tanto nei regimi transitori: in fase di regime continuo, difatti le
energie entranti sotto diverse forme devono essere uguali a quelle
uscenti, per la legge generale di conservazione dell'energia. Così,
se entrano in un reattore due componenti che danno luogo ad una
reazione esotermica e ad altri componenti, è chiaro che la somma delle energie chimiche entranti con le prime due specie chimiche è uguale a quella uscente sotto forma di calore con le specie derivate.
Tuttavia, spesso nella pratica si eseguono i bilanci di energia
che interessano le applicazioni più immediate: così nella reazione
di combustione metano ossigeno, si scrive come in figura:
CAPITOLO I
LA TRASMISSIONE DEL CALORE
LE TEORIE
l)
Fig. 4
senza tener conto delle variazioni delle energie chimiche delle
specie entranti ed uscenti.
I1 calcolo dei rapporti quantitativi tra le energie entranti ed
uscenti è eseguito, come per le masse, mediante i procedimenti
particolari delle diverse operazioni, come si vedrà nel corso.
A conclusione dell'argomento si ripete che, spesso, i bilanci
delle masse o bilanci materiali si possono effettuare indipendemente da quelli delle energie, costituendo uno studio preliminare
del bilancio totale;,i bilanci energetici sono, invece, quasi sempre
vincolati a quelli delle masse e costituiscono, perciò, un bilancio
misto. col quale si calcolano i valori delle masse e delle energie
che interessano l'operazione industriale.
L'applicazione teorica dei bilanci materiali ed energie sarà
eseguita nella parte teorica riguardante le operazioni di scambio
del calore, di concentrazione di distillazione e di essiccazione:
l'applicazione pratica verrà eseguita negli esercizi con particolare
estensione agli schemi di operazioni generiche, sotto forma di diagrammi di flusso quantificati, nel supplemento Diagrammi industriali e Temi rninisteriali.
-
GENERALITA'
I processi chimici realizzati su scala industriale comportano
l'assorbimento, lo sviluppo e lo scambio di energia termica, generata da reazioni chimiche varie: la progettazione e la esecuzione
delle apparecchiature impiegate sono spesso eseguite in relazione
allo scambio, alla produzione ed in generale alla trasmissione del
calore.
I meccanismi fondamentali di tale trasmissione sono tre: la
conduzione, la conv'-zione e l'irradiazione, ed una quarta modalità di trasmissione, secondo alcuni autori, è relativa alla miscela
di due fluidi a diverse temperature; si accennano brevi definizioni
che saranno estese in seguito.
Conduzione: è la trasmissione del calore nell'interno di un
corpo tra due zone a differenti temperature (o tra corpi a contatto), per flusso del calore tra le molecole, senza che queste si
spostino dalla loro posizione media.
Convezione: è la trasmissione del calore, associata a contemporaneo trasporto di materia, tra corpi fluidi e solidi.
Irradiazione: è la trasmissione del calore per effetto di radiazioni (onde o trasmissione di quanti di energia, a seconda le
teorie), anche in assenza di materia, tra due corpi che si trovano
a temperature differenti.
Trasmissione per miscelazione: come già accennato, essa è
dovuta alla mescolanza di due fluidi a temperatura diversa: il
fluido risultante ha una temperatura intermedia tra le due tem-
Ingegneria Chimica Ambientale - Esercitazione - Trasmissione del Calore.
perature, e può considerarsi come derivante dalle trasmissioni
del calore per convezione e per conduzione.
Nei paragrafi seguenti si illustrano i meccanismi ora definiti.
2)
-
CONDUZIONE
La trasmissione del calore per conduzione avviene, in pratica, solo nei corpi solidi; nei fluidi è infatti molto difficile separare il processo di conduzione da quello di convezione, e, .soltanto in casi partiqolari, il calore si trasmette per sola conduzione attraverso i fluidi (gas o liquidi): ad esempio, nei corpi di porosità spinta, con alveoli molto piccoli (sughero, pomice, resine
espanse, etc.), dove il gas nell'interno dei pori non può avere moti
convettivi.
La leeee fondamentale della conduzione è quella del Fourier;
essa applicata ai casi semplici, quali le pareti
piane e cilindriche a piccolo spessore, e nella
fase di regime stazionario delle temperature
(ossia quando le temperature dei vari punti
del corpo sono invariabili nel tempo) è di sem,
plice
interpretazione ed applicazione. Si con-sideri (fig. 5) una parete piana e siano:
--
- superficie della parete, in mq
a - spessore della parete, in mq
t, - temperatura della faccia A, in 'C
t, - temperatura della faccia B, in 'C
r - tempo, in h
t-
k
$
B
k
una costante che dipende dal materiaFig. 5 - Parete semle, ed è variabile con temperatura;
plice con diagramma
temperatura.
la legge di. Fourier, per regime stazionario di trasmissione del calore della parete l
a quella 2 del solido considerato nella fig. 5 e per perdite nulle
a r flusso
idel calore, permette il calnelle d i r e ~ i o n i ~ e r ~ e n d i c o lal
colo della quantità Q, secondo la formula:
Q
si ottiene:
1
Q = k l -
l = k
1
e dalla stessa si ricavano le dimensioni di k, che sono:
kcal m/mq OC h
-
(t, -t.)
(1)
R La quantità di calore, che passa per conduzione attraverso
una parete piana, è direttamente proporzionale alla superfice
della parete, al salto termico, al tempo, ed inversamente proporzionale allo spessore della parete stessa, secondo un coefficiente k »; questo è detto << coefficiente di conduttività interna x
e dipende dalla natura del materiale e varia con la temperatura;
questa variabilità, in prima approssimazione, si trascura, ma deve
considerarsi nei calcoli precisi e per elevati salti termici.
Dalla (1) si deduce il significato fisico di k: esso rappresenta
la quantità di calore che passa per conduzione in un'ora attraverso una parete piana di spessore 1 m, di superfice 1 mq e tra
le cui facce esista la differenza di temperatura di 1%. Difatti, ponendo nella (1):
= kS
ed è enunciata come segue:
a
T
kcal
Si osserva che, in generale, si considera la quantità di calore
trasmessa in un'ora attraverso una data superficie di un corpo,
con un salto di temperatura t, - t,, per cui la formula ( l ) risulta
semplificata, con la trasformazione di r nell'unità.
Si supponga ora che la parete piana sia costituita non più da
un semplice strato, ma da più strati posti in serie: ad esempio,
sia realizzata con tre strati di materiale diverso, come è rappresentato nella fig. 6 .
Nella ipotesi che le temperature delle facce adiacenti degli
strati successivi siano uguali per la perfetta aderenza, ed usando
i simboli precedenti, applicando successivamente Ia ( l ) , con la
osservazione prima eseguita si ha
Q, = k, S
che, risolta rispetto a Q, da:
s (t, -
-(t, '- t'}
(2)
Q =
QP
kiS
al
ai
a3
kt
k?
k
3
-+-+-
a1
(t'
t2)
-t")
kcaI/h
a,
Q, = k, S
(t" -t,)
a5
che danno, rispettivamente, le quantità di carore che fluiscono da
1 a 2, da 2 a 3, da 3 a 4, ecc,, in un'ora. In condizioni di regime,
ed ammesse nulle le perdite in direzione perpendicolare a quella
deI flusso del caIore, la quantith di calore che passa daIla parete
i aIla 2 è uguale a queIIa che passa dalla 2 alla 3, e così via, per
cui è:
Mediante la equazione (2) ci caIcola la quantitb di calore che
passa per conduzione attraverso la parete piana composta, da
una faccia ad un'altra nell'unità di tempo, quando siano noti il
salto termico totale (nella formuIa non compaiono infatti t' e t") e
la natura dei corpi.
La (2) può scriversi nella forma più generale:
Ricavando dalle relazioni scritte i salti
termici si ha:
relativa a pareti piane composte, con un numero i di strati in
serie.
Si prenda ora in esame il caso di
una parete cilindrica (fig. 7) e siano,
oltre i simboli già stabiliti per Io studio delle pareti piane:
Fig. 6 - Pareti multiple con diagramma tem-
peratusa,
t"
-t, =
Q a,
"C
k3 S
e sommando membro a membro:
da cui, ponendo in evidenza i fattori comuni:
r, - raggio esterno del ciIindro, in m
r, - saggia interno deI cilindro, in m
I - Iunghezza del cilindro, in m.
L'applicazione della legge del Fourier conduce alla reIazione:
2 76 k I (ti - t?)
(4)
Q =
rl
In
r2
Fig. 7
kcal/h
ed alla equivalente, passando ai logaritmi base 10:
2 x k l (t, - t.).
(5)
Q =
kcal/h
L
2,3 log
rz
La formula (4) si ottiene dal calcolo, applicando la legge della conduzione ad un elemento del tubo, di
spessore dr, come rappresentato nella fig. 8. La temperatura sulla super.
ficie interna del cilindro elementare,
di spessore dr, sia t; sulla superficie
Q
esterna dello stesso, sarà evidentemente t + dt, se il flusso di calore
va dall'esterno del tubo verso I'inter.
no. Detta 1 la lunghezza del tubo, la
superficie del cilindro elementare.
sulla faccia interna, sarà:
Fip. 8
S = 2xrl
e la quantità di calore che attraversa la superficie in un'ora è data da:
Operando su tale espressione si ha:
ed integrando tra i limiti 1 e 2, corrispondenti alle temperature ti e t%ed ai
raggi r, esterno ed r, interno del tubo, si avrà:
dalla quale si ottiene la formula (4) riportata.
In appendice sono riportati i valori medi del coefficiente k
per alcune sostanze.
3)
- IRRADIAZIONE
- PREMESSE
Tutti i corpi, in qualsiasi stato di aggregazione, che abbiano
una temperatura maggiore dello zero assoluto emettono energia sotto forma di radiazioni, che possono essere assorbite, riflesse, o trasmesse per trasparenza da un altro corpo a temperatura minore,
senza che tra di essi vi sia contatto o esista materia.
Un esempio immediato è fornito dalla enorme quantità di
energia trasmessa dal Sole ai pianeti per irraggiamento, ed è semplice osservare che tale energia si manifesta - ad una sommaria
analisi - sotto due forme diverse: una prima quale energia luminosa ed una seconda quale termica.
Ora, com'è noto dalla fisica, la luce bianca è composta da più
radiazioni, dette monocromatiche, dovute a differenti lunghezze:
d'onda: un'analisi più profonda rivela radiazioni non visibili, nel
campo delle grandi lunghezze d'onda (infrarosse) e delle piccolissime lunghezze d'onda (ultravioletto, raggi X, raggi y etc.).
Le moderne teorie espongono meccanismi delle radiazioni
piuttosto complessi, che non interessa esaminare poichè nelle applicazioni fisiche e tecniche sono sufficienti gli schemi teorici classici, che attribuiscono all'energia radiante una natura ondulatoria, della quale una grandezza tipica è la lunghezza dell'nnda, misurata in micron (1 p = IO-' cm).
Così, l'energia radiante che si manifesta con il fenomeno della luminosità o luce, sarebbe dovuta a radiazioni conlunghezza
d'onda compresa tra 0,l e 0,75 p, e l'energia termica mediamente
tra 0,75 e 40 p; nelle altre forme di energia le onde hanno lunp per i raggi y).
ghezze molto maggiori o molto minori (fino a
Nello studio della trasmissione del calore per irradiazione è
evidente che interessa soltanto .l'energia radiante termica, compresa nel campo specifico di lunghezze d'onda, poiche le altre
di lunghezze diverse non danno un contributo apprezzabile. alla
trasmissione di calore; comunque, nello studio delle leggi foridamentali dell'irradiazione si considera l'energia totale emessa da
un corpo ad una determinata temperatura.
la formula diviene:
- il fattore di temperatura f riduce la funzione da quartici
Ora, moltiplicando e dividendo per la differenza delle temperature centigrade corrispondenti a T, e T, e cioè per t, - t,, si
ottiene:
T,
' Q = 4,92 S ,
[ (2)'(x)
1
(t, -t,)
t, -t,
ed indicando con f il rapporto:
T,
f =
1 - (T)
t, -t,
detto fattore di temperatura, perche dipende esclusivamente dalle temperature dei corpi A e B, la formula viene semplificata
come segue:
Q = 4,92 S, f (t, - t3
Per i casi pratici, cioè per corpi non neri, il valore del coefficiente 4.92 si trasforma in uno ridotto:
essendo
E
a lineare, ed è dipendente solo dalle temperature.
Evidentemente il valore a' è un valore ricavato sperimentalmente in tutti i casi specifici delle pratiche applicazioni: con
successiva semplice trasformazione si ha la formula tecnica della
trasmissione del calore per irradiazione, nella forma seguente:
(10)
Q = i .S (t, - t.)
kcal/h
Essa esprime la quantità di calore trasmessa per irradiazione
dalla superfice S che si trova alla temperatura t,, in un'ora, ad
un altro corpo che è alla temperatura t,, in funzione di un coefficiente i dipendente dalla natura della superfice irradiante, dalle temperature etc.
Dalla (10) si deduce il significato fisico di i: esso rappresenta
la quantità di calore irradiata dalla superfice di 1 mq in un'ora,
quando tra superfici irradiata ed irradiante esiste la differenza di
temperatura di 1°C: le dimensioni di i, detto coefficiente di trasmissione per irradiazione, sono, di conseguenza:
Esistono molte formule empiriche, le quali permettono di
calcolare detto coefficiente con una certa approssimazione: una
relazione, che vale solo per temperature ambienti o basse, è la
seguente:
< '1 e la formula diviene:
I1 coefficiente E , riduttivo della costante teorica a, è detto di emissione ed è determinato sperimentalmente per le superfici emittenti
(o assorbenti) di vari materiali (v. manuale).
La precedente formula è ottenuta dall'introduzione dei fattori reali della trasmissione per irraggiamento tra due corpi, che
qui si riassumono:
- i corpi non sono neri (o);
- la superfice non è nè quella del corpo a temperatura t,
nè quella del corpo a temperatura t,, ma una superfice equivalente S,;
essendo t, la media fra t, e t, ed e il coefficiente di emissione.
Nel manuale sono riportati i valori del potere di emissione,
uguale a quello di assorbimento, per alcuni materiali.
4)
- CONVEZIONE - PREMESSE
Si consideri (fig. 12) un sistema, costituito da due superfici
1 e 2 separate da un fluido, le cuj pareti siano a temperatura t,
e t, rispettivamente, e sia ancora t,
> t,.
In queste condizioni lo straterello di fluido a diretto contatto
della parete più calda acquista una temperatura superiore ed
una densità minore delt,v////////////////////////////~
la massa fluida sovrastante, ed essendo mef
no denso tende a spostarsi verso l'alto, men\
l
‘
i,~' tre un altro strato più
denso, perchè più fredt' V / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
I
Fig. 12
do, andrà in contatto con la parete calda: il processo continua in modo che il fluido a temperatura più
alta giunge a contatto con la parete superiore, con la quale scambia il calore ricevuto dalla parete più calda; dopo, essendo diminuita l a sua temperatura, scende verso la parete calda per riprendere il ciclo.
L'esempio riportato k solo dimostrativo del fenomeno più semplice di trasmissione di calore da un corpo ad un altro con trasporto contemporaneo di materia (liquido o gas): per questo tale trasmissione è detta per convezione,
che, nel caso rappresentato, viene det,,
-ta libera o naturale.
Esaminando un altro schema di
convezione libera (fig. 13), che riguarda il raffreddamento di una parete
verticale disposta in aria fredda, si
osserva che alla, parete verticale aderisce un sottilissimo strato -- film o
strato liminare - di aria che resta
immobile per adesione alla parete
stessa, ed il cui spessore, sempre molFig. 13
to piccolo, dipende, ad una analisi
immediata, 'dalle caratteristiche del fluido (viscosità, densità) e
dal tipo di movimento (velocità e sua direzione relativa).
I1 calore passa perciò dalla parete alla faccia interna dello
strato'liminare per contatto, e dalla faccia interna a quella ester-
(-7
1 1
-7
I l c
na di detto strato per conduttività interna: poichè i liquidi ed i
gas hanno un coefficiente di conduttività interna molto basso, lo
strato limite, anche se di piccolo spessore, oppone una notevole
resistenza al passaggio del calore dalla parete al fluido, e in altri
casi, dal fluido alla parete.
I1 fenomeno della resistenza opposta allo strato limite nella
trasmissione del calore per convezione assume maggiore importanza nei moti convettivi forzati, che si hanno quando s'impone
ad un dato fluido un percorso obbligato, durante il quale scambia calore con le pareti di un'apparecchiatura specifica (scambiatore di calore).
In sintesi, le condizioni di trasmissione si riportano brevemente come segue:
a) Moto di un' fluido convettivo libero o naturale
Si definisce così il flusso di un fluido dipendente solo dalla
continua variazione che si ha nella massa fluida scambiante calore; in dipendenza dalla variazione si generano correnti elementari nell'interno della massa fluida ed il suo movimento globale
o macroscopico non ha una direzione unica o determinata.
Lo scambio di calore per moto convettivo libero è utilizzato
in alcune apparecchiature che si esamineranno nel capitolo seguente; esso si manifesta spesso quale dispersione o entrata di
calore per scambio termico con l'aria dell'ambiente esterno, rispettivamente per apparecchiature funzionanti a temperature mag.
giori o minori di quella ambiente.
h) Moto convettii~oforzato o moto ordinato
I1 moto dei fluidi si dice ordinato quando si impone loro un
percorso obbligato, mediante una conveniente differenza di pressione tra l'ingresso e l'uscita degli stessi dall'apparecchiatura di
scambio, ed i flussi hanno quindi direzioni determinate. Le correnti elementari generate nelle masse fluide non sono tutte parallele tra loro ed alla direzione del flusso totale, in dipendenza
dalle continue ed istantanee variazioni di densità che si hanno nelle fasi elementari di scambio termico, ma le correnti globali sono
obbligate, dalla differenza di pressione che si impone dall'esterno,
a seguire nell'insieme una sola determinata direzione.
Questo moto dei fluidi nello scambio termico ha notevoli ap-
plicazioni nelle apparecchiature relative, perchè permette la trasmissione di quantità di calore nell'unità di tempo molto maggiori
di quelle trasmesse w n il moto naturale o convettivo, e poichè
si realizzano sistemi di scambio termico controllabili e regolabili
entro i limiti di progettazione dell'apparecchiatura.
I1 calcolo del calore trasmesso per convezione ad una superfice S, in un'ora e per un determinato salto termico, da un dato
fluido, si esegue con la formula generale:
(12)
Q = h, S (tl -t.)
kcal/h
dove h, è il coefficiente di convezione, ottenuto come si esporrà.
Dalla (12) si ottiene il significato fisico di h,: esso rappresenta la quantità di calore trasmessa per convezione in un'ora,
ad una superfice di 1 mq per differenza di temperatura di 1°C
dal fluido alla superfice, ed è espresso, nelle unità pratiche, in
kcal/mq h OC; la sua determinazione presenta alcune difficoltà e
perciò si tratta l'argomento in particolare.
loro disposizione rispetto alla direzione del moto del fluido: l'insieme di queste caratteristiche, specifiche per ogni apparecchiatura, è detta geometria delle superfici di scambio.
I1 coefficiente h,, come hanno accertato studi in merito, risulta una funzione delle grandezze ora dette:
avendo indicato con D una dimensione lineare generica rappresentante la geometria della superficie di scambio: nel caso più
semplice D è il diametro di una tubazione entro la quale scorre
il fluido che scambia calore con la parete interna della tubazione
stessa.
Le combinazioni delle grandezze che figurano nei tre fattori
della trasmissione rientrano in un numero praticamente illimitato di applicazioni tecniche; basta osservare che i fluidi trattati
nell'industria chimica sono moltissimi ed in diversi stati di aggregazione, - gas, vapori surriscaldati, vapori condensanti, li.
quidi - e che le apparecchiature hanno forme e funzionamento
diverso - quindi con varie velocità di flusso e varie portate -;
nel seguente quadro illustrativo, si premettono le condizioni di
trasmissione più frequenti, che saranno poi esaminate nel capitolo secondo.
I Tipo di trasmissione
IL COEFFICIENTE DI TRASMISSIONE
La formula prima riportata è di semplice applicazione, come
le precedenti relative alle trasmissioni per conduzione e per irradiazione; tuttavia, il coefficiente h, assume valori molto diversi
e non sempre facilmente determinabili, poiche la trasmissione
del calore per convezione - da un fluido liquido o gassoso ad
una parete o viteversa - è una funzione:
a) delle caratteristiche specifiche del fluido: in particolare,
della densità p, del calore specifico a pressione costante C,, della
viscosità dinamica p, e del coefficiente di canduttività termica
interna k.
b) delle caratteristiche del moto del fluido nella tubazione
o nell'apparecchiatura di scambio termico, il quale può essere un
moto laminare o turbolento.
C) della natura e forma delle superfici di scambio, e della
A
B
A
B
C
D
E
- convezione
- convezione
naturale o libera
forzata
- gas
- vapori surriscaldati
- vapori
.,
saturi o condensanti
- liquidi in ebollizione
- liquidi non bollenti
.
,
111 Geometria dello scambiatore
A, - flusso all'interno di una tubazione rettilinea
A, - flusso all'esterno di una tubazione rettilinea, con diverse
direzioni della velocità del fluido
B, - fiusso all'interno di serpentina
B, - flusso all'esterno d i serpentina
C - flusso all'esterno di fascio tubiero
D - flusso su pareti orizzontali o yerticali
Per la determinazione dei diversi coefficienti sono a disposizione
del tecnico i risultati di una lunga e complessa serie di lavori
teorico-sperimentali eseguiti in America, i quali hanno condotto alla
formulazione di varie funzioni ed alla determinazione di appropriati
coefficienti; mediante tali funzioni basate su alcuni moduli o numeri
fondamentali, si possono determinare i valori degli h, dalle grandezze caratteristiche prima riportate - densità, viscosità, calore
specifico etc. ... -, con il vantaggio di ridurre le variabili della trasmissione. Dai lavori detti è stato accertato che il coefficiente h, è
una funzione del prodotto di potenze delle grandezze in gioco nel
fenomeno del12 trasmissione del calore per convezione: il procedimento teorico che esporremo h a validità generale ed è qui esposto,
per semplicità, il caso di convezione forzata del calore tra un fluido
circolante nell'interno di un tubo e la sua parete interna.
Le variabili interessate nella trasmissione del calore sono:
D
- il diametro del tubo
v
- la velocità del fluido
- la massa volumica del fluido
e
- la viscosità dinamica del fluido
P
- il calore specifico del fluido
(se gas, a pressione costante)
CP
k
- la conduttività interna del fluido
ed il coefficiente di trasmissione è espresso da:
quale prodotto di potenze, con diversi esponenti, delle grandezze suddette.
Quattro esponenti sono determinati applicando l'analisi dimensionale - con la
notazione che d rappresenta il tempo e T la temperatura - mentre il coefficiente rr
e due esponenti (b ed e) devono essere determinati per via sperimentale.
Applicando I'analisi detta, abbiamo:
h, = kcal 9-1 LZ T-I; D = L; e = ML-'; a = ML-'
= kcal M-' T-'; k = kcal 8-' L-' T-'
e, sostituendo nella (I), avremo:
kcal 9-' L-2 T-' = a La Lb 8-b MC L-3c ~d
. kcap M-e T-e kcalf 8-f L-f T-f.
Moto convettivo forzato
Per i1 moto convettivo forzato, che ha la maggiore importanza
nelle applicazioni industriali di scambio del calore, l'equazione fondamentale alla quale si è pervenuti è detta equazione di Nusselt,
espressa da:
L-d
Ordinando ora le cinque dimensioni nel secondo membro, abbiamo:
dove abbiamo posto nel primo membro 1 = Mae dalla quale otteniamo, uguagliando
gli esponenti del primo a quelli del secondo membro:
12 -
3 4 -
nella quale i tre gruppi - adimensionali, come si può semplicemente
verificare - sono detti rispettivamente numero di Nusselt (Nu) il
primo, numero di Reynolds (Re, già noto dalla dinamica dei fluidi),
il secondo e numero di Prandtl, l'ultimo; il coefficiente a e gli esponenti b e$ e sono da determinare sperimentalmente per classi di trasmissione delle medesime caratteristiche generali, definite sinteticamente geometria della trasmissione (da fluido a parete interna o
esterna di una tubazione, a parete piana, con velocità parallela o perpendicolare alla parete, per tubo singolo o per fascio tubiero etc.).
8-';
5 -
1 = e
-1
-2
-1
+ f (per la grandezza kcal)
+
'
= - b - f (per la grandezza 9)
= a
b - 3c - d - f (per la grandezza L)
=. - e - f (per la grandezza' T)
O = C
d
e (per la grandezza M).
+ +
Disponiamo ora di quattro equazioni - essendo la 4 uguale alla 1 - e d i s e t t e
.
incognite, delle quali seiesponenti: eseguendo le sostituzioni:
f = l - e (dall'equazione 1)
d = e - b (sostituendo f nella 2)
C = b (dalla precedente nell'equazione 5)
Riportando i valori ora trovati nella equazione 3, si ottiene:
a = b - l
cosi, ridotti gli esponenti ai soli due b ed e, sostituendo nella (i
potremo
)
scrivere:
(11)
e - b (come le altre differenze)
h, = Db-l "b eb ,'-b C; k l - ~
lo- Convezione di liquido poco viscoso (p < 2 cpoise) entro
un tubo cilindrico di diametro D, con moto turbolento
Nu
= 0,023
Reo,' . PP'
da cui:
ed, in forma diversa, ordinando:
le cui determinazioni sperimentali furono eseguite da Mc Adams.
Z0 - Convezione di liquido viscoso (p > 2 cpoise) entro un
tubo cilindrico di diametro D, con moto turbolento:
Nu = 0,027
che fornisce il valore di h, in funzione delle variabili D, v, Q..., del coefficiente W e
degli esponenti b ed e. i quali. come detto, sono da determinare sperimentalmente.
Ricordando ancora che ve = G (portata di massa per unità di sezione del tubo), otteniamo la forma più sintetica dalla (111):
ed. in simboli, l'equazione di Nusselt
(1")
Nu = a Reb PP.
In conclusione, come si e visto, il problema non può essere risolto in assoluto
per via matematica: si è resa necessaria la determinazione sperimentale, per tutte le
classi simili che interessano le applicazioni industriali, sia del coefficiente oi che degli
esponenti b ed e.
Tuttavia, anche se non si pub avere l'esatto valore dell'h, in linea esclusivamente
teorica - per la complessità del fenomeno - il procedimento seguito consente di individuarlo con precisione molto maggiore rispetto alle formule empiriche.
A titolo illustratiyo si riportano qui due casi, rinviando, per una più completa rassegna, al manuale di impianti chimici.
. Reo.'
da cui:
essendo p la viscosità del liquido alla sua temperatura media di
scambio e p, la sua viscosità alla temperatura media della parete.
Altre formule per le pratiche applicazioni saranno riportate
nel manuale insieme ad alcuni valori sperimentali medii per
i casi più correnti.
M&O
convettivo libero
.
La trasmissione del calore per convezione naturale ha minore
applicazione nelle apparecchiature industriali: tuttavia' negli
scambiatori ad acqua o ad aria e nella dispersione o nel rientro
di calore per serbatoi, depositi, fabbricati etc., lo scambio per
convezione libera ha un'importanza non inferiore a quello. ora
studiato.
Perciò si accennerà alla formul'a fondamentale, nella quale
non compare il numero di Reynolds, poichè le correnti fluide che
si riscaldano o quelle che si raffreddano non hanno un moto ordinato entro condotti di dimensioni determinate, ma soltanto moti
ascensionali o rispettivamente discensionali del tutto irregolari.
Comunque la formula del Nusselt è formalmente valida anche
per il moto convettivo libero: soltanto che è di pratica applicazione una formula da essa derivata, nella quale, in luogo del numero di Reynold's, compare un altro modulo detto di Grashof:
Nu = C, (Pr)'
Più in particolare, avendo l'esperienza dimostrato che
si possono ritenere uguali, la formula diviene:
Nu = C, (Pr
C
e d
. Gr)'
ed
k
.
h, = C, - (Pr Gr)'
L
nella quale il numero di Prandtl è già noto, ed il modulo o numero di Grashof è dato dalla espressione:
nella quale, i simboli sono:
p
- coefficiente di dilatazione cubica del fluido
g - accelerazione di gravità
At - differenza di temperatura tra il fluido e la parete
L - una dimensione caratteristica della parete, in dipendenza della sua forma
e - densith del fluido
.1' - viscosità dinamica del fluido alla sua temperatura media di
scambio.
L'applicazione della formula riportata presenta alcune difficoltà, per la definizione sia del At che della dimensione caratteristica della parete: comunque, dati sperimentali permettono il calcolo dell'h, nella maggioranza delle applicazioni.
Vapori condensanti e liquidi bollenti
Un'importanza notevolissima acquista la determinazione dell'h, nello scambio di calore tra un vapore condensante ed una
parete: i valori degli h, sono in questo caso sempre molto ele-
vati, e dipendono dalla natura del vapore e dal modo in cui il
vapore condensa sulla parete.
E' stato dimostrato, difatti, che la condensazione di un vapore avviene con formazione di gocce, che scorrono sulla superficie della parete, se verticale, o se ne distaccano rapidamente, se
orizzontale, quando la parete è pulita e molto liscia ed il vapore
non contiene impurezze: il fenomeno è più complesso, perchè
alcune sostanze, aggiunte in piccolissime quantità al vapore mercaptani, particolari acidi grassi etc. - favoriscono la condensazione a goccia anche su pareti non troppo levigate.
In questo caso il contatto tra vapore e parete realizza le migliori condizioni di scambio termico, poichè non esiste alcuno
strato liminare che si oppone al passaggio del calore. In generale,
tuttavia, nelle applicazioni industriali difficilmente sono realizzate le condizioni precedenti e la condensazione del vapore avviene con formazione di un velo o strato di liquido che aderisce
alla parete scorrendo su di essa: evidentemente, la trasmissione
del calore non avviene più tra vapore condensante e parete ma tra
vapore condensante e strato liquido e tra strato liquido e parete,
diminuendo chiaraxente la sua efficienza rispetto alla condizione
prima detta.
Le formule applicabili nei diversi casi sono numerose, e, non
potendosi più coilsiderare moti ordinati e grandezze modulari,
sono espresse i n funzione delle caratteristiche del vapore condensante e della geometria dello scambiatore. In appendice saranno
riportati alcuni valori medi dei principali vapori cond'ensanti e di
alcuni liquidi bollenti, per i quali la trasmi,ssione per convezione
assume aspetti simili a quella dei vapori condensanti.
Come si è potuto esporre in breve sintesi, la trasmis'sione del
calore per convezione avviene con diversi meccanismi fisici, nei
vari casi che si sono accennati: in pratica, è opportuno, perciò
eseguire accuratamente i calcoli per la determinazione del coefficiente di trasmissione specifico per ogni caso,. controllando, p e r
quanto è possibile, i dati ottenuti con i risultati sperimentali e,
meglio, industriali di apparecchiature già funzionanti.
D'altra parte, essendo stati sviluppati estesi studi sull'argo-
mento, la letteratura riporta una notevole mole di nomogrammi
e dati che consentono di determinare, anche con lieve approssimazione, i coefficienti di trasmissione per convezione in tutte le
applicazioni correnti.
5)
- TRASMISSIONE
PER MESCOLANZA
Due fluidi a temperatura t, e t, si scambiano calore se vengono miscelati: questo meccanismo costituisce una modalità propria di trasmissione del calore, ma in effetti si può ricondurre ad
una combinazione delle due trasmi,ssioni per convezione e per
conduzione.
L'esoressione matematica che stabilisce le relazioni quantitative della trasmissione è, difatti, una espressione di bilanci di
energia e di massa ottenuta come segue: dette Q, e Q, le quantità di calore, possedute dal fluido 1 e 2 rispettivamente, la miscela
deve avere una quantità di calore uguale alla somma dei calori
dei due fluidi, ossia:
-
Q = Q,
.
Q, =
C,
P, t,
Q, =
C,
P, t,
essendo; genericamente:
C - il calore specifico, in kcal/kp C
'
P - il peso del fluido in kp
t - la temperatura in C
'
l'espressione del bilancio temiico e materiali si può scrivele come segue:
(c,P,+czP,)t =c,P,t,+czPst,
Da qiiesta si ottiene:
C, P, t,
C, P, t,
t =
C, p,
CI p2
che dà il valori della temperatura finale del miscuglio, evidentemente uguale per i due fluidi esistenti nella miscela.
+
+
32
6)
- CONDUTTNITA
ESTERNA
Come già detto, non si può separare la trasmissione del calore per convezione pura dall'irradiazione, trascurando il piccolo
contributo della conduzione: perciò non si può adottare sempre
la relazione (lo), che dev'essere modificata tenendo conto di tutti
i fattori del fenomeno, che viene più generalmente denominato
di conduttività esterna nella quale il calore trasmesso è dovuto ai
due fenomeni; la formula che espiame quantitativamente detto
calore è la seguente:
+ Q,
Poichè:
.
L'espressione può essere estesa ad n fluidi che vengono mescolati, e la temperatura finale del miscuglio dei detti fluidi, a
temperature iniziali diverse, assume la forma più generale:
dove tutti i simboli hanno un valore noto e h è un coefficiente,di
proporzionalità dipendente dai parametri della trasmissione: esso
dipende dall'i e dall'h, del caso ed anche tale coefficiente è dato
da misure sperimentali.
Si nota che, per temperature non elevate, i valori di' h differiscono di poco da quelli di h,, perchè l'irradiazione e quindi il
coefficiente influenza la trasmissione solo alle elevate,temperature.
I1 significato fisico di h, detto coefficiente di conduttività
esterna, si deduce, dalla (14): esso rappresenta la quantità.. di
calore trasmessa in un'ora, per conduttività esterna, da..un fluido
ad una superfice di 1 mq per differenza di temperatura di 1°C,
e le sue dimensioni sono: kcal/mq h OC, omogenee .con. quelle
dei coefficienti i ed h,.
.
7)
- TRASMISSIONE
.
TOTALE DEL CALORE TRA FLUIDI
I1 caso di trasmissione totale del calore che si riscontra in
pratica è quello dello scambio fra due fluidi separati da una pa-
rete, supponendo che non si abbiano dispersioni di calore in senso
perpendicolare al flusso. Si studiano brevemente i casi principali
di trasmissione del calore, in relazione alla disposizione delle superfici, che dipendono dalla cùrvàtura del solido, interessato nella trasmissione: per chiarire, un solido a due facce piane possiede aree uguali sulle due facce; un solido cilindrico cavo ha
l'area della faccia interna minore di quella esterna.
Ricavando i salti termici si ottengono le tre relazioni:
PARETE PIANA
Si considera il sistema costituito (fig. 14) da due fluidi 1 e 2,
rispettivamente a temperatura t, . e t, (t, > t,), separati da una
parete piana solida C; raggiunte le condizioni di regime le facce
A e B della parete avranno assunto le temperature t' e t", ed
evidentemente le temperature sono:
> t'>
t" > t,
La trasmissione del calore da 1 a 2 avviene
con un flusso nella direzione perpendicolare alle pareti e nel senso delle temperature decrescenti, come segue:
- dal fluido 1 alla faccia A della parete,
per irradiazione e convezione,
- dalla faccia A della parete a quella B,
per conduzione,
-dalla faccia B della parete al fluido 2,
per. irradiazione e convezione;
ti
f
e sommando le tre differenze di temperatura, che sono al primo
membro ed ugualmente quelle che si trovano al secondo membro,
si ottiene, con le dovute operazioni algebriche:
,
,
da cui:
Q=
s (t, -t,)
1
-+-+-
A
.
a
1
kcal /h
h,
k
h,
Per semplificare la formula, conglobando contemporaneamente tutti i coefficienti di scambio, si pone:
Fig. 14
adottando i simboli ormai noti, si può scrivere:
Q, =
k s (t1-tu)
a
kcal/h
Qs = h; S (t" -t,)
kcal/h
e poichè il sistema di scambio termico si considera a regime,
si ha che:
Q, = Q, = Q, = Q
e la quantità di calore trasmessa dal fluido 1 al fluido 2 è espressa
da una formula analoga a quelle studiate per ogni singolo caso
di trasmissione del calore:
Questa è espressa in funzione della superfice, del tempo, del
salto termico e di un coefficiente dato dall'espressione (15) o
meglio ancora determinato sperimentalmente.
Nel caso in cui la parete sia multipla, come nella fig. 6,
l'espressione di a diviene più generalmente:
ed essendo come precedentemente:
Q, = Q, = Qs = Q
si deduce l'espressione seguente:
che può essere scritta:
PARETE CILINDRICA
Si considera il sistema costituito (fig. 15) da due fluidi 1 e 2,
rispettivamente a temperatura t, e t, (t, > t,), separati da una
parete cilindrica solida C di lunghezza 1; nel caso presente, si pone che
la trasmissione del calore avvenga dal
fluido interno a quello esterno, e cioè
in senso contrario a quello esaminato
precedentemente a proposito della sola
conduttività interna.
Considerando le condizioni. di regime dello scambio, le facce A' e Br della
2
:
parete' cilindrica hanno temperature costanti nel tempo ed uguali a t' e t", esFig. 15
sendo, come per le pareti piane:
t, > t'
2 n l (t, -t.)
(18)
Q =
kcal/h
1
r h
1
+-Ink
re
ri
1
+rehz
La relazione trovata è adatta per il calcolo della trasmissione
di calore attraverso le tubazioni o i recipienti cilindrici a forte
spessore; per un calcolo di prima approssimazione o per piccoli
spessori, si può ammettere che le superfici esterna ed interna
siano uguali ad una superfice media, data da:
Perciò la quantità' di calore trasmesso si può calcolare più
facilmente mediante la formula relativa alle pareti piane:
> t" > t*
Sviluppando la trattazione come nel caso della parete piana,
usando simboli omologhi e noti, ed avendo presente che le superfici della trasmissione sono diverse per la parete interna (di
raggio r,') e la parete esterna del cilindro (di raggio re), si ottiene:
Inoltre, il valore del raggio medio, se il rapporto tra il raggio esterno ed interno è minore di 2, ossia se è r,/r, < 2, si può
calcolare quale media aritmetica dei due raggi:
~.
Q , = h , 271 rr 1 (t,-t')
.
,
..
Q, =
kcalfh
2 n k l (t'-t")
kcal/h
In
re
ri
-
Q, = h, 2 x re 1 (t" - t2)
kcal/h
mentre, per rapporti superiori, il raggio medio dev'essere calcolato quale media logaritmica, come già studiato nella conduzione:
PARETI NERVATE
L'errore che si commette, per il rapporto r./r, = 2, usando
il valore di r, dato dalla formula (20) in luogo di quello della
formula (21) è accettabile entro i limiti di una prima approssimazione.
8) -
EL COEFFICIENTE DI TRASMISSIONE TOTALE
11 significato ed i valori del coefficiente a introdotto dal punto di vista algebrico nel paragrafo precedente si ottengono datla
formula (15); a congloba tutti gli elementi della trasmissione
termica e la sua importanza sta nel fatto che è possibile misurarlo direttamente senza passare per le determinazioni degli h
e dei k, commettendo un errore sperimentale minore. Esso è detto
coefficiente di trasmissione totale, e rappresenta la quantità di
calore che passa, in un'ora, da un fluido ad un altro, attraverso
1 mq a i parete per differenza di temperatura di 1%: dalla (16)
si deducono le dim,ensioni di a il quale è espresso in kcal/mq h 'C.
Ijetta'fonnula esprime che, a parità di ogni altra condizione,
la qua'ntita di calore scambiata varia direttamente con a: nella
tecnica della trasmissione del calore è quindi necessario agire su
tale coefficiente p e r aumentare o diminuire l'intensità dello scambio termico, mediante una serie di accorgimenti. Si descrivono
due sistemi usati per aumentare lo scambio termico tra due fluidi
separati da una parete cilindrica quando un fluido è costituito
da aria; successivamente si accenna al problema dell'isolamento
termico, necessario per limitare la perdita di calore da apparecchiature 'funzionanti a temperature superiori a quella ambiente,
rinviando -alla particolare trattazione sviluppata ael seguito.
'
Dalla formula (15) si deduce che a dipende da h,, h,, k, a; se
la parete piana o cilindrica è di piccolo spessore, come è normalmente nelle superfici trasmittenti delle apparecchiature chimiche, il
rapporto a/k trascurabile, ed a dipende principalmente da h, ed h,. Ancora, eseguendo
calcoli numerici, si vede che a è minore del
minore dei tre valori h,, h, e k/a, che interessano la trasmissione. Nel caso detto - k/a
Fig. 16 a
molto grande - per aumentare a si eseguono, dal lato ove si verifica il minor valore di h, pareti a superfice estesa dette pareti nervate: la fig. 16
a e b, illiistrano le sezioni cli tubi con nervature circonferenziali
(16 a) e longitudinali o assiali (16 b).
L'aumento della trasmissione del calore
è dovuto all'aumento della superfice di trasmissione ed al fatto che le correnti fluide urtano sulle nervature, provvedendo quindi ad
un ricambio degli strati limiti che ad'eriscono
per viscosità alla superfice del tubo: la nervatura ha il duplice scopo di aumentare la
superlice ed il coefficiente di trasmissione, che
raggiunge un valore superiore dal 300 fino al
500% a quello di una tubazione senza ner-.
vatura.
Fig. 16 b
. .
PARETI MULTIPLE
Si accenna al problema dell'isolamento termico, che sarà trattato più dettagliatamente: la formula (17) dimostra che, a parità
di valori di h, e h,;il valore di a diminuisce al crescere della sommatoria degli a,/k,, cioè si ottiene una riduzione. dello scambio
termico:
- aumentando il valore degli a,, cioè lo spessare della
parete;
- diminuendo il valore dei k,, scegliendo cioè sostanze
cattive conduttrici di calore, dette isolanti termici;
- aumentando il valore degli a, e, contemporaneamente,
diminuendo quello dei k,.
L'aumento dello spessore consente isolamenti. molto moderati e richiede spessori notevoli della parete multipla; si hanno
risultati migliori usando isolanti termici con bassi valori della
conduttività interna; essi hanno, però, in generale poca resistenza
meccanica e possono fondere od alterarsi alle alte temperature,
e sono perciò accoppiati a materiali che hanno le caratteristiche
di resistenza. Nei forni, ad esempio, la struttura portante è costituita da refrattari, che hanno buona resistenza al calore ed anche
meccanica, ricoperti con mattoni isolanti, che impediscono il flusso
del calore all'esterno.
9)
- TRASMISSIONE
DEL CALORE FRA FLUIDI IN MOTO ORDINATO
La trasmissione del calore tra due fluidi si effettua nelle apparecchiature industriali imponendo ad essi direzioni obbligate,
sia perchè i due fluidi scambianti calore appartengono ad un circuito chiuso, e quindi devono entrare ed uscire da determinate
tubazioni, sia perchè con la convezione forzata si ottiene una migliore efficienza della trasmissione del calore.
Fig. 17
Si consideri il sistema costituito (fig. 17) da due fluidi 1 e 2
separati da una parete solida S: le temperature siano t, per 1 e t,
per 2. con t, > t,. I tluidi scambiano calore procedendo nel loro
moto e mentre la temperatura di 1 si abbassa quella del fluido 2
si innalza: ne deriva che in una sezione S', distinta da S. le temperature saranno rispettivamente t', minore di t,, e t", maggiore di t,.
I1 calcolo esprime la legge di variazione delle temperature di
1 e 2 col procedere del moto dei fluidi: in un diagramma carte-
siano, avente sulle ascisse le superfici di scambio e sulle ordinate le temperature, l'andamento delle temperature dei due fluidi
è dato da due curve che tendono assintoticarnente ad un valore
comune.
Ciò premesso si passa allo studio di quattro casi, che si presentano in pratica nello scambio termico fra fluidi in moto ordinato, riportando le espressioni d d salto termico da introdurre
nella relazione (16), per ii calcolo della quantità di calore.
La trasmissione del calore tra fluidi in moto separati da una
parete, nelle applicazioni tecniche, si può ricondurre ai casi seguenti:
- due fluidi hanno flusso di eguali direzioni e verso, essendo separati da superfici trasmittenti (correnti equiverse o moto
in equicorrente);
- due fluidi hanno flusso di eguale direzione ma di verso
contrario essendo separati da superfici trasmittenti (correnti controverse o moto in controcorrente);
- due fluidi hanno direzioni di flusso perpendicolari, essendo separati da supefici trasmittenti (correnti incrociate);
- un fluido caldo mantiene costante la propria temperatura mentre varia quella di un altro fluido, che fluisce in direzione qualsiasi; oppure un fluido freddo mantiene costante la
propria temperatura mentre varia quella dell'altro, che fluisce anche in qualsiasi direzione (correnti. indifferenti).
Per le formule si useranno i simboli:
t,, - temperatura iniziale del fluido caldo, O
C
t,, - temperatura finale del fluido caldo, O
C
t,, - temperatura iniziale del fluido freddo, 'C
t,, - temperatura finale del fluido freddo, C
'
t, - temperatura costante del fluido caldo, O
C
t, - temperatura costante del fluido freddo, OC.
Ora, riferendosi per semplicità nelle figure a fluidi che -scorrono entro tubi coassiali, si riporteranno le formule da Usare per
i calcoli ed i grafici illustrativi corrispondenti. . .
CORRENTI EQUIVERSE
Lo schema della trasmissione è riportato in fig. 18, e l'andamento delle temperature nel diagra'mma di fig. 19, nel quale si
è posto:
Sempre dal diagramma e dalla (22), risulta che, teoricamente, può essere:
t,, < t,,
mentre in pratica sarà sempre:
CORRENTI CONTROVERSE
CE = t,,
......
L .
CD = t,,
i
Lo schema è quello riportato nella fig. 20 e i'andamento delle temperature è rappresentato nel diagramma della fig. 21, nel
quale si è posto:
18
OB = t,,
ed il salto termico è dato, dal calcolo, nella formula:
CE = t,,
(tc,- L,) -(tc,-tr,)
(22)
< t,*
t,f
OB = t,,
A t, =
t"i -t,i
OA = t,,
OC
CD = t,,
Fig. 20
In
ter -t r r
Dal. diagramma, si nota che col procedere del moto equicorrente il salto termico fra i due fluidi va diminuendo, cioè il fluido
caldo abbassa sempre più la sua temperatura mentre quello fredro innalza la propria: ciò significa
che .le successive
porzioni di superfi"ce trasmittente sono sempre meno utilizzate, e dal punto
di vista pratico ,ciò
~ t , ,
significa che .le su/ o 1,'
perfici di scambio
I
l
hanno buona effiI
I
cienza per il tratto
*.*,i
I
I
nel quale le diffeI
I
renze di temperatu-o
C
s m=*
ra sono elevate. Da
Fig. 19
ciò si deduce che,
per il caso studiato è preferibile fare un numero maggiore di
tubi ,.corti, ànziché un numero minore di tubi lunghi.
'
I1 salto termico medio è dato dalla formula:
'(tC,- trt) -(t"f - t7')
A t, =
(23)
tei - tr,
,
t
In
te, - tri
e l'esame del diagramma
dimostra che 18 scambio
in controco~rente,per la
utilizzazione deiie superfici di scambio, è preferibile
a quello in equicorrente;
difatti, in questoil fluido
caldo, nel procedere nel
senso in cui la sua tem-
I,
-
u
Eh,
I
.
,
l
&. t r t
-
1
2
.
;otri
,
I
I
I
I
o
C
Fig. 21
-
sm'
peratura diminuisce, incontra l'altro fluido che è
a temperatura sempre minore e perciò lo scambio
avviene in modo che, a pa-
rità di altre condizioni, la quantità di calore scambiata per unità
di lunghezza del tubo si mantiene quasi costante per l'intera lunghezza del tubo. Difatti, salvo .le Variazioni derivanti dai diversi
calori specifici dei due fluidi, le due curve hanno andamento tale
che, in ogni sezione, il salto termico è quasi costante. Tuttavia,
anche in questo caso, è opportuno che le superfici di scambio non
si prolunghino oltre un certo limite.
Per quanto riguarda le temperature, in pratica sarà sempre:
CORRENTI INCROCIATE
~e correnti incrociate rappresentano una variante delle due
precedentemente descritte. Negli scambiatori, difatti, in generale, il fluido che cede calore, passa nell'interno delle tubazioni
costituenti il fascio tubiero, mentre il secondo fluido investe il
fascio perpendicolarmente alla direzione del flusso interno, medi'ante la disposizione di setti di deviazione del flusso esterno.
Lo schema di calcolo delle correnti incrociate si può riportare
a quello delle correnti equiverse o controverse 'a seconda che l'andamento dei due fluidi scambianti il calore sia globalmente equiverso O controverso.
I1 salto termico medio è dato dalla formula:
trr
A t, =
(24)
-
tri
in 'C
t, - tsi.
In
t, - t r r
e riguarda lo scambio tennico tra un fluido 2 corrente entro una
tubazione a temperatura i,niziale minore del fluido 1 corrente o
meno nel tubo esterno; detto fluido 1 non varia la sua temperatura
---rchè è un vapore condensante o è un fluido che acquista dalu- pci
l'este:mo costantemente il calore ceduto al fluido 2.
Esaminando il diagramma rel'ativo all'e temperature si vede
.,, anche in questo caso, è opportuno adottare superfici di scambio corte, e che durante lo scambio termico sarà sempre:
t, > t r r
Un andamento simile al precedente si ha quando il fluido che
cede calore è a temperatura variabile, ed il fluido che lo riceve
i
mantiene costante Ia temperatura.
Lo schema è ancora
0:
quello della fig. 22 con
i simboli tra parentesi,
mentre l'andamento delle
t
E I c
temperature è quello ri5'
1
I
portato nel diagramma
I0l.i
della figura 24, nel quale
I
I
I
si è posto:
C
I1 primo schema è riportato nella fig. 22 e l'andamento delle
temperature è rappresentato nel diagramma della fig. 23, nel quale si è posto: ,
A.
l
I
I
tri
Fig. 23
OA = t,,
OB
= t,,
CE
7 t,,
IT salto termico medio
è dato, nel presente caso di scambio, dalla relazione seguente:
.
.
...
.
.
CD = t,,
Fig. 22
