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Pagina 97
121
LA GEOMETRIA 2
I poligoni
equivalenti
■ Poligoni equivalenti
Due poligoni A e B sono equivalenti se hanno la stessa estensione.
Si scrive: A B.
왘 equivalenti
equivalent
équivalents
equivalentes
A
B
2
1
3
5
3
5
1
4
4
2
왘 area
area
aire
área
■ Misura di una superficie
Si definisce area di una superficie piana quel numero che indica quante volte
l’unità di misura, o un suo sottomultiplo, è contenuta nella superficie
stessa.
Q1
왘 unità
di misura
B
D
area di B = area di D = 20
.
unit of measurement
unité de mesure
unidad de medida
L’unità di misura fondamentale della superficie è il metro quadrato (m2),
cioè un quadrato con il lato di 1 m.
왘 sottomultiplo
submultiple
sous-multiple
submúltiplo
왘 metro quadrato
square metre
mètre carré
metro cuadrado
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Unità
05_McM_PS_La geometria 2_def
05_McM_PS_La geometria 2_def
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LA GEOMETRIA 2
■ Area di un poligono
A) Area di un rettangolo
D
C
왘 rettangolo
rectangle
rectangle
rectángulo
h
b
A
B
Ꮽ = b × h;
da cui si ricava:
b=
Ꮽ
;
h
h=
Ꮽ
.
b
Per esempio, per calcolare l’area di un rettangolo avente la base di 24 cm e
l’altezza di 15 cm, procedi così:
Ꮽ = b × h = 24 × 15 = 360 cm2 .
B) Area di un quadrato
D
C
艎
A
艎
B
Ꮽ = 艎 × 艎 = 艎2;
da cui si ricava:
= Ꮽ.
Esempio: calcola l’area di un quadrato avente il lato di 2,5 cm.
Ottieni:
Ꮽ = 2 = 2, 52 = 6, 25 cm2 .
98
왘 quadrato
square
carré
cuadrado
05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 99
qu
I pol igoni e ivalenti
C) Area di un parallelogrammo
D
C
1
왘 parallelogrammo
parallelogram
parallélogramme
paralelogramo
h
A
H
b
B
Ꮽ = b × h;
da cui si ricava:
b=
Ꮽ
;
h
h=
Ꮽ
.
b
Esempio: calcola la misura della base di un parallelogrammo avente l’area
di 432 cm2 e l’altezza di 16 cm.
Ottieni:
b=
Ꮽ 432
=
= 27 cm.
16
h
D) Area di un triangolo
왘 triangolo
triangle
triangle
triángulo
C
h
A
b
B
H
Ꮽ = b × h;
da cui si ricava:
b=
Ꮽ×2
;
h
h=
Ꮽ×2
.
b
Esempio: calcola l’area di un triangolo con la base di 48 dm e l’altezza di
26 dm.
Ottieni:
Ꮽ=
b × h 48 × 26
=
= 624 dm2 .
2
2
99
05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 100
LA GEOMETRIA 2
E) Area di un rombo
D
왘 rombo
rhombus
losange
rombo
C
d1
d2
h
A
b
H
B
Ꮽ = d1 × d2 ;
2
Ꮽ×2
Ꮽ×2
d1 =
; d2 =
.
d2
d1
da cui si ricava:
Per esempio, per calcolare l’area di un rombo le cui diagonali misurano,
rispettivamente, 10 cm e 24 cm, procedi così:
d1 × d2 10 × 24
=
= 120 cm2 .
2
2
Il rombo è un particolare parallelogrammo, quindi la sua area si ottiene
anche con la formula:
Ꮽ=
Ꮽ = b × h;
da cui si ricava:
b=
Ꮽ
;
h
h=
Ꮽ
.
b
G) Area di un trapezio
왘 trapezio
trapezoid
trapèze
trapecio
b2
h
H
b1
Ꮽ = (b1 + b2) × h ;
2
da cui si ricava:
h=
Ꮽ×2
;
b1 + b2
b1 + b2 =
Ꮽ×2
.
h
Esempio: calcola l’area di un trapezio avente le basi di 47 cm e 29 cm e
l’altezza di 12 cm.
Ottieni:
Ꮽ=
100
( b + b ) × h = (47 + 29) × 12 = 76 × 12 = 456 cm .
1
2
2
2
2
2
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LA GEOMETRIA 2
Il teorema
di Pitagora
2
■ Il teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora: in qualsiasi triangolo rettangolo la somma 왘 teorema
di Pitagora
delle aree dei quadrati che hanno come lati i due cateti è uguale all’area del
Pythagorean
quadrato costruito sull’ipotenusa.
C
theorem
théorème
de Pythagore
teorema
de Pitágoras
B
왘 triangolo
rettangolo
A
right triangle
triangle rectangle
triángulo rectángulo
A + B = C.
C
i
c
C2 + c2 = i 2.
da cui si ricava:
i = C2 + c2 ; C = i 2 − c2 ; c = i 2 − C2 .
Esempio: in un triangolo rettangolo si ha i = 25 cm, C = 20 cm.
Calcola la misura dell’altro cateto. Ottieni:
c = i 2 − C 2 = 252 − 20 2 = 625 − 400 = 225 = 15 cm.
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Unità
05_McM_PS_La geometria 2_def
05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 102
LA GEOMETRIA 2
■ Applicazioni del teorema di Pitagora
A) Rettangolo
C
D
d
h
A
왘 rettangolo
rectangle
rectangle
rectángulo
B
b
ABD e BCD sono triangoli rettangoli congruenti.
d = b 2 + h2 ; b = d 2 − h2 ; h = d 2 − b 2 .
Esempio: calcola la misura della diagonale di un rettangolo avente la base
di 27 m e l’altezza di 36 m.
Ottieni:
d = b2 + h2 = 272 + 36 2 = 729 + 1 296 = 2 025 = 45 m.
B) Quadrato
D
C
d
A
B
ABD e BCD sono triangoli rettangoli congruenti.
d = 2;
da cui si ricava:
d
=
.
2
Esempio: calcola la misura della diagonale di un quadrato avente il perimetro di 60 dm.
Procedi così:
= p : 4 = 60 : 4 = 15 dm;
d = 2 = 15 2 = 15 × 1, 41 = 2115
, dm.
(Il valore di 2 è stato approssimato per difetto a meno di un centesimo.)
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왘 quadrato
square
carré
cuadrado
05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 103
d i Pit ag o ra
a
m
e
r
o
e
t
Il
C) Triangolo isoscele
2
왘 triangolo
isoscele
C
isosceles triangle
triangle isocèle
triángulo isósceles
h
A
b
2
H
B
AHC e BHC sono triangoli rettangoli congruenti.
⎛ b⎞
⎛ b⎞
= h + ⎜ ⎟ ; h = 2 − ⎜ ⎟ ;
⎝2⎠
⎝2⎠
2
2
2
b
= 2 − h2 .
2
Per esempio, per calcolare la misura della base di un triangolo isoscele
avente il lato di 65 cm e l’altezza di 63 cm, procedi così:
b
= 2 − h2 = 652 − 632 = 4 225 − 3 969 = 256 = 16 cm;
2
b
b = × 2 = 16 × 2 = 32 cm.
2
왘 triangolo
D) Triangolo equilatero
equilatero
equilateral triangle
triangle équilatéral
triángulo equilátero
C
h
A
B
H
AHC e BHC sono triangoli rettangoli congruenti.
h=
× 3;
2
da cui si ricava: =
2h
.
3
Esempio: calcola la misura dell’altezza di un triangolo equilatero avente il
lato di 18 cm.
Ottieni:
h=
18
× 3=
× 3 = 9 × 1, 73 = 15, 57 cm.
2
2
(Il valore di
3 è stato approssimato per difetto a meno di un centesimo.)
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05_McM_PS_La geometria 2_def
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LA GEOMETRIA 2
E) Rombo
왘 rombo
rhombus
losange
rombo
C
d1
2
D
d2
O
B
2
A
AOB, BOC, COD e DOA sono triangoli rettangoli congruenti.
⎛d ⎞
⎛d ⎞
⎛d ⎞ ⎛d ⎞
d1
d2
= 2 – ⎜ 1 ⎟ .
= 2 – ⎜ 2 ⎟ ;
= ⎜ 1⎟ +⎜ 2 ⎟ ;
2
2
⎝2⎠
⎝2⎠
⎝2⎠ ⎝ 2⎠
2
2
2
2
Esempio: calcola la misura del lato di un rombo le cui diagonali misurano,
rispettivamente, 16 cm e 30 cm.
Ottieni:
2
2
⎛d ⎞ ⎛d ⎞
⎛ 16 ⎞ ⎛ 30 ⎞
1
2
= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =
⎝2⎠ ⎝ 2⎠
⎝2⎠ ⎝ 2⎠
2
2
= 8 2 + 152 = 64 + 225 = 289 = 17 cm.
F) Trapezio rettangolo
D
왘 trapezio
b2
rettangolo
C
right trapezoid
trapèze rectangle
trapecio rectángulo
h
A
b1
H
b1 – b2
B
BHC è un triangolo rettangolo.
= h2 + ( b1 − b2 ) ; h = 2 − ( b1 − b2 ) ; b1 − b2 = 2 – h2 .
2
2
Esempio: calcola la misura della base maggiore di un trapezio rettangolo che
ha la base minore di 19 cm, l’altezza di 35 cm e il lato obliquo di 37 cm.
Ottieni:
b1 − b2 = 2 − h2 = 372 − 352 = 1 369 − 1 225 = 144 = 12 cm;
b1 = b2 + ( b1 − b2 ) = 19 + 12 = 31 cm.
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05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 105
d i Pit ag o ra
a
m
e
r
o
e
t
Il
G) Trapezio isoscele
왘 trapezio
D
b2
isoscele
C
isosceles trapezoid
trapèze isocèle
trapecio isósceles
h
A
2
K
b1
H b1– b2 B
2
BHC e AKD sono triangoli rettangoli congruenti.
⎛b −b ⎞
⎛b −b ⎞
= h + ⎜ 1 2 ⎟ ; h = 2 – ⎜ 1 2 ⎟ ;
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
2
2
b1 − b2
= 2 – h2 .
2
Esempio: calcola la misura dell’altezza di un trapezio isoscele che ha la
base maggiore di 60 cm, la base minore di 20 cm e il lato obliquo di 29 cm.
Ottieni:
2
2
⎛b −b ⎞
⎛ 60 − 20 ⎞
= 841− 400 = 441
h = − ⎜ 1 2 ⎟ = 292 − ⎜
1 = 21 cm.
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎠
2
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Unità
05_McM_PS_La geometria 2_def
3
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Pagina 106
LA GEOMETRIA 2
Le isometrie
■ Trasformazioni geometriche
In una trasformazione geometrica piana, a ogni punto A del piano cor- 왘 trasformazione
geometrica
risponde uno e un solo punto A’ del piano stesso e viceversa.
piana
Sono trasformazioni geometriche piane:
a) l’isometria, in cui la figura, sottoposta a un movimento rigido, mantiene
la stessa forma e la stessa estensione, cioè rimangono invariati sia gli angoli, sia le distanze;
D
geometrical
distance-preserving
isomorphism
transformation
géométrique plane
transformación
geométrica llana
D’
A
C
A’
C’
B
B’
b) la similitudine, in cui la figura, ingrandita o ridotta, mantiene la stessa
forma ma non la stessa estensione.
D
D’
A
C
B
왘 similitudine
similarity
similitude
similitud
106
A’
C’
B’
왘 isometria
isometry
isométrie
isometría
05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 107
L e i s o m et r i e
3
■ Le isometrie
A) Traslazione
AB = A’B’; BC = B’C’;
^
^ ^
A = A’ ;
B = B’;
AA’ || BB’ || CC’.
^
CA = C’A’.
^
C = C’.
^
왘 traslazione
translation
translation
traslación
La traslazione è un’isometria individuata da un segmento orientato
➝
PQ . Si indica con il simbolo tPQ.
왘 segmento
B) Simmetria assiale
orientato
directed segment
segment orienté
segmento orientado
AM = MA’;
AB = A’B’;
AA’ r.
BC = B’C’;
CA = C’A’.
La simmetria assiale è un’isometria individuata da un asse r, detto
asse di simmetria. Si indica con il simbolo sr.
왘 simmetria assiale
axial symmetry
symétrie orthogonale
simetría clíndrica o axial
왘 asse di simmetria
symmetry axis
axe de symétrie
eje de simetría
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05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 108
LA GEOMETRIA 2
왘 simmetria
C) Simmetria centrale
centrale
central symmetry
symétrie centrale
simetría central
centro
di simmetria
왘 centro di
simmetria
AO = A’O;
AB = A’B’;
^
^
A = A’ ;
BO = B’O;
BC = B’C’;
^ ^
B = B’;
CO = C’O;
CA = C’A’;
^ ^
C = C’.
center of symmetry
centre de symétrie
centro de simetría
La simmetria centrale è un’isometria individuata da un punto O, detto
centro di simmetria.
Si indica con il simbolo sO.
왘 rotazione
rotation
rotation
rotación
D) Rotazione
centro
di rotazione
angolo
orientato
왘 centro di
rotazione
center of rotation
centre de rotation
centro de rotación
rotazione: ro
AB = A’B’;
^
A = A’ ;
^
BC = B’C’;
^
B = B’;
^
CA = C’A’;
^
C = C’.
^
La rotazione è un’isometria individuata da un punto O, detto centro
di rotazione, e da un angolo orientato α .
왘 angolo
Si indica con il simbolo rO.
orientato
oriented angle
angle orienté
ángulo orientado
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Pagina 109
LA GEOMETRIA 2
Omotetia
e similitudine
4
■ Similitudine
Due poligoni si dicono simili quando hanno gli angoli corrispondenti con- 왘 (poligoni)
simili
gruenti e i lati corrispondenti in proporzione.
similar
semblables
semejantes
^
^
^
^
^
^
^
^
A = A’ ; B = B’; C = C’; D = D’.
A’B’ : AB = B’C’ : BC = C’D’ : CD = D’A’ : DA.
Le figure corrispondenti in una similitudine hanno i lati corrispondenti in proporzione secondo un rapporto costante k detto rapporto di similitudine.
왘 angolo
angle
angle
ángulo
A′B′ B′C′ C′D′ D′A′
=
=
=
= k.
AB
BC
CD
DA
■ Proprietà dei triangoli simili
Il rapporto di due altezze corrispondenti è uguale al rapporto di similitudine.
왘 lati
sides
côtés
lados
C
C’
A
H
B
A’
H’
B’
C' H '
= k.
CH
왘 rapporto di similitudine
similarity ratio
rapport de similitude
relación de similitud
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Unità
05_McM_PS_La geometria 2_def
05_McM_PS_La geometria 2_def
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LA GEOMETRIA 2
■ Proprietà dei poligoni simili
Il rapporto fra i perimetri di due poligoni simili è uguale al rapporto di simi- 왘 perimetro
perimeter
litudine.
périmètre
perímetro
p'
= k.
p
Per esempio, calcola il rapporto fra i perimetri di due triangoli simili ABC e
A’B’C’, sapendo che AB = 12 cm e A’B’ = 18 cm.
Ottieni:
A' B' 18 3
=
= ;
AB 12 2
p'
3
=k= .
p
2
k=
Il rapporto fra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto 왘 area
area
di similitudine.
aire
área
Ꮽ'
= k 2.
Ꮽ
Per esempio, calcola il rapporto fra le aree di due rettangoli simili, ABCD e
A’B’C’D’, sapendo che AB = 27 cm e A’B’ = 45 cm.
Ottieni:
A′B′ 45 5
=
= ;
AB 27 3
2
⎛ 5 ⎞ 25
Ꮽ′
2
= k =⎜ ⎟ =
.
9
Ꮽ
⎝3⎠
k=
Due poligoni regolari aventi lo stesso numero di lati sono simili.
E’
E
D’
D
C’
F’
C
F
A
110
B
A’
B’
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Pagina 111
LA GEOMETRIA 2
La circonferenza
e il cerchio
5
■ Circonferenza e cerchio
La circonferenza è una linea chiusa costituita dai punti del piano equidi- 왘 circonferenza
circumference
stanti da un punto, detto centro. La distanza di qualsiasi punto della circonfecirconférence
renza dal centro si dice raggio.
circunferencia
circonferenza
O raggio
ra
io
gg
B
centro
A
왘 centro
center
centre
centro
Il cerchio è la figura costituita dai punti di una circonferenza e dai punti
interni a essa.
cerchio
O
왘 raggio
radius
rayon
radio
■ Archi, corde e relative proprietà
L’arco è la parte di circonferenza compresa fra due punti A e B, detti estremi 왘 cerchio
២
circle
dell’arco, e si indica con AB .
២
arco AB
cercle
círculo
B
A
O
왘 arco
arc
arc
arco
111
Unità
05_McM_PS_La geometria 2_def
05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 112
LA GEOMETRIA 2
La corda è un segmento che ha per estremi due punti della circonferenza.
corda AB
B
왘 corda
chord
corde
cuerda
A
O
La corda che passa per il centro, cioè la corda massima, è detta diametro.
Il diametro è il doppio del raggio.
semicirconferenza
D
O
C
diametro
, che corrisponde a metà circonferenza, è detto semicirconferenza.
L’arco CD
semicerchio
D
C
O
La figura che ha per contorno una semicirconferenza e il diametro è detta
semicerchio.
왘 semicirconferenza
semicircumference
demi-circonférence
semicircunferencia
112
왘 semicerchio
semicircle
demi-cercle
semicírculo
왘 diametro
diameter
diamètre
diámetro
05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 113
L
n za e
e
r
e
f
n
o
c
a cir
il c erc h i o
5
■ Posizioni relative di una circonferenza e di una retta
Una retta si dice secante una circonferenza quando la retta e la circonferenza 왘 (retta)
secante
hanno due punti in comune.
secant
La distanza della retta dal centro è minore del raggio.
sécante
secante
secante
OH < r.
Una retta si dice tangente a una circonferenza quando la retta e la circonfe- 왘 (retta)
tangente
renza hanno un solo punto in comune.
tangent
La distanza della retta dal centro è congruente al raggio.
tangente
tangente
tangente
OH = r;
OH s.
Una retta si dice esterna a una circonferenza quando la retta e la circonferen- 왘 (retta)
esterna
za non hanno alcun punto in comune.
external
La distanza della retta dal centro è maggiore del raggio.
extérieure
exterior
retta esterna
OH > r.
113
05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 114
LA GEOMETRIA 2
■ Angoli al centro e alla circonferenza
Un angolo al centro è un angolo che ha il vertice coincidente con il cen- 왘 angolo
al centro
tro della circonferenza.
angolo
alla circonferenza
central angle
angle au centre
ángulo central
angolo al centro
Un angolo alla circonferenza è un angolo che ha il vertice sulla circon- 왘 angolo alla
circonferenza
ferenza.
inscribed angle
Ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro corrispondente.
angle inscrit dans
un cercle
ángulo en la
circunferencia
= 1 AOB
.
AVB
2
= 120° si ha che:
Per esempio, se AOB
= 1 AOB
= 120 = 60°.
AVB
2
2
■ Settore circolare
Il settore circolare è la parte di cerchio limitata da due raggi e da un 왘 settore
circolare
arco.
settore
circolare
A
O
B
L’ampiezza del settore circolare è l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.
= 70°, l’ampiezza del settore circolare AOB è 70°.
Per esempio, se l’angolo AOB
114
circle sector
secteur circulaire
sector circular
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Pagina 115
LA GEOMETRIA 2
I poligoni inscritti
e circoscritti
6
■ Poligoni inscritti in una circonferenza
Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici sono 왘 (poligono)
inscritto
punti della circonferenza.
inscribed
inscrit
inscrito
D
E
C
F
O
r
A
B
Un triangolo si può sempre inscrivere in una circonferenza.
Un quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza se i suoi angoli opposti
sono supplementari.
^
^
A + C = 180°;
^
^
B + D = 180°.
■ Poligoni circoscritti a una circonferenza
Un poligono è circoscritto a una circonferenza quando tutti i suoi lati sono
tangenti alla circonferenza.
왘 (poligono) circoscritto
circumscribed
circonscrit
circunscrito
115
Unità
05_McM_PS_La geometria 2_def
05_McM_PS_La geometria 2_def
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Pagina 116
LA GEOMETRIA 2
La distanza fra il centro e ciascuno dei lati è detta apotema del poligono.
apotema
D
Q
P
a
C
E
N
O
R
B
M
A
Un triangolo si può sempre circoscrivere a una circonferenza.
Un quadrilatero si può circoscrivere a una circonferenza se la somma di due
lati opposti è uguale alla somma degli altri due.
AB + CD = DA + BC.
■ Area di un poligono circoscritto a una circonferenza
D
C
4
3
O
E
2
5
B
1
V
P
1
Q
A
3
2
4
S
R
Ꮽ=
5
T
U
p× r
2
in cui p è il perimetro del poligono e r il raggio della circonferenza; da cui si
ricava:
p=
116
Ꮽ×2
Ꮽ×2
; r=
.
r
p
왘 apotema
apothem
apothème
apotema
05_McM_PS_La geometria 2_def
2-02-2009
16:47
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I po
it t i e c
r
c
s
n
i
i
n
l igo
ircoscri tti
6
■ Area di un poligono regolare
Un poligono regolare si può sempre inscrivere in una circonferenza e circo- 왘 (poligono)
regolare
scrivere a un’altra circonferenza.
E
regular
régulier
regular
D
F
C
O
a
apotema
H
B
A
L’area di un poligono regolare si calcola applicando la formula:
Ꮽ=
p× a
2
in cui p è il perimetro, a è l’apotema; dalla formula precedente si ricava:
p=
Ꮽ×2
Ꮽ×2
; a=
.
a
p
La misura dell’apotema di un poligono regolare si ottiene moltiplicando la
misura del lato per una costante, diversa per ogni poligono:
a = ᐍ × f.
poligono
costante f
triangolo equilatero
0,289
quadrato
0,5
pentagono regolare
0,688
esagono regolare
0,866
ettagono regolare
1,038
ottagono regolare
1,207
ennagono regolare
1,374
decagono regolare
1,539
didecagono regolare
1,866
Esempio: calcola l’area di un pentagono regolare che ha il lato di 12 cm. Ottieni:
Ꮽ=
p × a (12 × 5) × (12 × 0, 688) 60 × 8, 256
=
=
= 247, 68 cm2 .
2
2
2
117