Programmazione Matematica triennio 2015 - Liceo B Croce
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LICEO SCIENTIFICO “B.CROCE” PALERMO PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA PER IL TRIENNIO Nel presente documento viene presentata la programmazione di Matematica per il triennio del liceo scientifico redatta dal dipartimento di Matematica e Fisica del liceo Croce tenendo conto delle nuove indicazioni ministeriali. Tale programmazione costituisce un vero e proprio syllabus dove vengono elencati, per unità didattiche, non solo gli obiettivi e i contenuti, ma anche le abilità operative che ciascun alunno deve acquisire, ossia i saperi minimi indispensabili che gli allievi dovrebbero possedere alla conclusione del terzo, quarto, quinto anno di liceo scientifico. I contenuti proposti, sebbene condivisi da tutti i docenti sul piano generale, vanno naturalmente adattati alla preparazione di base dei discenti di ogni singola classe nonché contestualizzati all’interno del percorso educativo elaborato dall’insegnante. In questo senso, sono da intendersi indicativi anche i tempi di svolgimento delle singole unità didattiche, tempi che potrebbero subire lievi modifiche a seconda delle reali condizioni di lavoro. Finalità Verifica continua delle acquisizioni degli argomenti in programma e capacità di servirsi di quanto appreso in situazioni anche applicative. Lo studio della disciplina deve, quindi: promuovere l’attitudine ad esaminare e sistemare logicamente quanto appreso nel corso delle lezioni fornire strumenti di analisi e indicarne i metodi di uso più adeguati potenziare e sviluppare le capacità intellettive fornire strumenti di analisi e calcolo. Obiettivi L’insegnamento della matematica, strumento trasversale che coinvolge anche le rimanenti discipline scientifiche, deve sviluppare nei discenti: le capacità logiche e critiche la deduzione logica, l’astrazione e la specificità del linguaggio il controllo nell’esecuzione dei procedimenti e dei risultati 1 la capacità di operare scegliendo gli strumenti più adeguati l’analisi del problema concreto per astrarlo secondo il modello matematico pertinente. Metodologia Per ciascun anno del triennio, vengono presentate un certo numero di unità didattiche. Il loro ordine di svolgimento, così come i tempi da impiegare, sebbene scelti razionalmente sulla base dell’esperienza, vanno sempre considerati indicativi e lievemente adattabili al contesto e alla storia della classe, purché il docente abbia sempre cura, in ambito didattico, di approfondire gli argomenti trattati ed evidenziare le eventuali connessioni tra le unità sviluppate nonché i legami con le altre discipline d’indirizzo. Gli allievi devono essere messi nelle condizioni più favorevoli per l’apprendimento: il docente sarà un tutor sia nelle fasi di apprendimento che di verifica formativa. Attraverso questa interazione docente-discente, lo studente verrà spronato a dare risposte utilizzando sia le conoscenze acquisite sia l’intuizione, le quali dovranno essere, comunque e sempre, supervisionate dal docente affinché non avvengano deformazioni del sapere. In alcuni casi, per facilitare la comprensione e il processo di apprendimento,il linguaggio formale potrà essere sostituito da un linguaggio più semplice che conduca lo studente alla consapevolezza dei propri mezzi e alla corretta formalizzazione dei concetti, che dovranno tuttavia essere interiorizzati senza mai tralasciare il rigore matematico. Il punto di forza del docente sarà la comunicazione col discente: se questi, attraverso il dialogo non si sentirà inibito, potrà esprimere le proprie difficoltà e si lascerà condurre ad una riflessione più attenta e all’autocorrezione.Se ogni azione verrà considerata un momento formativo, anche l’errore dello studente potrà essere occasione di coinvolgimento costruttivo. È importante che lo studente abbia la consapevolezza dei propri errori e che anche lui abbia la chiarezza dei traguardi da conseguire: questo potrà avvenire solo se il docente assumerà un atteggiamento collaborativo, soprattutto nelle fasi di esercitazione dialogate. Il laboratorio di matematica sarà utilizzato, a discrezione del docente, quale mezzo di ricerca, verifica, approfondimento o recupero di un percorso formativo. L’uso dell’elaboratore servirà ad esplorare, verificare e rappresentare “oggetti matematici” nonché a risolvere problemi di varia natura. 2 ELENCO DELLE UNITÀ DIDATTICHE E TEMPI DI SVOLGIMENTO III ANNO UD 1 – L’INSIEME DEI NUMERI REALI E I SUOI SOTTOINSIEMI UD 2 - FUNZIONI E SUCCESSIONI(4 sett.) UD 3 – LA FUNZIONE ESPONENZIALE E LA FUNZIONE LOGARITMICA(5 sett.) UD 4 – MATRICI E DETERMINANTI(4 sett.) UD 5 – IL PIANO CARTESIANO E L’EQUAZIONE DELLA RETTA(4 sett.) UD 6 – L’EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA NEL PIANO(4 sett.) UD 7 – L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA NEL PIANO(3 sett.) UD 8 – L’EQUAZIONE DELL’ELLISSE E DELL’IPERBOLE NEL PIANO(3 sett.) UD 9 – ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO (3 sett.) (3 sett.) IV ANNO UD 1 – ELEMENTI DI GONIOMETRIA UD 2 – IDENTITÀ, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE UD 3 – ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA (4 sett.) UD 4 – I NUMERI COMPLESSI UD 5 – SISTEMI LINEARI UD 6 – TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE PIANE UD 7 – ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ UD 8 – LIMITE DI UNA FUNZIONE (5 sett.) UD 9 – ELEMENTI DI GEOMETRIA DELLO SPAZIO (3 sett.) (4 sett.) (4 sett.) (3 sett.) (2 sett.) (5 sett.) (3 sett.) V ANNO UD 1 – CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE UD 2 – DERIVABILITÀ DI UNA FUNZIONE E FUNZIONI NON DERIVABILI UD 3 – TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI UD 4 – CONCAVITÀ, CONVESSITÀ E FLESSI DI UNA CURVA PIANA (3 sett.) UD 5 – APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE (5 sett.) UD 6 – L’INTEGRALE INDEFINITO (4 sett.) UD 7 – L’INTEGRALE DEFINITO E LE SUE APPLICAZIONI (5 sett.) UD 8 – ELEMENTI DI ANALISI NUMERICA (3 sett.) UD 9 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL I ORDINE (3 sett.) (5 sett.) (3 sett.) (2 sett.) 3 PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA III ANNO ELENCO DELLE UNITÀ DIDATTICHE E TEMPI DI SVOLGIMENTO UD 1 – L’INSIEME DEI NUMERI REALI E I SUOI SOTTOINSIEMI UD 2 - FUNZIONI E SUCCESSIONI UD 3 – LA FUNZIONE ESPONENZIALE E LA FUNZIONE LOGARITMICA (5 sett.) UD 4 – MATRICI E DETERMINANTI (4 sett.) UD 5 – IL PIANO CARTESIANO E L’EQUAZIONE DELLA RETTA UD 6 – L’EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA NEL PIANO (4 sett.) UD 7 – L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA NEL PIANO (3 sett.) UD 8 – L’EQUAZIONE DELL’ELLISSE E DELL’IPERBOLE NEL PIANO (3 sett.) UD 9 – ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO (3 sett.) (4 sett.) (4 sett.) (3 sett.) 4 UD 1–L’INSIEME DEI NUMERI REALI E I SUOI SOTTOINSIEMI OBIETTIVI Acquisire il concetto di numero reale e la sua rappresentazione grafica Apprendere le proprietà fondamentali dell’insieme dei numeri reali Acquisire il concetto di insieme infinito Saper distinguere tra i sottoinsiemi infiniti di Acquisire i concetti di continuo lineare e di intervallo proprio e improprio Acquisire i concetti di intervallo aperto, chiuso, limitato e illimitato TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 1 - NUMERI REALI ED ELEMENTI DI TOPOLOGIA CONTENUTI 1. L’insieme dei numeri reali 2. Numeri razionali, irrazionali algebrici e irrazionali trascendenti 3. Cardinalità di un insieme 4. Cardinalità dei sottoinsiemi infiniti di 5. Gli intervalli ABILITÀ OPERATIVE Sapere definire e rappresentare graficamente un numero reale o una coppia di numeri reali. Saper distinguere tra numeri razionali e irrazionali (algebrici e trascendenti) Saper definire un insieme infinito Saper distinguere tra i sottoinsiemi infiniti di Saper riconoscere e distinguere i vari tipi di intervalli. Saper indicare un intervallo utilizzando la simbologia della teoria degli insiemi. 5 UD 2 – FUNZIONI E SUCCESSIONI OBIETTIVI Conoscere e comprendere il concetto di funzione matematica e di successione Sapere utilizzare la terminologia specifica Riconoscere i vari tipi di funzioni, in particolare le corrispondenze biunivoche tra insiemi Riconoscere i vari tipi di successioni Comprendere il concetto di funzione invertibile Sapere operare con le funzioni TEMPI DI SVOLGIMENTO: 4 settimane UD 2 - FUNZIONI E SUCCESSIONI CONTENUTI 1. Definizione di funzione 2. Dominio e codominio 3. Tipologia di una funzione: iniettiva, suriettiva, biiettiva, funzione identica, funzioni invertibili 4. Funzione reale di una variabile reale 5. Funzioni composte 6. Grafico o diagramma di una funzione ABILITÀ OPERATIVE Saper definire una funzione e/o individuare legami funzionali tra due grandezze. Saper classificare i vari tipi di funzione. Sapere individuare le caratteristiche di una funzione ed essere in grado di tracciare la grafica delle principali funzioni elementari. Essere in grado di individuare le proprietà di una funzione a partire dal suo grafico. 7. Monotonia di una funzione Conoscere il concetto di successione. 8. Successioni e progressioni Conoscere e saper applicare i principali teoremi relativi alle progressioni aritmetiche e geometriche. 6 UD 3 –LA FUNZIONE ESPONENZIALE E LA FUNZIONE LOGARITMICA OBIETTIVI Saper definire la potenza ad esponente reale e conoscerne le relative proprietà Sapere riconoscere e rappresentare le funzioni esponenziali e logaritmiche Sapere stabilire i legami tra le precedenti funzioni Conoscere e sapere utilizzare consapevolmente le proprietà dei logaritmi Conoscere i metodi di risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali TEMPI DI SVOLGIMENTO: 5 settimane UD 3 – LA FUNZIONE ESPONENZIALE E LA FUNZIONE LOGARITMICA CONTENUTI 1. Potenza con esponente intero, razionale e reale 2. Funzione esponenziale e suo grafico 3. Logaritmi e loro proprietà ABILITÀ OPERATIVE Sapere operare con le potenze. Saper tracciare il grafico della funzione f x a x al variare della base a . Saper definire il logaritmo in base a di un numero reale positivo. 4. Passaggio da un sistema di logaritmi adun altro 5. Numero e di Nepero. Logaritmi decimali e neperiani 6. Funzione logaritmica e suo grafico 7. Equazioni e disequazioni esponenziali 8. Equazioni e disequazioni logaritmiche Saper calcolare il logaritmo di un numero utilizzando eventualmente la calcolatrice. Saper applicare le proprietà dei logaritmi. Saper definire la funzione logaritmica. Saper tracciare il grafico della funzione f x lg a x al variare della base a . Sapere calcolare espressioni con i logaritmi. Sapere risolvere equazioni esponenziali elementari. Sapere risolvere equazioni esponenziali f x g x riconducibili alla forma: a a . Sapere risolvere equazioni esponenziali f x g x riconducibili alla forma: a b . Sapere risolvere equazioni logaritmiche elementari. Sapere risolvere equazioni logaritmiche riconducibili a: lga f x lga g x . Saper risolvere disequazioni esponenziali e logaritmiche 7 UD 4 – MATRICI E DETERMINANTI OBIETTIVI Conoscere le strutture algebriche fondamentali: Gruppo, Anello, Campo Conoscere il concetto di matrice Conoscere l’algebra delle matrici Saper operare nell’anello delle matrici quadrate ad elementi reali Saper determinare il determinante di una matrice quadrata Conoscere le proprietà del determinante di una matrice Saper definire e determinare il rango di una matrice Saper determinare l’inversa di una matrice invertibile TEMPI DI SVOLGIMENTO:4 settimane UD 4 – MATRICI E DETERMINANTI CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE Strutture algebriche fondamentali: gruppo, anello, campo Saper distinguere tra gruppo, anello, 2. Vettori e combinazioni lineari Saper scrivere una combinazione lineare di 3. Matrici rettangolari. Anello delle matrici quadrate ad elementi reali Saper operare nell’anello delle matrici 4. Minori di una matrice. Matrice trasposta 5. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Teorema di Binet 6. Matrici ortogonali e loro proprietà Saper applicare il Teorema di Binet 7. Rango di una matrice. Invertibilità di una matrice quadrata Saper definire una matrice ortogonale 1. campo due o più vettori quadrate Saper definire un minore di una matrice Saper calcolare il determinante di una matrice quadrata Saper calcolare il rango di una matrice Saper determinare l’inversa di una matrice invertibile 8 UD 5 – IL PIANO CARTESIANO E L’EQUAZIONE DELLA RETTA OBIETTIVI Consolidare le conoscenze di base relative al metodo delle coordinate nel piano Saper descrivere traslazioni e simmetrie piane Sapere riconoscere e rappresentare una funzione lineare in un piano cartesiano individuandone le caratteristiche Acquisire la capacità di tradurre problemi geometrici in forma algebrica TEMPI DI SVOLGIMENTO: 4 settimane UD 5 – IL PIANO CARTESIANO E L’EQUAZIONE DELLA RETTA CONTENUTI 1. Sistema di riferimento sulla retta orientata ABILITÀ OPERATIVE Sapere rappresentare i punti in un piano cartesiano. Saper determinare la misura di un segmento e le coordinate del suo punto medio. 2. Sistema di riferimento nel piano 3. Segmenti nel piano 4. Traslazioni 5. Simmetrie assiali Conoscere le equazioni di una traslazione e 6. Simmetria centrale Conoscere le equazioni delle simmetrie 7. Equazione della retta nel piano sua rappresentazione grafica Saper scrivere le equazioni di una 8. Coefficiente angolare di una retta Saper scrivere l’equazione di una retta 9. Rette orizzontali e verticali 10. Metodi per determinare l’equazione di una retta nel piano 11. Posizione reciproca di due rette nel piano 12. Distanza di un punto da una retta 13. Fasci di rette Saper applicare i concetti studiati per risolvere semplici problemi. saperle applicare. assiali notevoli e saperle applicare. simmetria centrale e saperle applicare. orizzontale, verticale, obliqua. Saper determinare il coefficiente angolare di una retta, noti la sua equazione o le coordinate di due suoi punti distinti. Saper determinare l’equazione di una retta nei vari casi possibili. Saper stabilire se due rette sono parallele, incidenti o coincidenti. Saper determinare il punto di intersezione tra due rette incidenti. Sapere determinare l’equazione di un fascio proprio/improprio di rette. Saper determinare la distanza di un punto da una retta. Saper utilizzare e contestualizzare i concetti studiati in applicazioni varie. 9 UD 6 – L’EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA NEL PIANO OBIETTIVI Conoscere le proprietà geometriche e analitiche della circonferenza Sapere applicare i concetti studiati in diversi contesti TEMPI DI SVOLGIMENTO: 4 settimane UD 6 – L’EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA NEL PIANO CONTENUTI 1. Equazione della circonferenza nel piano cartesiano come luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro 2. Equazione generale della circonferenza 3. Metodi per determinare l’equazione di una circonferenza 4. Fasci di circonferenze 5. Posizioni reciproche di una circonferenza e di una retta nel piano 6. Tangenti ad una circonferenza ABILITÀ OPERATIVE Sapere riconoscere l’equazione di una circonferenza reale e saper calcolare la misura del raggio e le coordinate del suo centro. Saper rappresentare graficamente una circonferenza di equazione nota. Saper scrivere l’equazione di una circonferenza: a) di centro e raggio assegnato b) conoscendo le coordinate di tre suoi punti c) conoscendo le coordinate del centro e di un suo punto d) conoscendo le coordinate degli estremi di un suo diametro e) conoscendo le coordinate del suo centro e l’equazione della retta tangente in un suo punto. Saper determinare la posizione reciproca di una retta e di una circonferenza nel piano. Saper determinare le equazioni delle tangenti ad una circonferenza. Sapere operare con i fasci di circonferenze. 10 UD 7 – L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA NEL PIANO OBIETTIVI Conoscere le proprietà geometriche e analitiche della parabola Sapere applicare i concetti studiati in diversi contesti TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 7 – L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA NEL PIANO CONTENUTI 1. La parabola come luogo geometrico 2. Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate o delle ascisse 3. Metodi per determinare l’equazione di una parabola 4. Posizioni reciproche di una parabola e di una retta nel piano 5. Tangenti ad una parabola 6. Fasci di parabole notevoli ABILITÀ OPERATIVE Sapere scrivere l’equazione di una parabola essendo noti: a) vertice e fuoco b) vertice e un punto c) tre suoi punti. Sapere determinare la posizione della parabola sul piano cartesiano osservando i valori dei coefficienti a , b e c della parabola. Saper disegnare il grafico della parabola nota la sua equazione. Saper determinare la posizione reciproca di una retta e di una parabola nel piano. Saper determinare le equazioni delle rette tangenti ad una parabola. Saper operare con i fasci di parabole studiati 11 UD 8 – L’EQUAZIONE DELL’ELLISSE E DELL’IPERBOLE NEL PIANO OBIETTIVI Conoscere le proprietà geometriche e analitiche dell’ellisse e dell’iperbole Sapere applicare i concetti studiati in diversi contesti TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 8 – L’EQUAZIONE DELL’ELLISSE E DELL’IPERBOLE NEL PIANO CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Ellisse come luogo geometrico e sue proprietà Saper distinguere tra ellisse/iperbole con fuochi sull’asse delle ascisse o delle ordinate. 2. Equazione canonica di un’ellisse con fuochi appartenenti all’asse delle ascisse o delle ordinate 3. Eccentricità di un’ellisse e metodi per determinare l’equazione di un’ellisse 4. Posizioni reciproche di un’ellisse e di una retta del piano 5. Tangenti ad un’ellisse 6. Iperbole come luogo geometrico e sue proprietà 7. Asintoti di un’iperbole 8. Equazione canonica di un’iperbole con fuochi appartenenti all’asse delle ascisse o delle ordinate 9. Metodi per determinare l’equazione di un’iperbole 10. Iperbole equilatera e funzione omografica 11. Tangenti ad un’iperbole Saper scrivere l’equazione dell’ellisse/iperbolecanonica essendo note le coordinate di due suoi punti o due tra le seguenti condizioni (o condizioni ad esse equivalenti): a) le coordinate di un suo punto b) le coordinate di un suo fuoco c) la sua eccentricità Saper scrivere l’equazione dell’iperbole canonica essendo notele coordinate di uno dei suoi fuochi e l’equazione di uno dei suoi asintoti. Saper disegnare il grafico di un’ellisse/iperbole nota la sua equazione canonica. Saper determinare le equazioni delle rette tangenti ad un’ellisse/iperbole. Saper esplicitare rispetto ad una delle variabili l’equazione dell’ellisse o della iperbole canonica. Saper disegnare l’iperbole equilatera e la funzione omografica. Saper determinare le equazioni delle rette tangenti ad un’iperbole. 12 UD 9 – ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO OBIETTIVI Apprendere la differenza tra il concetto di raggruppamento e quello di ordinamento di un insieme di elementi Conoscere il concetto di coefficiente binomiale e le relative proprietà Sapere applicare i concetti studiati per la risoluzione di esercizi e problemi TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 9– ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO CONTENUTI 1. Permutazioni, disposizioni e combinazioni semplici su un insieme di n elementi 2. Cardinalità dell’insieme delle permutazioni, dell’insieme delle disposizioni e delle combinazioni semplici. 3. Coefficienti binomiali e loro proprietà ABILITÀ OPERATIVE Saper distinguere tra ordinamenti e raggruppamenti di elementi. Saper riconoscere quando un problema vada ricondotto al concetto di ordinamento e quando al concetto di raggruppamento. Sapere applicare le proprietà dei coefficienti binomiali. 13 PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA IV ANNO ELENCO DELLE UNITÀ DIDATTICHE E TEMPI DI SVOLGIMENTO UD 1 – ELEMENTI DI GONIOMETRIA UD 2 – IDENTITÀ, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE UD 3 – ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA (4 sett.) UD 4 – I NUMERI COMPLESSI (3 sett.) UD 5 – SISTEMI LINEARI (2 sett.) UD 6 – TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE PIANE (5 sett.) UD 7 – ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ UD 8 – LIMITE DI UNA FUNZIONE (5 sett.) UD 9 – ELEMENTI DI GEOMETRIA DELLO SPAZIO (3 sett.) (4 sett.) (4 sett.) (3 sett.) 14 UD 1 –ELEMENTI DI GONIOMETRIA OBIETTIVI Acquisire il concetto di angolo radiante Acquisire il concetto di funzione periodica e goniometrica in particolare Apprendere le relazioni fondamentali della goniometria Apprendere le principali formule goniometriche TEMPI DI SVOLGIMENTO: 4 settimane UD 1 –ELEMENTI DI GONIOMETRIA CONTENUTI 1. Angolo sessagesimale e angolo radiante 2. Le funzioni goniometriche 3. Relazioni fondamentali, archi associati e formule goniometriche (addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi) ABILITÀ OPERATIVE Sapere definire l’angolo sessagesimale e l’angolo radiante e saper operare con essi Conoscere le funzioni goniometriche e saperne tracciare il grafico Conoscere le relazioni e le formule goniometriche studiate e saperle applicare 15 UD 2 – IDENTITÀ, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE OBIETTIVI Conoscere e comprendere la differenza tra identità, equazioni e disequazioni goniometriche Riconoscere i vari tipi di equazioni goniometriche Conoscere le procedure risolutive di equazioni e disequazioni goniometriche TEMPI DI SVOLGIMENTO: 4 settimane UD 2 - IDENTITÀ, EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE CONTENUTI 1. Identità goniometriche 2. Equazioni elementari o ad esse riconducibili 3. Equazioni lineari in senx e cosx 4. Equazioni omogenee 5. Equazioni simmetriche in senx e cosx 6. Disequazioni goniometriche ABILITÀ OPERATIVE Saper provare che un’eguaglianza è una identità Saper individuare e risolvere equazioni elementari o ad esse riconducibili Sapere individuare e risolvere equazioni lineari in senx e cosx Conoscere i metodi per rendere omogenea un’equazione che non lo è Saper risolvere equazioni omogenee e simmetriche Saper risolvere semplici disequazioni goniometriche 16 UD 3 –ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA OBIETTIVI Saper valutare la risolubilità di un triangolo Conoscere le relazioni fondamentali tra i lati e gli angoli in un triangolo rettangolo Conoscere i principali teoremi della trigonometria Saper risolvere, ove possibile, un triangolo qualunque Conoscere la formula di Erone e le formule di Briggs Saper risalire alla misura del raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo TEMPI DI SVOLGIMENTO: 4 settimane UD 3 – ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Elementi fondamentali di un triangolo Sapere individuare e definire gli elementi fondamentali di un triangolo 2. Risoluzione di un triangolo rettangolo Saper applicare i teoremi sui triangoli rettangoli 3. Teoremi fondamentali della trigonometria (teorema dei seni, della Saper risolvere un triangolo rettangolo corda, delle proiezioni e di Carnot) 4. Risoluzione di un triangolo qualunque Saper applicare il teorema dei seni, della corda, delle proiezioni e di Carnot Saper risolvere un triangolo qualunque 5. Guida all’uso della trigonometria per Saper applicare la formula di Erone la risoluzione di particolari problemi di geometria piana (formula di Erone, formule di Briggs, circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo) Saper applicare le conoscenze trigonometriche acquisite per risolvere problemi di geometria piana 17 UD 4 – I NUMERI COMPLESSI OBIETTIVI Conoscere l’insieme dei numeri complessi Saper esprimere un numero complesso nelle sue diverse forme Saper rappresentare geometricamente un numero complesso Conoscere il Teorema Fondamentale dell’Algebra Saper determinare le radici n-esime dell’unità e di un generico numero complesso z Saper determinare le radici di alcune equazioni di grado n a coefficienti reali TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 4 – I NUMERI COMPLESSI CONTENUTI 1. L’insieme dei numeri complessi 2. Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso 3. Algebra dei numeri complessi 4. Rappresentazione geometrica di un numero complesso e suo legame con le grandezze vettoriali ABILITÀ OPERATIVE Saper definire l’unità immaginaria e l’insieme dei numeri complessi Saper scrivere un numero complesso nelle sue varie forme Saper mutare un numero complesso da una forma in un’altra equivalente Saper eseguire le operazioni elementari con i numeri complessi 5. Relazione di De Moivre e radici nesime di un numero complesso Saper rappresentare geometricamente un numero complesso 6. Radici n-esime dell’unità: proprietà e loro rappresentazione Saper enunciare e applicare il teorema di De Moivre 7. Teorema fondamentale dell’Algebra. Radici complesse di un’equazione algebrica di grado n a coefficienti reali Saper determinare le n radici n-esime dell’unità e di un generico numero complesso z Saper enunciare il Teorema fond.le dell’Algebra Saper determinare le radici complesse di alcune equazioni algebriche di grado n a coefficienti reali 18 UD 5 – SISTEMI LINEARI OBIETTIVI Richiami su matricie i determinanti Saper applicare il teorema di Cramer per la risoluzione di un sistema di n equazioni in n incognite Conoscere e saper applicare il teorema di Rouché-Capelli per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari di m equazioni in n incognite Saper stabilire l’esistenza di soluzioni non banali di un sistema omogeneo di n equazioni in n incognite TEMPI DI SVOLGIMENTO: 2 settimane UD 5 – SISTEMI LINEARI CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Richiami sull’algebra delle matrici e sui determinanti Saper distinguere tra sistemi crameriani e non crameriani 2. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite Saper risolvere un sistema di m equazioni in n incognite 3. Sistemi crameriani 4. Teorema di Rouché-Capelli e risoluzione di un sistema lineare di m equazioni in n incognite Saper determinare le eventuali soluzioni non banali di un sistema omogeneo di n equazioni in n incognite 19 UD 6 – TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE PIANE OBIETTIVI Apprendere il concetto di trasformazione geometriche del piano in sé Conoscere i vari tipi di trasformazioni geometriche Apprendere il concetto di punto/retta unita di una trasformazione geometrica Classificazione delle trasformazioni geometriche TEMPI DI SVOLGIMENTO: 5 settimane UD 6 – TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE PIANE CONTENUTI 1. Introduzione alle trasformazioni geometriche piane (equazione generale di una trasformazione, matrice associata e suo determinante) 2. Punti uniti e rette unite di una trasformazione 3. Trasformazioni concordi (dirette) e discordi (inverse) 4. Affinità, similitudini e isometrie(traslazioni, rotazioni e simmetrie assiali) del piano ABILITÀ OPERATIVE Saper scrivere l’equazione generale di una trasformazione del piano e la sua matrice associata Saper determinare i punti uniti e le rette unite di una trasformazione Saper distinguere fra trasformazioni dirette e inverse Saper individuare un’affinità del piano Saper distinguere fra similitudini e isometrie Saper classificare le isometrie 5. Rotomotetie e omotetie, dilatazioni e Saper scrivere le equazioni di contrazioni traslazioni, rotazioni e simmetrie 6. Composizione di isometrie: rototraslazioni e glissosimmetrie Saper definire un’omotetia Saper distinguere fra dilatazioni e contrazioni Saper comporre due o più isometrie 20 UD 7 – ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ OBIETTIVI Conoscere il concetto di evento Conoscere le diverse definizioni di probabilità Saper distinguere tra i differenti tipi di eventi Conoscere il concetto di probabilità condizionata e il teorema di Bayes Sapere applicare i concetti studiati per la risoluzione di problemi TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 7 – ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ CONTENUTI 1. Eventi aleatori 2. Definizione classica di probabilità 3. Eventi impossibili, certi e probabili 4. Eventi compatibili e incompatibili, dipendenti e indipendenti 5. Probabilità totale e probabilità composta 6. Probabilità condizionata 7. Spazio degli eventi e definizione assiomatica di probabilità 8. Teorema di Bayes ABILITÀ OPERATIVE Saper individuare esempi concreti di eventi aleatori. Saper definire la probabilità in senso classico ed essere in grado di utilizzarla per risolvere semplici esercizi. Saper distinguere tra eventi compatibili e incompatibili, dipendenti e indipendenti. Saper applicare i teoremi relativi alla probabilità totale e composta. Saper risolvere semplici esercizi riconducibili al concetto di probabilità condizionata. Saper descrivere in termini assiomatici il concetto di probabilità. Saper applicare il teorema di Bayes. 21 UD 8 – LIMITE DI UNA FUNZIONE OBIETTIVI Approfondire la conoscenza degli elementi di topologia di Conoscere il concetto di limite di una funzione Saper verificare l’esattezza di un limite utilizzando la definizione di limite Conoscere i teoremi sui limiti e l’algebra dei limiti Conoscere le forme di indeterminazione e i limiti notevoli studiati Saper calcolare il limite di una funzione Conoscere il concetto di asintoto di una funzione Saper determinare gli eventuali asintoti di una funzione TEMPI DI SVOLGIMENTO: 5 settimane UD 8 – LIMITE DI UNA FUNZIONE CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Richiami di topologia di Conoscere l’insieme suoi sottoinsiemi 2. Il concetto di limite Conoscere la definizione topologica generale di limite e saperla applicare utilizzando la metrica naturale di 3. Teoremi sui limiti e saper definire i Saper applicare i teoremi studiati (unicità, perm.za del segno, confronto) 4. Algebra dei limiti Conoscere le forme di indeterminazione e saper applicare l’algebra dei limiti 5. Limiti notevoli e calcolo dei limiti Conoscere i limiti notevoli studiati e saperli applicare per calcolare il limite di una funzione 6. Infiniti e infinitesimi 7. Asintoti di una funzione Saper definire quando una funzione è infinita e quando infinitesima Saper determinare gli asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) di una curva piana di equazione: y f x 22 UD 9 – ELEMENTI DI GEOMETRIA DELLO SPAZIO OBIETTIVI Estendere le conoscenze di retta e piano allo spazio tridimensionale Conoscere gli assiomi elementari della geometria dello spazio Conoscere le posizioni di rette e piani nello spazio Saper distinguere tra diedri, poliedri e prismi Saper definire angoloidi e piramidi Saper definire e rappresentare le principali figure solide Saper determinare l’area della superficie e il volume dei principali solidi TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 9 – ELEMENTI DI GEOMETRIA DELLO SPAZIO CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Gli assiomi della geometria dello spazio Conoscere gli assiomi della geometria dello spazio 2. Rette e piani nello spazio. Teorema delle tre perpendicolari Saper definire e descrivere la posizione di rette e piani nello spazio 3. Diedri, poliedri e prismi Saper individuare l’equazione di una retta nello spazio 4. I solidi platonici Saper definire e rappresentare un diedro 5. Angoloidi e piramidi Conoscere e saper rappresentare le principali figure solide (prisma, piramide, solidi di rotazione) 6. Tronco di piramide e teorema delle sezioni normali Saper classificare i solidi platonici 7. I solidi di rotazione: cilindro, cono, sfera, tronco di cono Saper applicare il teorema delle sezioni normali 8. Figure geometriche solide e loro misura Saper determinare l’area e il volume delle figure solide studiare 23 PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA V ANNO ELENCO DELLE UNITÀ DIDATTICHE E TEMPI DI SVOLGIMENTO UD 1 – CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE (3 sett.) UD 2 – DERIVABILITÀ DI UNA FUNZIONE E FUNZIONI NON DERIVABILI (5 sett.) UD 3 – TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI (3 sett.) UD 4 – CONCAVITÀ, CONVESSITÀ E FLESSI DI UNA CURVA PIANA (3 sett.) UD 5 – APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE (5 sett.) UD 6 – L’INTEGRALE INDEFINITO (4 sett.) UD 7 – L’INTEGRALE DEFINITO E LE SUE APPLICAZIONI (5 sett.) UD 8 – ELEMENTI DI ANALISI NUMERICA (3 sett.) UD 9 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL I ORDINE (2 sett.) 24 UD 1 –CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE OBIETTIVI Acquisire il concetto di funzione continua Acquisire il concetto di discontinuità di una funzione Saper classificare le eventuali discontinuità di una funzione Conoscere e saper applicare i teoremi studiati sulle funzioni continue TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 1 –CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE CONTENUTI 1. Continuità di una funzione 2. Continuità delle funzioni elementari. 3. Funzioni continue e discontinue 4. Teoremi sulle funzioni continue e loro conseguenze ABILITÀ OPERATIVE Conoscere la definizione di funzione continua Saper distinguere tra funzioni continue e discontinue Saper classificare le eventuali discontinuità di una funzione Conoscere e saper applicare i principali teoremi sulle funzioni continue (teorema di Weierstrass, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema della permanenza del segno) 25 UD 2 – DERIVABILITÀ DI UNA FUNZIONE E FUNZIONI NON DERIVABILI OBIETTIVI Conoscere il concetto di rapporto incrementale di una funzione Conoscere il concetto di derivata di una funzione in un punto e le sue diverse interpretazioni (geometrica, fisica) e saperlo applicare Saper distinguere tra derivata di una funzione in un punto e funzione derivata Saper distinguere tra funzioni derivabili e non derivabili Conoscere e saper applicare i teoremi sull’algebra delle derivate (regole di deriv.) Conoscere il legame tra derivabilità e continuità di una funzione Saper operare con funzioni non derivabili (valore assoluto, radice n-esima) Saper individuare e classificare gli eventuali punti di non derivabilità di una funzione Differenziale di una funzione TEMPI DI SVOLGIMENTO: 5 settimane UD 2 – DERIVABILITÀ DI UNA FUNZIONE E FUNZIONI NON DERIVABILI CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Rapporto incrementale di una funzione Saper definire e calcolare il rapporto incrementale di una funzione in un pto 2. Derivata di una funzione in un punto e sua interpretazione geom. Saper definire e calcolare la derivata di una funzione in un punto 3. Funzione derivata e teoremi sull’algebra delle derivate(regole di derivazione) 4. Continuità e derivabilità di una funzione 5. Applicazioni geometriche del concetto di derivata 6. Derivabilità di una funzione composta, della funzione valore assoluto e radice n-esima. 7. Punti di non derivabilità 8. Differenziale di una funzione Conoscere l’interpretazione geometrica e fisica del concetto di derivata e saperla applicare Saper applicare i teoremi sull’algebra delle derivate (derivata di una somma, di un prodotto, di un rapporto, derivata logaritmica) Saper distinguere tra funzioni continue e funzioni derivabili Saper calcolare la derivata di una funzione composta Saper operare con funzioni non deriv. Saper definire il differenziale di una funzione 26 UD 3 –TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI OBIETTIVI Conoscere e saper applicare i teoremi sulle funzioni derivabili (Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy. Teoremi di de l’Hospital) Saper esporre le conseguenze dei teoremi sulle funzioni derivabili Saper applicare i teoremi di de l’Hospital Saper calcolare la derivata in un punto dell’inversa di una funzione invertibile Saper calcolare la funzione derivata delle funzioni circolari inverse TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 3 – TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI CONTENUTI 1. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange 2. Conseguenze e applicazioni dei precedenti teoremi 3. I teoremi di de l’Hospital 4. Derivabilità di una funzione invertibile 5. Funzioni circolari inverse e loro derivabilità ABILITÀ OPERATIVE Conoscere i teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange Saper applicare i precedenti teoremi Conoscere e saper applicare i teoremi di de l’Hospital Saper calcolare, in un punto, la derivata dell’inversa di una funzione invertibile Saper calcolare la derivata delle funzioni circolari inverse 27 UD 4 – CONCAVITÀ, CONVESSITÀ E FLESSI DI UNA CURVA PIANA OBIETTIVI Conoscere i concetti di concavità/convessità di una funzione in un intervallo e in un punto Conoscere la definizione di punto di flesso di una curva piana Saper classificare la natura di un punto di flesso (ascendente, discendente, tipo di tangente) Saper argomentare circa l’esistenza della derivata seconda di una funzione in un punto di flesso di questa Saper individuare gli eventuali punti di flesso di una funzione due volte derivabile (teorema del segno della derivata seconda) TEMPI DI SVOLGIMENTO: 3 settimane UD 4 – CONCAVITÀ, CONVESSITÀ E FLESSI DI UNA CURVA PIANA CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Concavità e convessità di una funzione Conoscere i concetti di concavità e convessità di una funzione 2. Punti di flesso e loro natura Saper individuare gli intervalli in cui una funzione è concava/convessa 3. Ricerca di punti di flesso di una funzione due volte derivabile Conoscere la definizione di punto di flesso di una curva Saper individuare gli eventuali punti di flesso di una curva piana di equazione y f x 28 UD 5 – APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE OBIETTIVI Conoscere e saper applicare gli strumenti del calcolo differenziale Saper eseguire in modo esaustivo lo studio di vari tipi di funzioni Saper mettere in relazione il grafico di una funzione con quello della sua funzione derivata e viceversa Saper determinare gli estremi relativi e assoluti di funzioni derivabili e non derivabili Saper risolvere problemi di ottimizzazione (massimo e minimo) di diversa natura Saper valutare graficamente l’esistenza degli eventuali zeri di un’equazione TEMPI DI SVOLGIMENTO: 5 settimane UD 5 – APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Estremi relativi e assoluti di una funzione Saper definire massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione 2. Studio completo di una curva piana di equazione y f x Saper studiare in modo completo l’andamento di una funzione 3. Relazione tra il grafico delle funzioni Saper correlare tra loro il grafico di una funzione e quello della sua derivata f x ed f ' x 4. Estremi relativi e assoluti di funzioni non derivabili Saper individuare gli estremi relativi e assoluti di funzioni non derivabili 5. Problemi di massimo e minimo Saper risolvere problemi di massimo e minimo di varia natura 6. Metodo grafico per l’individuazione degli zeri reali di un’equazione Saper individuare graficamente gli zeri reali di un’equazione 29 UD 6 – L’INTEGRALE INDEFINITO OBIETTIVI Conoscere la definizione di primitiva di una funzione Conoscere i teoremi relativi alle primitive di una funzione Saper definire l’integrale indefinito di una funzione Conoscere le proprietà operatorie del simbolo di integrale Conoscere i diversi metodi di integrazione (integrali immediati, integrazione per decomposizione, per parti, per sostituzione e integrazione delle funzioni razionali fratte) TEMPI DI SVOLGIMENTO: 4 settimane UD 6 – L’INTEGRALE INDEFINITO CONTENUTI 1. Funzione primitiva di una funzione ABILITÀ OPERATIVE Saper definire la primitiva di una data funzione 2. Teoremi sulle primitive di una funzione Conoscere e saper applicare i teoremi sulle primitive di una funzione 3. L’integrale indefinito e sue proprietà Conoscere la definizione di integrale indefinito di una funzione 4. Metodi di integrazione Conoscere le proprietà operatorie dell’integrale indefinito e saperle applicare Conoscere e saper applicare i metodi di integrazione studiati (integrali immediati, integrazione per decomposizione, per parti, per sostituzione e integrazione delle funzioni razionali fratte) 30 UD 7 – L’INTEGRALE DEFINITO E LE SUE APPLICAZIONI OBIETTIVI Conoscere il concetto di trapezoide Conoscere il concetto di partizione di un intervallo Saper scrivere le somme inferiori e superiori relative ad una funzione e ad una fissata partizione Apprendere il concetto di integrale definito per funzioni Riemann-integrabili e la sua interpretazione geometrica Conoscere le proprietà operatorie dell’integrale definito Saper indicare le funzioni Riemann-integrabili su un intervallo Conoscere e saper applicare il teorema del valor medio del calcolo integrale Saper definire la funzione integrale di una data funzione Conoscere il teorema fondamentale del calcolo integrale (esistenza di una primitiva) Conoscere e saper applicare il teorema di Torricelli-Barrow (formula fondamentale del calcolo integrale) per il calcolo dell’area di una superficie Saper calcolare il volume di un solido generato per rotazione di un arco di curva attorno ad uno degli assi coordinati Saper calcolare il volume di un solido di cui si conoscano le sezioni con un piano perpendicolare ad un prefissato asse (sezioni normali) Saper calcolare il volume di un solido generato per rotazione di una figura piana attorno ad una retta assegnata (primo teorema di Guldino). 31 TEMPI DI SVOLGIMENTO: 5 settimane UD 7 – L’INTEGRALE DEFINITO E LE SUE APPLICAZIONI CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Il concetto di trapezoide Conoscere il concetto di trapezoide 2. Partizione di un intervallo Saper eseguire una partizione di un dato intervallo 3. Somme inferiori e somme superiori 4. L’integrale definito (secondo Riemann) 5. Proprietà dell’integrale definito Conoscere i concetti di somme superiori e inferiori Saper esporre per linee generali il procedimento che conduce alla definizione di integrale definito di una funzione 6. Continuità e integrabilità di una funzione Conoscere le proprietà operatorie dell’integrale definito e saperle applicare 7. Teorema del valor medio Saper individuare le funzioni Riemannintegrabili 8. Funzione integrale e sue proprietà 9. Teorema fondamentale del calcolo integrale 10. Teorema di Torricelli-Barrow(formula fondamentale del calcolo integrale) Conoscere e saper applicare il teorema del valor medio Saper definire la funzione integrale di una data funzione Conoscere il teorema fondamentale del calcolo integrale 11. Calcolo di aree e volumi (solidi di Saper applicare il teorema di Torricellirotazione, sezioni normali, primo teorema Barrow di Guldino) Saper calcolare la misura di aree e volumi 32 UD 8 – ELEMENTI DI ANALISI NUMERICA OBIETTIVI Conoscere il concetto di approssimazione numerica Conoscere e saper applicare i principali metodi di approssimazione Saper determinare con errore prefissato le radici reali di un’equazione Saper determinare con errore prefissato il valore di un numero irrazionale Saper determinare con errore prefissato la misura dell’area di una superficie TEMPI DI SVOLGIMENTO:3 settimane UD 8 – ELEMENTI DI ANALISI NUMERICA CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Considerazioni sull’esistenza delle radici reali di un’equazione Saper discutere circa l’esistenza delle radici reali di un’equazione 2. Metodo dicotomico e delle tangenti per l’approssimazione delle radici reali di un’equazione Saper distinguere tra metodi iterativi del primo ordine e di ordine superiore 3. Approssimazione di un numero irrazionale 4. Metodi per l’approssimazione dell’area di una superficie Saper applicare i metodi dicotomico e delle tangenti per l’approssimazione di una radice reale di un’equazione Saper calcolare il valore di un numero irrazionale con errore prefissato Saper applicare il metodo dei rettangoli, il metodo dei trapezi e quello delle parabole per determinare, con errore prefissato, il valore dell’area di una data superficie 33 UD 9 – EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL I ORDINE OBIETTIVI Conoscere il concetto di equazione differenziale Saper individuare equazioni differenziali in varie discipline scientifiche Saper risolvere equazioni differenziali del I ordine a variabili separabili Saper risolvere equazioni differenziali lineari omogenee del primo ordine Saper risolvere semplici problemi di fisica utilizzando le equazioni differenziali studiate TEMPI DI SVOLGIMENTO: 2 settimane UD 9 – CENNI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL I ORDINE CONTENUTI ABILITÀ OPERATIVE 1. Equazioni differenziali: generalità Saper riconoscere un’equazione differenziale e discuterne la sua natura 2. Equazioni differenziali a variabili separabili 3. Equazioni differenziali lineari del primo ordine omogenee 4. Applicazioni Saper risolvere equazioni differenziali a variabili separabili Saper risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine omogenee Saper risolvere semplici problemi di Fisica utilizzando le equazioni differenziali studiate Palermo, settembre 2015 34
