ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE

ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE
10 crediti, I semestre A.A. 2009/10
Docenti: Prof. Volcic per i primi 5 crediti ed io per i rimanenti 5.
REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI TENUTE DA ME A PARTIRE DAL 24
NOVEMBRE 2009, DOPO CHE IL PROF. VOLCIC HA TENUTO LE PRIME 40 ORE DI
LEZIONI PER I PRIMI 5 CREDITI
IMPORTANTE: Dove non specificato altrimenti, tutti i risultati riportati sono stati dimostrati
(completamente o dando l’idea della dimostrazione)
24.XI.09 2 ore (Tot. 2 ore): Breve riassunto sui risultati più importanti già trattati dal Prof. Volcic:
Disuguaglianza di Chebychev; Teorema di convergenza monotona o di Beppo Levi; Lemma di
Fatou; Teorema sull’assoluta continuità dell’integrale di Lebesgue; Teorema della convergenza
dominata di Lebesgue; Risultati di continuità e derivbabilità per gli integrali dipendenti da
paramentri; Confronto fra integrale di Riemann e di Lebesgue per funzioni limitate definite su
intervalli chiusi e limitati.
25. XI.09, 2 ore (Tot. 4 ore): Teorema: f è Riemann integrabile sse è continua q.o. secondo la
misura di Lebesgue; rapporto fra integrale improprio di Riemann e integrale di Lebesgue;
controesempio che mostra che la funzione dominante è sufficiente ma non necessaria nel teorema di
convergenza dominata; confronto fra integrale di Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes.
26.XI.09, 2 ore (Tot. 6 ore): Richiami di analisi funzionale; spazi metrici, topologia indotta dalla
metrica; successioni di Cauchy; spazi metrici completi; norme su spazi lineari; spazi normati; spazi
di Banach, norme equivalenti; esempi di spazi normati: funzioni continue e funzioni continue a
supporto compatto; norma del sup e norma integrale; funzionali lineari limitati; formulazioni
equivalenti alla limitatezza: continuità in un punto, continuità, uniforme continuità, lipschitzianità.
27.XI.09, 1 ora (Tot. 7 ore): Duale topologico; Il duale topologico è sempre completo (con la norma
duale) anche se lo spazio di partenza non lo è; Biduale topologico; immersione canonica di uno
spazio normato nel suo biduale. Spazi riflessivi.
1.XII.09, 2 ore (Tot. 9 ore): Disuguaglianze fondamentali: Disuguaglianza di Jensen, di Young, di
Holder, confronto fra media aritmetica e geometrica
2.XII.09, 2 ore (Tot. 11 ore): Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza di Minkowski;
Gli spazi Lp; linearità degli spazi Lp; immersione degli spazi Lp;
3.XII.09, 2 ore (Tot. 13 ore): Completezza degli spazi L p; “vicinanza” fra algebra e σ -algebra
generata; densità delle funzioni semplici razionali negli spazi Lp;
4.XII.09, 1 ora (Tot. 14 ore): Separabilità degli spazi Lp per 1 ≤ p < ∞ .
15.XII.09, 2 ore (Tot. 16 ore): Separabilità di Lp( Ω ). Densità di C o ( Ω ) in Lp( Ω ). Non separabilità
di L∞ . Uniforme convessità di Lp per 1 < p < ∞ : Inizio dimostrazione del Passo 1.
17.XII.09, 2 ore (Tot. 18 ore): Uniforme convessità di Lp per 1 < p < ∞ : Dimostrazione dei Passi 1,
2 e 3.
18.XII.09, 1 ora (Tot. 19 ore) Uniforme convessità di Lp per 1 < p < ∞ : Dimostrazione conclusiva.
Il prossimo risultato importante che vogliamo dimostrare è di caratterizzare il duale di L p con Lq,
dove q è l’esponente coniugato di p. Primo lemma preparatorio: Per ogni funzione in Lq si può
costruire una funzione di Lp che soddisfa l’uguaglianza nella disuguaglianza di Holder.
22.XII.09, 2 ore (Tot. 21 ore) Lemmi preparatori e dimostrazione del Teorema sulla
caratterizzazione del duale di Lp: per 1 < p < ∞ il duale di Lp è Lq, dove q è l’esponente coniugato
di p. Corollario: : per 1 < p < ∞ gli spazi Lp sono riflessivi.
7.I.10, 2 ore (Tot. 23 ore): SERIE NUMERICHE: Definizioni, carattere della serie=carattere della
coda; Criterio di Cauchy; Condizione necessaria sul termine generale n-esimo per la convergenza.
Serie a termini positivi; non indeterminazione delle serie a termini positivi; criterio del confronto;
equivalenza asintotica; ordine di infinitesimo; criterio della radice. Esempi ed esercizi
8.I.10, 2 ore (Tot. 25 ore): criterio del rapporto; criterio di condensazione; Convergenza assoluta;
criterio di Leibniz per le serie a segno alterno; formula di sommazione e Brunacci-Abel; criterio di
Leibniz generalizzato.
12.I.10, 2 ore (Tot. 27 ore). Proprietà associativa e commutativa: proprietà commutativa per serie
assolutamente convergenti. Teorema di Riemann-Dini per le serie convergenti non assolutamente.
Serie convergenti incondizionatamente. Definizione di prodotto secondo Cauchy.
13.I.10, 2 ore (Tot. 29 ore) Teorema di Mertens . Primo e secondo criterio dell’integrale.
Successioni di funzioni: Criterio di Cauchy; La continuità si conserva sotto la convergenza
uniforme; La derivata del limite è il limite delle derivate; L’integrale del limite è il limite
dell’integrale. Serie di funzioni: Criterio di Cauchy; criterio di Weierstrass; Relazione fra
convergenza e convergenza in norma negli spazi normati
14.I.10 (Tot. 31 ore) Teo 1: Il limite della somma uniforme è la somma dei limiti. Teo 2: La
derivata della somma è la somma delle derivate. Teo 3: L’integrale della somma è la somma degli
∞
t3
π 4
integrali. Calcolo di J = ∫ t
dt =
0 e − 1
15
15.I.10, 1 ora (Tot. 32 ore) Serie di potenze: raggio di convergenza, criterio della radice, criterio del
rapporto. Derivazione delle serie di potenze anche in campo complesso
19.I.10, 2 ore (Tot. 34 ore) Teorema di Abel sulla circonferenza del raggio di convergenza;
Funzioni analitiche in campo complesso ed in campo reale; criterio disviluppabilità in serie di
Taylor.
20.I.10, 2 ore (Tot. 36 ore) Serie di Fourier; periodicità; condizione sufficiente per la convergenza
uniforme; relazione fra i coefficienti e la somma della serie; periodi diversi; calcolo non significa
convergenza; calcolo dei coefficienti; esempi
21.I.10 2 ore (Tot. 38 ore) Convergenza in media quadratica; I coefficienti di Fourier sono
infinitesimi; funzioni continue a tratti e periodiche; Condizione di Dirichlet; Formula di Dirichlet;
Convergenza puntuale
22.I.10, 2 ore (Tot. 40 ore) Convergenza uniforme; Integrale di una serie di Fourier. La funzione di
Weierstrass come esempio di funzione uniformemente continua e non derivabile in nessun punto.