Cap 4 Fluidi

Fluidi
Cap 4
Fluidi
Introduzione
La meccanica dei fluidi svolge un ruolo essenziale per comprendere e spiegare effetti e fenomeni fisici
che spaziano da scale microscopiche a scale delle dimensioni astronomiche.
Oltre gli aspetti concettuali essa investe tutta una serie di argomenti di enorme rilevanza per le attivitá
umane; dalla circolazione dele masse d’acqua negli oceani e nei fiumi, ai processi atmosferici, nonché nelle
applicazioni pratiche quali quelle aeronautiche.
Alcuni esempi fra i molti che si potrebbero considerare permettono di apprezzare meglio l’ubiquitá del
ruolo giocato dalla meccanica dei fluidi e la diversitá dei campi nei quali le sue leggi si fanno sentire.
Come primo esempio si consideri quello delle applicazioni aeronautiche.
Il progetto di un aereo deve soddisfare a delle esigenze in principio semplici; assicurare una forza di sostentamento(la portanza) e nello stesso tempo minimizzare la resistenza durante il volo sempre mantenendo
opportuni margini di sicurezza durante in particolare le fasi delicate di decollo e di atterraggio.
Sono le modalitá di scorrimento degli strati d’aria intorno alle ali che permettono di generare adeguate
differenze di pressione fra parte superiore e parte inferiore dell’ala e quindi generare la portanza.
Le velocitá di flusso vanno da alcuni m s−1 a diverse centinaia di m s−1 e le scale di lunghezza
caratteristiche sono dell’ordine di metri.
Scendendo nella scala di lunghezze un esempio è fornito dalla circolazione del sangue attraverso la rete
di arterie, vene, capillari con diametri che variano da diversi millimetri a alcuni micron.
Il ruolo della circolazione sanguigna è trasportare ossigeno agli organi del corpo umano.
A differenza del caso precedente il ruolo principale del flusso del sangue è trasportare una sostanza in
soluzione(i globuli rossi oltre agli altri componenti del sangue).
Il fluido in questo caso non è piú un corpo semplice in fase liquida ma un fluido complesso che contiene
una sospensione di corpuscoli deformabili, di ioni di macromolecole etc.
Ció non ostante su scala macroscopica esso puó venir descritto dalle stesse equazioni che descrivono il
flusso dell’acqua o dell’aria.
Su scale terrestri dell’ordine dei km i movimenti dei ghiacciai e il flusso delle colate laviche obbediscono
alle stesse leggi e cosı́ pure fenomeni come le brezze marine o i flussi d’aria associati a cellule convettive.
I materiali che costituiscono il mantello terrestre sono essi pure assimilabili a un fluido(molto viscoso)che
puó fluire se osservato su scale di tempo molto lunghe.
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Fluidi
(Figura da : it.wikipedia.org/wiki/ File : Grosser Aletschgletscher 3196.jpg)
(Figura da : en.wikipedia.org/wiki/File:PahoehoeLava.jpg)
Su scale molto piú grandi la differenza di temperatura fra zone polari e zone equatoriali induce dei
flussi di gigantesce quantitá d’aria nell’atmosfera o di enormi quantitá d’acqua nelle correnti oceaniche.
Su scale astrofisiche le esplosioni delle supernove con i relativi associati fronti d’urto e il flusso di masse
gassose e di residui di nuclei sono un altro esempio ove nuovamente entrano in gioco le leggi della meccanica
dei fluidi.
Non è quindi cosı́ banale definire che cosa è un fluido.
In meccanica un solido è definito come tale a partire dalla sua risposta elastica;la deformazione cresce
linearmente con la sollecitazione applicata e rimane in generale piccola fin tanto che non si arriva al limite
di rottura.
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Fluidi
In un fluido invece la sollecitazione puó essere molto grande senza che vi sia rottura di coesione(cioé
che si separi in parti sconnesse).
In generale in un fluido reale(quindi viscoso) è la velocitá di deformazione(e non l’ampiezza della stessa)
che è proporzionale alla intensitá della sollecitazione.
Anche qui bisogna peró tener presente che la situazione puó essere piú delicata e certe sostanze si
comportano come fluidi per sollecitazioni di intensitá piccola mentre si comportano all’incirca come solidi
per sollecitazioni piú intense ma si tratta pur sempre di situazioni un pó eccezzionali.
Il concetto di fluiditá dipende dalla scala spaziale(come nel caso di un ghiacciaio) e/o dal tempo di
osservazione(come la deformazione delle rocce).
Per inciso lo studio di come fluisce una certa sostanza(disciplina che prende il nome di reologia) è
importante in numerose applicazioni pratiche(vernici, adesivi, agroalimentare,..)
Vi è un legame fra la struttura microscopica e le proprietá macroscopiche meccaniche ma le relazioni
fra struttura microscopica e proprietá meccaniche sono in generale difficili da stabilire.
Si consideri ad esempio cosa avviene allorché si aggiunge un polimero di massa molecolare elevata in
un solvente.
Anche una piccola quantitá di polimero(0.1 % in massa)è sufficiente per modificare drasticamente la
viscositá della soluzione a causa dei legami fra le catene di macromolecole.
Pure in un fluido semplice come l’acqua o l’aria si presenta il problema della scala di osservazione.
Su piccole scale non è possibile ignorare la natura molecolare del fluido. Su tali scale le proprietá fisiche
del fluido variano notevolmente da un punto all’altro.Ma se si considera un volume sufficientemente grande
a livello microscopico le proprietá del fluido mediate su un gran numero di molecole non dipendono piú (o
quasi) dalle coordinate spaziali.
Un volume grande a livello microscopico è tipicamente molto piccolo a livello macroscopico e ció
giustifica l’approssimazione di continuitá e il fatto che i valori medi calcolati sul volumetto descrivano i
valori “locali” in senso macroscopico.
In un gas il limite di validitá dell’ipotesi di continuitá è dato dal valore del libero cammino medio.
A pressioni sufficientemente basse(ad esempio negli strati superiori della atmosfera o nei dispositivi a
ultravuoto) la distanza media fra le molecole del gas diventa piú grande delle dimensioni caratteristiche
associate al flusso e non si possono piú applicare applicare direttamente le leggi classiche della meccanica
dei fluidi.
Per concludere queste considerazioni generali vale la pena di fare un accenno a sostanze granulari come
le polveri, la sabbia, etc..
Osservando il flusso regolare della sabbia che si svuota da un recipiente, ad esempio una clessidra, si è
portati a considerare tale flusso come flusso di un fluido.
Si sarebbe di conseguenza tentati di analizzare il fenomeno in modo analogo al flusso di un fluido con
certe opportune caratteristiche meccaniche..
In realtá la cosa non funziona; le leggi della meccanica dei fluidi non sono valide in questa situazione.
Per altro la fisica dello “scorrimento della sabbia” è un capitolo ancora in evoluzione e non ancora
ben compreso non ostante la rilevanza delle conseguenze pratiche.Si pensi al problema delle frane e degli
scivolamenti di terreno nonché al problema di come si comportano e di come vadano trattati numerosi
materiali che sono immagazzinati e trasportati in forma di polveri (cementi,cereali,..)
Nei paragrafi seguenti non verranno considerate situazioni di questo tipo e i fluidi verranno considerati
come sistemi continui le cui proprietá fisiche e le leggi della dinamica sono descritte da funzioni continue
delle variabili spaziali.
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Fluidi
Caratteristiche generali
Immaginiamo di tenere fra le mani un pacco di fogli e applicare una forza diretta parallelamente ai
piani dei fogli.
Si puó osservare che fintanto che la forza applicata non eccede un certo valore i fogli rimangono
appicicati fra loro e ció è dovuto alla forza di attrito che si esercita fra fogli contigui. Al di lá di un certo
valore della forza esercitata i fogli cominciano a poter scorrere uno rispetto all’altro con un moto che nel
caso dei fluidi verrá chiamato di tipo laminare.
Nel caso di un solido come un blocco di metallo si osserverebbe che il solido si deforma un poco se la
forza è sufficientemente grande e che esso ritorna alla configurazione iniziale se la forza applicata viene
rimossa.
Se la forza è superiore a un certo valore critico si ha la rottura del solido.
Un fluido è un sistema fisico che puó invece deformarsi con continuitá se soggetto all’azione di una
forza di taglio cioé una forza che tende a far scorrere uno strato del sistema rispetto a uno strato vicino
indipendentemente dalla intensitá della forza.
Allo scorrimento si oppone una forza di attrito interno tuttavia il fluido non puó opporsi allo scorrimento.
Non esiste cioè l’analogo di una forza di attrito statico che permetta una situazione di equilibrio in
presenza di una sollecitazione esterna come ad esempio avviene per l’attrito statico radente nel caso dei
solidi.
Un fluido ideale, che è il caso limite che considereremo inizialmente e che rappresenta spesso una buona
approssimazione, è tale che per piccola che sia la forza tangenziale applicata si ha comunque scorrimento
del fluido.
Un ovvio corollario è quindi che in un fluido ideale in equilibrio meccanico non possono essere presenti
sforzi di taglio in nessun punto.
Pertanto per un fluido in quiete le forze su un elemento di fluido devono essere perpendicolari alle
superfici di separazione che delimitano l’elemento stesso.
Nella grande maggioranza dei casi i fluidi con cui si ha a che fare sono liquidi o gassosi.
I fluidi con i quali siamo familiari sono l’acqua e l’aria.
Una loro caratteristica generale è di non avere forma propria ma di adattarsi a quella del recipiente ch
li contiene anche se vi sono delle eccezioni quali il vetro che non ostante il suo aspetto apparente di solido
è in realtá un liquido molto viscoso.
La distinzione fra liquidi e gas è sostanzialmente irrelevante in meccanica dei fluidi.
Le molecole di un liquido sono in intimo contatto con quelle circostanti e il loro spostamento da una
posizione a un’altra è il risultato di una lunga sequenza di piccoli spostamenti.
Nei gas invece le molecole sono assai distanti le une dalle altre e una molecola puó percorrere delle
distanze lunghe(a livello molecolare)fra due collisioni consecutive con un libero cammino medio grande
rispetto alle dimensioni molecolari.
In meccanica dei fluidi il fluido non è peró trattato come un insieme di molecole ma come un mezzo
continuo caratterizzato da un piccolo numero di parametri quali la densitá, il cefficiente di comprimibilitá,
la viscositá e cosı́ via.
La distinzione essenziale fra liquidi e gas dal punto di vista della meccanica dei fluidi è che i liquidi
condensano vale a dire che un liquido posto in un contenitore avente una superficie libera vi rimane indefinitamente mentre una sostanza gassosa si disperde immediatamente se non è racchiusa in un contenitore
stagno.
I fluidi che considereremo(a parte altre distinzioni)saranno : isotropi e Newtoniani(cioé tali da obbedire
ad una relazione lineare fra sforzi di taglio applicati e deformazioni).
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Tensore degli sforzi
Le considerazioni di questo paragrafo riguardano un fluido generico.
In base alle considerazioni precedenti non si puó parlare di forza applicata in un punto del fluido.
Dobbiamo invece considerare degli elementi di volume del fluido.
É ossibile classificare le forze che si esercitano sulla materia del fluido in due categorie; forze cosidette
di8 volume e forze di superficie.
Ad esempio la gravit1á esercita la sua azione su distanze enormemente grandi rispetto alle distanze
intermolecolari e quindi la forza di gravit1’a su un elemento di volume del fluido é proporzionale alla massa
e quindi al volume stesso.
La forza di gravitá é quindi una forza di volume .
Viceversa le forze intermolecolari hanno un range dell’ordine di grandezza delle dimensioni molecolari
benché siano di originee elettromagnetica.
Queste interazioni a corto range, quando consideriamo le forze che il resto del fluido esercita su elemento di volume, influiscono quindi solamente su uno strato esterno molto sottile dell’elemento di fluido
considerato.
La risultante delle forze dei interazione sa corto range ṕroporzionale alla superficie che delimita
l’elemento di fluido considerato e non dipende dal suo volume.
Per descrivere le forze di superficie consideriamo un elemento di superficie δA,ad esempio un triangolo,
posto all’interno del fluido; sia n̂ il versore normale alla superficie .
Le risultante delle forze esercitate dal fluido che si trova da una parte della superficie sul fluido che si
trova dall’altro lato sia indicata : T (n̂)δA.
per convenzione T é la forza esercitata dalla parte di fluido verso la quale punta la normale n̂.
Consideriamo ora un tetraedro che ha per base il triangolo di area δA e e i cui altri tre spigoli corrispondono ai segmenti tracciati parallelamente agli assi cartesiani del sistema di riferimento scelto e passanti
per i tre vertici del triangolo.
Le tre faccie cosı́ ottenute sono pertanto perpendicolari ai versori î, ĵ, k̂ degli assi coordinati x, y, z.
La risultante delle forze di superficie che agiscono sul tetraedro é
T (n̂)δA + T (−î)δAx + T (−ĵ)δAy + T (−k̂)δAz
essendo δAx , δAy , δAz le aree delle tre faccie del tetraedro perpendicolari agli assi coordinati.Tali aree sono
peraltro la proiezione di δA sui piani yz, xz, xy e quindi
δAx = δAî · n̂ , δAy = δAĵ · n̂ , δAz = δAk̂ · n̂
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Fluidi
Inoltre si ha che : T (−n̂) = −T (n̂)
La risultante delle forze puó quindi venir scritta
h
i
T (n̂) − T (î)iî · n̂ − T (ĵ)j î · n̂ − T (k̂)kî · n̂ δA
L’equazione della dinamica per il tetraedro é
massa × accelerazione = risultante delle forze
Poiché la massa, se si fanno tendere a zero le dimensioni lineari del tetraedro, va come ∝ δA3/2 l’uguaglianza
puó venir soddisfatta solo se il coefficiente di δA é nullo, cioé
T (n̂) = T (î)iî · n̂ + T (ĵ)j î · n̂ + T (k̂)kî · n̂
Ad esempio la componente x della forza vale :
Tx (n̂) = Tx (î)n+ Tx (ĵ)ny + Tx (k̂)nz
Si puó scrivere in forma piú generale che
Ti (n̂) =
P
j
Tij nj
ove le quantitá Tij rappresentano le componeenti di un tensore ; il tensore degli sforzi.
Le componenti diagonali del tensore, che sono le componenti normali, descrivono gli sforzi normali che
sono anche chiamate pressioni.
Le possiamo indicare per l’uso nel seguito come
p1 = T11 , p2 = T22 , p3 = T33
Le componenti fuori dalla diagonale descrivono gli sforzi tangenziali.
Le componenti del tensore non sono peró tutte indipendenti.
Per convincersi di ció si consideri un elemento cubico infinitesimo del mezzo il cui centro, P , coincide con
il punto che stiamo considerando e i cui lati siano parralleli agli assi di una terna cartesiana di riferimento,
(x1 , x2 , x3 ), scelta.
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Fluidi
Sia d(infinitesimo) la lunghezza di ogni spigolo.
Siano p1 d2 , p2 d2 , p3 d2 le componenti lungo i tre assi coordinati delle forze agenti sulle faccie del cubo
che sono perpendicolari agli assi (x1 , x2 , x3 )
Tali forze sono gli sforzi normali o forze di pressione.
Le componenti delle forze che sono tangenziali cioé parallele alle faccie del cubo, ad esempio T12 d2 ,
sono gli sforzi di taglio.
Il primo indice indica la direzione della forza ed il secondo indice corrisponde alla direzione della
normale al piano considerato
Per ogni proiezione la risultante delle forze di pressione che agiscono su ogni faccia deve essere nulla
che il mezzo sia in equilibrio o no.
Altrimenti ogni differenza fra ad esempio p1 su una faccia e p1 sulla faccia opposta darebbe origine a
una forza proporzionale a d2 agente su una massa proporzionale a d3 e quindi risulterebbe un’accelerazione
infinita.
Lo stesso tipo di considerazioni mostra che T12 e T21 devono essere uguali.
Ad esempio la componente lungo l’asse x3 della coppia dovuta agli sforzi di taglio T12 e T21 é
M3 = T12 (d)2 d − T21 (d)2 d = (T12 − T21 )d3
e l’equazione del moto risulterebbe quindi essere, indicando con δI il momento d’inerzia del cubetto rispetto
all’asse x3
δI ω̇ = M3
Poiché δI ∝ d5 mentre M3 ∝ d3 quando si fa tendere d → 0 si avrebbe un’accelerazione angolare che tende
ad infinito a meno che
T12 = T21
Il fatto che gli sforzi di taglio abbiano questo tipo di simmetria è uno dei principi cardini della teoria
dell’elasticitá e della meccanica dei fluidi.
Poiché T12 e T21 sono uguali possiamo indicarli con un solo simbolo T3 dove l’indice 3 indica l’asse
attorno al quale gli sforzi di taglio tenderebbero a indurre rotazione.
In conclusione l’insieme delle forze che agiscono sull’intorno di P è descritto da 6 numeri :
3 pressioni, p1 , p2 , p3 e tre sforzi di taglio T1 , T2 , T3 .
Vale la pena di osservare che la proprietá di simmetria del tensore non é una proprietá generale.Per un
fluido non isotropo o ad esempio un materiale magnetico immerso in un campo magnetico esterno non é
vero che il tensore sia simmetrico.
La descrizione fatta non dipende dalla scelta del sistema di assi coordinati e si vede immediatamente
che gli sforzi che agiscono attraverso un generico piano passante per P sono determinati dalle 6 grandezze
sopra definite.
Si consideri ad esempio il piano diagonale che divide in due il cubetto originario.
Le forze che agiscono su ciascuno dei due prismi devono bilanciarsi in base allo stesso argomento di
prima.Scrivendo le componenti risultanti lungo la direzione DB ed AC e indicando con p01 e T30 pressione
e sforzo di taglio sulla superficie AC si ha
!
√ 2 0
p2
T30
p1
2d p1 = √ + √ − 2 √
d2 → 2p01 = p1 + p2 − 2T3
2
2
2
2T30 = p1 − p2
Queste equazioni dicono come le componenti della pressione e dello sforzo di taglio si trasformano passando
dal sistema originale a un sistema ruotato di π/4 attorno all’asse x3 .
Immaginando di dividere il cubo con l’altro piano diagonale BD si arriverebbe alle relazioni
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Fluidi
2p02 = p1 + p2 + 2T3 ,
2T30 = p1 − p2
Da queste si dedurrebbe quindi che
p01 + p02 = p1 + p2
Se si considerassero anche le altre proiezioni è semplice concludere che la pressione media p
p=
p1 + p2 + p3
3
è invariante per rotazioni degli assi coordinati.
Su un piano generico passante per P , indicando con n̂ = (nx , ny , nz ) il versore normale al piano stesso,
la pressione è esprimibile come
p = p1 nx + p2 ny + p3 nz
Nel caso particolare di un fluido ideale in equilibrio gli sforzi di taglio devono essere nulli altrimenti
ci sarebbe scorrimento di uno strato di fluido rispetto a quello vicino.
Ne segue immediatamente dalle relazioni precedenti che allora
p1 = p2 = p3
Questo risultato che afferma che in un fluido ideale in equilibrio meccanico gli sforzi sono descritti da una
sola quantitá scalare, la pressione p, che si esercita sempre normalmente a qualunque elemento di superficie
si consideri è l’enunciato del teorema di Pascal
In termini microscopici la pressione agente su un elemento di superficie dS è la conseguenza degli urti
che le molecole a sinistra della superficie subiscono con quelle a destra (o viceversa) e del conseguente
trasferimento di quantitá di moto.
Le azioni subite da parte di un elemento di fluido per effetto delle regioni contigue agiscono nel verso
di comprimerla ma mai di sottoporla a trazione.
Come sopra menzionato la pressione è una grandezza scalare(in generale funzione del punto).
La sua unitá di misura nel sistema S.I. è il pascal.
1 pascal = 1 N m−2
Un’altra unitá molto utilizzata è il bar
1 bar = 105 pascal
In un fluido in quiete il tensore degli sforzi é isotropo.
Gli sforzi di taglio sono nulli e le tre componenti normali sono uguali
p1 = p2 = p3
T1 = T2 = T3 = 0
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Fluidi
Statica dei Fluidi
Fluidi ideali
Le considerazioni svolte in questo paragrafo presuppongono una descrizione molto semplificata del
comportamento di un fluido. Ció non ostante si possono dedurre diverse proprietá fondamentali dei fluidi
che sono valide con buona appossimazione anche per fluidi reali.
Considereremo cioé fluidi ideali intendendendo con ció fluidi tali che oltre ad essere omogenei ed isotropi
hanno le proprietá :
1. il fluido sia incompressibile altrimenti detto che la sua densitá non dipenda dalla pressione
2. il fluido abbia viscositá nulla. La definizione precisa di viscositá verrá formulata piú avanti ma il
significato è che su qualunque elemento di fluido che possiamo considerare non agiscono sforzi di
taglio.
Le uniche forze agenti sulla superficie(quale che sia la sua forma)che delimita un elemento di fluido
sono forze normali alla superficie cioé forze di pressione.
Ció è valido sia nel caso della statica che della dinamica
Nel caso particolare di un fluido ideale in equilibrio gli sforzi di taglio devono essere nulli altrimenti
ci sarebbe scorrimento di uno strato di fluido rispetto a quello vicino.
Ne segue immediatamente dalle relazioni precedenti che allora
p1 = p2 = p3
Questo risultato che afferma che in un fluido ideale in equilibrio meccanico gli sforzi sono descritti da una
sola quantitá scalare, la pressione p, che si esercita sempre normalmente a qualunque elemento di superficie
si consideri è l’enunciato del teorema di Pascal
In termini microscopici la pressione agente su un elemento di superficie dS è la conseguenza degli urti
che le molecole a sinistra della superficie subiscono con quelle a destra (o viceversa) e del conseguente
trasferimento di quantitá di moto.
Le azioni subite da parte di un elemento di fluido per effetto delle regioni contigue agiscono nel verso
di comprimerla ma mai di sottoporla a trazione.
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Fluidi
Equazione della statica dei fluidi ideali
Le forze esterne agenti su un fluido possono essere distinte in due classi : forze di volume e forze di
superficie.
Ad un fluido possono venir applicate forze agenti su ogni elemento di massa del corpo, come le forze
ad esempio dovute al campo gravitazionale, o forze di natura magnetica e/o elettrica o ancora ad esempio
in sistemi rotanti la forza centrifuga,etc. Tali forze hanno modulo proporzionale al volume dell’elemento
di fluido considerato e vengono pertanto denominate forze di volume.
Ma sono in generale anche presenti forze agenti solo sulla superficie, ossia forze superficiali, il cui
modulo è proporzionale alla superficie che racchiude l’elemento di fluido considerato.
Tali forze che descrivono lazione sullelemento di fluido considerato da parte del resto del fluido vengono
genericamente denominate sforzi.
Gli sforzi sono quindi forze di superficie.
Se ad esempio consideriamo all’interno del fluido un generico elemento di superficie dS e defininiamo
un verso positivo per la normale alla superficie possiamo considerare l’insieme delle forze che le particelle
situate dalla parte della faccia negativa della superficie esercitano su quelle situate dalla parte della faccia
positiva e viceversa.
La risultante di tutte le forze che gli elementi di fluido situati dalla parte della faccia negativa della
superficie esercitano su quelli situati dalla parte opposta è lo sforzo sulla faccia negativa di dS.
Esso è proporzionale a dS ; si definisce come sforzo specifico lo sforzo per unitá di superficie.
Nel caso di un fluido ideale lo sforzo specifico è la forza di pressione.
Nel caso di fluidi reali come vedremo ci sono anche le forze di attrito interno e quindi lo sforzo specifico
avrá anche componenti di taglio cioé parallele alla superficie considerata.
Considerato un volumetto di fluido di densitá ρ delimitato da una superficie di area dΣ che racchiude
un volume dV si puó scrivere la risultante delle forze di superficie, dF S ,e di quelle di volume, dF V , agenti
su di esso nella forma
r
dF = dF S + dF V = dΣ dF S + ρG dV
avendo indicato con G la risultante delle forze di volume per unitá di massa.
Supponiamo che l’elemento di volume sia un cubetto con i lati dx, dy, dz paralleli agli assi coordinati
Per l’equilibrio di un sistema meccanico è necessario che la risultante delle forze esterne agenti sul
sistema sia nulla.
Imponendo che le componenti lungo gli assi coordinati della risultante si annullino si puó scrivere per
la componente x(e espressioni analoghe per le altre due componenti y e z)
p(x, y, z)dy dz − p(x + dx, y, z)dy dz + ρGx dx dy dz = 0
e a meno di termini di ordine superiore al primo e data l’arbitrarietá della scelta delle dimensioni del
volumetto
−
∂p
∂p
dx dy dz + ρGx dx dy dz = 0 →
− ρGx = 0
∂x
∂x
Relazioni analoghe si ottengono per le le componenti y e z.
Si puó pertanto scrivere in forma vettoriale la condizione di equilibrio
∇p = ρG
Nel caso particolare che la forza di volume sia solamente la forza peso si puó scrivere scegliendo ad
esempio un sistema di assi coordinati con l’asse z diretto verso l’alto e in un volume spaziale ove il campo
gravitazionale sia uniforme
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Fluidi

∂p
∂p



=
=0
∂x
∂y
G = (0, 0, −g) →

∂p


= −ρ g
∂z
Se il campo G è conservativo e puó quindi venir espresso in termini di un’energia potenziale Φ per unitá
di massa, G = −∇Φ, si ha
∇p = −ρ∇Φ
Se la densitá è costante(fluido incomprimibile)si deduce che
p = −ρ Φ + cst
Le superfici a pressione costante dette superfici isobariche sono anche superfici equipotenziali.
Nel caso che sia presente la sola forza gravitazionale le superfici libere dei liquidi, sulle quali la pressione
è costante e pari alla pressione atmosferica, dovendo anche essere equipotenziali sono superfici piane
orizzontali.
Un altro esempio di forze di volume di natura molto diverso è rappresentato dalle forze che agiscono su
un liquido contenuto in un recipiente(ad esempio cilindrico) posto in rotazione attorno al suo asse verticale
con velocitá angolare ω costante.
Nel sistema del laboratorio il liquido è in moto.
Nel sistema solidale con il recipiente ruotante il liquido dopo un periodo transitorio iniziale assume
una configurazione di equilibrio che vogliamo calcolare.
Il sistema solidale con il recipiente ruotante non è peró un sistema inerziale quindi se ci poniamo in
tale sistema dobbiamo considerare anche le forze inerziali cioé la forza centrifuga nel caso presente.
Consideriamo un elemento del fluido di massa dm = ρ dV posto a distanza r dall’asse di rotazione e a
quota z rispetto ad esempio al fondo del recipiente.
L’energia potenziale complessiva dell’elemento dm è
Φ dm = g z ρ dV −
11
1 2 2
ω r ρ dV
2
Fluidi
L’equazione dell’equilibrio puó venir scritta come
#
1 2 2
p = −ρ Φ + cst → p = −ρ g z − ω r + cst
2
"
La superficie libera del liquido è il luogo dei punti sui quali la pressione ha lo stesso valore della pressione
atmosferica pa quindi tali che
"
#
1 2 2
1
pa = −ρ g z − ω r + cst → g z − ω 2 r2 = cst
2
2
È l’equazione di un paraboloide di rotazione attorno all’asse z.
La costante di integrazione puó venir determinata imponendo che l’altezza del liquido nel minimo(che
sta sull’asse) abbia un certo valore ad esempio h e quindi
z=
1 2 2
ω r +h
2g
È facile collegare h all’altezza del liquido nel recipiente fermo ricordando che il volume di un paraboloide
di rotazione è pari alla metá del volume del cilindro circoscritto
Il fatto che la superficie libera del liquido sia un paraboloide è stato sfruttato per realizzare specchi
parabolici di grandi dimensioni.
Pressione idrostatica
Nel caso di un liquido, che si supporrá incomprimibile e quindi con ρ costante, soggetto unicamente
all’azione del campo gravitazionale la pressione è come visto precedentemente descritta dalle equazioni

∂p
∂p



=
=0
∂x
∂y

∂p


= −ρ g
∂z
Integrando fra i valori di pressione p1 e p2 corrispondenti alle quote z1 e z2 si ottiene
p2 − p1 = −ρ g(z2 − z1 )
La pressione ha lo stesso valore in tutti i punti di un piano orizzontale (z costante)
La variazione di pressione fra due punti di due piani diversi è pari a : ρ g(z2 − z1 )
Se po indica il valore della pressione sulla superficie libera di un liquido il valore della pressione a una
profonditá h sotto la superficie vale
p = po + ρ g h
Questa relazione prende il nome di Legge di Stevino e la quantitá (ρ g h) viene denominata pressione
idrostatica.
Dall’equazione della statica precedentemente ricavata si deduce pure che ogni variazione di pressione
prodotta in una qualunque posizione si ritrova in qualsiasi altro punto del liquido.
Applicazione immediata di tale proprietá la si trova ad esempio(per citare solo alcuni dei casi piú
frequenti)nel torchio idraulico, nei freni idraulici, etc..
Lo schema di principio di tali dispositivi è costituito da due cilindri di sezione differente(con aree S1 e
S2 ) comunicanti fra loro contenenti un liquido opportuno e chiusi da due pistoni.
12
Fluidi
Se si applica una forza F 1 in direzione normale alla superficie del pistone piú piccolo la pressione del
liquido subirá in tutti i punti un aumento pari a : F1 /S1 .
L’incremento di pressione si fará sentire anche sul pistone 2 e quindi esso subirá una forza(che a sua
volta potrá trasmettere a un dispositivo esterno) pari a :
F2 = p S2 = F1
S2
S1
Piú grande è il rapporto fra le aree S1 ed S2 tanto maggiore sará la forza che il pistone 2 potrá applicare
a paritá di forza F1 .
Naturalmente poiché l’energia si deve conservare in assenza di attriti si avrá che la corsa ∆l1 del pistone
1 deve essere piú grande della corsa ∆l2 del pistone 2
F1 ∆l1 = F2 ∆l2 → ∆l1 = ∆l2
S2
S1
Pressione atmosferica
Le considerazioni precedenti sono valide per un fluido generico che esso sia liquido o che sia gassoso.
In particolare nel caso dell’atmosfera terrestre a livello del suolo vi è una pressione dovuta alla pressione
idrostatica della colonna d’aria verticale sovrastante il luogo di osservazione.
L’atmosfera puó venir grosso modo schematizzata come una regione che dal livello del mare si estende
fino ad altezze di ∼ 1000 km, quota alla quale è ancora rivelabile la presenza di gas neutri.
Sotto i 50 km si puó supporre che l’atmosfera abbia composizione uniforme e che possa essere trattata
come un gas perfetto.
Al di sopra di ∼ 80 km i meccanismi di diffusione e di trasporto verticale diventano importanti(a causa
della ridotta densitá)e quindi l’ipotesi di gas perfetto non è piú soddisfacente.
La pressione dell’aria varia in funzione del luogo e del tempo tuttavia la massa media al di sopra di un
metro quadrato di superficie puó venir usato per determinare una stima della pressione atmosferica media.
La massa totale dell’aria è di ∼ 5.148 1018 kg e la superficie terrestre è ∼ 51.007 1013 m2 il che
corrisponde a una pressione media di 1.013 105 P ascal.
La densitá diminuisce con l’altezza e si trova sperimentalmente che
∼ 50 % della massa si trova a altezza inferiore a 5.6 km
∼ 90 % della massa si trova a altezza inferiore a 16 km
Nell’atmosfera terrestre si distinguono abitualmente 5 regioni che hanno essenzialmente lo stessa composizione chimica ma sono caratterizzate dal diverso andamento in esse della temperatura.
13
Fluidi
1. La prima(partendo dal livello del suolo)chiamata troposfera è uno strato di aria con spessore di circa
12 − 16 km all’equatore ma di 7 − 8 km ai poli.
Essa contiene dall’80 al 90 % della massa totale di aria e quasi tutto il vapore d’acqua.
Nella troposfera la temperatura diminuisce circa linearmente con l’altezza.
La troposfera è permanentemente agitata dai venti e dalle correnti di convezione stimolate dal riscaldamento da parte del Sole del terreno sottostante.È in essa che ha praticamente luogo tutta l’attivitá
meteorologica essendo rarissime le situazioni in cui nubi e attivitá temporalesca si estendono al di lá
di essa.
2. la stratosfera si estende fino a ∼ 50 km e contiene gran parte dell’ozono.
La temperatura aumenta(anche se non regolarmente) con l’altezza
3. la mesosfera si estende fino a ∼ 80 km e in essa la temperatura diminuisce con l’altezza
4. la termosfera si estende fino a ∼ 350 − 800 km e in essa la temperatura aumenta con l’altezza
5. la esosfera si estende fino a ∼ 50000 km e in essa la temperatura rimane circa costante.
A livello del mare la densitá media dell’aria è di 1.2 kg m−3 . La densitá non è misurata direttamente
ma calcolata dai dati di temperatura e pressione ammettendo una equazione di stato(cioé una particolare
relazione fra densitá e pressione e temperatura)
Poiché a differenza dei liquidi i gas sono comprimibili non è peró lecito considerare la densitá costante
ma occorre determinare come essa cambia in funzione della pressione. L’ipotesi piú semplice di equazione
di stato dell’aria corrisponde a supporre che essa si comporti come un gas perfetto con peso molecolare
medio costante e che la temperatura della colonna sia costante.
Peso molecolare costante e temperatura costante implicano che per un gas perfetto pressione e densitá
siano legati biunivocamente.
Per questo motivo il modello isotermico è anche denominato bariotropico (la densitá dipende solo dalla
pressione).
L’equazione dei gas perfetti applicata alla colonna d’aria verticale di base unitaria diventa
14
Fluidi
pV = n R T →
p
= cst
ρ
si puó quindi scrivere indicando con l’indice o i valori al livello della superficie
p
po
=
ρ
ρo
Inserendo tale relazione nell’equazione dell’equilibrio idrostatico
dp
ρo
dp
ρo
= −g ρ = −g p →
= − g dz
dz
po
p
po
Integrando fra la quota z = 0 e la quota generica z si deduce quindi
rp
po
=−
r z ρo
ρo
g dz = − g z
0
po
po
Cioé
ρo
gz
p = p0 e po
−
che risulta in buon accordo con i valori sperimentali
L’incremento,H, di quota necessario affinché p o ρ diminuiscano di un fattore 1/e è
H=
RT
Mg
con R costante dei gas ideali, T la temperatura e M il peso molecolare medio.
Con i valori T = 273 K e M = 29 g/mol
H = RT /M g ' 8. km
15
Fluidi
In moltissime applicazioni dalla meteorologia allo studio dello sviluppo degli sciami adronici/elettromagnetici
da parte dei raggi cosmici il modello di solito usato è quello che va sotto il nome di Atmosfera Standard
U.S..
Il modello usa in parte le stesse ipotesi alla base del modello isotermico quali comportamento di gas
ideale e peso molecolare costante ma ne differisce perché utilizza una funzione piú aderente alla realtá per
descrivere l’andamento della temperatura in funzione dell’altezza.
Si tratta comunque di un’approssimazione che consiste nell’utilizzare 8 punti di temperatura a quote
diverse collegati da linee rette(quindi gradienti di temperatura costanti)mentre l’andamento reale è piú
complicato.
Ció non ostante l’andamento della pressione e della densitá vengono riprodotti abbastanza bene.
16
Fluidi
Principio di Archimede
Il Principio di Archimede o Legge di Archimede che tanta importanza svolge nelle applicazioni pratiche e
nella vita di quasi ogni giorno è in realtá un semplice corollario delle considerazioni precedenti sull’equilibrio
di un fluido e la pressione idrostatica.
Si consideri un corpo immerso(totalmente o parzialmente) in un fluido.
Sia S la superficie (reale o immaginaria) che delimita la porzione di corpo immerso nel fluido e sia V
il volume da essa definito.
Sulla superficie S agiscono delle forze di pressione dovute all’effetto del fluido circostante.
Immaginiamo di confrontare le due situazioni illustrate in figura.
In quella di destra la situazione in cui il corpo è assente il che equivale a considerare il volume racchiuso
da S riempito dal fluido stesso
In quella di sinistra la situazione con il corpo immerso e quindi il volume definito da S riempito del
materiale del corpo.
Nella configurazione di destra l’equilibrio del fluido contenuto in S è determinato dall’equilibrio fra
forza peso e risultante delle forze di pressione agenti su S.La forza peso è pari alla forza agente sulla massa
del fluido contenuta nel volume V e applicata al centro di massa di tale distribuzione.
F peso,f lu = ρf lu V g , F peso,f lu + F pre = 0 → F pre = −ρf lu V g (condizione di equilibrio del fluido)
Se ora immaginiamo di sostituire il fluido che riempie il volume V con il materiale del corpo la forza totale
agente sul corpo stesso varrá
F tot = F peso,cor + F pre = ρcorpo V g + F pre
Ma le forze di pressione che agiscono sulla superficie S dipendono solo dalla forma della superficie non da
cosa vi è all’interno e quindi sono le stesse sia che dentro la superficie S vi sia il fluido oppure il materiale
del corpo.
Di conseguenza poiché
F pre = −ρf lu V g
si deduce che
F tot = ρcorpo V g + F pre = ρcorpo V g − ρf lu V g
17
Fluidi
Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del
volume di fluido spostato ove il termine “spostato” indica una quantitá di fluido avente volume uguale
a quello del corpo immerso nel fluido.
Il punto di applicazione della spinta è il centro di massa del volume di fluido spostato ovviamente.
Dalle considerazioni sopra fatte si possono ricavare le condizioni affinché un corpo di densitá maggiore
di quella del fluido galeggi sul fluido.
Consideriamo quindi un corpo di densitá ρcorpo immerso completamente nel fluido.Su di esso agiranno
la forza peso F peso e la forza di Archimede F A .
La risultante di tali forze è
F peso + F A = ρcorpo V g − ρf lu V g
La forza risultante è diretta verso l’alto se : ρf lu > ρcorpo , verso il basso nel caso contrario.
Nel primo caso si ha galleggiamento.Il corpo viene spinto veso l’alto, emerge parzialmente e trova una
posizione di equilibrio tale che se si indica con V 0 il volume della parte ancora immersa
ρf lu V 0 g = ρcorpo V g → V 0 =
ρcorpo
V
ρf lu
Quindi galleggiano tutti i corpi la cui densitá intrinseca è minore di quella del fluido oppure quelli la cui
densitá media è inferiore(ad esempio come per le navi ove il materiale di cui sono costruite ha densitá
maggiore di quella dell’acqua ma galleggiano perché internamente vuote).
18
Fluidi
Dinamica dei Fluidi
È sovente utile poter visualizzare cosa avviene in un fluido in moto ed uno dei modi principali usati a
tale fine consiste nell’iniettare in un numero finito di punti un opportuno colorante.
Il colorante iniettato in tali punti dá luogo alla formazione di strisce o filetti colorati che sono visibili
e possono venir fotografati.
Altre volte si introducono delle piccole particelle di polveri di natura diversa che sono trasportate dal
fluido nel suo scorrere.
Se illuminate le particelle diffondono la luce e possono cosı́ venir fotografate.
La fotografia(fatta con tempi di esposizione brevi) mostra dei corti spezzoni di traccia la cui lunghezza
ed orientamento indicano la direzione delle velocitá istantanee delle particelle trasportate dal fluido e
quindi del fluido in tale punto
La linea continua che l’osservatore ricostruisce nella sua immaginazione congiungendo i diversi spezzoni
di traccia contigui prende il nome di linea di corrente o anche linea di flusso.
Piú precisamente una linea di flusso è una linea che in ogni suo punto ha la direzione(è tangente cioé)
della velocitá del fluido in tale punto e all’istante di tempo considerato.
Se si effettuasse una fotografia con un lungo tempo di esposizione e nel fluido ci fossero poche particelle
in sospensione le lunghe traccie prodotte da ogni particella rappresenterebbero il cammino effettivo da esse
seguito che sarebbe quello medio delle molecole di fluido che si trovavano inizialmente nell’intorno della
particella.
Per descrivere il moto di un fluido possono essere utilizzati due metodi.
Essi vengono rispettivamente designati come : descrizione lagrangiana e descrizione euleriana.
1. la descrizione lagrangiana corrisponde a seguire il moto di uno stesso volumetto di fluido in funzione
del tempo
Quindi se xo , yo , zo individuano la posizione ad un certo tempo iniziale t = to si vuole ottenere la
posizione(e quindi la velocitá) di tale elementino ad un successivo tempo t > to



 x = x(xo , yo , zo , t)
y = y(xo , yo , zo , t)


 z = z(x , y , z , t)
o o o
Cambiare i valori di xo , yo , zo significa considerare un altro volumetto di fluido.
2. nella descrizione euleriana si considera invece come variano in funzione del tempo le grandezze fisiche
di interesse in punti prefissati. Cosı́ ad esempio la velocitá euleriana
v = v(x, y, z, t)
descrive la velocitá nel punto di coordinate spaziali (x, y, z) del fluido che ivi transita al tempo t.
Quindi la velocitá che nello stesso punto si osserva ad un istante di tempo successivo rappresenta la
velocitá di un altro gruppo di molecole del fluido diverse da quelle precedentemente osservate che
transitano nel luogo di osservazione a un tempo successivo.
Sperimentalmente la descrizione euleriana corrisponde a quello che si farebbe posizionando in un
certo numero di punti fissi dei rivelatori capaci di misurare le grandezze che interessano al passare
del tempo.
19
Fluidi
La descrizione euleriana è quella usata nella maggior parte dei casi per descrivere la dinamica di un
fluido.
Studiando il moto del fluido in funzione del tempo si possono fare due distinzioni fondamentali; moti
stazionari e moti non stazionari.
Nei moti stazionari la velocitá associata a ciascun punto dello spazio non varia con il tempo benché
possa naturalmente essere diversa da punto a punto :
∂v
=0
∂t
Mentre nei moti non stazionari la velocitá associata a ciascun punto dello spazio varia con il tempo :
∂v
6= 0.
∂t
Se il moto è stazionario le linee di flusso restano costanti nel tempo e coincidono con le traiettorie delle
particelle.
Le linee di flusso in questo caso godono pure della proprietá di non intersecarsi; in caso contrario infatti
nell’eventuale punto di intersezione la velocitá dovrebbe avere due differenti direzioni.
Ad esempio le linee di flusso del fluido contenuto nel cilindro di una siringa e spinto da un pistone
che si muove con velocitá costante v P una volta che si è stabilito il regime stazionario hanno l’andamento
illustrato in figura
Le linee di flusso sono orizzontali a sinistra nel disegno e incontrano la faccia del pistone ad angolo retto
ma devono convergere verso l’orifizio di uscita a destra e quindi si devono avvicinare fra loro.
I moti stazionari sono piú semplici da trattare dei moti non stazionari e saranno i soli ad essere
considerati in questo capitolo.
Nel caso di moti stazionari è opportuno introdurre il concetto di tubo di flusso definito come la superficie
che si ottiene partendo da una linea chiusa Γ e costruendo tutte le linee di flusso che passano dai punti di
Γ.
Un tubo di flusso è quindi una superficie geometrica che separa il volume del fluido in un volume interno
al tubo da quello esterno. Gli elementi di fluido inizialmente all’interno del tubo rimangono all’interno
senza poterne uscire e cosı́ gli elementi esterni non possono entrare nel tubo altrimenti ci si ritroverebbe
nella situazione di due linee di flusso che passano per lo stesso punto.
20
Fluidi
Equazione di continuitá di un fluido ideale
L’equazione di continuitá esprime la legge di conservazione della massa.
1. Forma integrale
Consideriamo un fluido (non necessariamente ideale) in moto stazionario.
Consideriamo una curva chiusa Γ1 piana(ma è inessenziale che sia piana) e che racchiude una superficie piccola di area A1 .
Consideriamo il tubo di flusso definito da Γ1 e immaginiamo di intersecare il tubo di flusso con un
altro piano in un’altra posizione lungo la direzione in cui fluisce il fluido.
Sia A2 l’area di tale intersezione.
Se le sezioni sono abbastanza piccole possiamo supporre che nei vari punti della stessa sezione le
densità ed i moduli delle velocitá abbiano lo stesso valore.
Indichiamo rispettivamente con ρ1 e ρ2 le densitá del fluido in corrispondenza delle due basi e con
v1 e v2 le corrispondenti velocitá
In un intervallo di tempo ∆t il fluido che ha attraversato la sezione di area A1 provenendo da sinistra
(in figura)occupa un volume ∆V1 = A1 v1 ∆t e la sua massa è ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 A1 v1 ∆t
Nello stesso intervallo di tempo la massa di fluido che esce dalla sezione A2 verso destra vale ∆m2 =
ρ2 ∆V2 = ρ2 A2 v2 ∆t
Il principio di conservazione della massa se all’interno del tubo non vi sono né sorgenti né pozzi porta
alla conclusione che la quantitá di massa entrante durante un certo tempo dev’essere pari a quella
uscente nello stesso tempo.
Di conseguenza si puó scrivere la condizione di continuitá
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 = cost
Se il fluido è incompressibile la densitá è uniforme e quindi
A1 v1 = A2 v2 = cost
La grandezza A v prende il nome di portata e rappresenta quindi il volume di fluido che attraversa
una sezione del tubo per unitá di tempo.
La costanza della portata attraverso un tubo di flusso è verificata facilmente nella vita di ogni giorno.
Restringendo il foro di uscita di un tubo di gomma nel quale fluisce dell’acqua si osserva che l’acqua
viene proiettata a distanze piú grandi. Infatti diminuendo la sezione d’uscita deve aumentare la
velocitá con la quale esce l’acqua.
L’equazione di continuitá puó venir formulata in forma differenziale.
21
Fluidi
2. Forma differenziale
Nell’ipotesi che il fluido rimanga continuo(ci sono situazioni in cui non è vero come ad esempio nei
fenomeni di cavitazione ove si ha formazione di bolle di vapore)la massa di fluido che occupa un
generico volume V la cui superficie di contorno S non varia nel tempo è data da
r
V
ρ(x) d3 x
La quantitá netta(entrante meno uscente)di massa che nell’unitá di tempo fluisce attraverso la superficie S dev’essere uguale alla variazione della massa contenuta nell’interno del volume.In formule,
indicando con n̂ il versore della normale alla superficie S diretto verso l’esterno
r
S
ρ v · n̂dS = −
r
∂ρ 3
dx
∂t
V
Ma applicando il teorema di Gauss(o teorema della divergenza)
r
ρ v · n̂dS =
S
r
V
r
V
∇ · (ρ v)d3 x
∇ · (ρ v)d3 x = −
r
V
∂ρ 3
dx
∂t
Poiché il volume V è arbitrario
∇ · (ρ v) +
∂ρ
=0
∂t
Per un fluido ideale, cioé con ρ costante, la condizione di continuitá diventa semplicemente
∇·v =0
Il campo v è cioé un campo solenoidale.
22
Fluidi
Equazione di Eulero
Consideriamo un piccolo elemento di fluido tipo un cubetto di lati (dx, dy, dz) centrato intorno a un
punto generico (x, y, z).
Su tale elemento agisce una pressione(isotropa) p che in generale è funzione del punto.
La forza netta che agisce sull’elemento ha componente x pari a
[p(x − dx/2, y, z) − p(x + dx/2, y, z)]dy dz = −
∂p
dx dy dz
∂x
Analogamente le componenti y e z di tale forza saranno
−
∂p
∂p
dx dy dz , −
dx dy dz
∂y
∂z
In forma vettoriale la forza dovuta alla pressione del fluido è
−∇p dV
e quindi la forza per unitá di volume è
−∇p
mentre la forza per unitá di massa sará
1
− ∇p
ρ
La forza totale che agisce sul volumetto include in generale anche un contributo dovuto alle forze
esterne che sono forze di volume.
Indichiamo con : F la forza di volume per unitá di massa.
Il caso piú frequente è quello della forza peso agente sulla massa del cubetto.
In questo caso possiamo scrivere che la forza gravitazionale per unitá di massa è : F = −∇(g z)
L’equazione del moto del fluido puó quindi venir scritta indicando con a l’accelerazione di un elemento
di fluido di massa unitaria
1
−∇p dV − (ρ dV )F = (ρ dV )a → − ∇p − F = a
ρ
a rappresenta l’accelerazione locale di un elementino di fluido.
a non è peró la derivata temporale di v velocitá euleriana anche se è ovviamente legato ad essa.
∂v
descrive la variazione di velocitá in un punto
Infatti la derivata parziale di v rispetto al tempo,
∂t
che è fisso nello spazio e che viene via via occupato da differenti elementi di fluido.
L’accelerazione a si riferisce invece alla variazione di velocitá di uno stesso elemento di fluido al passare
del tempo.
Per trovare la relazione cercata si possono fare alcune considerazioni generali che sono valide per
qualunque grandezza funzione del punto e del tempo e che verranno applicate come caso particolare alla
velocitá euleriana.
Si consideri quindi una generica funzione, f (x, y, z, t), funzione della posizione e del tempo.
In un arbitrario punto di riferimento di coordinate (xo , yo , zo ) la funzione assuma il valore fo al tempo
to
fo = f (xo , yo , zo , to )
Ci si puó chiedere di quanto è variato il valore della funzione in un punto vicino di coordinate
23
Fluidi
xo + vx dt, yo + vy dt, zo + vz dt
al tempo to + dt
essendo (vx , vy , vz ) tre costanti.
Sviluppando in serie di Taylor si puó scrivere che
df = f (xo + vx dt, yo + vy dt, zo + vz dt, to + dt) − f (xo , yo , zo , to ) =
∂f
∂f
∂f
∂f
dt +
vx +
vy +
vz
∂t
∂x
∂y
∂z
D’altra parte se ci si mettesse in un sistema di riferimento S 0 che si muove con velocitá
v = (vx , vy , vz )
rispetto al sistema originale (x, y, z) i due punti coinciderebbero. Si tratta dello stesso punto dello spazio
S 0 osservato a due istanti di tempo diversi.Quindi
df =
df
dt
In conclusione si puó scrivere che la variazione totale rispetto al tempo dovuta sia alla dipendenza esplicita
dal tempo che da quella indiretta attraverso le coordinate spaziali è
Df
∂f
∂f
∂f
∂f
=
+
vx +
vy +
vz
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
D
per indicare la variazione della funzione
ove si è indicata la derivata temporale con la notazione insolita
Dt
f seguendo il moto di velocitá v.
Nel caso(particolare)che la velocitá v sia la velocitá euleriana di un fluido, il sistema S 0 è chiamato
sistema co-movente dato che è il sistema nel quale il fluido appare localmente in quiete.
D
è a sua volta denominata derivata co-movente.
La derivata
Dt
In forma piú compatta si puó scrivere
D
∂
=
+v·∇
Dt
∂t
L’equazione del moto del fluido puó pertanto venir formulata come
∂v
1
+ (v · ∇) v = − ∇p + F
∂t
ρ
che è la espressione della equazione di Eulero dei fluidi
Nel caso particolare ma frequente che la forza esterna sia dovuta al campo gravitazionale si avrá
∂v
1
+ (v · ∇) v = − ∇p∇(gz)
∂t
ρ
Flusso stazionario e gradiente trasverso di pressione
In situazioni di flusso stazionario
∂v
=0
∂t
24
Fluidi
e quindi l’accelerazione è associata solamente al secondo termine della derivata co-movente.
Supponiamo pure, per semplicit’a, che non ci siano o che non abbiano effetto le forze esterne di volume.
Ad esempio nel caso di forze gravitazionali supponiamo che il moto del fluido sia bidimensionale nel
piano orizzontale (x, y).
Quindi le grandezze fisiche non dipendono dalla coordinata z e pertanto si puó trascurare l’effetto della
forza di gravitá.
Le linee di corrente in questa situazione sono quindi linee(in generale curve) nel piano (x, y).
L’equazione del moto è fornita dall’equazione di Eulero e siccome abbiamo supposto il moto stazionario
l’equazione puó venir scritta
(v · ∇) v = −
∇p
ρ
Tener presente che le linee di corrente sono in ogni punto tangenti al vettore velocitá in quel punto.
Consideriamo un punto P generico e la linea di corrente che passa per tale punto e indichiamo con τ̂
e con n̂ i versori rispettivamente tangenti e normali alla linea nel punto P .
La velocitá in P è puramente tangenziale(per definizione di linea di corrente), v = vτ̂ , e quindi
l’equazione di Eulero puó essere scritta come
1
1
(vτ̂ · ∇) (vτ̂ ) = − ∇p → (v∇τ ) (vτ̂ ) = − ∇p
ρ
ρ
La componente tangenziale del gradiente non è altro che la derivata rispetto all’elemento di linea ds della
curva
∇τ =
d
ds
e quindi si ha per il termine a primo membro dell’equazione di Eulero
v
d
dv
d
(vτ̂ ) = v 2 τ̂ + v τ̂
ds
ds
ds
Dalle formule di Frenet della Geometria Analitica con rc raggio di curvatura nel punto P della curva
d
1
τ̂ = − n̂
ds
rc
si ha
−
v2
1
d(v 2 /2)
n̂ +
τ̂ = − ∇p
rc
ds
ρ
Di conseguenza il gradiente di pressione ha sia una componente longitudinale (che è necessario per fare
fluire il fluido) che una componente trasversa se la linea di flusso è curva.
La componente longitudinale è data da
d(v 2 /2)
1
d(v 2 /2)
1 dp
= − ∇p · τ̂ →
=−
ds
ρ
ds
ρ ds
Se si integra tale relazione fra due punti P1 e P2 di una linea di corrente di ha indicando co ρ1 , v1 , p1
la densitá, la velocitá e la pressione nel punto P1 e analogamente per il punto P2
r P2 d(v 2 /2)
r P2 1 dp
v22
v12
p2
p1
ds
=
−
ds
→
−
=−
+
P1
P1
ds
ρ ds
2
2
ρ2
ρ1
Vale a dire
25
Fluidi
p2
v12
p1
v22
+
=
+
2
ρ2
2
ρ1
La quantitá
v2
p
+
2
ρ
è costante lungo una linea di corrente.
Questa relazione esprime quello che va sotto il nome di Teorema di Bernoulli la cui discussione verrá
ripresa nel paragrafo seguente.
Se la linea di flusso è curva vi è anche un gradiente radiale (componente n̂)che vale
v2
1 ∂p
=
rc
ρ ∂r
Dove le linee di flusso sono curve l’equazione di Eulero implica l’esistenza di un gradiente trasversale di
pressione; la pressione aumenta con l’aumentare della distanza dal centro locale di curvatura secondo la
relazione
∂p
ρ v2
=
∂r
rc
È in sostanza l’analogo della forza centrifuga che si esercita su un punto materiale che segue una traiettoria
curva.
L’esistenza di un gradiente trasverso di pressione è essenziale per spiegare diversi effetti di meccanica
dei fluidi.
Si consideri un fluido in moto che incontra un ostacolo.
Le linee di flusso sono deviate e la loro curvatura genera un gradiente di pressione perpendicolarmente
alle linee di flusso e quindi differenze di pressione.
Ad esempio le linee di corrente di una corrente di aria che nel suo moto incontra una collina sono
deformate tendendo a seguire in qualche modo il profilo del terreno.
Lontano dalla collina si osserva una pressione pari alla pressione atmosferica e che le linee di flusso
orizzontali.
Nel punto A e nel punto C la curvatura delle linee di flusso è tale che esse hanno concavitá diretta
verso l’alto.
Nel punto B sulla sommitá della collina la concavitá è diretta verso il basso.
Di conseguenza nei punti A e C vi è un gradiente di pressione diretto verso il suolo e la pressione è
maggiore di quella atmosferica in quiete.
Nel punto B il gradiente punta verso l’alto e la pressione in B è minore di quella atmosferica.
In A il flusso è accelerato verso l’alto mentre in B viene accelerato verso il basso.
Un altro esempio istruttivo è quello delle forze che agisono sul tetto di una casa in caso di forte vento.
Allorché il vento investe una casa le linee di corrente si devono adattare alla presenza dell’ostacolo.La
curvatura delle linee di flusso nuovamente è all’origine di gradienti di pressione; la pressione è bassa alla
sommitá del tetto e alta davanti alla casa.
26
Fluidi
Il flusso in queste situazioni non è regolare né laminare ma in particolare nella parte posteriore del
tetto e della casa esso è turbolento.
In particolare dietro il crinale del tetto la pressione è circa uguale a quella sulla sommitá a differenza
del caso precedente della collina.
La differenza di pressione tende quindi a sollevare via il tetto.
L’effetto è maggiore se le porte e le finestre anteriori sono aperte poiché in questa condizione la pressione
all’interno della casa è piú elevata
Viceversa lasciando aperte le porte e/o le finestre posteriori la pressione all’interno della casa è ridotta
diminuendo quindi la differenza fra esterno del tetto e interno.
Condotti curvi
È situazione comune che i tubi di flusso associati al moto stazionario di un fluido siano curvi.
È non solo il caso del fluido che scorre in un tubo curvato oppure in un canale che non è rettilineo
ma anche, come ad esempio nel caso della siringa precedentemente illustrato, ció che avviene allorché la
sezione del condotto cambia di area e quindi le linee di corrente devono avvicinarsi o allontanarsi.
È facile vedere che in tutte le situazioni nelle quali il fluido in moto stazionario segue un cammino
curvo esso è soggetto ad un gradiente di pressione radiale alla traiettoria.
Per semplicitá supponiamo che il moto del fluido sia bidimensionale nel piano (x, y).Quindi che le
grandezze fisiche non dipendano dalla coordinata z e pertanto si possa trascurare l’effetto della forza di
gravitá.
Le linee di corrente del moto sono linee(in generale curve)nel piano (x, y).
Come visto precedentemente ove le linee di flusso sono curve e quindi con raggio di curvatura locale
rc 6= 0 l’equazione di Eulero implica l’esistenza di un gradiente trasversale di pressione; la pressione
aumenta con l’aumentare della distanza dal centro locale di curvatura secondo la relazione
∂p
ρ v2
=
∂r
rc
Un gradiente radiale di pressione è ad esempio presente nel liquido contenuto in un recipiente cilindrico
messo in rotazione attorno al suo asse con velocitá angolare costante ω.
Il gradiente radiale di pressione causa la superficie libera del liquido ad assumere la forma di un
paraboloide di rivoluzione come precedentemente visto.
Infatti con riferimento alla figura la pressione nel punto P deve essere sufficiente per controbilanciare
il peso della colonna d’acqua sovrastante.
27
Fluidi
pP = pa + ρ g(zo + ζ)
avendo indicato con pa la pressione atmosferica e con ζ l’altezza locale della superficie del liquido rispetto
al minimo e a distanza r dall’asse.
Il gradiente radiale di pressione in P è quindi
∂p
∂ζ
=ρg
∂r
∂r
e in base alla relazione ricavata fra gradiente di pressione e velocitá
v2
ω2r
∂ζ
=
=
∂r
rg
g
e di conseguenza
ζ=
ω2 r2
2g
28
Fluidi
Teorema di Bernoulli
Nel paragrafo precedente si è ricavata una formulazione del Teorema di Bernoulli(in assenza di forze
di gravitá che peró possono essere facilmente prese in considerazione).
Come risulta dalla procedura seguita il risultato è valido per fluidi ideali(ma non necessariamente
incomprimibili), in regime stazionario e non rotazionale.
Il contenuto fisico del teorema di Bernoulli è la conservazione dell’energia.
Si puó quindi ottenere lo stesso risultato usando il principio di conservazione dell’energia.
Si consideri un tubo di flusso delimitato da due sezioni di area rispettivamente A1 e A2 e con il fluido
in moto da sinistra verso destra come in figura.
Le forze di pressione dovute al fluido all’esterno del tubo di flusso sono in ogni punto perpendicolari alla
superficie dello stesso.
Oltre alla forza di gravitá le uniche forze che compiono lavoro sono quindi quelle che si esercitano sulle
superfici delle sezioni trasverse e valgono rispettivamente p1 A1 e p2 A2 (in modulo) sempre nell’ipotesi che
tali superfici siano sufficientemente piccole da poter considerare uniformi le velocitá e i valori di densitá
in ogni punto di esse.
Durante un intervallo di tempo ∆t i lavori fatti dalle forze di pressione sulle faccie A1 e A2 sono
p1 A1 v1 ∆t , −p2 A2 v2 ∆t
(il primo è positivo perché forza e spostamento sono concordi mentre il secondo è negativo).
Il lavoro complessivo fatto dalle forze di pressione è quindi
!
p1
p2
Lpre =
−
∆m
ρ1
ρ2
poiché l’equazione di continuitá in regime stazionario e senza moti di rotazione assicura che
A1 v1 ∆tρ1 = A2 v2 ∆tρ2 = ∆m → A1 v1 ∆t =
∆m
∆m
, A2 v2 ∆t =
ρ1
ρ2
Essendo il moto stazionario(quindi la velocitá in ogni punto non dipende dal tempo)la variazione di
energia cinetica durante l’intervallo di tempo ∆t è pari alla differenza di energia cinetica della massa ∆m
fra la posizione 1 e la posizione 2.
29
Fluidi
∆T =
1
1
∆mv22 − ∆mv12
2
2
Il lavoro compiuto dal campo gravitazionale puó venir calcolato in modo analogo a come è stata calcolata
la variazione di energia cinetica e quindi indicando con h1 e h2 le quote verticali delle due sezioni A1 e A2
si trova che
Lgra = −∆Vg = −∆mg(h2 − h1 )
Il principio di conservazione dell’energia si puó esprimere dicendo che il lavoro fatto da tutte le forze agenti
sul sistema dev’essere uguale alla variazione di energia cinetica, e quindi
!
p1
p2
1
1
−
∆m − ∆mg(h2 − h1 ) = ∆mv22 − ∆mv12
ρ1
ρ2
2
2
Dividendo per ∆m e raggruppando i termini che si riferiscono allo stesso punto spaziale si ha
p1
1
p2
1
+ v12 + gh1 =
+ v22 + gh2 = cost
ρ1
2
ρ2
2
Il risultato puó venir espresso dicendo che lungo una linea di flusso rimane costante l’espressione
1
p
+ v 2 + gh
ρ
2
che è la formulazione del Teorema di Bernoulli
In una situazione di equilibrio (v1 = v2 = 0), il Teorema di Bernoulli contiene come caso particolare la
legge di Stevino, cioé
p + ρ g h = cost
Se il condotto o il tubo di flusso è orizzontale il termine g h è costante e quindi si ha la condizione
p+
1 2
ρv = cost
2
Se il fluido è incompressibile(quindi ρ costante) l’equazione di continuitá assicura che indicando con A
l’area di una sezione
A v = cost
quindi la velocitá e di conseguenza la pressione in un condotto orizzontale possono cambiare solo se si ha
una variazione della sezione.
L’applicazione del teorema di Bernoulli permette di spiegare diversi fenomeni fisici e trova numerose
applicazioni in metodi di misura come illustrato un pó piú in dettaglio nel paragrafo seguente.
Applicazioni del Teorema di Bernoulli
Le applicazioni hanno ovviamente a che fare con fluidi reali ; di conseguenza l’applicazione del teorema
di Bernoulli a queste situazioni è valida solo come caso limite e fornisce un’approssimazione del risultato
corretto.
Per altro l’uso del teorema di Bernoulli permette di determinare il comportamento di un fluido in
movimento con considerazioni semplici che possono servire da guida per calcoli piú dettagliati ma necessariamente piú complessi.
30
Fluidi
1. Tubo di Venturi
Il tubo di Venturi o venturimetro è uno strumento che permette di misurare la velocitá di un fluido
incompressibile.
Lo strumento consiste essenzialmente in un condotto a sezione variabile come illustrato in figura
Indichiamo con A1 e A2 la sezione d’ingresso del condotto e quella della strozzatura.
Per un fluido incompressibile (ρ1 = ρ2 = ρ) l’equazione di continuitá ed il teorema di Bernoulli
assumono la forma


 A1 v 1 = A 2 v 2
p1
1
p2
1

+ v12 =
+ v22

ρ
2
ρ
2
In corrispondenza della sezione di area minore la velocitá del fluido è maggiore e quindi la pressione
è ivi piú piccola.
Dalle equazioni sopra scritte si ha
v12
2
A22
=
(p1 − p2 )
ρ A21 − A22
e quindi dalla misura delle pressioni p1 e p2 possiamo ricavare il valore di v1
s
2
A22
v1 =
(p1 − p2 )
ρ A21 − A22
2. Tubo di Pitot
Un altro modo per misurare la velocitá di un fluido consiste nel determinare la pressione necessaria
per arrestarne il flusso.
Il tubo di Pitot originariamente inventato per misurare il flusso della Senna a Parigi sfrutta per
l’appunto tale principio.
Nella sua forma originale esso consisteva di un tubo aperto alle due estremitá, a forma di lettera
L e immerso nell’acqua del fiume con il lato lungo disposto verticalmente mentre il lato corto era
disposto orizzontalmente di fronte al flusso del fluido.
31
Fluidi
Il tubo si riempie d’acqua ed il fluido che penetra in esso si arresta mentre il resto dell’acqua attorno
continua a fluire normalmente.
Nel punto Q della figura la velocitá del fluido è quindi nulla(è un punto di stagnazione come si dice).
Applicando il teorema di Bernoulli ai due punti P e Q che si trovano alla stessa quota si ha
pQ = pP +
1 2
v
2 P
l’altezza h al di sopra del livello dell’acqua (punto A) a cui è risalito il fluido nel tubo è tale che
pQ = pA + ρgh , pP ' pA → gh =
1 2
v
2 P
e di conseguenza
vP2 = 2g h
In base alle ipotesi sotto le quali è stato ricavato il teorema di Bernoulli vale in linea di principio
solo per i liquidi ma si puó dimostrare che esso vale anche per i gas a condizione che la velocitá del
fluido gassoso sia piccola rispetto alla velocitá del suono nel gas.
Per inciso la velocità del suono(cs ) in un gas è data dall’espressione
s
cs =
1
βρ
ove β è il coefficiente di compressibilitá del fluido definito come
β=
1 ∂ρ
ρ ∂p
Ad esempio per l’aria secca(0o ) e a T ' 0 o C si ha
cs ' 331.3 m s−1
32
Fluidi
3. Teorema di Torricelli
Come ulteriore applicazione del teorema di Bernoulli si puó ricavare il cosı́ detto Teorema di Torricelli.
Si consideri un serbatoio contenente un liquido di densitá ρ e nella cui parete laterale(o nel suo fondo)
sia stato praticato un foro di sezione s molto minore della sezione S della superficie superiore libera.
Si h il dislivello fra la superficie libera del liquido ed il centro del foro.
La pressione nell’ambiente nel quale si trova il serbatoio è la stessa dappertutto e pari alla pressione
atmosferica.
Poiché il serbatoio ha una sezione di area molto maggiore di quella del foro il livello del liquido
scende lentamente ed il liquido puó quindi essere considerato come approssimativamente in quiete
sulla superficie libera.
Applicando il teorema di Bernoulli lungo una linea di corrente che parte dalla superficie libera e
passa per il centro del foro di uscita si puó scrivere
!
!
1 2
1 2
= p + ρv + ρ g z
p + ρv + ρ g z
2
2
sup lib
f oro
Sulla superficie libera
p = pa , v = 0
al foro di uscita
p = pa
di conseguenza
pa + ρ g (zsup − zf oro ) = pa +
cioé
33
1 2
ρv
2
Fluidi
ρgh=
√
1 2
ρv → v= 2gh
2
che è la formulazione del teorema di Torricelli.
La velocitá di uscita del liquido non dipende né dalla densitá ρ dello stesso né dalla pressione
circostante pa .
In effetti essa è pari alla velocitá che acquisterebbe un corpo di volume unitario e densitá ρ cadendo
liberamente da un’altezza h.
Quando si considera il tubo di flusso del liquido corrispondente al foro di uscita si trova che l’area
della sezione del flusso liquido(e quindi del tubo di flusso)subito dopo il foro è minore dell’area del
foro.
Si ha cioé la cosı́ detta contrazione della vena liquida(vena contracta) all’uscita del foro.
Ció è dovuto alle forze di attrito interno e della tensione superficiale che sono presenti nel mondo
reale.
Il coefficiente di contrazione, c = Av /Af oro , dove Av è l’area della sezione della vena dipende sensibilmente dalla geometria della zona di uscita del fluido e a causa di effetti di viscositá dei quali il
modello di Eulero non tiene conto dipende pure(anche se poco) dal numero di Reynolds.
Per fori piccoli in recipienti con pareti sottili si trova che con buona approssimazione c ' 0.62.
4. Vortici
Versando un liquido in un recipiente fornito di un foro di scarico sul fondo oppure togliendo il tappo
di un serbatoio contenente del liquidi(ad esempio un lavandino)si osserva comunemente la formazione
di vortici nel liquido.
Il liquido ruota cioé intorno ad un asse verticale passante per il centro del foro di scarico e la superficie
libera del liquido assume all’incirca la forma di un cono rovesciato con il vertice nel cono.
Le linee di corrente sono approssimativamente delle spirali che si restringono via via verso il centro.
Nell’ipotesi di liquido ideale(assenza di sforzi di taglio, densitá costante)le forze agenti sono solo le
forze di pressione che in prima approssimazione sono radiali e la forza peso diretta verticalmente
verso il basso.
34
Fluidi
Il momento di tali forze rispetto a un punto dell’asse ha componente nulla nella direzione dell’asse e
quindi la relativa componente del momento angolare del liquido è conservata.
Si consideri un elementino di fluido di massa dm che all’inizio ha coordinata radiale rin rispetto
all’asse e velocitá vin .
Dovendo conservare il momento angolare allorché l’elementino di fluido si troverá a distanza r
dall’asse esso avrá una velocitá v tale che
dm vin rin = dm v r → v =
vin rin
r
Nel liquido in rotazione elementini contigui hanno velocitá diverse ma poiché si è supposto η = 0
non vi sono forze di attrito interno.
Se si considera una linea di flusso che stia sulla superficie libera e si applica ad essa il teorema di
Bernoulli tenendo presente che sulla superficie libera p = pa si ha
pa +
1 2
ρv + ρ g z = cst
2
cioé
1 2
v + g z = a = cst
2
Di conseguenza la superficie libera è descritta dall’equazione
2 2
rin 1
a
v2
a
vin
z= −
= −
g
2g
g
2g r2
il cui andamento è schematizzato nella figura (Ovviamente l’approssimazione è un pó brutale e
z → −∞ quando r → 0 ma dá un’idea della configurazione del liquido).
35
Fluidi
Fluidi reali
Fino ad ora sono stati considerati fluidi ideali privi di attrito.
Entro i limiti di validitá di questa ipotesi si è potuto assumere che le forze di superficie che si esercitano
all’interno del fluido siano sempre perpendicolari alle pareti di un tubo di flusso.
Considerando un fluido reale non è piú lecito ignorare le componenti tangenziali delle forze di superficie
che si esercitano su un generico elemento di fluido.
Per velocitá non troppo elevate(il limite verrá precisato fra breve) si constata peró sperimentalmente
che un fluido si muove di moto laminare.
Cioé il moto è descrivibile come come un moto di tanti strati fluidi contigui molto sottili nella direzione
trasversa alla velocitá di moto che scorrono parallelamente uno rispetto all’altro con velocitá diverse.
Il regime laminare risulta essere stazionario e quindi le linee di corrente sono costanti nel tempo e non
si intersecano mai.
Gli strati di fluido si muovono con velocitá differenti il che indica che fra gli strati contigui agiscono
degli sforzi tangenziali.
Ad esempio per fissare le idee su una situazione semplice si consideri un bacino pieno d’acqua.Sulla
superficie libera (orizzontale)del liquido sia posta una tavoletta.
L’area della tavoletta, A, sia molto grande in modo da poter trascurare effetti di bordo ed il fondo del
bacino sia fermo; sia h la distanza fra la tavoletta e il fondo.
Applichiamo ora una forza F alla tavoletta che viene messa in moto con velocitá costante vo (attrito
fra tavoletta e superficie superiore del liquido).
La forza applicata risulta proporzionale all’area della tavoletta per vo fissato. Per un fluido come
l’acqua é abbastanza ben soddisfatta la relazione
F = ηA
vo
F
vo
→
=η
h
A
h
Si osserva che la velocitá con la quale scorrono i vari strati di fluido paralleli alla superficie sono via
via decrescenti a man mano che si va verso il fondo.
Se ora si estende la stessa considerazione ai vari strati di fluido in moto uno rispetto all’altro si arriva
a formulare in forma differenziale la relazione fra velocitá e forza applicata(giá proposta da Newton)
τ =η
∂v
∂z
ove τ rappresenta lo sforzo di taglio fra i vari strati di fluido.
La quantitá η è la viscositá del fluido(piú precisamente la viscositá dinamica.
36
Fluidi
Per diverse sostanze e per velocitá non troppo elevate η è costante e caratteristica del mezzo considerato
; in queste situazioni si parla di fluidi Newtoniani.
Un altro esempio è dato dal moto dell’acqua che scorre in un tubo orizzontale a sezione circolare.
Si osserva che il liquido è fermo in prossimitá immediata delle pareti.
La velocitá aumenta man mano che ci si avvicina all’asse del tubo ove essa è massima.
Il moto del fluido avviene come se avessimo tanti straterelli cilindrici coassiali che scorrono uno dentro
l’altro con velocitá diverse che vanno dal valore nullo sulle pareti del tubo al valore massimo al centro.
Ogni strato è soggetto ad una forza da parte dello strato esterno piú lento che tenderebbe a rallentarlo
ed a una forza da parte dello strato interno che è piú veloce e tenderebbe a dargli piú velocitá.
In questo esempio A rappresenta l’area laterale dello straterello cilindrico e Ft la forza tangenziale che
si esercita fra i due strati contigui e data la simmetria della situazione il gradiente è la derivata rispetto
alla coordinata radiale r.
Ft
dv
=η
A
dr
La legge di viscositá di Newton è analoga alla legge di Hooke.
Non è una legge di natura esatta ma una legge approssimata che funziona per diversi materiali e talvolta
non funziona per altri.
I fluidi Non-Newtoniani sono caratterizzati da una relazione piú complicata fra sforzo di taglio e
gradiente di velocitá.
37
Fluidi
Le dimensioni fisiche di η sono : [η] = [M L−1 T −1 ].
L’unitá di misura standard nel sistema SI è
P a · s (Pascal-secondo) equivalente a N · s m−2
L’unitá di misura standard nel sistema cgs è il poise(P ) dal nome di Poiseuille ove
1 poise = 0.1 P a · s ( in unitá SI)
Nella tabella che segue sono riportati i valori di viscositá di alcuni liquidi e di alcuni gas ( tener presente
che la viscositá dipende dalla temperatura).
VISCOSITÁ
Fluido
Temperatura(o C) η (poise)
Aria
18
1.83 10−4
CO2
20
1.48 10−4
Metano
20
1.09 10−4
Elio
20
1.94 10−4
Neon
20
3.11 10−4
Acqua
0
1.79 10−2
Acqua
20
1.00 10−2
Benzolo
20
0.652 10−2
Etere
20
0.233 10−2
Alcol etilico
20
1.2 10−2
Mercurio
20
1.55 10−2
Olio per motori
20
2.5
Olio di Oliva
20
84
Vetro
20
1.0 1011
Si introduce anche la cosı́ detta viscositá cinematica, ν, definita come
38
Fluidi
ν=
η
ρ
ρ = densitá
L’unitá di misura (cgs) della viscositá cinematica è lo stokes(St) dal nome del fisico Stokes.
1 St = 1 cm2 · s−1
L’acqua a 20 o C ha una viscositá cinematica ad esempio di ∼ 10−2 St
Assunta la validitá della formula di Newton si puó valutare la portata ed il valor medio della velocitá
del fluido che scorre in un condotto cilindrico.
Si consideri quindi una porzione di lunghezza ∆L di un cilindro di raggio R percorso al suo interno da
un liquido in moto stazionario.
Si scelga l’asse z parallelo alla velocitá del fluido e coincidente con l’asse del cilindro.
Si consideri ora un tubo di flusso che sia un cilindro di raggio r e lunghezza ∆L.
Il moto del fluido contenuto nel tubo di flusso considerato è determinato da
forze di pressione applicate alle due basi del cilindro
forze dovute alla viscositá che agiscono sulla superficie laterale
Poiché il moto è stazionario la risultante di tali forze dev’essere nulla.
La pressione dipenderá da z(in generale).
Nel caso particolare della figura essa diminuisce al crescere di z dato che per far scorrere il fluido nella
direzione specificata occorre che la pressione sia maggiore a sinistra rispetto a quella di destra.
La differenza di pressione fra le due sezioni del condotto sará quindi per lunghezze non troppo grandi
∆p '
dp
∆L
dz
La forza dovuta alla differenza di pressione fra le due basi sará
Fpre = πr2 p − πr2 (p +
dp
dp
∆L) = −πr2 ∆L
dz
dz
La forza dovuta alla viscositá è data da
Fvi = η
dv
(2π r ∆L)
dr
In regime stazionario la risultante dev’essere nulla
39
Fluidi
Fpre + Fvi = 0 → −πr2
dp
dv
∆L + η (2π r ∆L) = 0
dz
dr
da cui si deduce che
dv
1 dp
=
r
dr
2η dz
dp
sia costante (come è il caso in molte situazioni ove ad esempio si applica una
dz
differenza di pressione costante alle due estremitá di un condotto a sezione costante) si puó facilmente
integrare e si ha
1 dp 2
v=
r + cst
4η dz Se si suppone che
Si è preso il valore assoluto del gradiente per scrivere la relazione in modo che valga indipendentemente
dal verso del moto del fluido.
Poiché a causa dell’attrito viscoso il liquido sulle pareti del condotto è fermo si puó determinare il
valore della costante imponendo che sulle pareti v(r = R) = 0 e quindi si trova
1 dp 2
v=
(R − r2 )
4η dz tale espressione mostra che il profilo di velocitá in direzione radiale, cioé v = v(r), è una parabola
Una volta determinata la forma del profilo di velocitá si puó calcolare la portata Q del condotto cioé
la massa di fluido che attraversa una sezione del condotto nell’unitá di tempo in corrispondenza di un
applicato gradiente di pressione.
La massa di fluido che attraversa una corona circolare di raggi (r, r + dr) nell’unitá di tempo è
1 dp 2
dQ = 2 π r ρ v dr = π r ρ
(R − r2 ) dr
2η dz Integrando su r fra 0 e R si ricava
πρ
Q=
8η
dp 4
R
dz nota come legge di Hagen-Poiseuille
La velocitá media, v̄, del fluido varrá
R2
Q
v̄ =
=
π R2
8η
dp dz Nel regime laminare la portata e la velocitá media del fluido sono proporzionali al gradiente di pressione
lungo il condotto.
Per avere flusso di liquido nel condotto è necessaria una differenza di pressione fra le due estremitá
dello stesso anche se il condotto è orizzontale e di sezione costante.
Moto vorticoso e numero di Reynolds
La legge di Hagen-Poiseuille è valida se il raggio del condotto non è troppo grande.
Si trova in effetti che per un condotto nel quale scorre un fluido vi è un valore critico della velocitá
oltre il quale si osserva la formazione di vortici nel fluido e si parla di moto turbolento.
La situazione è caratterizzata da un parametro adimensionale, Re, denominato numero di Reynolds e
definito come
40
Fluidi
Re =
ρvL
η
ove L rappresenta una lunghezza tipica del sistema considerato.
Nel caso di flusso in una conduttura cilindrica L rappresenta il raggio della condotta.
Se le condizioni del moto sono tali che il numero di Reynolds è inferiore al valore critico si ha flusso
laminare altrimenti si è in regime turbolento. È evidente il ruolo giocato dalla velocitá nel determinare le
condizioni del moto.
I valori critici del numero di Reynolds per i quali si ha transizione da regime laminare a regime
turbolento dipendono dalla forma geometrica del sistema in cui fluisce il fluido.
Un criterio empirico che funziona con discreta approssimazione è che
1. Re < 1000 il regime è sempre laminare
2. per un condotto cilindrico di raggio R il regime è sempre laminare se Re < 2000
La velocitá critica per la transizione è quindi
vc ' 2000
η
ρR
3. se Re > 2000 si ha il piú sovente regime turbolento ma nel caso di condotti cilindrici si puó ancora
avere regime laminare a seconda dello stato di rugositá delle pareti.
4. se Re > 10000 il regime è sempre turbolento
Quindi
1. per v < vc la portata del tubo è data dalla formula di Hagen-Poiseuille, proporzionale alla differenza
di pressione fra le due estremitá
2. per v > vc si ha inizialmente una brusca caduta di portata ed il moto diventa turbolento.
Aumentando la differenza di pressione la portata riprende a salire ma con andamento differente
s
Q=
v u 2π u
t dp R3/2
kρ dz 2
con k costante su un ampio intervallo di valori del numero di Reynolds
Resistenza del mezzo
Un corpo in moto rispetto ad un fluido in quiete subisce l’azione di una forza la cui componente nella
direzione della velocitá ha verso opposto alla velocitá stessa.
Si ha lo stesso effetto e stessa forza se il corpo è in quiete ed il fluido si muove con la stessa velocitá
relativa.
L’effetto genericamente denominato resistenza del mezzo dipende dalla velocitá relativa corpo-fluido
ma dipende anche da altri parametri in primo luogo dalla forma geometrica del corpo.
Il caso piú semplice per illustrare le caratteristiche del fenomeno è fornito da una sfera di raggio R
investita uniformemente da un fluido in moto con velocitá v.
Se il fluido fosse ideale ci si aspetterebbe che le linee di flusso si comportino in modo simmetrico sia
prima che dopo la sfera e quindi ci si aspetterebbe che la pressione davanti o dietro la sfera sia la stessa.
Quindi la sfera non subirebbe alcuna forza.
41
Fluidi
In una descrizione approssimata ma piú realistica il fluido che investe direttamente la sfera si arresta
mentre le altre linee di flusso aggirano l’ostacolo continuando dietro di esso.
La presenza dell’attrito determina peró in una regione dietro la sfera la formazione di linee di flusso
chiuse associate alla presenza di moto vorticoso la cui velocitá media nella direzione del flusso è molto
piccola.
Ci si aspetta pure che la pressione nel punto A davanti alla sfera sia maggiore della pressione nel punto
B dietro di essa.
Applicando(cosa non del tutto lecita)il teorema di Bernoulli ci si aspetta quindi che la differenza di
pressione fra i due lati della sfera sia ∼ (1/2)ρ v 2 La differenza di pressione moltiplicata per la sezione S
del corpo(nel caso in considerazione S = π R2 )dá una prima stima della forza esercitata sulla sfera, cioé
F ∼ ρ v2 S
Considerando gli effetti di viscositá si puó dimostrare che il modulo della forza esercitata sulla sfera
puó venir scritta come(formula empirica di Newton)
F = ρ v2 S C
Il coefficiente C come preannunciato dipende dalla forma geometrica dell’ostacolo(sopra tutto della parte
posteriore) e dal numero di Reynolds.
A seconda della velocitá si ha quindi :
1. Per velocitá corrispondenti a regime laminare C ∼
6
ρRv
e quindi poiché Re =
Re
η
F ∝v
È la forza di attrito viscoso.
Per una sfera si trova piú precisamente
F = 6π η R v legge di Stokes
2. Per velocitá corrispondenti a regime vorticoso C è costante e quindi la dipendenza della forza di
resistenza dalla velocitá diventa di tipo quadratico.
F ∝ v2
Per un corpo che si muove attraverso l’aria fintanto che la sua velocitá è inferiore alla velocitá del
suono (∼ 330 m s−1 ) è abbastanza ben soddisfatta la formula empirica di Newton
42