ(t) tramite le derivate parziali rispetto ad x ed y, dopo alcuni
passaggi che vengono omessi, si ottiene la seguente espressione cartesiana per la velocità
areolare:
1
A = ( xy − yx )
2
(4.34)
10
4.13 Moti centrali
Sono moti per i quali l’accelerazione vettoriale è diretta costantemente verso un punto fisso O.
La definizione implica che:
&
OP × a ≡ 0
(4.35)
da cui segue:
&
&
d (OP × v ) dOP &
dv
&
=
× v + OP ×
= OP × a ≡ o
dt
dt
dt
e quindi :
& &
OP × v = k = cos t .
(4.36)
la quale implica che, durante il moto, il vettore OP(t) rimane costantemente ortogonale al
&
vettore costante k e quindi che il moto è piano.
In un moto centrale rimane costantemente nulla, sulla base della definizione, la componente
trasversale della accelerazione:
( ) 
2
1 d ρ θ
aθ = 
ρ  dt

(4.37)

Ciò implica che durante il moto rimanga costante la quantità sotto il segno di derivata, che è
uguale al doppio della velocità areolare:
2 A = ρ 2θ = c
(4.38)
Si conclude, quindi, che in un moto centrale rimane costante la velocità areolare.
4. Moto circolare
Si tratta di un moto piano per il quale il raggio vettore OP(t) ha modulo costante (ρ=cost.). Si
ha pertanto
− ρθ 2 = −ρθ 2
v ρ = ρ = 0 a ρ = ρ


 v θ = ρθ  a θ = ρθ + 2ρ θ = ρθ
y
(4.39)
Con riferimento al sistema di ascisse curvilinee ed
alle notazioni di fig. si ha:
s = ρθ ;
s = ρθ ;
s = ρθ
ρ
s
x
Fig. 4.9
11
Moto circolare uniforme
Essendo s = ρθ = cost , risulta a θ = 0 . L’accelerazione è quindi diretta costantemente verso un
punto fisso (il centro della circonferenza) ed il moto è centrale. Risulta inoltre:
dθ = θ 0 ⇒ θ = θ 0 t + θ 0
dt
(4.40)
In coordinate cartesiane si ha:
(
(
x = ρ cos θ 0 t + θ 0

 y = ρ sin θ 0 t + θ 0
)
)
(
x = − θ 0 ρ sin θ 0 t + θ 0

 y = θ 0 ρ cos θ 0 t + θ 0
(
)
)
(
(
x = − θ 02 ρ cos θ 0 t + θ 0

2
 y = − θ 0 ρ sin θ 0 t + θ 0
)
)
(4.41)
Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π, pertanto le coordinate di Q
riassumono lo stesso valore se la variabile temporale t è incrementata di una quantità
T = 2π θ 0 che rappresenta il periodo temporale del moto. La frequenza ν rappresenta il
numero di cicli effettuati in un secondo ed è quindi data da: ν = 1 T = θ 0 2π
Moto armonico
L’elemento materiale P si muova di moto circolare uniforme, la sua proiezione Q su un
diametro, assunto come asse delle x, obbedisce alla (4.42):
(
)
x = − θ 02 ρ cos θ 0 t + θ 0 = − θ 02 ρ
(4.42)
L’equazione del moto e’ quindi del tipo:
x + ω 2 x = 0
(4.43)
dove si è posto: ω 2 = θ 02 . La quantità ω viene detta pulsazione del moto armonico.
La (4.43) è un’equazione differenziale lineare, omogenea a coefficienti costanti. Il suo
integrale generale, cioè l’insieme di tutte e sole le sue soluzioni, è il seguente:
x ( t ) = A sin (ωt + ϕ)
(4.44)
dove A e ϕ sono costanti arbitrarie da determinarsi sulla base delle condizioni iniziali
(posizione e velocità iniziali).
12