Gravitazione

Nome file h:\scuola\corso fisica\3\gravitazione\1 gravitazione.doc
Elaborato il 28/09/2006 alle ore 23.40.41, salvato il 28/09/06 9.21
Creato il 13/10/2005 9.50.00
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stampato il 28/09/2006 23.40.00
Andrea Zucchini
Web: http://digilander.iol.it/profzucchini
Gravitazione
Legge di gravitazione universale
r
Date due masse puntiformi m1 e m2 poste a distanza r12 (vettore posizione orientato da m1 a m2 ) si ha che la
forza sentita dalla massa m1 in interazione con m2 sarà
r
r
mm r
mm r
F12 = G r1 22 r12 = G r1 32 r12
r12 r12
r12
r
mm
F12 = G r1 22
r12
G = 6.67 × 10
−11
m2
m3
−11
N 2 = 6.67 ×10
kg
kg ⋅ s 2
Principio di equivalenza debole (o di Galileo Galilei)
Massa inerziale e massa gravitazionale sono proporzionali e quindi scegliendo opportunamente la costante G si
potrà avere corrispondenza delle masse nelle opportune unità di misura
m1( g )m2( g )
m1 a = G r 2
r12
(i )
G
a= r 2
r12
⎡ m1( g ) ⎤ ( g )
⎢ ( i ) ⎥ m2
⎣ m1 ⎦
m1( g ) ∝ m1(i )
m1( g ) = k ⋅ m1(i )
E scegliendo k = 1
a=G
m2( g )
r2
Calcolando con i dati della Terra m2 = M T = 5.98 × 10 24 Kg e r = RT = 6.37 × 10 6 m si ha a ≈ 9.8
m
s2
Quindi l’accelerazione di gravità non è altro che l’espressione della legge di gravitazione universale e così trova
anche spiegazione il fatto che tutti i corpi sono soggetti alla stessa accelerazione di gravità in contrasto con il
preconcetto errato che i corpi di massa maggiore dovrebbero cadere con accelerazioni maggiori e quindi più
velocemente.
Leggi di Keplero
1. Legge delle orbite: tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il sole occupa uno dei due fuochi
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2. Legge delle aree: il segmento che collega un pianeta al sole “spazza” aree uguali in tempi uguali
3. Legge dei periodi: il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta è proporzionale al cubo del
semiasse maggiore della sua orbita
r
r
Mm
Considero F = G 2 e Fcentripeta = mω 2 r
r
Uguagliando avrò
Mm
2π
Mm
⎛ 2π ⎞
= mω 2 r ma ricordando che ω =
avrò G 2 = m⎜
⎟ r da cui infine
2
r
r
T
⎝ T ⎠
2
G
T2 =
4π 2 3
r 3 GM
r o la equivalente 2 =
T
4π 2
GM
Notare che la costante di proporzionalità dipende dalla massa del centro attrattivo
Ricavo della legge di gravitazione universale
dalle leggi di Keplero
Originariamente Keplero formulò la sua seconda legge parlando di moto uniforme su traiettoria circolare;
questo significa che si può pensare che un pianeta si muova attorno al centro attrattivo (che nel nostro caso è il
Sole) sotto l’azione della forza centripeta
4π 2
F = mω r = m 2 r
T
2
Dalla terza legge di Keplero avrò T 2 = Kr 3 con K uguale per tutti i pianeti del sistema
Avrò quindi
F =m
4π 2
4π 2
=
r
m
Kr 3
Kr 2
che riscritta in modo più ordinato sarà
4π 2 m
F=
K r2
4π 2
si avrà
e ponendo C =
K
F =C
m
.
r2
Per il principio di azione e reazione anche il Sole (o centro attrattivo) sarà attratto dal pianeta con una forza di
uguale intensità, proporzionale alla massa del Sole, quindi C = GM ovvero
F =G
Mm
r2
Energia potenziale
Per il calcolo dell’energia potenziale di un sistema costituito da due masse dobbiamo calcolare l’integrale della
forza gravitazionale nel portare, ad esempio, la masse m 2 dall’infinito a distanza r dalla massa m1
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r r
mm
dr
mm
U (r ) = ∫ F ⋅ dr = ∫ G 1 2 2 dr = Gm1m2 ∫ 2 = −G 1 2 + c
r
r
r
Si dimostra come la relazione per l’energia potenziale gravitazionale usata nei problemi energetici rappresenti
un’approssimazione della relazione utilizzando l’espressione della energia potenziale appena definita
U (r + h ) − U (r ) = −G
Mm
Mm
+G
r+h
r
1 ⎞
⎛1
U (r + h ) − U (r ) = GMm⎜ −
⎟
⎝r r+h⎠
⎡r + h − r ⎤
h
U (r + h ) − U (r ) = GMm ⎢
= GMm
⎥
r (r + h )
⎣ r (r + h ) ⎦
U (r + h ) − U (r ) = GMm
Se r >> h allora
h
→ 0 e quindi
r
⎛
⎛ GM
= m⎜ 2
⎛ h⎞
⎝ r
r 2 ⎜1 + ⎟
⎝ r⎠
h
⎞ 1
h
⎟
⎠ ⎛1 + h ⎞
⎜
⎟
⎝ r⎠
h⎞
lim ⎜⎝1 + r ⎟⎠ = 1
h
→0
r
⎛ GM ⎞
U (r + h ) − U (r ) = m⎜ 2 ⎟h = mgh
r 3⎠
⎝12
g
Problema dei due corpi
r r r
Considero due corpi di massa m1 e m2 interagenti con forza gravitazionale; stabilito r = r1 − r2 , il versore sarà
r
r
rˆ = r e si avrà
r
r
r
d 2 r1
mm
m1 2 = F12 = −G 1 2 2 rˆ
r
dt
r
r
d 2 r2
m1 m 2
m2
F
=
rˆ
21 = G
2
r2
dt
da cui sommando membro a mebro avrò
r
r
mm
mm
F12 + F21 = −G 1 2 2 rˆ + G 1 2 2 rˆ = 0
r
r
r
r
Dalla relazione F12 + F21 = 0 si ricava facilmente che la quantità di moto del sistema è conservata
r
r
r
r
dr1
dr2
d 2 r1
d 2 r2
r
r
m1 2 + m 2
= 0 si avrà m1
+ m2
= m1v1 + m 2 v 2 = costante (ricordare la conservazione della
2
dt
dt
dt
dt
quantità di moto dal terzo principio)
Si avrà anche, moltiplicando vettorialmente l’ultima relazione la conservazione del momento della quantità di
moto.
Altra conseguenza della conservazione della quantità i moto è che il sistema nel complesso si muove a velocità
costante.
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Consideriamo ora le relazioni sulle accelerazioni
r
d 2 r1
G m1 m 2
=−
rˆ
2
m1 r 2
dt
r
d 2 r2
G m1 m 2
=
rˆ
2
m2 r 2
dt
Si avrà, sottraendo,
r
r
r
d 2 r1 d 2 r2 d 2 r
mm
−
=
= −G 1 2 2
2
2
2
dt
dt
dt
r
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟ e definendo
rˆ⎜⎜
+
m
m
2 ⎠
⎝ 1
massa ridotta la quantità
1
μ
=
r
mm
d 2r
1
1
avrò μ 2 = −G 1 2 2 rˆ
+
m1 m 2
r
dt
Velocità di fuga
Considero un corpo di massa m e un altro corpo di massa
M, con M >> m .
Posso considerare che pur orbitando entrambi i corpi attorno
al centro di massa del sistema, essendo M >> m il corpo
massiccio rimane praticamente fermo mentre il corpo m si
muove attorno a M su orbita ellittica.
L’energia totale meccanica del sistema sarà allora
Etot =
1 2
Mm
mv − G
.
2
r
Quando Etot < 0 si ha un’orbita ellittica, ovvero il corpo m
è legato gravitazionalente al corpo M.
1 2
Mm
mv < G
ad ogni r
2
r
l’energia cinetica non sarà superiore alla barriera di potenziale da
superare per slegarsi; a questo proposito si pensi al corrispettivo della
buca di potenziale.
Affinché il corpo m si liberi dall’attrazione gravitazionale di M dovrà
aversi Etot ≥ 0 ed in particolare la condizione minima sarà Etot = 0
ovvero
1 2
Mm
mv = G
2
r
Da questa relazione si ottiene
1 2
M
v =G
da cui v =
2
r
2GM
, detta velocità di fuga o seconda velocità
r
cosmica.
Per la Terra si ha v =
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2 × 6.67 × 10 −11 × 5.98 × 10 24
Km
= 11.2
6
s
6.37 × 10
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E’ evidente che a parità di massa, la diminuzione del
raggio del corpo celeste provoca un aumento della
velocità di fuga; è lecito allora porsi la domanda: la
velocità di fuga può crescere all’infinito ?
Sappiamo che la velocità limite è quella della luce e
quindi al massimo per ogni corpo avrò un raggio
particolare RS , detto Raggio di Schwarzschild, a cui
corrisponde una velocità di fuga pari alla velocità della
luce.
Si ha allora c =
2GM
2GM
2GM
da cui c 2 =
e quindi RS = 2
RS
RS
c
Per il Sole per esempio il Raggio di Schwarzshild è RSSole = 3 Km
mentre per la Terra è RSTerra = 9 × 10 −3 m , infine per una galassia è
dell’ordine di RSGalassia = 1014 m ;
Da notare infine he il Raggio di Schwarzschild per una stella di
neutroni e per una nana bianca è uguale a quello del Sole
RSSole = RSNana bianca = RSStella neutroni = 3 Km essendo oggetti derivanti
tutti da stelle “normali” come il nostro Sole
I fenomeni di contrazione nel cosmo sono abbastanza comuni, in
particolare una stella verso il termine della sua vita, venendo a mancare il combustibile al suo interno si contrae
riducendo la sua massa in un volume sempre più piccolo e sotto particolari condizioni si trasforma in un buco
nero.
I buchi neri sono oggetti celesti particolarmente elusivi e difficili da individuare, ma particolari ricerche sulle
emissioni a raggi X, sugli effetti di lenti gravitazionali e sulla presenza di jets consentono la probabile
individuazione.
Per quanto i buchi neri, o gli effetti da essi prodotti, siano di recente osservazione, la loro ipotesi è del 1783, fu
John Michell, docente a Cambridge, che in una sua pubblicazione (“Philosophical transactions of the Royal
Society of London”) ipotizzava che una stella di grande massa
avrebbe avuto una velocità di fuga uguale o maggiore a quella della
luce.
Anche Pierre-Simon de Laplace propose l’idea del buco nero.
Il termine buco nero è di recentissima formulazione: 1969, John
Wheeler.
Da notare che all’epoca della formulazione della teoria della
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gravitazione universale il problema del buco nero non si poneva neppure, essendo sconosciuto il fatto che la
velocità della luce fosse limitata; fu
solo
con Roemer, che calcolò con buona
approssimazione, che divenne chiaro
che
poteva esistere un limite alla velocità di
fuga
da un corpo celeste in condizioni di
massa e densità particolari.
6/6