TRASMISSIONE
DEL
CALORE
IMPORTANZA DELLA TRASMISSIONE DEL CALORE
Nel campo industriale si incontrano diversi esempi:
•
La produzione e la conversione di energia termica tramite combustibili fossili o nucleari, la geotermia,
l’energia solare.
• Le apparecchiature per la conversione dell’energia termica: motori alternativi, turbine, scambiatori di calore,
generatori di vapore.
•
Il riscaldamento, il condizionamento e la ventilazione degli edifici.
•
I processi produttivi.
Inoltre esempi interessanti di scambio termico si trovano anche in settori quali il campo ambientale e quello
biologico. In campo ambientale, per esempio, i fenomeni di scambio termico sono molto importanti in settori
quali:
•
L’inquinamento termico da scarichi industriali.
•
L’inquinamento dell’aria e dell’acqua.
•
Le variazioni climatiche sia su scala globale che locale.
A livello biologico, per esempio, questi fenomeni sono importanti per:
•
La regolazione della temperatura del corpo e quindi sono legati a quelle che sono definite le condizioni di
benessere termo-igrometrico, dati di progetto per gli impianti di condizionamento.
•
Le condizioni ottimali per la riproduzione delle specie animali e vegetali.
LA TRASMISSIONE DEL CALORE
Anche se storicamente questo settore si è sviluppato in maniera autonoma, in realtà fa parte
della termodinamica.
Nella trattazione classica della termodinamica di solito non si considera mai il tempo in cui
avviene un determinato processo. Questo perché si considerano sempre stati di equilibrio come
condizioni iniziali e finali; quindi, se la trasformazione è reversibile, il tempo diviene infinito; se,
invece, la trasformazione è irreversibile non abbiamo alcun strumento per valutare che cosa
succede all’interno della trasformazione stessa.
È evidente che le trasformazioni che considereremo saranno irreversibili, poiché avvengono a
velocità finita e con salto termico finito. Quando considereremo lo scambio termico
all’interno di un solido o di un fluido globalmente in quiete (definiremo
questo meccanismo di scambio termico conduzione) saremo, sì, in condizioni di
non equilibrio, ma almeno localmente saremo vicini all’equilibrio. Ciò significa che le variabili
termodinamiche intensive come T, P, V diventano in questo caso funzione della posizione e del
tempo:
T = T (x,t)
P = P (x,t)
V = V (x,t)
Se il fluido è in movimento (in questo caso definiremo il meccanismo di scambio termico convezione)
potremmo trovarci in condizioni turbolente e quindi lontani dallo stato di equilibrio. In questo caso definiremo un
coefficiente empirico che chiameremo coefficiente convettivo. L’approccio che impiegheremo per affrontare questi
problemi sarà quello utilizzato in termodinamica (vedi Figura).
• Definiremo un volume di controllo
• Applicheremo a questo volume di controllo le equazioni di conservazione della massa, dell’energia e l’equazione di stato.
Definiamo calore generato all’interno del volume di controllo quel calore che deriva dalla conversione di altre forme di energia
in calore che avviene all’interno del volume. Queste forme di energia sono quella chimica, l’elettrica, l’elettromagnetica e quella
nucleare. Per fare un esempio noto a tutti, il calore generato per effetto Joule all’interno di un filo elettrico lo esprimeremo
come un calore generato.
MODALITA’ DI SCAMBIO TERMICO
Attraverso la superficie del volume di controllo si avrà scambio termico ogni
qualvolta vi sia una differenza di temperatura tra l’ambiente e la superficie. Le
modalità fisiche con cui avviene questo trasferimento di energia sono diverse. In
letteratura si trovano in genere tre modalità di scambio termico:
conduzione
convezione
irraggiamento
In realtà i primi due meccanismi si basano su gli stessi principi e sono legati alla
presenza di massa in movimento nel sistema. La differenza sta nel fatto che la
conduzione è associata a moti atomici o molecolari mentre la convezione è
legata a moti macroscopici di massa.
L’irraggiamento invece è legato a fenomeni di propagazione di onde
elettromagnetiche. Per questo motivo lo scambio termico radiativo può avvenire
anche nel vuoto.
IRRAGGIAMENTO TERMICO
A differenza della conduzione e della convezione lo scambio termico radiattivo non richiede la
presenza di massa tra i sistemi che scambiano energia. La sua importanza è notevole, non solo in
problemi ambientali, sia su piccola, sia su grande scala, ma anche in numerosi processi industriali
di riscaldamento, raffreddamento, essiccazione e nei sistemi di conversione dell’energia,
caratterizzati dall’utilizzo di combustibili fossili o dall’impiego dell’energia solare.
Il problema della valutazione dell’energia emessa per irraggiamento non è banale, in quanto le
caratteristiche dell’emissione sono legate, sia alla lunghezza d’onda d’emissione, sia alla direzione
in cui il corpo emette. La lunghezza d’onda λ è legata alla frequenza ν tramite la relazione:
Una superficie reale riflette anche parte dell’energia che riceve dal campo circostante, che si
somma a quella emessa. Da queste osservazioni si vede che le caratteristiche dell’energia
effettivamente emessa da una superficie reale dipendono sia dalla superficie, sia dal campo
circostante.
Il calore netto scambiato tra due superfici è uguale alla differenza tra l’energia emessa e quella
ricevuta dal corpo. Per poterlo valutare vi è un problema: non tutta l’energia emessa da una
superficie incide sull’altra.Da queste brevissime note si comprende la complessità del problema.
Dovremo ricorrere a dei modelli. Noi ne introdurremo due:
il corpo nero e il corpo grigio (o superficie grigia).
IL CORPO NERO
Definiamo corpo nero un corpo che presenta le seguenti caratteristiche:
•
Il corpo nero assorbe tutta la radiazione incidente.
•
Per ogni temperatura e lunghezza d’onda assegnata, nessuna superficie può emettere più di
un corpo nero.
•
Il corpo nero è un emettitore diffuso, il che significa che l’emissione non è funzione della
direzione.
Il comportamento del corpo nero può essere approssimato sperimentalmente con una cavità la
cui la superficie interna è mantenuta a temperatura costante. Vi è solo un piccolo foro da cui
entra la radiazione, per cui la probabilità che un raggio possa uscire una volta entrato è molto
piccola.
IRRAGGIAMENTO - LEGGE DI PLANCK
Prima di definire la legge di Planck dobbiamo definire il potere emissivo monocromatico.
Il potere emissivo monocromatico, Eλ, è definito come la potenza radiativa di lunghezza
d’onda λ, emesso in tutte le direzioni da una superficie, per unità di intervallo dλ e per unità
d’area.
La legge di Planck esprime come varia il potere emissivo monocromatico di corpo nero al variare
della temperatura assoluta e della lunghezza d’onda.
Tralasciamo la formula che tutto sommato per le nostre esigenze può dire poco ed analizziamo
piuttosto la sua rappresentazione grafica riprodotta in Figura seguente
•
Fissata la lunghezza
d’onda, il valore della
radiazione emessa
cresce all’aumentare
della temperatura.
•
All’aumentare della
temperatura il corpo
nero tende ad
emettere a lunghezze
d’onda minori.
IRRAGGIAMENTO - LEGGE DI WIEN
Dall’analisi della Figura precedente si vede che il potere emissivo
monocromatico del corpo nero ha un massimo e che la
lunghezza d’onda, λm, a cui corrisponde questo massimo, dipende
dalla temperatura.
Si nota che all’aumentare della temperatura λm si sposta verso
valori minori. Wien dimostrò che questo spostamento segue la
legge:
λm * T = 2897,6 (μm * K)
P.S.: La curva che rappresenta questa legge è un’iperbole. Nella figura la legge di Wien appare
invece rappresentata come una retta, poiché il grafico è log-log.
IRRAGGIAMENTO - LEGGE DI STEFAN-BOLTZMANN
Per conoscere il potere emissivo globale, cioè la potenza emessa per unità
d’area su tutto lo spettro e per ogni direzione, mi basterebbe integrare su
tutto il campo di frequenza il potere emissivo monocromatico. Per il corpo
nero, quindi, dovrei integrare la legge di Planck su tutto lo spettro di
frequenze. Facendo questa operazione ottengo la legge di Stefan-Boltzmann:
E =σ * T4
dove:
E
è il potere emissivo globale di corpo nero, espresso in [W/m2].
σ
è la costante di Stefan-Boltzmann che vale: σ =5,67 x 10-8 W/m2 K4.
In realtà Stefan ricavò nel 1879 questa formula per via empirica e Boltzmann
la dimostrò nel 1884 senza ricorrere alla legge di Planck, che è di diversi anni
successiva.
IRRAGGIAMENTO - LEGGE DI STEFAN-BOLTZMANN
SCAMBIO DI CALORE TRA DUE CORPI NERI
Pero ogni corpo nero vale la legge di Stefan-Boltzmann quindi:
E1 =σ * T14 Energia emessa dal corpo 1
E2 =σ * T24 Energia emessa dal corpo 2
Allora l’energia netta scambiata tra i due corpi sarà:
E = E1 - E2 = σ * (T14 - T24)
N.B. Come si vede dalle unità di misura, tale energia è per unità di superficie; per trasformarla in
energia netta si deve moltiplicare per la superficie del corpo.
Di solito, per convenzione, si prende la superficie del corpo più grande
E = A * σ * (T14 - T24)
IL CORPO GRIGIO
Nella pratica il corpo nero è un modello che non può essere usato; ciò che si avvicina di più tra i
corpi reali sono i cosiddetti CORPI GRIGI:
un corpo si definisce grigio quando NON è in grado di assorbire tutta la
radiazione incidente e quando NON è in g rado di emettere onde
elettromagnetiche di qualsiasi lunghezza d’onda.
In pratica un corpo grigio è un corpo nero che presenta una energia di assorbimento/emissione
solo su una finestra limitata di spettro elettromagnetico.
Per tenere conto di tale limitatezza, si introduce per i corpi grigi il concetto di EMISSIVITA’
definita come l’energia che il corpo reale assorbe/emette diviso l’energia che il corpo avrebbe
emesso/assorbito se, anzichè grigio, fosse stato nero.
L’emissività viene indicata con la lettera ε ed ovviamente è adimensionale
Per i corpi grigi le equazioni di scambio di energia si trasformano quindi in
E = ε * A *σ *
T4
Energia totale EMESSA da un corpo grigio
(indipendentemente se c’è un altro corpo in grado di assorbirla)
E = ε * A * σ * (T14 - T24)
Energia Totale SCAMBIATA TRA DUE corpi grigi
LA CONDUZIONE
La conduzione è legata a processi che avvengono a livello atomico o molecolare.
Per spiegare il fenomeno consideriamo dapprima un gas macroscopicamente in quiete
racchiuso in un recipiente in cui le due pareti poste orizzontalmente sono a temperatura
diversa, con la parete superiore a temperatura maggiore, vedi Figura:
Le molecole vicino alla parete calda hanno una temperatura e quindi un energia cinetica
maggiore. Il loro moto avviene casualmente in tutte le direzioni; quindi prima o poi collideranno
con le molecole a temperatura più bassa trasferendo a queste parte della loro energia. In tal
modo vi è un trasferimento di energia dalla parete calda a quella fredda.Definiremo questo
meccanismo una diffusione di energia. Nei liquidi il meccanismo è analogo.
Nei solidi, invece, il meccanismo della conduzione dipende dal tipo di materiale:
•
Nei materiali con struttura reticolare la trasmissione termica dipende dalle vibrazioni degli
atomi costituenti il reticolo.
• Nei materiali conduttori, invece, la trasmissione termica dipende dal movimento degli elettroni
liberi.
Dall’esperienza si è ricavata una legge fenomenologica, detta legge di Fourier.
in cui dQ è la quantità di calore trasferita a seguito di un incremento di temperatura dT e lungo
una direzione specifica dx.
K è una costante definita come Conducibilità termica (o conduttività termica) del materiale.
La CONDUCIBILTA’ (o CONDUTTIVITA’) TERMICA
La conduttività termica è una proprietà termofisica della materia. Il suo valore è, quindi,
strettamente legato alla struttura atomica del materiale.
In termini generali si può affermare che il suo valore diminuisce passando dai solidi conduttori, alle
leghe, ai liquidi e ai gas.
È bene ribadire, però, che i fluidi devono essere macroscopicamente fermi, altrimenti si innescano i
meccanismi propri della convezione. Nei solidi la conduttività dipende sia dal movimento degli
elettroni liberi, sia dalle vibrazioni del reticolo cristallino. Il movimento degli elettroni liberi risulta
essere inversamente proporzionale alla resistività elettrica del materiale.
Nei materiali conduttori l’apporto alla conduttività degli elettroni liberi è preponderante rispetto
alle vibrazioni del reticolo; nelle leghe i due apporti diventano comparabili.
Nei materiali non metallici l’apporto principale alla conduttività termica è dato dalle vibrazioni del
reticolo; la sua regolarità favorisce la conduttività termica. Questo spiega perché il quarzo ha una
conduttività termica ben più alta del vetro. Il diamante, per esempio, avendo una struttura reticolare
molto ordinata presenta una conduttività termica molto alta, superiore anche ai migliori metalli
puri. Nei materiali isolanti la conduttività dipende da numerosi fattori, legati sia al materiale, sia alla
struttura.
Nel diagramma successivo è riportata la conduttività termica per alcuni solidi in funzione della
temperatura.
CONDUCUBILITA’ : LASTRA PIANA MONODIMENSIONALE
L’Equazione di Fourier diventa
o anche
CONDUCIBILITA’ : LASTRE PIANE MONODIMENSIONALI COMPOSTE
CONDUCIBILITA’ : GEOMETRIA CILINDRICA (TUBAZIONI)
LA CONVEZIONE
Nello scambio di calore per convezione almeno uno dei due
elementi che partecipano è un fluido.
Esaminiamo il caso più semplice: una parete piana (verticale o
!
orizzontale) lambita da un fluido.
Se la parete ed il fluido sono alla stessa Temperatura, il fluido
rimane fermo e non si ha scambio di calore; vi sono soltanto
moti Browniani ma complessivamente il fluido rimane in
quiete.
Se la lastra ha una T maggiore di quella del fluido, il generico
volumetto di fluido (indicato per brevità con dV) a contatto
con la lastra si riscalda ed aumenta il proprio volume, poiché
tutti i corpi per effetto di un ΔT positivo tendono a dilatarsi
in misura maggiore o minore a seconda del valore del
coefficiente di dilatazione termica β. l’aumento di volume
modifica la situazione precedente di equilibrio: all’interno della
massa ogni volumetto di fluido dV è soggetto alla Forza peso
!
ed alla forza di Archimede che, in assenza di dilatazioni, si
equivalgono.
Quando il fluido si scalda il suo volume aumenta ma il peso
resta lo stesso, quindi la Forza di Archimede aumenta e supera
la forza peso: il generico dV di fluido tende a salire.
In conclusione, il riscaldamento del fluido provoca una dilatazione di volume generando una spinta verso l’alto: l’effetto globale
è una corrente ascensionale di fluido, ossia un MOTO CONVETTIVO che, come in questo caso in cui la parete è più calda, è
diretto verso l’alto; in caso contrario è diretto verso il basso.
In seguito alla corrente ascensionale nuovo fluido proveniente dalle zone circostanti andrà a sostituire quello caldo spinto
verso l’alto.
LA CONVEZIONE IMPLICA QUINDI NECESSARIAMENTE UN TRASPORTO DI MASSA ASSOCIATO AL TRASPORTO DI
CALORE.
Inoltre, in questo caso il trasporto di massa (cioè il moto del fluido) è diretta conseguenza dello scambio di calore: si parla di
CONVEZIONE NATURALE, ossia in quei casi in cui il trasporto di massa è funzione del solo scambio termico e viceversa
senza l’azione di agenti esterni.
In altri casi, infatti, il fluido potrebbe essere già in moto rispetto alla parete (ad esempio spinto da un compressore in caso di
gas o da una pompa centrifuga in caso di un liquido); se fluido e parete hanno la stessa temperatura non c’è ovviamente
scambio termico, ma se le due temperature sono diverse lo scambio di calore avviene come al solito: in questo caso però il
trasporto di calore non è collegato al trasporto di massa, poiché quest ultimo è regolato da componenti esterni (pompe,
compressori, ventilatori, ecc.). In questo caso si parla di CONVEZIONE FORZATA.
Il concetto di strato limite
Il moto complessivo del fluido ha per effetto il trasferimento di calore a seguito di un trasferimento di
massa.
Tutto ciò avviene ad una certa distanza dalla parete poiché, se ci si pone nelle immediate vicinanze,
essendo la parete ferma, anche il fluido a contatto sarà fermo. Tale strato di fluido fermo è dovuto anche
alla scabrezza della superficie: in pratica è come se il fluido ricoprisse le asperità superficiali del materiale,
ma esse generano ostacolo al movimento e, attaccato alla parete, il fluido è praticamente fermo.
A mano a mano che ci si allontana dalla parete la velocità v del fluido inizia a crescere fino a raggiungere il
valore medio assunto in fase massiva, ossia la velocità nominale del fluido v* (molti testi riportano v∞
cioè la velocità del fluido a distanza infinita dalla lastra, il che equivale a dire la velocità nominale del fluido
in una condizione in cui l’effetto della lastra non si esplica più).
Praticamente, allontanandosi dalla parete la velocità del fluido aumenta da v=0 fino a v=v*: si definisce
STRATO LIMITE di VELOCITA’ o STRATO LIMITE FLUIDODINAMICO lo strato di fluido all’interno del
quale la velocità aumenta da v=0 fino al 99% della velocità nominale, ossia fino a v=0,99v*.
!
In maniera molto più esplicativa si puo’ ricorrere al caso in cui un fluido si immetta dentro una
tubazione: all’imbocco avrò un profilo di velocità per cui v=0 sulla parete e velocità crescenti via
via che il fluido percorre cammino all’interno della tubazione.
!
!
All’interno di questo strato limite, il fluido può muoversi in regime laminare o turbolento, cosi come si può avere
regime laminare o turbolento anche in fase massiva: lo strato limite rappresenta solo lo spessore di liquido nel quale si
passa da v=0 ad un regime di velocità che al 99% è quello massivo.
E’ ovvio che se in fase massiva il fluido ha regime laminare, lo spessore dello strato limite sarà maggiore; mentre se in
fase massiva il moto è completamente turbolento lo spessore dello strato limite sarà molto piccolo.
In ogni caso, a contatto con la parete vi sarà sempre una “pellicola” di liquido ferma (una specie di “sottostrato”
laminare), il cui spessore dipende dalla scabrezza del materiale, dalla viscosità del fluido e da altri parametri chimicofisici.
!
!
Il coefficiente di convezione
Come già visto, rispetto alla conduzione nella convezione i meccanismi che regolano lo scambio di calore sono molto più complessi.
Nella convezione si adotta un approccio diverso: partendo da un’equazione generale, si fa riferimento a casi reali per i quali sono note le
geometrie ed i parametri del problema (lastra piana orizzontale o verticale, tubo percorso internamente dal fluido, tubo lambito
esternamente dal fluido, serie di tubi, ecc.) e per ognuno di essi si risolvono di volta in volta le equazioni che regolano il trasferimento di
calore.
Equazione generale
Tale equazione si basa sui seguenti assunti:
•
il calore scambiato deve comunque essere proporzionale al ΔT tra fluido e parete
•
indipendentemente che lo strato limite coincida o meno con la pellicola, il calore, partendo dalla parete, deve attraversare uno
strato di liquido completamente fermo: praticamente è come se fosse una seconda parete attaccata alla prima. Si potrebbe usare
l’espressione di Fourier per la conduzione su pareti composte, ma il problema è che non si conosce lo spessore della pellicola
•
poiché il liquido nella pellicola è fermo, tale strato di fluido è comunque anisotropo quindi non si possono assegnare gli stessi valori
dei parametri chimico-fisici calcolati per la fase massiva.
L’effetto della pellicola, con il suo spessore non calcolabile e la sua anisotropicità, viene inglobato nel parametro
h
coefficiente di convezione (o coefficiente di pellicola)
Q = A h ΔT
per cui si ha
Formula generale di Newton per la convezione
(notare la similitudine con l’espressione di Fourier per la conduzione, dove si potrebbe affermare che h = K / s).
Il calcolo del calore scambiato per convezione si riduce quindi al calcolo dei coefficienti di pellicola, calcolo che come detto viene fatto
caso per caso (lastre, tubi, ecc.)
Calcolo dei coefficienti di convezione h
Il calcolo di h è fatto sfruttando una tecnica matematica conosciuta come ANALISI DIMENSIONALE. Essa si
basa su un importante teorema detto Teorema π o Teorema di Buckingham.
La soluzione di queste equazioni è molto complessa; in definitiva si devono calcolare dei numeri
adimensionali
Praticamente rappresenta l’incremento della potenza
termica trasmessa per convezione rispetto a quella
trasmessa per pura conduzione
Numero di NUSSELT
Numero di REYNOLDS
Numero di PRANDTL
Re=
!x v x d
for ze d i in er zia
=
µ
f o r z e v i s cose !
Se il moto è laminare, prevalgono le forze
viscose di coesione tra le molecole del
fluido; viceversa, nel moto turbolento
prevalgono le forze inerziali di moto.
Si può considerare a tutti gli effetti come
una proprietà chimico-fisica del fluido: in
Cp xµ
d i f f u s i v i ta ' d e l l a q . d i m o to pratica dà una misura di come un fluido
Pr = K
=
d i f f u s i v i ta ' d e l c a l o r e
! diffonde simultaneamente il calore e la
quantità di moto (ossia un trasferimento
di massa)
La soluzione delle equazioni dimensionali sta nel calcolo del numero
di Nusselt in funzione degli altri due ovvero
K
h= ! d
]Reg ]Prg
!
a
Ciò permette il calcolo del coefficiente di convezione h.
I valori delle tre costanti numeriche (Φ, a, b) sono
determinati in funzione della geometria del
problema di trasmissione
A solo titolo di esempio si riportano alcune tabelle per il calcolo delle tre costanti in
regime di convezione forzata e naturale
b
