6. Sistemi di particelle
Legge della dinamica di traslazione per un sistema di particelle
È possibile scrivere una legge per il moto “collettivo” di un insieme di particelle interagenti
fra loro e con l’esterno. Questo modo di fare permette di descrivere il moto “complessivo” di
sistemi composti da numerose particelle senza entrare nel dettaglio del moto di ogni singola
particella.
Iniziamo definendo una quantità di moto totale del sistema (assumiamo le singole masse
costanti per semplicità):
r
r
P = mi vi
i
r
r
d
r
r
dri
r d
= mi ri = (M rcm ) = M v cm
P = mi
dt dt i
dt
i
avendo definito il concetto di centro di massa (CM) del sistema ( M = mi ):
i
r
m
r
ii
r
rcm = i
M
mi
z
CM
ri
x
rcm
y
Nonostante questa definizione possa sembrare arbitraria, il significato fisico di CM è evidente
dalla relazione precedente che esprime la quantità di moto totale del sistema come la massa
totale del sistema per la velocità del CM. Nel suo complesso, il sistema è rquindi assimilabile
ad un punto materiale di massa M che si muove con velocità vcm e che occupa
r
istantaneamente la posizione rcm .
Calcoliamo ora il tasso di variazione
r
r
r
r
dpi
dP
=
= ( Fi (int ) + Fi(ext ) )
dt
i dt
i
dove si è sfruttata la legge di Newton per la singola particella, separando le forze applicate su
mi dalle altre masse del sistema (ji) e quelle applicate dall’esterno.
In particolare abbiamo:
r
r (int )
Fi = Fj i
j i
r
r
Per il principio di azione-reazione, essendo Fj i = Fi j succede che tutte le coppie di forze
r
interne fra particelle del sistema si annullano nella somma che fornisce dP / dt , quindi resta
solo la risultante delle forze esterne: r
r
r
dP
= Fi(ext ) = Fext
dt
i
r
r
M acm = Fext
Quindi il moto di traslazione del CM è descritto da una legge identica a quella per la singola
particella, con massa M, e la forza a cui è soggetta è la somma delle forze esterne.
-
La quantità di moto totale di un sistema isolato (cioè che non interagisce con il mondo
r
esterno) è costante, in quanto Fext =0
-
Il CM di un sistema isolato si muove a velocità costante in un sistema inerziale (le forze
interne non possono perturbare questo tipo di moto)
-
Dividendo un sistema isolato in due parti, essendo la somma delle quantità di moto delle
due parti costante, ciascuna parte varia la propria quantità di moto in misura opposta
all’altra
Legge della dinamica di rotazione per un sistema di particelle
Definiamo il momento angolare di un sistema di particelle rispetto al polo O:
r(O )
r r
L = ri pi
i
Ora calcoliamo il tasso di variazione di questa quantità, che evidentemente è associata alle
caratteristiche di rotazione del sistema:
r
r
r
dL(O)
dri r r dpi = pi + ri dt
dt
dt i
il primo termine è nullo in quanto prodotto vettoriale di vettori paralleli, per cui
r
r (int ) r(ext )
r
dL(O)
= ri ( Fi + Fi )
dt
i
Consideriamo per semplicità un sistema di due particelle:
r
r (int) r (ext) r
r(int) r (ext )
dL(O) r
= r1 ( F21
+ F1 ) + r2 (F12
+ F2 )
dt
r
r (int)
dL(O) r r (ext ) r r (ext ) r r
= r1 F1 + r2 F2 + ( r2 r1 ) F12
dt
r
r
dove si è sfruttato ancora il principio di azione-reazione ( Fj i = Fi j ). Nell’ipotesi che le
forze interne fra due particelle agiscano lungo la congiungente delle due particelle, il terzo
termine nell’equazione precedente è nullo perchè i vettori sono paralleli.
Concludendo:
r
r
r (O)
r r
dL(O)
= ri Fi (ext ) = i(O ) = ext
dt
i
i
Quindi il momento angolare di un sistema di particelle può variare solo in presenza di un
momento totale non nullo delle forze esterne.
-
per descrivere compiutamente lo stato di traslazione e di rotazione “complessivi” di un
sistema di particelle bastano le due equazioni
r
r
M acm = Fext (prima equazione cardinale)
r
dL(O) r (O)
= ext (seconda equazione cardinale)
dt
-
se il sistema è isolato (cioè non ci sono forze esterne) il momento angolare è costante
Sistema del CM
Fissato un sistema di riferimento inerziale per descrivere il moto di un sistema di particelle, si
definisce sistema del CM un nuovo sistema cartesiano con gli assi paralleli a quelli del
sistema inerziale, e con l’origine stabilita nel CM.
Questo nuovo sistema si sposta solidalmente al CM con moto traslatorio (in generale non
uniforme).
z'
mi
z
x'
ri
CM
r'i
y'
rcm
x
y
Questo concetto risulta particolarmente utile per separare la dinamica delle componenti
interne al sistema rispetto al CM (deformazione o rotazione del sistema) dal moto
complessivo di traslazione del sistema.
Per definizione, il momento angolare calcolato rispetto al CM è:
r(cm )
r r
r r
r r
L = ri pi = (ri rcm ) mi (v i v cm )
i
i
r(cm )
r
r
r r
r
r r
r
L = (ri mi v i ri mi v cm rcm mi vi + rcm mi vcm )
i
r(cm )
r
r
r
r
r
r
r
r
L = (ri mi v i ) ( mi ri ) vcm rcm ( mi vi ) + rcm mi vcm
i
r(O )
L
i
i
i
r(cm ) r(O )
r
r
r
r
r
r
L = L M rcm vcm rcm M vcm + rcm M vcm
r
r
r
= rcm M v cm + L(cm ) (teorema di Koenig per il momento angolare)
Quindi il momento angolare rispetto a O è la somma di due parti:
r
una di movimento interno al sistema ( L(cm ) )
r
r
- una di traslazione del CM del sistema ( rcm M vcm )
r
Infine, calcoliamo il tasso di variazione di L(cm ) :
r
r
r
r
r
dL(cm ) dL(O ) r
=
vcm M vcm rcm M acm
dt
dt
r(cm )
r
r
r
dL
= ext (O ) rcm Fext
dt
r
dL(cm ) r (cm )
= ext
dt
r
r
r
r
r r
r r
r
poichè ext (cm) = ri Fi(ext ) = (ri rcm ) Fi (ext) = ext (O) rcm Fext .
-
i
-
i
L’aspetto sorprendente di questo risultato è che nonostante il sistema del CM sia non
inerziale in generale, la seconda equazione cardinale (per il moto rotazionale) è identica a
quella ricavata nel sistema inerziale.
Energia di un sistema di particelle
Energia cinetica:
r r
1
1
K = mi v i2 = mi (v i + v cm ) 2
2
2
i
i
r r
1
2
2
K = mi (v i + v cm
+ 2v i • v cm )
2
i
r r
1
1
2
2
K = mi v i + M v cm
+ 2( mi v i) • v cm
2
i 2
i
r
l’ultimo termine si annulla perchè ( mi vi) ha il significato di velocità del CM misurata dal
i
CM stesso (e non può essere che zero), quindi:
K=
-
1
1
2
2
M v cm
+ mi v i (teorema di Koenig per l’energia cinetica)
2
i 2
anche l’energia cinetica del sistema è scomponibile in una parte di traslazione del CM più
una parte di movimento rispetto al CM
Teorema dell’energia per la singola particella (separando la forza esterna da quelle interne):
r
r
r
Wi = (Fi(ext ) + Fj i ) • dri = Ki
ji
r
r
r
r
Wtot = Wi = ( Fi (ext ) • dri ) + ( Fj i • dri ) = Wext + Wint
i
i
i
ji
Per comprendere meglio il significato fisico del lavoro delle forze interne, consideriamo
ancora una semplice coppia di particelle:
r
r
r
r
r
r
r r
r
Wint = F21 • dr1 + F12 • dr2 = F12 • d( r2 r1 ) = F12 • dr21
Affinchè il lavoro delle forze interne sia diverso da zero occorre che ci siano deformazioni
r
nel sistema ( dr21 0), cioè variazione delle distanze fra particelle.
Tornando al caso più generale, e distinguendo il lavoro delle forze conservative da quello
delle forze non conservative:
K = Wext + Wint = Wext Uext + Wint Uint
(nc)
(nc)
(K + Uext + Uint ) = Wext + Wint
(nc)
(nc )
Questo risultato generalizza il teorema dell’energia ai sistemi con molte particelle.
Esempio: calcolare lo spostamento di una barca di massa M rispetto alla terra ferma quando il
barcaiolo (massa m) si è spostato da prua a poppa. Supporre ferma l’acqua.
Poichè non ci sono forze esterne orizzontali, il centro di massa inizialmente fermo deve
rimanere tale anche dopo (acm=0). Determiniamo la posizione del CM rispetto all’estremo
della barca inizialmente occupato dal barcaiolo:
xcm =
ML /2
M+m
Quindi la distanza del CM dal centro della barca è:
= L / 2 x cm =
m L /2
M+m
Quando il barcaiolo si sposta sull’altro estremo, se la barca rimanesse ferma rispetto a terra il
CM dovrebbe spostarsi di 2, ma non potendo succedere ciò significa che è la stessa barca a
spostarsi di 2 in direzione opposta allo spostamento del barcaiolo.
Esempio: un’asta di massa trascurabile lunga d, con due masse m attaccate alle estremità,
viene lanciata nel piano verticale come nel disegno, avendole impresso una velocità angolare
di rotazione . Determinare il numero di giri che ha compiuto quando il CM ripassa per la
quota di lancio y=0. Calcolare anche la tensione dell’asta.
Il CM inizialmente si trova nell’origine. Il moto del CM è esattamente lo stesso del semplice
proiettile puntiforme già discusso in cinematica, infatti l’equazione del moto è la stessa:
r
r
2m acm = 2m g
r
r
acm = g
In particolare, per la coordinata verticale:
1 2
gt
2
2v sin
ycm (t) = 0 per t = 0
g
ycm (t) = (v0 sin )t Per capire se il moto di rotazione è influenzato in qualche modo dalla forza peso, che è
l’unica forza esterna, dobbiamo valutarne il momento totale rispetto al CM:
r
dL(cm ) r (cm )
= ext
dt
Dal disegno si capisce immediatamente che i momenti delle forze peso delle singole masse
r (cm)
rispetto al CM sono uguali e opposti, quindi ext =0 e il momento angolare rispetto al CM è
costante. Le velocità delle masse rispetto al CM sono dovute semplicemente al moto di
rotazione:
v1 = v2 = d / 2
L(cm ) = 2m v1 d / 2 = 2m( d / 2)2 Quindi la velocità angolare deve rimanere costante durante il moto! La grandezza
(dipendente dalle masse e dalla loro distribuzione geometrica) che moltiplicata per la velocità
angolare fornisce il momento angolare si chiama momento d’inerzia ed esprime la
“resistenza” che un corpo esteso oppone quando si cerca di cambiarne lo stato di rotazione,
analogamente all’inerzia nel caso della definizione di forza (legge di Newton).
Allora il numero di rotazioni del sistema è dato da
N = t / 2 =
v 0 sin g
Per calcolare la tensione dell’asta, cioè la forza che l’asta esercita su ciascuna massa:
r
r
r
r r
m a = m(acm + a ) = m g + T
r
r
ed essendo acm = g :
r
r
m a = T
T=m
v1 2
= m 2 d / 2
(d / 2)
che è pure costante in modulo e non dipende dall’orientazione dell’asta.
Esempio: due astronauti in assenza di gravità sono aggrappati alle estremità di una fune tesa
di lunghezza 2R, e stanno ruotando come nel disegno con velocità angolare 0. Determinare
la nuova velocità angolare quando hanno risalito la fune dimezzando la loro distanza, e
calcolare il lavoro fatto.
Essendo il sistema isolato dall’esterno, la velocità del CM è costante e possiamo quindi
scegliere un sistema inerziale tale per cui il CM sia a riposo. Quindi le velocità di rotazione v
degli astronauti coincidono con quelle misurate rispetto al sistema del CM.
Non essendoci forze esterne, anche il momento angolare totale è costante. Detto r il raggio
della traiettoria circolare di ciascun astronauta, si ha
L(cm ) = 2m ( 0 R) R = 2m R2 0
2m R 2 0 = 2m (R / 2) 2 = 4 0
Il lavoro è evidentemente compiuto da sole forze interne (forza muscolare degli astronauti):
K = Wint
1
1
2
2
2
Wint = K = 2 m v 2f 2 m v 2i = m (4 0 R/ 2) m( 0 R) = 3m 02 R
2
2
È possibile anche il calcolo diretto ed esplicito del lavoro delle forze interne:
W int = F21dr1 F12dr2 = 2
R /2
T(r) dr
R
Si noti che dr<0 in questo caso (cioè diminuisce il raggio di rotazione), e le forze interne
(centripete) fanno sicuramente lavoro positivo. La tensione della fune per ogni r si ricava
dalla legge di Newton:
4
m 02 R4
2 R
T (r) = m 2 r = m 0 r =
3
r
r
R
1 R
1
4 2
2
Wint = 2 T (r) dr = 2m R 2
= 2m 02 R4 2 +
2 = 3m 0 R
2r R / 2
2R
2R R /2
2
0
4
che è lo stesso risultato ottenuto in maniera più immediata dal teorema dell’energia.
