Problemi: teoria cinetica dei gas
1.
La massa totale di un pallone aerostatico e del suo carico (esclusa l’aria all’interno) è
mp=200 kg. Il volume del pallone è Vp = 400 m3.
L’aria esterna ha una temperatura T = 10.0 0C e pressione p= 1 atm = 1.013 105 Pa.
Determinare a quale temperatura deve essere scaldata l’aria nel pallone affinchè
possa decollare.
[ densità dell’aria a 10.0 0C pari a 1.25 kg/m3
composizione aria secca nel pallone:
20 % O2 e 80% N2]
y
perché il pallone decolli devo avere
equilibrio nelle forze
(forze peso e spinta idrostatica FA):
r
r
r
( Fg ) aria + ( Fg ) pallone + FA = 0
∑F
y
= −( Fg ) aria − ( Fg ) pallone + FA = 0
y
FA = ( Fg ) pallone + ( Fg ) aria = ( Fg ) pallone + maria g
FA = (maria ) spostata g = ρ ariaVg
= (1.25 kg / m 3 )(400m 3 )(9.8m / s 2 ) = 4900 N
( Fg ) pallone = m p g = (200kg )(9.8m / s 2 ) = 1960 N
maria =
( Fg ) pallone − FA
g
=
(1960 − 4900) N
= 300kg
2
9.8 m / s
calcolo il numero di moli di aria entro il pallone
n=
=
maria
300kg
=
M aria (0.20 × 32.0 g / mol ) + (0.80 × 28.0 g / mol )
300kg
28.8 × 10 −3
kg
mol
= 1.04 × 10 4 mol
dall’ equazione di stato dei gas perfetti:
pV
(1.013 × 105 Pa )(400 m 3 )
T=
=
= 470 K
4
nR (1.04 × 10 mol )(8.315 J / mol ⋅ K )
2.
Un cilindro verticale di sezione A è limitato superiormente da un pistone di massa m,
che può scorrere senza attrito.
a) Se nel cilindro ci sono n moli di gas perfetto a temperatura T, determinare
l’altezza h a cui il pistone sarà in equilibrio sotto l’azione del proprio peso.
b) quanto vale h se n = 0.200 moli, T = 400 K, A = 0.00800 m2 e m = 20.0 kg ?
a) all’equilibrio, devo avere risultante nulla
y
delle forze sul pistone
∑F
y
= − p0 A − mg + pA = 0
(1)
p0
y
applico equazione di stato dei gas perfetti
pV = pAh = nRT
p=
nRT
Ah
che sostituita in (1) fornisce:
− p0 A − mg +
h=
nRT
A=0
Ah
nRT
p0 A + mg
b)
h=
nRT
p0 A + mg
=
(0.2mol)(8.315J / mol ⋅ K )(400K )
(1.013×105 Pa)(0.00800m2 ) + (20.0kg)(9.8m / s 2 )
=
665 Nm
= 0.661m
810N + 196N
p
3.
Un cilindro di raggio R= 40.0 cm e profondo h0=50.0 cm è riempito d’aria a T=20.0 0C
e p0 = 1 atm.
Un pistone di 20.0 kg viene abbassato nel cilindro, comprimendo l’aria intrappolata
all’interno. Infine, un uomo di 75.0 kg sale sul pistone comprimendo ulteriormente
l’aria che rimane a 20.0 0C.
a) di quanto si abbassa (∆h) il pistone
quando l’uomo sale su di esso?
b) a quale temperatura si deve riscaldare
il gas perché sollevi il pistone e
l’uomo di nuovo alla quota hi ?
[quota originaria del pistone]
a) applico l’equazione di stato
dei gas perfetti
pV = nRT
con T = costante.
Nel caso di solo pistone:
pV = p0V0
p(Ahi) = p0(Ah0)
Ricavo hi:
hi =
p0 Ah0
=
pA
con p = p0 + mpg/A [mp = 20.0 kg massa pistone]
p0 h0
h0
0.5m
=
=
= 49.81 cm
mp g
mp g
(20.0kg )(9.8m / s 2 )
1+
p0 +
1+
A
p0 A
(1.013 105 N / m 2 )π (0.4 m) 2
Ora sale l’uomo sul pistone: rifaccio i calcoli precedenti utilizzando la massa M + mp
h' =
p0 Ah0
=
pA
p0 +
p0 h0
=
(M + m p ) g
A
1+
h0
=
(M + m p ) g
p0 A
0.5m
= 49.10 cm
(95.0kg )(9.8m / s 2 )
1+
(1.013 105 N / m 2 )π (0.4 m) 2
∆h = hi − h' = 49.81 cm − 49.10 cm = 7.06 mm
b) nel processo di riscaldamento p rimane costante. Dalla eq. dei gas perfetti:
Vf
Vi
Ah i Ah'
⇒
=
Tf
Ti
Tf
Ti
hi
49.81× 10 −2 m
= 297 K = 24 0C
T f = Ti = (20.0 + 273.0) K
−2
h'
49.10 × 10 m
=
4. a) Quanti atomi di elio riempiono un pallone di un diametro di 30.0 cm a 20.0 0C e 1 atm
b) quale è l’energia cinetica media per ciascun atomo di elio ?
c) quale è la velocità quadratica media di ciascun atomo ?
a)
Il numero N di atomi del pallone è pari a N = n NA , con n = numero di moli ed NA
numero di Avogadro.
Ricavo n dalla equazione di stato dei gas perfetti:
n = pV/RT
ove il volume del pallone è pari a :
4
4
V = πR 3 = π (15.0 × 10 − 2 m) 3 = 1.41× 10 − 2 m 3
3
3
da cui:
(1.013 ×105 Pa)(1.41×10 −2 m 3 )
n=
= 0.588 mol
(8.315 Nm / mol ⋅ K )(20.0 + 273.0) K
N = nN A = (0.588 mol )(6.02 ×10 23 molecole / mol ) = 3.54 ×10 23 atomi
b) Energia cinetica media:
K=
1 2 3
3
mv = k BT = (1.38 × 10 − 23 J / K )(293K ) = 6.07 × 10 − 21 J
2
2
2
c) Calcolo la velocità quadratica media dalla energia cinetica:
vrqm = v 2 =
2K
m
Un atomo di He ha massa:
m = M/NA= (4.0026 g/mol)/(6.02 10-23 molecole/mol)
= 6.65 10-24 g = 6.65 10-27 kg
ove M = 4.0026 g/mol è la massa molare
da cui:
2(6.07 × 10 −21 J )
2
vrqm = v =
= 1.35 km / s
6.65 ×10 − 27 kg
