Dinamica del Corpo Rigido
Corpo rigido
• È un caso particolare dei sistemi di
punti materiali
• È di grande importanza per le
applicazioni pratiche
• Un corpo è detto rigido se le distanze
tra tutte le possibili coppie di punti del
corpo non cambiano
2
Corpo rigido
• Astrazione che si applica tanto meglio
quanto più i corpi sono indeformabili
• Un corpo perfettamente rigido non
esiste
• Dal punto di vista microscopico la
rigidità dei solidi è dovuta a forze di
natura elettrica tra gli atomi costituenti
3
Moto del corpo rigido
• È determinato da una o più forze esterne,
generalmente applicate in punti diversi del
corpo
• Le forze sono quindi caratterizzate da una
forza risultante F e da un momento risultante τ
• Il lavoro delle forze interne in un corpo rigido è
nullo quindi la variazione dell’energia cinetica
è uguale al lavoro delle forze esterne
4
Moto del corpo rigido
• Le leggi fondamentali sono le equazioni
cardinali della meccanica
r
r
F = Ma
MaCM
r
r dL
τ =
dt
• Si può anche usare la conservazione
dell’energia meccanica nel caso in cui le
forze in gioco siano conservative o si abbia
attrito statico
∆E = 0
5
Equilibrio statico del corpo rigido
• Un corpo rigido è in equilibrio statico se
e solo se:
– è inizialmente in quiete:
– P e L non variano nel tempo
r
P=0
r
L=0
r
dP
=0
dt
r
dL
=0
dt
6
Equilibrio statico del corpo rigido
r
• Dalla prima eq. segue che F = 0
r
• Dalla seconda che
τ =0
• Il momento è indipendente dal polo scelto e
quindi il polo può essere un punto qualunque
7
Traslazione di un corpo rigido
• Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in
genere curvilinee, con la stessa velocità, in
genere varia
• Ogni punto ha lo stesso moto del CM: la
conoscenza del moto del CM basta per
conoscere il moto di tutti i punti del corpo
• Gli assi del sistema solidale col corpo
rimangono sempre paralleli a quelli del SCM
8
Traslazione di un corpo rigido
• QM ed energia cinetica del corpo rigido:
r
r
P = MvCM
1
2
K = MvCM
2
• L’equazione del moto del CM è
r
r
F = MaCM
• Il momento angolare è:
r r
r
r
r
L = rCM × MvCM = rCM × P
9
Rotazione di un corpo rigido
• Ogni punto descrive un moto circolare, la
traiettoria è un arco di circonferenza, di
raggio diverso per ogni punto considerato,
ma con centro su una stessa retta, detta asse
di rotazione
• La rigidità del corpo implica che tutti i punti
abbiano la stessa velocita` angolare ω in un
dato istante, parallela all’asse di rotazione
10
Rotazione di un corpo rigido
• Se l’asse è fisso nel tempo ω puo` cambiare
solo in modulo e verso
• Nel caso più generale ω puo` cambiare anche
in direzione (asse di rotazione variabile)
11
Moto di un corpo rigido
• Traslazione e rotazione sono i moti più
importanti, in quanto vale il seguente teorema
di meccanica razionale:
ogni spostamento infinitesimo puo` sempre
essere considerato come somma di una
traslazione e di una rotazione infinitesime con
velocita` v e ω variabili nel tempo
12
Moto di un corpo rigido
• Per descrivere una rototraslazione si utilizzano
le equazioni cardinali:
– il teorema del moto del CM
– il teorema del momento angolare
• In una rototraslazione le velocita` v e ω sono, in
generale, indipendenti
• In situazioni in cui è presente un vincolo le due
velocita` possono essere legate da una
relazione che elimina tale indipendenza
(rotolamento puro)
13
ω
Momento angolare di un
corpo rigido in rotazione
ρi
ri zi vi
O
• Calcoliamo il momento angolare di un corpo esteso in
rotazione attorno ad un asse, supposto inizialmente
fisso, con velocita` angolare ω, rispetto al polo O
scelto sull’asse
r
r
r
r r r
L = ∑ ri × mi vi = ∑ mi ri × (ω × ri )
i
i
• Scomponiamo ri(t) lungo l’asse z di rotazione e della
direzione ad esso perpendicolare
r
r r
ri ( t ) = zi + ρi
r
ρi = ( xi , yi )
14
Momento angolare di un corpo
rigido in rotazione
ω
ρi
ri
zi
vi
O
15
Scomposizione del momento
angolare
r
r r r
r
r
r r
L = ∑ ri × mi vi = ∑ mi [ zi + ρi ] × (ω × [ zi + ρi ])
i
i
r
r
r r
)
)
L = ∑ mi ( ρi + ziω ) × ω × ( ρi + ziω )
i
r
r
r r r
)
)
L = ∑ mi ( ρi + ziω ) × [ω × ρi + ω × ziω ]
i
r
r
r r
)
L = ∑ mi ( ρi + ziω ) × [ω × ρi + 0]
i
r
r r r
) r r
L = ∑ mi ( ρi × ω × ρi ) + ∑ mi ziω × (ω × ρi )
i
i
16
Momento angolare di un corpo
rigido in rotazione
r
r
r r
r r
)
L = ∑ mi ρi × [ω × ρi ] + ∑ m j z jω × ω × ρ j
i
r
j
r
r
r
ρi × [ω × ρi ] = ρi ω
2
)
r
r
r
ω × ω × ρ j = − ρ jω
r
r
r
r
r
L = ∑ mi ρi2 ω − ∑ m j z j ρ j ω ≡ L// + L⊥
i
j
17
Momento angolare
• Il termine longitudinale è proporzionale al
vettore velocita` angolare
r
r
2 r
2
2 r
L// = ∑ mi ρi ω = ∑ mi xi + yi ω = I ω
i
i
• La costante di proporzionalità è detta
momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse
di rotazione scelto
(
)
– è indipendente dalla posizione del polo sull’asse
(ρ non dipende dalla posizione di O)
– è indipendente dal tempo (ρ non dipende da t
18
perchè il corpo è rigido)
Momento angolare trasversale
• Il termine trasversale
r
)
)
r
L⊥ = −ω ∑ mk zk ( xk i + yk j ) = −ω ∑ mk zk ρ k
k
k
– dipende dal tempo (tramite x e y oppure ρl)
– dipende dalla posizione del polo sull’asse (tramite z)
• quindi non ci piace tanto perchè ci complica
notevolmente la vita
• Questo termine è 0 quando l’asse di rotazione
– è un asse di simmetria della distribuzione di massa
del corpo (allora per ogni punto x,y,z esiste un punto
-x,-y,z che compensa il primo)
– è un asse principale d’inerzia (vedi oltre)
19
Momento d’inerzia
• Per definire il momento d’inerzia di un corpo,
bisogna conoscerne la distribuzione di
massa, cioè la distanza degli elementi di
massa dall’asse attorno a cui ruota
(
)
I = ∑ mi xi2 + yi2 = ∑ mi ρi2
i
i
• Per una distribuzione continua di massa
I=
∫
Vcorpo
2
2
x
+
y
(
) dm =
∫
Vcorpo
ρ 2 dm
20
Momento d’inerzia
• Ne segue che cambiando l’asse di rotazione,
cambia il momento d’inerzia, cioè la costante
(indipendente dal tempo!) che lega il momento
angolare longitudinale alla velocità angolare
• I è una grandezza scalare estensiva, cioè tale
che per un sistema scomponibile in parti, può
essere calcolata come somma dei contributi
delle singole parti
• non è una proprietà intrinseca del corpo,
perchè dipende rispetto a quale asse si calcola
21
Assi principali d’inerzia
• Teorema di Poinsot (senza dimostrazione):
– dato un corpo rigido qualunque, comunque venga
scelto un punto O, è sempre possibile trovare tre
direzioni mutuamente ortogonali passanti per O, per
ognuna delle quali L è parallelo a ω
• Questi assi sono detti assi principali d’inerzia
• Se O coincide con il CM, gli assi si dicono assi
centrali d’inerzia
22
Calcolo del momento d’inerzia
• Asta omogenea
• Disco omogeneo
• Sfera omogenea
23
Esempi di calcolo del Momento di inerzia
Momento d’inerzia di un asta omogenea di lunghezza l e massa M:
i) rispetto ad un asse perpendicolare passante per un suo estremo :
l
z
x
l
Iz ≡
∫
x dm = ∫ x λ dx =
Corpo
0
2
x
dm
2
λl
3
densità
lineare
3
Iz
M dm
λ=
=
l
dx
Ml2
=
3
Esempi di calcolo del Momento di inerzia
Momento d’inerzia di un asta omogenea di lunghezza l e massa M:
ii) rispetto ad un asse perpendicolare passante per il suo centro di massa :
z
G
l/2
Iz ≡ 2
∫
0
l/ 2
dm
x
2 λl
2
x λdx =
24
x
3
Iz
Ml
=
12
2
Esempi di calcolo di momenti di inerzia
i)
Momento d’inerzia di un disco omogeneo di raggio R e massa M rispetto
all’asse perpendicolare passante per il suo centro di massa :
dr
dm = σ dS = σ 2 π rdr
z
G
∫ dm = ∫ σ 2π rdr
densità
superficiale
r
R
R
2
r
R
M
2
= σπ R ⇒ σ =
M = σ 2π = σ 2π
2
2
2
π
R
0
2
2 πσ R
2
2
≡ ∫ r dm = ∫ r σ 2π rdr =
4
C orpo
0
R
I zG
4
πσ R ) R
(
=
2
2
2
MR2
=
2
Esempi di calcolo di momenti di inerzia
ii) Momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa M :
z
r(z) = R − z
2
2
Rotazione semicirconferenza
di raggio R
dM = ρ dV = ρπ r 2 ( z ) dz
dz
R
ρ=
M
4
π R3
3
m.i. disco infinitesimo
1 2
dI = r dM
2
1 2
1
2
4
dI = r ρπ r dz = ρπ r dz
2
2
Esempi di calcolo di momenti di inerzia
ii) Momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa M :
z
r(z) = R2 − z2
dz
R
1
2
2 2
IG = ∫ dI = 2∫ ρπ (R − z ) dz
−R
2
0
R
R
R
IG = ∫ ρπ ( R − 2R z + z ) dz
4
2 2
4
0
5 2 5 R5
8
5
=
ρπ R − R +
ρ
π
R
3
5 15
IG
2
=
MR2
5
Come facilitare il calcolo del
momento d’inerzia
• I calcoli più semplici sono quelli per assi
di rotazione coincidenti con assi di
simmetria passanti per il CM
• Per assi paralleli a questi assi, esiste un
teorema che permette di calcolare
semplicemente i momenti d’inerzia
relativi
29
Teorema di Huygens-Steiner
• Detto I il momento d’inerzia di un corpo
di massa m, rispetto ad un asse a
passante per il CM, il momento d’inerzia
rispetto ad un asse a’ parallelo al primo
e distante d da questo e`
a’
a
CM
d
I ' = I + md
2
30
Teorema di Huygens-Steiner
• Detto P il generico punto
del corpo, tracciamo il
piano passante per P e
perpendicolare ai due assi
paralleli
• Sia ρ la distanza di P
dall’asse a e ρ’ la distanza
di P dall’asse a’
r r r
• Vale la relazione ρ ' = ρ − d
a’
a
ρ
ρ’
P
d
CM
31
Dimostrazione del teorema di
Huygens-Steiner
• Il momento d’inerzia rispetto ad a’ è
I'=
∫
corpo
∫
corpo
∫ (
ρ ' dm =
2
r
ρ 2 dm − 2 d
r
ρ −d
r
)
2
dm =
corpo
∫
corpo
r
ρ dm + d 2
r
r
2
I − 2 d ⋅ m ρ CM + md
∫
dm =
corpo
• Il secondo termine è nullo, in quanto il
centro di massa appartiene all’asse a
2
I ' = I + md
• quindi
32
Esempi di applicazione del teorema di Steiner :
z
z’
d=l/2
G
dm
I z = I z'CM + Md =
2
2
2
Ml
Ml
l
=
+ M =
2
12
3
2
Esempi di applicazione del teorema di Steiner :
Momento d’inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto ad un
asse ad esso perpendicolare passante per un punto P sul suo bordo :
z’
z
P
d=R
G
I z P = I z 'C M + M d
MR
=
2
2
+ MR
2
2
=
3MR
=
2
2
Energia cinetica di rotazione
• Partendo dalla definizione di K
1
1
1
1 2
2
2 2
2 2
K = ∑ mi vi = ∑ miω ρi = ∑ mi ρ i ω = Iω
2 i
2
i 2
i 2
r
r
• Ricordando che L// = I ω
• Possiamo scrivere
2
//
1 2 1
1L
K = Iω = L//ω =
2
2
2 I
• L’energia cinetica di rotazione dipende dal momento
d’inerzia rispetto all’asse di rotazione, ovvero dal
momento angolare longitudinale
35
Teorema di Koenig
Corpo in rotazione intorno all’asse z
ω
z
z’
d
vG
G
vG = ωd
t. di Huygens-Steiner
1
1
2
2
2
E k = I z ω = ( I z ' + M d )ω =
2
2
1
1
2
= I z 'ω + M ( d ω ) 2
2
2
1
1
2
2
E k = I z 'ω + MvG
2
2
36
Lavoro forze esterne
• In seguito all’azione di un momento esterno,
la velocità angolare di un corpo viene portata
dal valore iniziale ω1 a quello finale ω2
• Per il teorema dell’energia cinetica, la
variazione di K è uguale al lavoro delle forze
agenti sul sistema
• Per un corpo rigido, solo le forze esterne
danno un contributo
∆K = W
E
37
Lavoro e potenza
• In termini infinitesimi
dθ
1 2
dK = d Iω = Iωdω = I
αdt = Iαdθ = τ // dθ = dW E
dt
2
• Integrando gli ultimi due membri otteniamo il lavoro
come integrale del momento nella variabile angolare
Θ
F
0
I
E
E
τ
d
θ
=
dW
=
W
∫ // ∫
• Esprimiamo la potenza in funzione del momento e
della velocita` angolare
dW
dθ
c =
= τ //
= τ //ω
dt
dt
E
38
Rotazione intorno ad un asse
fisso
• È un caso particolare di grande importanza
pratica nello studio di macchine e motori
• Il vettore ω ha la direzione fissa dell’asse,
mentre modulo e verso possono cambiare nel
tempo
• Se ω non è costante, il vettore accelerazione
r
angolare
r dω
α=
dt
• è diverso da zero e diretto lungo l’asse
39
Rotazione con asse fisso e
L // ω
• Il caso più semplice è quello in cui il momento
angolare è parallelo all’asse, ovvero la componente
trasversale e` nulla; in tal caso
r
r
L = Iω
• L puo` variare in modulo e verso, ma non in
direzione, quindi la sua derivata è parallela a ω
• Quindi, il teorema del momento angolare impone
che il momento delle forze τ che fa variare L sia
anch’esso parallelo
raω
dL//
dL
τ =
⇔ τ // =
= Iα
dt
dt
r
40
Rotazione con asse fisso e
L // ω
• Risolvendo
l’equazione
all’accelerazione
rispetto
dω τ //
α=
=
dt
I
• Noto il momento, si può ricercare l’integrale
primo del moto
t
t
ω (t ) − ω (0) = ∫ αdt = ∫
0
0
τ //
I
dt
• In particolare se il momento è costante
ω (t ) − ω (0 ) =
τ //
I
t
41
Slittamento
• Immaginiamo un corpo cilindrico o sferico in
moto rispetto alla superficie di appoggio
C
• Se le velocità di tutti i punti sono uguali e
sono parallele al piano tangente localmente
alla superficie, abbiamo un moto di
traslazione e il corpo slitta sulla superficie
42
Rotolamento
• In generale un corpo rotola sulla
superficie
• Se il punto di contatto C tra corpo e
superficie è fermo, istante per istante, si
ha rotolamento puro
• Altrimenti avremo contemporaneamente
slittamento e rotolamento
43
Rotolamento puro
• Tra superficie e corpo esiste una forza
di attrito che mantiene fermo il punto di
contatto C, istante per istante
• La velocità del punto C (o di qualsiasi
altro punto) a distanza r dal CM è
r
r
r* r
r r
vC = vCM + vC = vCM + ω × r
44
Rotolamento puro
r
• La condizione
è vC = 0
r di puro
r rotolamento
r
vCM = −ω × r
• ovvero
• In modulo la velocità del CM è
• E l’accelerazione
vCM = ωr
aCM = αr
• Cioè nel moto di puro rotolamento esiste una
relazione precisa tra velocità del CM e
velocità angolare
45
Rotolamento puro
• A questo moto si può applicare la legge di
conservazione dell’energia meccanica
• Questo è possibile perché la forza d’attrito
agisce sul punto di contatto, che è fermo, e
quindi non compie lavoro
• Nuovamente questo è un caso limite: un
corpo libero che rotola su un piano
orizzontale, presto o tardi si arresta
46
Attrito volvente
• Si modellizza questo fenomeno con
una nuova forma di attrito, detto
volvente, che è attivo tra il corpo e
la superficie di appoggio
• È causato dalla deformazione
locale del corpo e della superficie
• Per una ruota in moto, la retta
d’azione della componente normale
N della reazione vincolare alla
superficie d’appoggio non contiene
il centro della ruota
N
h
47
Attrito volvente
• L’effetto è modellizzato da un momento che
si oppone al moto
τ v = hN
• h è il braccio di N ed è detto coefficiente di
attrito volvente)
• L’effetto dell’attrito volvente è sempre molto
minore di quello dell’attrito radente e statico,
per cui è generalmente trascurabile
• Da qui deriva il grande vantaggio che si
ottiene, in molti casi, di dotare i veicoli di
48
ruote piuttosto che di pattini
Moto di rotolamento
• Consideriamo un corpo di massa m e raggio r
che rotola su una superficie piana orizzontale
sotto l’azione di una forza F costante applicata
F
all’asse
y
N W
• Sul corpo agiscono anche la forza
peso W e la reazione del vincolo R
x
Α
• R si scompone in una forza normale al vincolo
N e una forza di attrito A parallela al vincolo
• A deve opporsi al moto del punto di contatto
verso +x e quindi dev’essere diretta verso -x
49
Moto di rotolamento
• Dalla 1a equazione cardinale:
r r r r
r
F + A + W + N = maCM
• che proiettata lungo x e y dà
F − A = maCM
−W + N = 0
• dato che l’accelerazione è diversa da zero
solo lungo x, mentre è nulla lungo y
• La seconda equazione permette di trovare N:
N =W
• La prima equazione contiene l’incognita aCM
50
e la forza d’attrito A
Moto di rotolamento
• Dalla 2a equazione cardinale:
dLω
τω =
dt
• Scelto il CM come polo si ha:
d
rA = (Iω ) = Iα
dt
51
Moto di rotolamento
• Questa equazione contiene l’incognita α e la
forza d’attrito A
• Distinguiamo due casi:
• attrito statico:
A ≤ Amax = µ s N
• attrito dinamico:
A = µd N
52
Moto di rotolamento puro
• In totale abbiamo due equazioni e tre incognite
F − A = maCM
rA = Iα
• Con la condizione di rotolamento:
aCM = αr
• Risolvendo per le incognite:
Fr 2
Fr
aCM =
α=
2
I + mr
I + mr 2
FI
A=
I + mr 2
53
Sfera che rotola su piano
inclinato
54
Sfera che rotola su piano
inclinato
55
Sfera che rotola su piano
inclinato - Energia
Mgh = K CM
2 gh = v
2
CM
2
v
1
1
1
1
2
2
2
= MvCM + I ω = MvCM + I CM2
2
2
2
2 R
I
1 +
2
MR
10
2 7
2
sfera
2 gh = vCM ⇒ vCM = gh
I sfera 2 I cilindro 1
7
5
= ;
= →
2
2
MR
5 MR
2
4
2 3
2
cilindro 2 gh = vCM ⇒ vCM = gh
3
2
56
APPROFONDIMENTI
57
Pendolo fisico
• E` un qualunque corpo rigido oscillante
attorno ad un asse orizzontale (non passante
per il CM)
• Consideriamo la sezione del corpo
perpendicolare all’asse e contenente il CM
• Sia O la traccia dell’asse di rotazione
e r la distanza di O dal CM, W il
peso del corpo e θ l’angolo formato
dal
da r con la verticale
O
r
θ
CM
W
58
Pendolo fisico
• L’asse è vincolato a rimanere fisso, esisterà
quindi una forza vincolare V che agisce sul
corpo
• Come ogni forza vincolare, essa è, a priori,
incognita e sarà determinata a posteriori
dopo aver risolto l’equazione del moto
• Scegliamo un sistema di coordinate
cilindriche con origine O, asse polare
verticale e asse z = asse di rotazione
con verso uscente dal foglio
V
O
r
θ
CM
W
59
Pendolo fisico
• Le componenti del peso sono
Wr = W cos θ
Wθ = −W sin θ
• Le componenti della forza
vincolare
Vr , Vθ
Vθ
V
Vr
O
r
θ
CM
Wr
W
Wθ
• Entrambe le forze hanno
componente z nulla
60
Pendolo fisico
• Scegliamo O come polo per il calcolo dei
momenti: questo è conveniente perche’ la
forza vincolare incognita ha momento nullo
rispetto a O e il momento risultante τ è
uguale al momento della forza peso
r r
τ = r ×W
r
• Applichiamo al corpo le equazioni cardinali
uur r r
r ( CM )
Fe = W + V = Ma
r
r dL
τ =
dt
61
Pendolo fisico
• Per i momenti si ha:
dLz
τz =
dt
• Note le espressioni del momento di forza e del
momento angolare
τ z = rWθ = − rW sin θ
Si ha:
Lz = Iω
d
dω
d 2θ
− rW sin θ = (Iω ) = I
=I 2
dt
dt
dt
• da cui si ricava la legge oraria θ(t)
62
Pendolo fisico
• Per le forze abbiamo le due equazioni
dθ
(CM )
2
Wr + Vr = Mar
= − Mω r = − Mr
dt
2
2
d
ω
d
θ
Wθ + Vθ = Maθ(CM ) = M
r = Mr 2
dt
dt
che ci servono per trovare le componenti della
reazione vincolare
dθ
Vr = −Wr − Mr
dt
d 2θ
Vθ = −Wθ + Mr 2
dt
2
63
Pendolo fisico
• Risolviamo ora l’equazione differenziale per θ(t)
d 2θ
rW
sin θ
=−
2
dt
I
• Per piccole oscillazioni possiamo confondere il
seno con l’arco, ottenendo
d 2θ
rW
2
=
−
θ
=
−Ω
θ ⇒ θ ( t ) = Asen ( Ωt + φ )
2
dt
I
• Equazione del moto armonico con pulsazione Ω
e periodo
2π
I
I
l*
T=
= 2π
= 2π
= 2π
64
Ω
rW
Mgr
g
Moto di slittamento
• Nel caso di slittamento abbiamo solo due
equazioni, ma anche solo due incognite
perché siamo in regime di attrito dinamico in
cui:
A=µ N =µ W
d
d
• Risolvendo per le incognite:
aCM
F − µ dW
=
m
rµ dW
α=
I
65
Moto di rotolamento puro
• Quand’è possibile il rotolamento puro?
Occorre che la soluzione trovata per A sia
minore del valore statico massimo
FI
A=
≤ µs N
2
I + mr
• Questo impone un limite al valore di F:
I + mr
F ≤ µsW
I
2
66
Moto di rotolamento
• Il corpo sia ora sotto l’azione di un momento
costante τ applicato all’asse (entrante nel
foglio)
• Quanto detto prima per la reazione del vincolo
R continua a valere, eccetto che ora la forza
d’attrito deve opporsi al moto del punto di
contatto verso -x e quindi dev’essere rivolta
verso +x
y
τ
N
W
Α
x
67
Moto di rotolamento
• 1a equazione cardinale:
r r r
r
A + W + N = maCM
• che proiettata lungo x e y dà
A = maCM
−W + N = 0
• Di nuovo la seconda equazione permette di
trovare N:
N =W
• Dalla prima segue che quando un motore fa
girare una ruota, è la forza d’attrito a spingere68
avanti la ruota
Moto di rotolamento
• 2a equazione cardinale:
dLω
τω =
dt
• Scelto il CM come polo
d
τ − rA = (Iω ) = Iα
dt
• Distinguiamo, come prima, due casi.
69
Moto di rotolamento puro
• Nel caso di rotolamento puro abbiamo tre
incognite e la solita relazione tra aCM e α.
• Possiamo quindi risolvere le equazioni di prima
e trovare le incognite:
τr
τ
τ mr
aCM =
α=
A=
2
2
I + mr
I + mr
I + mr 2
70
Moto di rotolamento
• Nel caso di slittamento abbiamo due
incognite e due equazioni
• Possiamo risolverle trovando:
aCM =
µ sW
m
α=
τ − rµ sW
I
71
Moto di rotolamento puro
• Quand’è possibile il rotolamento puro?
Occorre che la soluzione trovata per Α sia
minore del valore statico massimo
τ mr
A=
≤ µs N
2
I + mr
• Questo impone un limite al valore di τ:
I + mr
τ ≤ µsW
mr
2
72
“Tensore di inerzia”
Per una rotazione intorno ad un asse generico, la relazione tra il momento angolare L e
la velocità angolare ω è data dal “tensore di inerzia” (o “matrice di inerzia”) :
3
L
L
L
L
x
y
z
I
≡
xx
I
jk
k = 1
I
=
I
I
dove :
∑
=
j
I
I
I
xx
yx
zx
∫
(y
ω
I
I
I
xy
yy
zy
2
+ z
2
+ z
2
(j= 1, 2, 3 )
k
xz
yz
zz
ω
⋅ω
ω
)dm ≡ I
x
)dm ≡ I
y
x
y
z
I xx ω
≡
I yxω
I
zx ω
≡
yy
∫
(x
2
x
x
+ I
+ I
+ I
ω
yy ω
zy ω
xy
y
y
y
+ I
+ I
+ I
ω
yzω
zzω
xz
momento d’inerzia del corpo
rispetto all’asse x
co rp o
I
x
I
zz
≡
∫
(x
2
+ y
2
)dm ≡ I
corpo
corpo
gli elementi diagonali della matrice di inerzia sono i momenti d’inerzia del
corpo rispetto agli assi coordinati ; inoltre, per gli elementi non diagonali:
I
xy
=
I
yx
≡ −
∫
xyd m
co rp o
I
yz
=
I
zy
≡ −
∫
yzd m
co rp o
I
xz
=
I
zx
≡ −
∫
xzd m
co rp o
la matrice d’inerzia è simmetrica
73
z
z
z
z
z
r
ux
=
r
uz
r
∫
asse di rotazione r
r
r = xu
ω
r
u
r
LO ≡
x
Gli elementi della matrice d’inerzia
d m
∫
r
ω
y
r
r
(r × v )dm =
y
r
r
r
( x u x + y u y + z u z ) × [(ω
L
x
=
∫ [ y (ω
L
x
=
ω
x
L
x
∫
( y
x
2
= I
y
z − ω
+
z
xx
ω
2
x
r
u
x
z
r
r
r
[ r × (ω × r ) ]d m =
∫
y − ω
= ω
r
r
+
y
u
+
z
u
x
y
z
r
r
+ ω y u y + ω zu
y
r
y ) u x + (ω
z
x − ω
x ) − z (ω
z
x − ω
z
) d m
x
−ω
+ I
y
xy
∫
ω
x
r
z ) u y + (ω
x y d m
y
x
−
+ I
e analoghe espressioni per L y , Lz .
x
y − ω
y
r
x ) u z ]d m
z ) ]d m
− ω
z
∫
x z d m
xzω z
74
“Gradi di libertà” di un sistema
numero n di parametri indipendenti necessari a descriverne
il moto ( ⇒ definirne completamente la posizione)
Esempi:
- punto materiale in moto nello spazio tridimensionale:
P = ( x(t), y(t), z(t) )
n=3
- sistema di N punti materiali indipendenti:
Pi = ( x i (t) , y i (t), z i (t) )
n=3N
- 2 punti materiali vincolati a mantenere una distanza fissa
P2 = ( x 2 (t) , y 2 (t), z 2 (t) )
n = 5 ( = 3∗2 - 1)
d=costante
P1= ( x 1 (t) , y 1 (t), z 1 (t) )
- corpo rigido :
n=6
equazione di vincolo:
( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 + ( z1 − z 2 ) 2 = d
75
2
Gradi di libertà di un corpo rigido
I gradi di libertà di un corpo rigido sono 6 :
r
u1
z
CMr
u
x
sistema di assi solidale rispetto
al corpo rigido
r
u3
y
2
posizione del centro di massa :
3 gradi di libertà
orientazione degli assi :
r
u1 = (u1x , u1 y , u1z )
r
u2 = (u2 x ,u2 y ,u2z )
r
u3 = (u3x ,u3y ,u3z )
condizioni:
r
u1
r
u 2
r
u 3
= 1
= 1
= 1
r
r
u1 ⋅ u 2 = 0
r
r
u1 ⋅ u 3 = 0
r
r
u 2 ⋅ u 3 = 0
⇒ 9
parametri
⇒ 6
equazioni
9 - 6 = 3 parametri indipendenti
6 gradi di libertà
76
Un esempio semplice di
L non // ω
• Consideriamo un sistema formato da una
sbarra di lunghezza 2z, a ciascuna
ω ρ 1
estremita` della quale e` posta una
sbarretta di lunghezza ρ e una massa m
m
z Θr
• Supponiamo che la sbarra e le due
sbarrette abbiano massa trascurabile
o
• Supponiamo che il sistema ruoti attorno
alla direzione (fissa) della sbarra con
2m
azimut φ e velocita` ω
φ
• Calcoliamo il momento angolare del
sistema rispetto al punto mediano O della
sbarra
77
Un esempio semplice di
L non // ω
ω
ρ
v1
z Θ r1
o
• I contributi delle due masse sono uguali
r2
r
r r r r
r r
r
r
r
L = l1 + l2 = r1 × m1v1 + r2 × m2 v2 = 2r × mv = 2l
• Poiche’ il moto delle masse e` circolare, la v2
componente longitudinale di L vale
ω l1
2
L// = 2l// = 2rmv sin Θ = 2mrωρ sin Θ = 2mρ ω
r
)
) r
2
2 r
m
L// = 2mρ ωω = 2mρ ω = I (ω )ω
Θ
• E quella trasversale
o
L⊥ = 2l⊥ = 2rmv cos Θ = 2mrωρ cos Θ = 2mωzρ
r
l2
r
)
L⊥ = 2mωzρ (− ρ (t )) = −2mωzρ (t )
φ
78
ω
Un esempio semplice di
L non // ω
o
l2
• La componente longitudinale e`
proporzionale a ω secondo il
momento d’inerzia, che e` costante
ω
• La componente trasversale ruota
r
attorno all’asse (precessione) con
L
modulo proporzionale a ω
Θ
r
L⊥
Θ
Θ
r
L//
o
79
l1
Un esempio semplice di
L non // ω
• Come si e` detto il moto trasversale (2-D) e`
r
retto dall’eq.
r
dL⊥
τ⊥ =
dt
r
• con τ ⊥ perpendicolare all’asse e che tende a
farlo ruotare, cioe` a far cambiare ω in
direzione
r
• Cerchiamo ora di capire l’origine di τ ⊥
80
Un esempio semplice di
L non // ω
• Affinche’ le masse descrivano un moto
ω ρ 1
circolare, e` necessario che sia presente
m
f
una forza centripeta per ciascuna di esse
• Tali forze devono essere generate dall’asse
z
r
• Se vogliamo che l’asse rimanga fisso,
o
occorre che i supporti che lo sostengono
resistano alle forze dovute all’asse stesso
2
• I supporti reagiscono con forze uguali e
contrarie a quelle dell’asse (ed uguali a
quelle centripete)
81
Un esempio semplice di
L non // ω
• Il momento delle forze centripete e`
r
r r r r
τ ⊥ = r1 × f1 + r2 × f 2
f
• I due contributi sono uguali, hanno
)
direzione − ϕ e modulo fz
• quindi
τ ⊥ = −2 fzϕ = −2mω 2 ρzϕ = −(2mρz )ω 2ϕ
r
)
)
)
τ1
ω ρ
z
1
r
o
2
τ2
82
Un esempio semplice di
L non // ω
• Ricordando l’espressione del momento
angolare trasversale
r
)
L⊥ = −2mωzρρ
)
dρ )
= ϕω
dt
• e la derivata del versore ρ:
• si verifica facilmente il teorema del momento
angolare r
)
r
dL⊥
dρ
2)
= −2mωzρ
= −(2mρz )ω ϕ = τ ⊥
dt
dt
83
Un esempio semplice di
L non // ω
• Per riassumere: l’asse agisce sulle masse generando il
momento di forza trasversale e le due masse agiscono
sull’asse con forze che tendono a farlo ruotare
• Il momento generato dai cuscinetti che supportano
l’asse e` uguale e contrario a quello dell’asse (per la 3a
legge della dinamica) e quindi uguale al momento
trasversale
• Questi momenti devono essere resi piu` piccoli
possibile, per ridurre l’usura dei cuscinetti
• Si cerca quindi di rendere L parallelo a ω, facendo
ruotare il corpo attorno ad un asse di simmetria
84
TEOREMA DI POINSOT
85
Momento anolare e matrice d’inerzia
Dato un asse di rotazione, è possibile scegliere un’asse
coordinato (ad es. l’asse z)
r
lungo la direzione di rotazione; in questo caso: ω = ( 0 , 0 , ω )
l’espressione per il momento angolare:
L
L
L
x
y
z
I
=
I
I
si semplifica :
ω
yx ω
zx ω
xx
x
x
x
ω
+ I yyω
+ I zy ω
+ I
L
x
=
I
x z
ω
L
y
= I
yz
ω
L
z
= I
zzω
xy
y
y
y
≡ I zω
ω
+ I yzω
+ I zzω
+ I
xz
z
z
z
componente del
momento angolare
lungo l’asse di rotazione
Tuttavia, essendo in generale I x z ≠ 0 , I y z ≠ 0 ,
il momento angolare ha componenti lungo gli assi x,y
perpendicolari all’asse di rotazione, ossia L // ω .
Se
I
= 0 , l’asse z e’ un asse principale di inerzia.
Un sistema di coordinate nel quale la matrice di inerzia è diagonale
costituisce un sistema di assi principali di inerzia86
xz
= I
yz
Teorema di Poinsot
Il momento d’inerzia I z’ rispetto ad un generico asse z’ di rotazione passante per un
r
punto O e individuato dal versoreu ≡ ( u x , u y , u z )
è esprimibile in funzione del tensore di inerzia Ijk :
I z ' = I x x u x2 + I
= r s in ϕ
R
I
z '
∫
≡
2
R
2
2
u
+
I
u
yy y
zz z − 2 ( I xy u x u y + I xz u x u z + I
r
r
(r × u )
∫
=
d m
r
r
r × u
≡
2
z
R
r
r
u ≡ (u
O
∫
y
2
u
=
2
z
[( yu z − zu
+ z
∫
2
[u
2
x
− 2 yzu
2
( y
y
) 2 + ( xu z − zu x ) 2 + ( xu
− 2 yzu zu
2
y
u
y
u
z
+ z
2
x 2 u z2 + z 2 u
y
) + u
− 2 xzu
x
u
2
y
( x
2
Ixx
=
u
2
x
− 2 u
∫
y
( y
u
z
∫
2
+ z
2
,u
,u
y
+ z
2
x
) + u
u
x
2
z
]d m
y
2
x
( x
u
2
2
y
+ y
+
y
2
2
u
x
u
2
y
z
∫
∫
z
)
( x
2
+ z
2
=
x
u
y
− 2 xyu xu
Izz
)d m + u
x zd m − 2 u
2
x
)
Iyy
)d m + u
y zd m − 2 u
x
− y u x ) 2 ]d m =
y
− 2 xzu z u
2
x
− 2 xyu
z
ϕ
y
x
I z' =
uz )
z’
dm
d m
yz u y
∫
2
z
∫
( x
2
+
y
2
87
x y d m
)d m
y
“Ellissoide di inerzia”
L’equazione che esprime il momento d’inerzia:
I
z'
= I
xx
u
2
x
+ I
yy
+ I
2
y
u
u
zz
2
z
− 2(I
u
xy
x
u
y
può essere riscritta, dividendo ambo i membri Iper
z'
I
(1)
con :
xx
X
2
+ I
X
yy
2
Y
+ I
zz
u
,Y
1
≡
I
x
Z
− 2 I
2
1
≡
u
I
z '
xy
+ I
, Z
u
x
u
z
+ I
yz
u
y
u
z
)
:
XY − 2 I
y
xz
≡
z '
xz
1
I
XZ − 2 I
u
yz
YZ = 1
z
z '
la (1) è l’equazione di un ellissoide, detto “ellissoide di inerzia” del corpo rispetto
al generico punto O del corpo: essa individua la superficie i cui punti
P
= ( X ,Y , Z ) ≡
sono a distanza
O P
1
I
(u
x
,u
z '
=
1
I
y
,u
z
)
coseni direttori
dell’asse z’
dal punto O
z '
Il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse z’ passante per un punto O
del corpo è individuato dall’intersezione P dell’asse z’ con l’ellissoide
Z
d’inerzia del corpo mediante la relazione:
z’
Ellissoide
1
P
I z' =
d’inerzia
2
O P
O
Y
1
(“Teorema di Poinsot”) X
O P =
I
z'
Ellissoide d’inerzia e assi principali
Dato un generico punto O del corpo, la forma ed orientazione nello spazio
dell’ellissoide d’inerzia rispetto ad O e’ caratteristica del corpo e non dipende dagli
I jk
assi coordinati ; solo il valore degli elementi della matrice d’inerzia
dipende da questa scelta
Z
Z’
z’
z’
Ellissoide
P
P
d’inerzia
Y
O
O
1 X’
OP =
X
I
z'
I
xx
2
X
− 2 I
xy
I
+ I
yy Y
2
X Y − 2 I
xx
≠ I
+ I
xz
equazione
dell’ellissoide:
2
zz
Z
X Z − 2 I
I
yz
Y Z = 1
, I yy ≠ I y 'y '
x 'x '
x 'x '
− 2 I
X '2 + I
x 'y '
y 'y
2
'Y ' + I
X ' Y '− 2 I
x 'z '
2
z 'z ' Z '
X ' Z '− 2 I
Y’
y ' z 'Y
'Z '= 1
, … ecc .
E’ sempre possibile “diagonalizzare” la matrice d’inerzia, ossia trovare un sistema
di assi coordinati per il quale sia:
0
0
I xx
equazione dell’ellissoide:
Z
I ≡ 0
I yy
0
2
2
2
0
0
I
zz
I xx X
+ I
yy Y
+ I zz Z
X,Y,Z “assi principali d’inerzia”: per rotazioni intorno
r
ad essi:
r
L
=
I
ω
U.Gasparini, Fisica I
jj
(j=x,y,z)
X
= 1
89
Y
Esempi di ellissoide d’inerzia:
i) ellissoide d’inerzia di una sfera di raggio R:
Iz =
2
MR
5
1
I
2
1
=
2
MR2
5
R
l’ ellissoide d’inerzia è una sfera
corpo sferico omogeneo
ii) ellissoide d’inerzia 2di un cilindro di lunghezza
l
I
z
z
=
M l
12
l
I
y
Mr
=
2
e raggio r :
2
1 /
M l
2
/ 12
r
x
I
x
=
M l
12
2
corpo cilindrico
y
1 /
M r
2
ellissoide d’inerzia
90
/ 2
GIROSCOPIO
91
Giroscopio
“Giroscopio” : corpo rigido rotante con un punto mantenuto fisso da un sistema di
vincoli; l’asse di rotazione, passante per il punto fisso, in generale varia la sua
orientazione ed il moto risultante può risultare molto complicato.
Se il punto fisso è il centro di massa e non esistono forze esterne aventi momento
risultante diverso da zero rispetto ad esso:
( ⇒ le reazioni vincolari che sostengono
il giroscopio hanno momento nullo rispetto al CM )
il momento angolare rimane costante:
L G=costante
Se l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia: ω =costante
⇒ la direzione di rotazione rimane costante in un sistema inerziale :
r
M
( E )
G
= 0
“bussola giroscopica”
massa rotante
ω
“giunto cardanico”
z’
y’
x’
z
asse di rotazione
(fisso in un sistema
92
inerziale)
Precessione e nutazione
Se al giroscopio viene applicato un momento esterno si ha un “moto di precessione”
del momento angolare e dell’asse di rotazione del giroscopio :
ω
r
M
r
r
dLG
= G P × F =
dt
→
G
G
z
P
F
LG
moto di
precessione
dLG
r r
Se M G(E) = 0 ma l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia ( L / / ω )
l’asse di rotazione ruota intorno alla direzione costante di L : moto di “nutazione”
Esempio: moto della Terra:
l’asse di rotazione compie un moto
di nutazione con periodo di 19 anni
(l’angolo tra L ed ω è comunque
molto piccolo)
LG
N
ω
93
S
Esempio: moto di precessione di una trottola
Sotto l’ azione della forza peso:
moto di precessione
dϕ
ϕ
dLO
ω
G
ϑ
LO
mg
O
O
d L
d L O
d t
=
L
O
d ϕ
d t
s in ϑ
O
=
≡
L
L
O
O
s in ϑ d ϕ
s in ϑ Ω
=
⇒
→
M
O
= m g O G
s in ϑ
“velocità angolare di precessione”
→
→
mg OG
Ω =
LO
mg OG
Ω=
Iω
la velocità angolare di precessione Ω è inversamente
proporzionale alla velocità angolare di rotazione ω della trottola
94
