Verifiche 4 C – 4 H
Anno scolastico 2010/2011
ESPONENZIALI – LOGARITMI
[2≤x<5]
1) Calcola il dominio della funzione: 𝑦 = �log�/� (5 − 𝑥) + 1
2) Calcola il dominio della funzione 𝑦 = �3 − log� (𝑥 � − 8)
[ - 4 ≤ x < −2√2 ∪ 2√2 < x ≤ 4 ]
3) Calcola il dominio della funzione 𝑦 = �2 − log� (3𝑥 � − 2)
4) Calcola il dominio della funzione 𝑦 =
�
�
��
����/� (����)��
5) Calcola il dominio della funzione: 𝑦 = �log �
6) Calcola il dominio della funzione: 𝑦 =
���
��
�
[ - 3 ≤ x < −� ∪ �� < x ≤ 3 ]
�
�
�
[− < 𝑥 <� ∨𝑥 >� ]
�
�
�
− � [- 1 ≤ x < 0 ∪ 0 < x ≤ � ]
�� (� �������)
�� (� ���)
[ 𝑥 < −√2 ∪ −√2 < 𝑥 < −1 ∪ 1 < x < √2 ∪ x > √2 ]
7) Calcola il dominio della funzione: [ln (−𝑥 − 1)]�.�
[x<-2]
8) Calcola il dominio della funzione: 𝑓 (𝑥 ) = ln (√4 − 4𝑥 −
�
�
− 2) [ x < 0 ]
9) Ricava per quali valori di x è positiva e per quali è negativa la funzione di equazione:
�
𝑦 = log � �� − 𝑥 � � + 2
[ y > 0 se −
√�
�
<𝑥<
√�
�
10) Risolvi la disequazione:
�
; y < 0 se − � < 𝑥 < −
�
�� ��
��
−
�
>0
�� ��
���
√�
�
∨
[0<x<
�
�
�
�
<𝑥<
]
√�
�
]
[x= 0 ]
11) Risolvi l’equazione: 3 + 𝑒 = 4𝑒
x
���
12) Risolvi l’equazione: 2⋅ 3 – 15 = 3
[ x=2 ]
����
���
13) Risolvi l’equazione: 1 − 4 ∙ 5
−5
=0 [ x=2 ]
14) Risolvi la disequazione:
15) Risolvi la disequazione:
16) Risolvi la disequazione
�� ��
�� ���
� ���
�
��� ���
��� �
�
�� ��
�
+
�
[x≤� ]
≥1
�
≥0 [x≤1]
�� ��
�
>0
17) Risolvi la disequazione: �� �� > �� ���
[ x < 0 ∪ x > log � 2 ]
[1 < x < 4 ]
18) Risolvi la disequazione: log � (𝑥 − 3)� − log � 2𝑥 ≥ 1
�
19) Risolvi la disequazione: log21/3 x + �log9x > 0
[0<x≤1∪x≥9]
�
�
[ 0 < x < ��� ∨ x > 1 ]
20) Rappresenta in uno stesso sistema di riferimento disegnato rappresenta il grafico di
�
ciascuna delle funzioni che seguono: A) y = 4-x B) 𝑦 = log�/� 𝑥 C) 𝑦 = √𝑥 � D)
�
𝑦 = √𝑥 �
21) Tra le equazioni che seguono determina quali e per quali valore di k hanno un
andamento simile a quello rappresentato dalla curva blu e quali e per quali valori di k
hanno un andamento simile a quello rappresentato dalla curva rossa (motiva la risposta
che hai dato)
� �
b) y = � �
a) y = kx
c) y = x k
�
d) y = xk – 1
�
.
22) Sono assegnate le funzioni di equazioni: f(x) = lnx , g(x) =
���
Ricavare le equazioni delle funzioni composte e scrivere il dominio di ciascuna funzione
composta
A) f ° g
B) g ° f
[ A) y = ln
�
���
TRIGONOMETRIA
B) y =
���
�����
]
1) Riconduci l’espressione a funzioni dell’angolo α, poi esprimila in modo che presenti
solo la funzione coseno
π
π
7cos �2 + α� ∙ tg �2 − α� + sen(π + α) ∙ sen (−α)
sen(2π − α) ∙ sen(π + α) + cos� (π + α)
[ 1 – cos2α - 7cosα ]
2) Riconduci l’espressione a funzioni dell’angolo α, calcola la somma ed esprimila in
modo che presenti solo la funzione coseno
𝑡𝑔(𝜋 + 𝛼)
+
𝜋
𝜋
cos(2𝜋 − 𝛼 ) + cos � + 𝛼� 𝑠𝑒𝑛 �2 + 𝛼� − 𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝛼)
2
𝑡𝑔(𝜋 − 𝛼)
3) Riconduci l’espressione a funzioni dell’angolo α, poi esprimila in modo che presenti
solo la funzione seno
π
sen �2 + α� ∙ tg(π + α) + 4cos(π + α) ∙ cos (−α)
sen(2π − α) ∙ sen(−α) + cos� (π − α)
[ 4sen2α + senα - 4 ]
4) Riconduci l’espressione a funzioni dell’angolo α, esegui le operazioni e scrivi
l’espressione ottenuta in modo che contenga solo la funzione coseno
𝜋
𝑠𝑒𝑛� (𝜋 − 𝛼 ) − cos (𝜋 + 𝛼) cos(𝜋 − 𝛼 ) + 3𝑡𝑔(2𝜋 − 𝛼) ∙ 𝑡𝑔 �2 + 𝛼�
−
𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛 � − 𝛼�
cos (−𝛼) ∙ 𝑠𝑒𝑛 � + 𝛼�
2
2
�
5) Un angolo acuto α ha seno uguale a calcola ( scrivi i passaggi intermedi):
�
a) Il coseno dell’esplementare di α
b) La tangente dell’angolo che differisce da α di π.
�
�
[ a) − , b) ]
�
�
6) Un angolo acuto α ha coseno uguale a
�
�
calcola ( scrivi i passaggi intermedi):
�
a) Il coseno dell’angolo che differisce da α di
�
b) La tangente del supplementare di α
[ a) – 4/5, b) - 4/3 ]
7) Calcola il valore dell’espressione:
1
3
𝜋
𝑐𝑜𝑠 � + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2� + 𝑠𝑒𝑛 � 𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 �
4
4
√5
�
�
8) Un triangolo ABC ha gli angoli interni α = e β = � . Calcola il seno e il coseno del
�
terzo angolo del triangolo.
9) ABCD è un trapezio rettangolo. Dimostra le seguenti proprietà:
a) La somma dei coseni dei suoi angoli è uguale a zero
�
��
b) La somma dei seni dei suoi angoli è uguale a se l’angolo acuto è arcsen�
�
c) La somma delle tangenti degli angoli adiacenti al lato obliquo è uguale a zero.
10) Data la funzione di equazione y = −3 + 𝑡𝑔4𝑥 calcolane il periodo ( scrivi come lo hai
ottenuto) .
[ π/4 ]
�
�
11) Data la funzione di equazione y = 3sen�� + � �, calcola il suo periodo e ricava il
codominio (scrivi come li hai ottenuti).
[ 8π, [ - 3, 3] ]
�
12) Rappresenta in [ 0, 2π ] la funzione di equazione: y = −1 − sen�2𝑥 + π�
�
�
13) Rappresenta in [ - π , π ] la funzione di equazione: y = 3√2 + √2 cos�2𝑥 + � π�
14) Le funzioni di equazione y = arcos(x + 1) e y = arcsen(2 – x) hanno
a) lo stesso dominio
b) diverso codominio
c) periodo π
per ciascuna delle affermazioni a), b) , c) decidi se è vera o falsa e giustifica la risposta che
hai dato.
15) Ricava le equazioni di tutti gli asintoti della funzione y = 6 - tg�
[ x = π - 1 + 2kπ ]
���
�
�.
16) Rappresenta in [ - π , π ] la funzione di equazione: y = √2 – 4 senx + 4cosx
�
�
�
17) Rappresenta in [ 0, 2π] la funzione di equazione y = + � 𝑠𝑒𝑛 �2𝑥 + � �
�
18) Sono assegnate le funzioni di equazione y = k arcos( x + 5)
a) Ricava il loro dominio
b) Ricava per quale valore di k si ottiene la funzione che ha codominio [ 0, 2π].
c) Rappresenta la funzione che si ottiene per k = - 3.
19) È assegnata la funzione di equazione y = arcsen
�
�
. Per ciascuna delle affermazioni che
seguono decidi se è vera o falsa e giustifica la risposta che hai dato.
a) Ha lo stesso codominio della funzione y = arcsenx
b) Ha periodo π
c) Ha periodo 4
d) È simmetrica rispetto all’origine degli assi.
���� = a. Indicato con P un
20) È assegnato un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa AC
����
��
��
���
. Rappresentare la funzione ottenuta in
− ����
punto di AC esprimere la differenza √2 ����
��
��
[ 0, 2π ] e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema.
� A = x , y = senx – cosx ]
[ PB
21) Sia ABC un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio r. Indicato con P
un punto del minore dei due archi AC esprimere la somma delle distanze di P dai vertici
del triangolo . Rappresentare in [- π, π] funzione ottenuta, e mettere in evidenza il tratto
di grafico relativo al problema.
� A = x , y = 2senx +2√3 cosx ]
[ PB
22) Sia ABC un triangolo equilatero di lato a. Tracciare una retta r passante per A e esterna
al triangolo dato, proiettare C su r in H. Esprimere al variare di r, l’area del triangolo
AHB. Rappresentare in [0, 2π ] la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di
� H = x , y = � 𝑎� 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + π � ]
grafico relativo al problema. [ CA
�
�
23) E’ assegnato un triangolo rettangolo isoscele ABC di ipotenusa BC = 2a√2. Tracciata
una semiretta r di origine A siano: P il punto d’intersezione tra r e il lato BC, K la
proiezione di B su r. Esprimere al variare di r la relazione:
1
2 AK
−
, rappresentare
AP AB 2
in [- π, π ] la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al
problema.
� B = x, y = √� 𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + π � − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ]
[ PA
�
�
�
24) Due semirette r, s di origine O formano un angolo α = arcsen , tracciare la semiretta t
�
bisettrice dell’angolo α. Siano P il punto di t tale che OP = 4a, Q il punto di s tale che
OQ = a√5, R la proiezione di P su r. Calcolare:
• la misura di RQ
• la somma dei quadrati dei lati del quadrilatero OQPR.
��
[ RQ = � � a ; la somma dei quadrati dei lati del quadrilatero vale 26𝑎� ]
25) È assegnato un triangolo ABC di lati AB = 6a, AC = 2a, BC = 2√6𝑎.
• Calcolare cos𝐶𝐴�𝐵.
• Indicato con M il punto medio di AB, risolvere il triangolo ACM e calcolare il
raggio della circonferenza circoscritta al triangolo CMB.
�√�
�
𝑎]
[ cos𝐶𝐴�𝐵 = ; r =
�
�
26) In una circonferenza γ di centro O e raggio r, è inscritto un triangolo isoscele ABC che
�
ha angolo al vertice 𝐴𝐶� 𝐵 = arcos . Traccia la bisettrice dell’angolo 𝐴𝐶� 𝐵 e indica con
�
D il suo punto d’intersezione con γ.
• Calcola il perimetro del quadrilatero ACBD
• Calcola la misura di ciascuna delle due parti in cui il raggio OD è diviso da AB.
[ 2p(ABCD) =
��
√�
�
�
𝑟 , OH = � 𝑟 , HD = � 𝑟 ]
27) È assegnato un triangolo equilatero ABC di lato a. Traccia nel semipiano di origine AB
a cui appartiene il triangolo la semiretta r di origine A, che forma un angolo acuto con il
lato AC e indica con H la proiezione di C su r. Ricava per quali valori di 𝐶𝐴�𝐻 vale la
��
relazione 2CH2 + HB2 = 𝑎� . Distingui due casi: la semiretta r può essere sia interna
�
sia esterna al triangolo.
[ se la semiretta è interna non ci sono soluzioni, s ela semiretta è esterna le soluzioni
sono x = π/3 e x = arctg3√3 ]
�
[ - 2π/3 + 2kπ < x < 2π/3 + 2kπ ]
28) 2𝑐𝑜𝑠 � 𝑥 + 18𝑐𝑜𝑠 � − 5 > 0
�
2
29) 7sen x – senx cosx ≥ 3 [ - π/2 + kπ ≤ x ≤ arctg(-3/4) + kπ ∨ π/4 + kπ ≤ x ≤ π/2 + kπ ]
30) 4cos2x + 8senx + 1 ≥ 0 [2kπ ≤ x ≤ 7π/6 + 2kπ ∨ 11π/6 + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ ]
31) 5sen2x + senx cosx – 3 > 0 [π/4 + kπ ≤ x ≤ π/2 + kπ ∨ - π/2 + kπ ≤ x ≤ arctg(-3/2) + kπ]
32) senx + 1 ≤ 3cosx [ - π/2 + 2kπ ≤ x ≤ 2artg(1/2) + 2kπ ]
�
33) cos7x – cos3x – 6sen2x < 0 [ kπ < x < + 𝑘π ]
�
�
34) 2senx + 9tgx ≥ 0
35)
�
�
��√����� ���
���� � ��
≥0
[ kπ ≤ x < � + 𝑘π ]
�
�− π + 2𝑘π ≤ 𝑥 ≤
�
�
�
π + 2𝑘π�
π
36) 6cos4x + sen3x – sen5x ≥ 0
π
�
�
�− + 𝑘 ≤ 𝑥 ≤ + 𝑘 �
�
�
�
�
37) senx – 2cosx ≥ 1 �−π + 2𝑘π < 𝑥 ≤ 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−3) + 2𝑘π ∨
38)
2𝑘π �
�����������
������
− 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 0
39) log2(3tg2x + 7) < 3
π
π
�
�
�− + 2𝑘π ≤ 𝑥 ≤
π
π
�
�
+ 2𝑘π ≤ 𝑥 < π +
+ 2𝑘π �
�− + 𝑘π < 𝑥 < + 𝑘π�
�
�
GEOMETRIA DELLO SPAZIO
1) In figura è rappresentata una piramide che ha lo spigolo VB perpendicolare al piano del
triangolo ABC. ABC è un triangolo isoscele, l’angolo di vertice B è di 120° e i lati obliqui
hanno misura 4𝑎√3. Sapendo che lo spigolo AV forma un angolo di 60° con il piano di
base, calcolare:
a) Tutti gli spigoli della piramide
b) La superficie totale della piramide
c) L’angolo formato dalle faccia CAV e dal piano di base. Scrivere una definizione di
angolo tra piani e spiegare l’angolo calcolato è quello richiesto.
[ a) AV = CV = 8𝑎√3 , AC = 12𝑎 ; b) 12√3�5 + √13�𝑎� ; c) arctg(2√3 )
]
2) Sono date due rette r, s tra loro parallele che hanno distanza 24a e una retta t che passa per
un punto A di r e forma un angolo di 60° con il piano delle rette r, s. È vero o falso che s e t
sono sghembe? Perché?
3) È dato un cubo che ha spigolo 4𝑎.
a) Costruire la piramide che ha il vertice V nel centro di una faccia del cubo e la base sulla
faccia opposta del cubo. Calcolare a quale distanza da V deve essere tracciato un piano
parallelo al piano di base in modo che proiettando la sezione della piramide sul piano di
base si ottenga un prisma che ha superficie laterale
��
�
𝑎� .
b) I punti medi dei lati di una faccia del cubo e le loro proiezioni sulla faccia opposta sono i
vertici di un parallelepipedo. Calcolare le diagonali del parallelepipedo e l’angolo che
ciascuna di esse forma con il piano di base, motivare la risposta data.
c) Costruire la piramide che ha il vertice V’ nel centro di una faccia del cubo, gli spigoli
laterali che passano per i punti degli spigoli del cubo che hanno distanza 3𝑎 dalla faccia
su cui è il vertice V’, e la base sul piano della faccia del cubo opposta a quella su cui è
V’. Calcolare il volume della piramide. Spiegare le caratteristiche del poligono di base
motivandolo.
�
�
[ a) � 𝑎 , � 𝑎 ; b) 45° ; c)
����
��
𝑎� ]
4) Un parallelepipedo ha base ABCD quadrata di lato a
a) Se le diagonali del parallelepipedo formano con il piano di base ABCD un angolo α =
𝑎𝑟𝑡𝑔2√2, qual è l’altezza del parallelepipedo?
b) Nel caso in cui l’altezza del parallelepipedo sia 4𝑎
• calcolare l’angolo formato dai piani (ADD’) e (BDD’), essendo D’ il vertice del
parallelepipedo corrispondente a D sull’altra faccia di base. Motivare la risposta.
• Calcolare la superficie totale della piramide che ha vertice in D’ e base
coincidente con il triangolo ABD. Scrivere, motivandolo, quali sono le
caratteristiche di ciascuna faccia della piramide.
�
[ a) 4𝑎 ; b) 45° , Stotale = � + 2√2 +
�
√��
� 𝑎�
�
]
5) Una piramide retta che ha per base un rettangolo di dimensioni a e 2𝑎 e altezza congruente
alla dimensione maggiore del rettangolo di base ha tutti gli spigoli congruenti. Che cosa
non va nell’affermazione in corsivo? Motivare la risposta.
6) Una piramide retta ha per base un esagono regolare di lato 2𝑎 e ha altezza VO = 3𝑎
a) Calcolare l’angolo che ciascuno spigolo laterale forma con il piano di base
b) Calcolare l’angolo che le facce laterali formano con il piano di base
c) Calcolare a quale distanza dal vertice V deve essere tracciato un piano parallelo al piano
di base affinché il prisma che ha per basi la sezione staccata e la sua proiezione sul piano
di base della piramide abbia superficie laterale 5𝑎� .
d) Considera la piramide che ha vertice V e base coincidente con il triangolo che si ottiene
congiungendo i vertici dell’esagono uno sì e uno no. Calcola la superficie laterale di
questa piramide.
�
[ a) artg� ; b)
π
�
; c)
�
�
,
�
�
𝑎 ; d) 3√30𝑎� ]
