APPLICAZIONI di MECCANICA QUANTISTICA

Università degli Studi di Cagliari
Facoltà di Ingegneria e Architettura
Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica – anno accademico 2016/2017
(Alcune) APPLICAZIONI di MECCANICA QUANTISTICA
Luciano Colombo
Dipartimento di Fisica - Università degli Studi di Cagliari
Cittadella Universitaria, 09042 Monserrato (Ca)
Email: [email protected]
Website: people.unica.it/lucianocolombo
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Eventuali richieste di autorizzazione all’uso di questa Dispensa vanno indirizzate direttamente all’Autore,
scrivendo al seguente indirizzo di posta elettronica: [email protected]
Presentazione
Questa dispensa riporta gli esercizi svolti a lezione in forma di applicazioni della Mecanica Quantistica.
I risultati di questi esercizi sono utili a capire la teoria sviluppata per la struttura elettronica di un
semiconduttore cristallino.
Una trattazione più completa di questi (ed altre) applicazioni è riportata nel manuale
Quantum Mechanics for Scientists and Engineers
David A.B. Miller (Cambridge University Press)
2
Indice
1 Elettrone confinato in una buca di potenziale
1.1 Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Energie e funzioni d’onda permesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
2 Elettrone contro un gradino di potenziale
2.1 Definizione del problema . . . . . . . . . .
2.2 Caso E < E0 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Caso E > E0 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Raccordo delle funzioni ψ1 e ψ2 a x = 0 .
2.5 Considerazioni conclusive . . . . . . . . .
3 Elettrone contro una barriera di
3.1 Definizione del problema . . . .
3.2 Caso E < E0 . . . . . . . . . .
3.3 Caso E > E0 . . . . . . . . . .
3.4 Coefficiente di trasmissione . .
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6
6
6
7
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potenziale
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11
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12
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Capitolo 1
Elettrone confinato in una buca di
potenziale
1.1
Definizione del problema
Consideriamo il caso di un elettrone libero, ma confinato entro una regione di spazio ∆x = L. Matematicamente, la situazione è descritta da un potenziale di confinamento V (x) tale che: V = 0 per 0 ≤ x ≤ L,
mentre V = +∞ per x < 0 o x > L. La figura 1.1 (sinistra) riassume la situazione. Questo problema è
noto in letteratura come il problema della “particella in una scatola” o come il problema di una “particella
in una buca di potenziale” (a pareti infinitamente alte).
Figura 1.1: Andamento del potenziale V (x) per una particella in una scatola (sinistra) e corrispondente
diagramma dei livelli di energia ammessi (destra).
1.2
Energie e funzioni d’onda permesse
La forma del potenziale V (x) suggerisce che la funzione d’onda ψ(x) descrivente lo stato dell’elettrone
debba essere nulla sia per x < 0 che per x > L. A queste regioni, infatti, l’elettrone non può avere
accesso: infatti, coerentemente con il significato di probabilità di presenza associato alla funzione d’onda,
dobbiamo necessariamente affermare che è nulla la probabilità di ivi trovare l’elettrone.
Consideriamo ora la regione 0 < x < L. Dentro la buca di potenziale non agiscono forze (perchè
il potenziale è nullo): l’elettrone è dunque libero e la sua funzione d’onda è un’onda piana: ψ(x) =
4
CAPITOLO 1. ELETTRONE CONFINATO IN UNA BUCA DI POTENZIALE
5
Figura 1.2: Le prime tre funzioni d’onda di particella libera confinata in una scatola (sinistra) e
corrispondenti ampiezze di probabilità (sinistra). Caso 1–dimensionale.
A cos(kx) + B sin(kx). In questo caso, tuttavia, esistono delle condizioni al contorno ben definite che ci
consentono di determinare il valore delle costanti A e B. Ricordando che la ψ(x) deve essere continua,
dobbiamo avere che ψ(x = 0) = ψ(x = L) = 0. Per sostituzione diretta si dimostra facilmente che A = 0
e che
sin(kL) = 0
.
(1.1)
Quindi l’argomento della funzione seno deve essere un multiplo intero n di π
√
2me En
L = nπ
kL =
~
(1.2)
dove abbiamo indicato con En l’energia dell’elettrone confinato nella buca (ovviamente me è la sua
massa). Questo risultato equivale a affermare che le uniche energie permesse ad un elettrone confinato
in una regione di spessore L sono
π 2 ~2 2
En =
n
(1.3)
2me L2
dove n = 1, 2, 3, · · · . Questo risultato è molto importate perchè rappresenta una condizione di discretizzazione dello spettro di energie di un sistema fisico che non dipende da assunzioni ad hoc, ma che
discende coerentemente da un ben definito schema concettuale: quello della meccanica quantistica. In
Fig.1.1 (destra) è rappresentato lo schema dei livelli energetici per l’elettrone confinato nella scatola di
larghezza L.
Le forme delle onde materiali associate ai diversi livelli energetici En si ottengono facilmente per
sostituzione della eq.(1.2) nella funzione d’onda di una particella libera. Esse sono rappresentate dall’equazione
nπ x
(1.4)
ψ(x) = B sin
L
e corrispondono a onde stazionarie; le uniche funzioni d’onda ammissibili sono dunque quelle tali per cui
nella scatola sono contenute esattamente un numero intero di mezze lunghezze d’onda
λ=
h
h
2L
=√
=
p
n
2mEn
(1.5)
La figura 1.2 illustra l’andamento delle prime tre funzioni d’onda (sinistra) e le corrispondenti ampiezze
di probabilità (destra).
Capitolo 2
Elettrone contro un gradino di
potenziale
2.1
Definizione del problema
Si consideri un elettrone libero di energia E in movimento in una regione descritta da un potenziale a
gradino (di altezza finita E0 ) come illustrato in Fig.2.1. Vogliamo ricavare la forma della funzione d’onda
elettronica per questo problema.
V(x)
elettrone
di energia E
gradino di potenziale
di altezza E 0
asse x
x=0
Figura 2.1: L’elettrone di energia E arriva da sinistra verso destra contro il gradino di potenziale posto
in x = 0 e di altezza pari a E0 .
Questo problema uni-dimensionale va affrontato scrivendo innanzitutto l’equazione di Schrödinger per
il potenziale V (x) assegnato
~2 d2
−
+
V
(x)
ψ(x) = Eψ(x)
(2.1)
2me dx2
dove me è la massa dell’elettrone e il potenziale V (x) è quello rappresentato in figura, ovvero
0
se x < 0
V (x) =
E0 se x ≥ 0
(2.2)
Conviene distinguere tra i due diversi casi E < E0 (l’elettrone urta contro il gradino con una energia
cinetica inferiore all’altezza dello stesso) e E > E0 l’elettrone urta contro il gradino con una energia
cinetica maggiore dell’altezza del gradino) e trattarli separatamente.
2.2
Caso E < E0
Secondo la fisica classica una particella incidente con energia inferiore al gradino non ha alcuna possibilità di superare la barriera. Secondo la meccanica quantistica, invece, la soluzione del problema è più
complessa.
6
CAPITOLO 2. ELETTRONE CONTRO UN GRADINO DI POTENZIALE
7
Iniziamo a considerare la regione a sinistra del gradino di potenziale, cioè la regione x < 0. Qui il
potenziale che agisce sull’elettrone è nullo e, dunque, esso si muove come particella libera. Noi abbiamo
già risolto il problema quantistico per una particella libera e sappiamo che la sua funzione d’onda è tipo
onda piana. Quando un’onda incide sulla barriera provenendo da sinistra, subirà un ovvio fenomeno di
riflessione. Pertanto nella regione x < 0 la funzione d’onda nella sua forma più generale è data dalla
sovrapposizione di un’onda piana incidente exp (ikx) (che propaga da sinistra verso destra) e di un’onda
piana riflessa exp (−ikx) (che propaga da destra verso sinistra). Naturalmente k rappresenta il vettor
d’onda dell’onda di de Broglie associata all’elettrone. Possiamo trascrivere questo risultato in forma
matematica
ψ1 (x) = Aeikx + Be−ikx
(2.3)
dove abbiamo indicato con ψ1 (x) la funzione d’onda nella regione x < 0 e con A, B i coefficienti della
combinazione lineare tra le due soluzioni particolari (onda incidente e onda riflessa, rispettivamente)
dell’equazione di Schrödinger.
Nella regione a destra del gradino di potenziale, cioè nella regione x ≥ 0, la situazione è più complessa
visto che l’elettrone sperimenta un potenziale costante pari a V (x) = E0 . Se indichiamo con ψ2 (x) la
funzione d’onda per x ≥ 0, la corrispondente equazione di Schrödinger si scrive come
~2 d2
+ E0 ψ2 (x) = Eψ2 (x)
(2.4)
−
2me dx2
ovvero
d2
2me (E − E0 )
+
ψ2 (x) = 0
dx2
~2
(2.5)
Notiamo che il coefficiente del secondo termine è negativo in quanto con E < E0 ; pertanto poniamo
2me (E − E0 )
= −α2
~2
(2.6)
con α numero reale che senza perdita di generalità assumeremo positivo. Possiamo allora scrivere
d2 ψ2 (x)
− α2 ψ2 (x) = 0
dx2
(2.7)
È facile verificare per sostituzione diretta che la soluzione della precedente equazione deve essere della
forma
ψ2 (x) ∼ e±αx
(2.8)
Considerata la sua definizione, osserviamo che α > 0. Ciò implica che la soluzione ψ2 (x) ∼ exp (+αx)
rappresenta una funzione monotona crescente per x > 0. Questa soluzione, pertanto, risulta fisicamente inaccettabile perchè assurdamente comporterebbe una probabilità di presenza dell’elettrone crescente al crescere della distanza dal gradino di potenziale (inoltre una tale funzione d’onda non sarebbe
normalizzabile nella regione x ≥ 0). Concludiamo, quindi, che l’unica soluzione accettabile è
r
2me (E0 − E)
−αx
ψ2 (x) = Ce
con α =
(2.9)
~2
dove C è una generica costante.
Il risultato che abbiamo appena ricavato è intrigante: secondo la meccanica quantistica esiste una
probabilità non nulla di trovare l’elettrone a destra del gradino di potenziale. Tale probabilità descresce
esponenzialmente all’aumentare della distanza (verso destra) dal gradino. Questa è una prima importante
differenza tra la soluzione classica e quella quantistica.
2.3
Caso E > E0
Secondo la fisica classica una particella incidente con energia superiore al gradino riesce a superare la
barriera, propagando verso destra con energia cinetica inferiore rispetto a quella posseduta nella regione
x < 0.
CAPITOLO 2. ELETTRONE CONTRO UN GRADINO DI POTENZIALE
8
Secondo la meccanica quantistica, invece, dobbiamo risolvere separatamente il problema di Schrödinger nelle regioni a sinistra e a destra del gradino di potenziale.
Per x < 0 la situazione è formalmente identica al caso discusso in precedenza. La soluzione per la
funzione d’onda ψ1 (x) è dunque
ψ1 (x) = Aeikx + Be−ikx
(2.10)
Per x ≥ 0, invece, la corrispondente equazione di Schrödinger si scrive come
d2 ψ2 (x)
+ β 2 ψ2 (x) = 0
dx2
(2.11)
dove abbiamo posto
2me (E − E0 )
~2
in modo che la soluzione può essere scritta nella forma
β2 =
ψ2 (x) = Ceiβx
2.4
(2.12)
.
(2.13)
Raccordo delle funzioni ψ1 e ψ2 a x = 0
Abbiamo fin ad adesso risolto il problema separatamente per le due regioni x < 0 e x ≥ 0. Dobbiamo,
adesso, trovare il modo di raccordare ψ1 (x) a ψ2 (x) nel punto x = 0.
Il criterio generale da seguire è quello di imporre la continuità della funzione d’onda e della sua
derivata prima nel punto di raccordo1 .
Nel caso E < E0 le condizioni
ψ1 (x = 0) = ψ2 (x = 0)
e
dψ1 (x)
dx
x=0
dψ2 (x)
=
dx
(2.14)
x=0
conducono immediatamente alle seguenti equazioni
A+B =C
ovvero
B=
e
(ik + α)A
ik − α
ikA − ikB = −αC
e
C=
2ikA
ik − α
da cui, supponendo noto2 il coefficiente A, si ottiene
(
ik+α −ikx
ψ1 (x) = A eikx + ik−α
e
ψ(x) =
2ik
ψ2 (x) = ik−α
Ae−αx
(2.15)
(2.16)
per x < 0
per x ≥ 0
(2.17)
La rappresentazione grafica di Fig.2.2 fornisce una visione intuitiva dell’andamento della funzione
d’onda di un elettrone che “sente” un gradino di potenziale. La parte esponenziale decrescente per
x > 0 tenderà a zero tanto più rapidamente quanto maggiore risulterà il parametro α. In altre parole,
maggiore è l’altezza del gradino, minore è la penetrazione della funzione d’onda. Nel caso limite di gradino
infinitamente alto (cioè per E0 → +∞), la funzione d’onda deve essere necessariamente nulla3 , ovvero:
ψ2 (x) = 0 ∀ x ≥ 0. La situazione è dunque corrispondente al caso di Fig.2.3.
Nel caso E > E0 le condizioni (1.14) conducono immediatamente, supponendo noto2 il coefficiente
A, alle seguenti equazioni
(k − β)A
2kA
B=
e C=
(2.18)
k+β
k+β
1 La continuità della funzione d’onda è ovviamente legata al suo significato probabilistico: poichè il suo modulo quadro nel
punto x = 0 rappresenta l’ampiezza della probabilità di trovare l’elettrone in quel punto, è ovvio che essa debba variare con
continuità. Più complessa è la giustificazione per la continuità della derivata prima. Poichè abbiamo assunto che il gradino
di potenziale abbia altezza finita, sappiamo dalla eq.(1.1) che questo implica necessariamente che la derivata seconda della
funzione d’onda sia finita. Quindi, la sua derivata prima deve essere una funzione continua
2 Questa assunzione equivale ad assumere nota l’ampiezza dell’onda incidente, nel senso meglio specificato nel Paragrafo
2.5.
3 Non si può accedere ad una regione con poenziale infinito!
CAPITOLO 2. ELETTRONE CONTRO UN GRADINO DI POTENZIALE
9
V(x)
asse x
x=0
Figura 2.2: Funzione d’onda per un elettrone che arriva con energia E da sinistra verso destra contro il
gradino di potenziale posto in x = 0 ed altezza E0 . Soluzione valida per E < E0 .
V(x)
asse x
x=0
Figura 2.3: Funzione d’onda per un elettrone che arriva con energia E da sinistra verso destra contro il
gradino di potenziale posto in x = 0 ed altezza E0 → +∞.
e
(
ψ(x) =
ψ1 (x) = A eikx +
ψ2 (x) =
2k
iβx
k+β Ae
k−β −ikx
k+β e
per x < 0
per x ≥ 0
(2.19)
Il significato fisico è diverso dal caso precedente. Poichè l’energia dell’elettrone incidente è maggiore del
gradino di potenziale, esso può propagare a destra dello stesso. Ciò è descritto dalla componente ψ2 (x)
della funzione d’onda. Esiste, a differenza del caso classico, anche la possibilità che l’elettrone venga
riflesso dal gradino di potenziale: ciò corrisponde al secondo termine della espressione per la componente
ψ1 (x).
2.5
Considerazioni conclusive
La meccanica quantistica suggerisce un modo molto intuitivo di descrivere l’interazione di un elettrone
con un gradino di potenziale, mutuando il linguaggio proprio dell’ottica fisica. Essa, infatti, consente
di sviluppare una descrizione in termini di riflessione e trasmissione della funzione d’onda descrivente
l’elettrone.
Ricordando che l’intensità di un’onda è pari al quadrato della sua ampiezza, possiamo scrivere che
l’intensità dell’onda incidente è pari a |A|2 . Fisicamente, questa grandezza rappresenta il numero di
elettroni per unità di volume che incidono sul gradino, provenendo da sinistra. Il flusso incidente rappresenta, invece, il numero di elettroni che passano attraverso l’unità di superficie nell’unità di tempo.
Matematicamente il flusso incidente di un’onda è dato dal prodotto v|A|2 , dove v è la velocità di propagazione dell’onda. In maniera del tutto analoga si definiscono il flusso riflesso v|B|2 ed il flusso trasmesso
v 0 |C|2 . Abbiamo ovviamente usato la stessa velocità v per onda incidente e riflessa, visto che propagano
nella stessa regione x < 0 di spazio. Al contrario, per l’onda trasmessa abbiamo indicato una diversa
velocità v 0 poichè essa descrive l’elettrone a destra del gradino di potenziale.
CAPITOLO 2. ELETTRONE CONTRO UN GRADINO DI POTENZIALE
10
Si definisce coefficiente di riflessione R il rapporto tra flusso riflesso e flusso incidente
v|B|2
R=
=
v|A|2
k−β
k+β
2
(2.20)
e coefficiente di trasmissione T il rapporto tra flusso trasmesso e flusso incidente
v 0 |C|2
β
T =
=
2
v|A|
k
2k
k+β
2
(2.21)
Naturalmente è verificata la condizione R + T = 1 che equivale ad esprimere la conservazione del numero
totale di elettroni durante il processo di incidenza, riflessione e trasmissione.
Capitolo 3
Elettrone contro una barriera di
potenziale
3.1
Definizione del problema
Si consideri un elettrone libero di energia E in movimento in una regione descritta da una barriera di
potenziale come in Fig.3.1 (altezza della barriera: E0 ; spessore della barriera: a). Vogliamo ricavare la
forma della funzione d’onda elettronica per questo problema.
V(x)
elettrone di
energia E
barriera di potenziale
di altezza E
0
asse x
barriera di
spessore a
Figura 3.1: L’elettrone di energia E arriva da sinistra verso destra contro la barriera di potenziale di
altezza E0 e di spessore a.
Questo problema uni-dimensionale va affrontato scrivendo innanzitutto l’equazione di Schrödinger per
il potenziale V (x) assegnato
~2 d2
−
+
V
(x)
ψ(x) = Eψ(x)
(3.1)
2me dx2
dove me è la massa dell’elettrone e il potenziale V (x) è quello rappresentato in figura, ovvero:

se x < 0
 0
E0 se 0 ≤ x ≤ a
V (x) =

0
se x > a
(3.2)
Conviene distinguere, come nel precedente capitolo, tra i due diversi casi E < E0 e E > E0 e trattarli
separatamente.
11
CAPITOLO 3. ELETTRONE CONTRO UNA BARRIERA DI POTENZIALE
3.2
12
Caso E < E0
Secondo la fisica classica una particella incidente con energia inferiore alla barriera non ha alcuna
possibilità di superarla.
Ragionando quantisticamente, possiamo invece costruire la funzione d’onda ψ(x) in perfetta analogia
a quanto già fatto nel Paragrafo 2.2

 ψ1 (x) = Ae+ikx + Be−ikx per x < 0
ψ2 (x) = Ce+αx + De−αx per 0 ≤ x ≤ a
ψ(x) =
(3.3)

ψ3 (x) = A0 e+ikx
per x > a
dove
r
k=
2me E
~2
r
e
α=
2me (E − E0 )
~2
(3.4)
Per quanto riguarda la soluzione ψ1 (x) relativa alla regione x < 0, si estendono le considerazioni
già sviluppate: essa rappresenta la sovrapposizione di un’onda incidente (che propaga da sinistra verso
destra) e di un’onda riflessa (che propaga da destra verso sinistra). Nel caso, invece, della soluzione
ψ2 (x) relativa alla regione di barriera 0 ≤ x ≤ a, essa rappresenta la sovrapposizone di un’onda che
decade esponenzalmente a partire da x = 0 e di un’onda che corrisponde alla soluzione exp +(αx) (vedi
eq.(2.8)) che in questo caso non deve essere esclusa per motivi fisici: la larghezza di barriera, infatti, è
in questo caso finita. Infine, la soluzione ψ3 (x) per x > a rappresenta la componente di onda trasmessa.
La sua ampiezza A0 è ovviamente diversa dall’ampiezza A dell’onda incidente, a causa del fatto che:
(i) alla barriera si verifica riflessione e (ii) attraverso la barriera si verifica smorzamento (decadimento
esponenziale) dell’onda.
Il risultato ottenuto è di importanza fondamentale: secondo le leggi della meccanica quantistica esiste
una probabilità non nulla che l’elettrone incidente sulla barriera di potenziale (con energia inferiore alla
barriera) possa “penetrarla” e passarci attraverso. Questo fatto è noto col nome di effetto tunnel
ed è alla base del principio di funzionamento di alcuni moderni dispositivi elettronici a stato solido.
L’andamento complessivo della funzione d’onda è rappresentato in Fig.3.2.
V(x)
asse x
Figura 3.2: Andamento della funzione d’onda per un elettrone di energia E incidente (da sinistra verso
destra) contro la barriera di potenziale di altezza E0 > E e di spessore a.
3.3
Caso E > E0
Secondo la fisica classica una particella incidente con energia superiore alla barriera riesce a superare
la barriera. Secondo la meccanica quantistica, invece, abbiamo imparato che esiste una probabilità non
nulla che l’onda incidente venga comunque riflessa. Nel caso della barriera di spessore finito, abbiamo
due diverse superfici sulle quali può avvenire riflessione: quella posta in x = 0 (su cui si riflette l’onda
CAPITOLO 3. ELETTRONE CONTRO UNA BARRIERA DI POTENZIALE
13
incidente da sinistra) e quella posta in x = a (su cui si riflette l’onda trasmessa). Pertanto, possiamo
immediatamente scrivere le soluzioni per le diverse regioni dello spazio come segue:

 ψ1 (x) = Ae+ikx + Be−ikx per x < 0
ψ2 (x) = Ce+iβx + De−iβx per 0 ≤ x ≤ a
(3.5)
ψ(x) =

ψ3 (x) = A0 e+ikx
per x > a
dove
r
β=
3.4
2me (E − E0 )
~2
(3.6)
Coefficiente di trasmissione
È interessante studiare il coefficiente di trasmissione, cosı̀ come definito nel Paragrafo 1.5.
Imponendo le opportune condizioni al contorno in x = 0 e in x = a è possibile determinare sia il valore
di A che di A0 e, pertanto, calcolare il coefficiente di trasmissione T = |A0 /A|. Il risultato è riportato in
Fig.3.3.
Coefficiente di trasmissione
1
E0
2E 0
3E 0
4E 0
5E 0
Energia elettrone incidente
Figura 3.3: Andamento del coefficiente di trasmissione per un elettrone di energia E, incidente (da sinistra
verso destra) contro la barriera di potenziale di altezza E0 e di spessore a.
Come si può osservare, esistono particolari valori dell’energia E dell’elettrone incidente per i quali
la barriera è perfettamente trasparente (barriera trasparente = coefficiente di trasmissione pari ad 1. In
altre parole: la barriera è trasparente se l’elettrone ha la probabilità del 100% di passarla). Anche questo
risultato non ha analogo classico.
Sebbene possa risultare a prima vista anti-intuitivo che un elettrone abbia una probabilità di passare
la barriera a valore intermedio tra 0 (barriera opaca, caso classico) e 1 (barriera trasparente), l’interpretazione di questo risultato diventa chiara se lo si legge in termini probabilistici: dire che il coefficiente di
trasmissione vale T (E) 6= 0, 1 quando l’energia di incidenza è E significa dire che, collimando un fascio
di elettroni tutti di energia E contro tale barriera, la frazione T (E) di essi passa la barriera, mentre la
frazione [1 − T (E)] viene da essa respinta.