Principi di Fisica PER INDIRIZZO BIOMEDICO E

Principi di Fisica
PER INDIRIZZO BIOMEDICO E FARMACEUTICO
II EDIZIONE
Ferdinando Borsa
Università degli Studi di Pavia
Alessandro Lascialfari
Università degli Studi di Milano
F. Borsa - A. Lascialfari
PRINCIPI DI FISICA
per indirizzo biomedico e farmaceutico
II edizione
Copyright © 2014, EdiSES s.r.l. - Napoli
9 8
2018
7 6
2017
5 4
2016
3 2
2015
1 0
2014
Le cifre sulla destra indicano il numero e l’anno dell’ultima ristampa effettuata
A norma di legge è vietata la riproduzione, anche parziale,
del presente volume o di parte di esso con qualsiasi mezzo.
L’Editore
Fotocomposizione: EdiSES s.r.l. – Napoli
Stampato presso la
Tipolitografia Sograte S.r.l.
Zona Ind. Regnano - Città di Castello (PG)
per conto della
EdiSES – Piazza Dante, 89 – Napoli
http//www.edises.it
e-mail: info@edises. it
ISBN 978 88 7959 816 3
Prefazione
Il presente testo è il risultato di una lunga esperienza di insegnamento della
Fisica, risalente al 1970, che si è estesa in sequenza ai corsi di Laurea di Medicina,
Biologia, Biotecnologia, Chimica e Tecnologie Farmaceutiche e Farmacia delle
Università di Pavia e di Milano, e che ha attraversato le numerose riforme dei
corsi di studio presso i diversi corsi di Laurea.
Il principio ispiratore del nostro insegnamento è stato fin dall’inizio la convinzione che la funzione della Fisica negli studi biomedici e farmaceutici debba essere sopratutto di carattere formativo e metodologico. Per realizzare questo
abbiamo ritenuto utile operare una certa integrazione e armonizzazione degli
argomenti di Fisica con altri argomenti facenti parte più specificatamente dei curricula degli studi biomedici e farmaceutici. Si è così scelto di inserire nei capitoli
in cui vengono presentati i concetti fondamentali della Fisica anche alcune semplici e schematiche applicazioni di questi concetti e leggi fisiche ad argomenti di
interesse biomedico. Sono stati anche inseriti tre capitoli interamente dedicati
a queste applicazioni: Termodinamica nei sistemi biologici, Strumenti ottici e I
potenziali bioelettrici. Queste applicazioni non sono svolte con la pretesa di essere complete ed esaurienti, ma piuttosto con l’intento di fornire esempi di una
trattazione scientificamente rigorosa, anche se necessariamente ridotta a una forma schematica ed essenziale, di alcuni affascinanti problemi che si incontrano in
biomedicina e farmacia.
Il secondo principio ispiratore è stato quello di cercare di trattare gli argomenti nel modo più semplice e agile possibile, anche a costo di omettere temi
importanti in Fisica ma da noi ritenuti non essenziali in un corso propedeutico
per studenti di discipline biomediche e farmaceutiche. Tuttavia, per mantenere
un minimo di rigore nella trattazione, si è fatto uso delle nozioni di Analisi matematica compreso il calcolo differenziale e integrale, illustrando comunque alcune
delle derivazioni delle espressioni matematiche, per renderle più comprensibili
da un punto di vista fisico.
Per finire desideriamo ringraziare colleghi e amici che in tutti questi anni di collaborazione scientifica e didattica hanno contribuito con discussioni, consigli e
suggerimenti alla realizzazione di questo testo.
Pavia, Marzo 2014
Ferdinando Borsa
Emeritus Professor of Physics, Iowa State University, Ames, Iowa, USA
Già ordinario di Fisica Generale all’Università di Pavia, Pavia, Italy
Alessandro Lascialfari
Professore Associato di Fisica Generale
Dipartimento di Fisica, Università degli studi di Milano, Milano, Italy
Materiale di supporto per i docenti
I docenti che utilizzano il testo a scopo didattico possono scaricare dal sito
www.edises.it, previa registrazione all’area docenti, le immagini del libro in
formato PowerPoint.
Indice generale
1
1.1
Le grandezze fisiche
e la loro misura
Le grandezze fisiche 4
1
4.1
Le forze
55
3
4.2
Il momento di una forza
55
4.3
Condizioni di equilibrio traslazionale
e rotazionale
56
4.4
Composizione di forze parallele:
il baricento
58
4.5
Alcuni esempi di statica del corpo
umano
60
1.2
Dimensioni di una grandezza
1.3
Valori approssimati di lunghezza, massa,
tempo. Sistemi di unità di misura e
conversioni
4
Quantità scalari e quantità vettoriali
8
1.4
1.5
Operazioni sulle quantità vettoriali
10
1.6
Calcoli e cifre significative
13
▶ Esercizi e problemi
14
2
Cinematica
2.1
Introduzione alla meccanica
15
2.2
Posizione, velocità e accelerazione
15
2.3
Moto rettilineo uniforme e
uniformemente accelerato
19
2.4
Moto circolare uniforme e non uniforme 25
2.5
Moto armonico
28
▶ Esercizi e problemi
29
3
Statica
Dinamica
3.1
Le forze
31
3.2
Le leggi della dinamica
32
3.3
La forza di gravità
37
3.4
La forza di attrito
38
3.5
Massa, peso e densità
41
3.6
La forza di attrito viscoso e la
sedimentazione
42
3.7
La forza centrifuga e la centrifugazione 44
3.8
Esempi di moto armonico
46
3.9
Cenni di dinamica del corpo rigido
50
▶ Esercizi e problemi
53
5
Lavoro, energia
e potenza
5.1
Forze e campi di forze
65
5.2
Lavoro ed energia
67
5.3
Energia cinetica e teorema dell’energia
cinetica
72
5.4
Energia potenziale e forze conservative 73
5.5
Conservazione dell’energia meccanica
75
5.6
Energia potenziale e forze: condizioni
di equilibrio di un sistema meccanico
80
5.7
Potenza e rendimento
82
5.8
Lavoro e potenza muscolare
83
▶ Esercizi e problemi
87
6
Statica e dinamica
dei fluidi
6.1
Equilibrio di un fluido
89
6.2
Misura della pressione
93
6.3
Tensione superficiale
94
6.4
Fenomeni di capillarità
95
6.5
Dinamica dei fluidi perfetti
6.6
Regime laminare e regime turbolento
102
6.7
Idrodinamica della circolazione
del sangue
105
Lavoro e potenza cardiaca
108
6.8
96
VI Indice generale
6.9
Viscosità del sangue
111
6.10
Formula di Laplace ed equilibrio
dei vasi sanguigni
114
▶ Esercizi e problemi
117
7
I gas e le soluzioni
9
Termodinamica nei
sistemi biologici
9.1
Introduzione
175
9.2
Meccanismi di trasmissione del calore
175
9.3
Principi della termodinamica e
fisiologia
179
9.4
Metabolismo del corpo umano
181
9.5
Metabolismo basale e dimensioni
degli esseri viventi
184
9.6
Termoregolazione degli animali
a sangue caldo
185
9.7
Entropia e vita
188
▶ Esercizi e problemi
189
10
Onde meccaniche
e acustica
7.1
Introduzione 119
7.2
Leggi dei gas perfetti
120
7.3
Leggi dei gas reali
122
7.4
Pressione parziale
125
7.5
Le soluzioni
126
7.6
Diffusione
127
7.7
Osmosi e pressione osmotica
129
7.8
Lavoro osmotico e potenziale chimico
in soluzioni diluite
132
7.9
Potenziale elettrochimico ed equilibrio
di Donnan-Gibbs
133
10.1
Perturbazioni e modello ondulatorio
191
Fenomeni osmotici e diffusione
di gas nell’organismo umano
10.2
Legge di propagazione delle onde
194
135
10.3
Interferenza delle onde
198
7.11
Meccanica della respirazione
139
10.4
Onde stazionarie
201
7.12
Equilibrio meccanico degli alveoli
142
10.5
Il suono
203
▶ Esercizi e problemi
144
10.6
I caratteri del suono
203
10.7
Cenni sulla fisiologia dell’udito
205
11
Ottica
7.10
8
Termologia e
termodinamica
8.1
Sistema e stato termodinamico
147
11.1
Natura della luce. Principio di Huygens 209
8.2
Trasformazioni termodinamiche
148
11.2
Leggi della riflessione e rifrazione
211
8.3
Il lavoro in termodinamica
150
11.3
La dispersione della luce e il prisma
213
8.4
Calore e temperatura. Principio zero
151
11.4
Il diottro
214
8.5
Energia interna e primo principio
della termodinamica
11.5
Le lenti sottili
216
153
11.6
L’interferenza della luce
219
8.6
Misura della temperatura
156
11.7
La diffrazione della luce
222
8.7
Capacità termica e calori specifici
158
11.8
8.8
Trasformazioni di stato e calori latenti
160
Funzionamento dell’occhio come
sistema ottico centrato
224
8.9
Secondo principio della termodinamica 163
11.9
Acuità visiva
226
8.10
Cenni sull’entalpia, sull’entropia e
sull’energia libera
168
11.10 Difetti di convergenza e lenti
correttive
228
173
11.11 Visione cromatica
230
▶ Esercizi e problemi
▶ Esercizi e problemi
232
Indice generale VII
12
12.1
Strumenti ottici
Microscopio semplice e composto e
relativo ingrandimento 235
12.2
Il potere risolutivo del microscopio
239
12.3
Microscopio a contrasto di fase e
microscopio polarizzatore
241
▶ Esercizi e problemi
244
13
Elettromagnetismo
13.1
Introduzione
245
13.2
La carica elettrica
245
13.3
La legge di Coulomb. Principio di
sovrapposizione
247
13.4
Il campo elettrico. Linee di campo
249
13.5
Flusso di campo elettrico. Teorema
di Gauss
254
13.6
Energia potenziale elettrica e
potenziale elettrico
258
13.7
Potenziale di dipolo elettrico
261
13.8
Conduttori e isolanti. I condensatori
262
13.9
La corrente elettrica continua
269
13.19 Induzione elettromagnetica
295
13.20 Coefficiente di autoinduzione.
Circuito R-L
297
13.21 Carica e scarica di un condensatore.
Circuito R-C
299
▶ Esercizi e problemi
14
Materia e radiazione
14.1
Spettro delle onde elettromagnetiche 303
14.2
Cenni sulla struttura atomica e sulla
teoria dei quanti
305
14.3
Assorbimento ed emissione delle
onde elettromagnetiche
308
14.4
Raggi ultravioletti
311
14.5
I raggi X e i principi della radiologia
312
14.6
Struttura dei nuclei. Isotopi naturali
314
14.7
Radiazioni α, β e γ. Radioattività
316
14.8
Legge di decadimento radioattivo
319
14.9
Effetto biologico delle radiazioni
ionizzanti. Dosimetria
320
14.10 Cenni di medicina nucleare
300
322
13.10 Resistenza elettrica e legge di Ohm
270
15
I potenziali bioelettrici
13.11 Forza elettromotrice e circuiti in
corrente continua
274
15.1
Generalità sui potenziali biolettrici
325
13.12 Effetto termico della corrente
280
15.2
Potenziale di riposo della membrana
327
13.13 Conduttori elettrolitici. Elettrolisi
280
15.3
13.14 Elettroforesi 283
Condizioni di equilibrio ed equazione
di Nernst
330
13.15 Il campo magnetico
284
15.4
Pompa sodio-potassio
333
15.5
Equilibrio di Donnan-Gibbs e
potenziale di membrana
336
15.6
Proprietà di cavo dell’assone
336
15.7
Potenziale d’azione: generazione
e propagazione
342
13.16 La forza di Lorentz e il moto di una
particella carica in un campo
magnetico uniforme
289
13.17 Campo magnetico generato da un
solenoide
292
13.18 Teorema di Ampere
293
VIII Indice generale
Appendici
A
Richiami di matematica
A.1
Potenze e logaritmi
347
A.2
Funzioni
348
B.4 A.3
Equazioni algebriche e sistemi di
equazioni
353
A.4
Trigonometria 355
B.5 B.6 Curva di distribuzione normale o di
Gauss
Curva di distribuzione degli errori di
misura
Probabilità e frequenza
Correlazione semplice
A.5
Simboli e costanti matematiche
357
C
Costanti fisiche e unità di misura
366
B
Cenni di statistica e teoria dell’errore
B.1
B.2
Curva di distribuzione delle frequenze 358
Valor medio e deviazione standard
360
D
Soluzione di alcuni problemi
366
B.3 Indice analitico
361
363
363
364
381
3
DINAMICA
Sommario
3.1 Le forze
3.2 Le leggi della dinamica
3.3 La forza di gravità
3.1 Le forze
Al concetto generale di forza si perviene mediante un processo di astrazione
partendo dall’idea intuitiva di sforzo muscolare. L’osservazione personale mostra che, ogni volta che si interviene su un oggetto mediante uno sforzo, l’oggetto si mette in movimento, se libero, oppure si deforma, se vincolato. E se
l’oggetto è in moto, la sua velocità risulta alterata nel valore o nella direzione o
in entrambi. Si ritiene pertanto che una forza, di qualsivoglia origine o natura,
agisca ogni volta che si assiste ad un cambiamento dello stato di moto di un
corpo o ad una deformazione del corpo stesso. Va sottolineato che alla parola
forza si preferisce spesso il termine interazione per rimarcare la natura di questa
grandezza fisica che ha la sua origine proprio nell’insorgere di una interazione
fra almeno due corpi. Dal punto di vista macroscopico, si possono operativamente distinguere due tipi di forze: forze di contatto e forze a distanza. Le forze
di contatto implicano che i corpi che interagiscono vengano a contatto, mentre
nelle forze a distanza i corpi interagenti non sono a contatto. Si noti che a rigore le forze di contatto non esistono, come appreso dalle più moderne teorie che
individuano nel “contatto” forze microscopiche agenti a distanza, come la forza
elettrica di repulsione.
Si prendano in considerazione alcuni esempi di forze. La forza peso è la forza
diretta perpendicolarmente alla superficie terrestre che si esercita su un corpo di
massa m a causa dell’attrazione gravitazionale della Terra. La forza muscolare è la
forza che si sviluppa per la contrazione dei fasci muscolari, è diretta come il fascio
muscolare stesso e risulta applicata dove il muscolo si innesta sullo scheletro. La
forza elastica è la forza con cui reagisce un corpo elastico quando viene deformato, ha la stessa direzione della forza deformante e la sua intensità è direttamente
3.4 La forza di attrito
3.5 Massa, peso e densità
3.6 La forza di attrito
viscoso e la
sedimentazione
3.7 La forza centrifuga
e la centrifugazione
3.8 Esempi di moto
armonico
3.9 Cenni di dinamica
del corpo rigido
Esercizi e problemi
31
32 CAPITOLO 3 ■
Dinamica
proporzionale all’entità della deformazione stessa. Altri tipi di forze sono le forze
elettriche, le forze magnetiche, le forze di attrazione molecolare e così via. Le
forze sono tipiche grandezze vettoriali e quindi ad esse si applicano le regole del
calcolo vettoriale accennate nel Capitolo 1.
Per quanto riguarda la misura delle forze è possibile procedere in due modi,
l’uno statico, basato sulla deformazione prodotta su un corpo (per esempio l’allungamento di una molla), l’altro dinamico, basato sull’osservazione dei cambiamenti prodotti nello stato di moto di un corpo. Per il momento viene adottata
l’idea di misurare le forze staticamente, per esempio mediante un dinamometro a
molla, tarato in base al peso del campione in platino-iridio depositato all’Ufficio
Internazionale dei pesi e misure di Sèvres. Nel corso del prossimo paragrafo si
vedrà come, ricorrendo al secondo principio della dinamica, è possibile passare
all’altro metodo di misura e, abbandonando l’unità di misura chilogrammo peso
(che è definito per una particolare latitudine, al livello del mare e nel vuoto),
adottare il newton (che è un’unità di misura assoluta).
Si ricordi infine che in natura esistono 4 tipi di forze fondamentali (recentemente ricondotti a 3):
1) la forza di attrazione gravitazionale, che rende conto dell’interazione fra corpi
aventi massa diversa da zero (es.: Terra-Sole, Terra-Luna, Sole-Giove, satelliteTerra, ecc.);
2) la forza elettromagnetica, che raccoglie le forze elettriche e le forze magnetiche
che saranno trattate nel capitolo riguardante l’elettromagnetismo;
3) la forza nucleare debole, responsabile ad esempio del decadimento β dei nuclei
(si veda l’ultimo capitolo), circa 1012 volte più debole della forza elettromagnetica e 1025 volte più intensa di quella gravitazionale;
4) la forza nucleare forte, che tiene insieme i componenti di un nucleo, protoni
e neutroni (o più precisamente i quark), contrastando la forza elettrostatica
repulsiva. Questa forza è due ordini di grandezza più intensa della forza elettromagnetica.
Si ricordi infine che negli ultimi decenni la forza elettromagnetica e la forza
nucleare debole sono state unificate nell’ambito della cosiddetta teoria dell’interazione elettrodebole.
3.2 Le leggi della dinamica
La meccanica classica o newtoniana, che non si occupa dei fenomeni atomici (oggetto della meccanica quantistica), né di quelli che comportano velocità prossime
a quella della luce (oggetto della teoria della relatività), è basata sui seguenti principi fondamentali della dinamica o di Newton:
Primo principio. Ogni corpo persevera nel proprio stato di quiete o di
moto rettilineo uniforme, finché le forze esterne ad esso siano nulle cioè non
intervengano a modificarne lo stato (principio, o legge, d’inerzia da attribuire in
realtà a Galileo).
Secondo principio. L’accelerazione subita da un corpo è in ogni istante
proporzionale alla forza risultante R agente su di esso e inversamente proporzionale alla sua massa. La forza risultante è la somma delle forze agenti su un corpo.
Questo principio si scrive: R = Σ F = m a, dove m > 0, oppure utilizzando le componenti dei vettori: Σ Fx = m ax, Σ Fy = may , Σ Fz = maz .
3.2 ■
Le leggi della dinamica 33
Terzo principio. Dati due corpi, 1 e 2, se il corpo 1 esercita una forza F 12
sul corpo 2, il corpo 2 esercita su 1 la forza –F 21, cioè una forza avente il modulo,
la direzione nonché la retta di applicazione di F 12 e il verso opposto (principio di
azione e reazione). Si scrive F 12 = –F 21. Nella Figura 3.1 questo principio è illustrato per forze a distanza e forze a contatto.
Prima di proseguire è bene chiarire tre concetti. Il diagramma delle forze o diagramma di corpo libero per un corpo sottoposto ad un insieme di forze è la rappresentazione grafica di tutti i vettori delle forze che agiscono sul corpo stesso; tale
diagramma è indispensabile per la risoluzione dei problemi di meccanica in quanto permette di scrivere la seconda legge di Newton nelle diverse direzioni. I corpi
o particelle considerati saranno sottoposti a vincoli, nel senso comune ma esteso
del termine. Tali vincoli hanno l’effetto di “vincolare” il moto e/o la posizione
delle particelle; esempi di vincoli sono un tavolo di appoggio per oggetti vari, una
guida (ad esempio la guida delle montagne russe per i vagoni al luna park), una
carrucola, una molla, una corda che sostiene l’oggetto, un piano inclinato, ecc.
Se la forza di reazione (alla forza di azione dell’oggetto vincolato) del vincolo è
perpendicolare alla superficie tangente al vincolo nel punto di contatto vincolooggetto, il vincolo è ideale; altrimenti il vincolo non è ideale. Nel testo verranno
considerati quasi sempre vincoli ideali, con l’eccezione di quando sono presenti
forze di attrito. In tutti i casi esaminati, i vincoli saranno considerati di massa nulla; per esprimere questa condizione per un corpo si usa il termine corpo leggero (ad
esempio corda leggera) o corpo di massa trascurabile (corda di massa trascurabile).
Gli enunciati dei primi due principi pongono innanzitutto, e per due ragioni,
il problema del sistema di riferimento. La prima ragione è banale ed è riconducibile al semplice fatto che le grandezze cinematiche sono definite e misurate sempre rispetto ad un sistema di riferimento prefissato. La seconda invece è dettata
n = Ftm
Fg = FTm
F12 = –F21
2
F12
Fmt
F21
FmT
1
(a)
(b)
▲ Figura 3.1 (a) Forza di azione e reazione tra due masse interagenti. (b) Quando un og-
getto è appoggiato su un tavolo, sull’oggetto agiscono due forze: la forza peso diretta verso
il basso e la forza di reazione vincolare n del tavolo normale alla superficie del vincolo, se
il vincolo è ideale. Si osservi che, a rigore, la reazione vincolare non è la reazione alla forza
peso anche se uguale ad essa. Fmt = forza esercitata dalla massa m posta sul tavolo; Ftm = forza
del tavolo sulla massa appoggiata; FTm = forza della Terra sulla massa m ; FmT = forza della
massa m sulla Terra.
◀ FIGURA 3.1
34 CAPITOLO 3 ■
Dinamica
dalle leggi operanti in natura. Per capire questo si noti innanzitutto che ogni sistema di riferimento ancorato alla Terra, quando viene osservato dall’esterno, per
esempio dal Sole, compie un moto di rotazione intorno all’asse terrestre ed un
moto di rivoluzione intorno al Sole. Un moto che sulla Terra appare come rettilineo e uniforme è perciò solo apparentemente tale. Quali sono dunque i sistemi
di riferimento rispetto ai quali i corpi naturali obbediscono ai primi due principi? Newton ha scoperto che la legge d’inerzia e il secondo principio valgono
in riferimento alle stelle fisse (che occupano sulla volta celeste posizioni relative
praticamente immutabili) o a quei sistemi di assi che rispetto ad esse si muovono
di moto traslatorio uniforme. I sistemi di riferimento nei quali vale la legge d’inerzia
vengono detti inerziali.
Per fenomeni che si manifestano in una regione di dimensioni piccole rispetto alla Terra, è lecito considerare inerziale, con buona approssimazione, anche il
sistema di riferimento solidale con il globo terrestre. Invece non è inerziale un
sistema di riferimento solidale con una piattaforma ruotante. Infatti, in un sistema che si muove di moto circolare uniforme è presente un’accelerazione diretta
verso il centro della traiettoria. Le leggi della dinamica possono essere estese ai
sistemi non inerziali pur di introdurre delle opportune forze apparenti o pseudoforze che non sono presenti nei sistemi inerziali.
Per quanto riguarda il secondo principio, sono in generale molto precise le
sue verifiche sperimentali indirette. È comunque possibile stabilire anche direttamente che, variando la forza F applicata ad un corpo assegnato, il rapporto
F/a (dove F è misurata staticamente) è uguale ad una costante positiva m caratteristica del corpo. Si può provare inoltre, prendendo volumi diversi della
stessa sostanza, che m è proporzionale al volume, cioè alla quantità di materia
considerata.
Il secondo principio viene solitamente scritto come:
■ 3.1
F = ma
o meglio, considerando la risultante R delle forze su un corpo:
R = Σ F = ma
La costante m è detta massa inerziale , o semplicemente massa, del corpo. Si
conviene inoltre di adottare come campione di massa la massa del peso campione depositato a Sèvres, menzionato nel paragrafo precedente (si noti che le
masse e il funzionamento delle bilance, mediante le quali si confrontano le masse stesse, non dipendono, a differenza dei pesi, dalla latitudine o dall’altitudine
o dalla densità del mezzo circostante). Nel caso che su un corpo agisca una sola
forza, diviene possibile allora leggere la (3.1) come una definizione (dinamica)
della forza F e il valore di una forza può venire dedotto dalla misura di una
massa e di un’accelerazione. Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della
forza è il newton (N ), che è definito come la forza che imprime alla massa di
un chilogrammo l’accelerazione di un metro al secondo per secondo. Analogamente l’unità di misura CGS è la dina (o dyne), che è la forza che imprime ad
un grammo l’accelerazione di un centimetro al secondo per secondo. Si hanno
pertanto le relazioni:
1 newton = 1 kg ∙ 1 m ∙ s –2 = 1000 g × 100 cm ∙ s –2 = 105 dyne.
3.2 Un disco di massa 0.5 kg scorre su una superficie orizzontale priva di attrito. Nel caso si esercitino simultaneamente sul disco due forze di modulo F 1 = 5 N e F 2 = 8 N parallele alla superficie, si determini
l’accelerazione del disco.
■
Le leggi della dinamica 35
ESEMPIO 3.1
y
F2
F1 = 5.0 N
F2 = 8.0 N
Soluzione
60°
Si assimili il disco ad una particella e si disegni per
prima cosa il diagramma delle forze o diagramma
di corpo libero, riportato in figura. Di seguito, seguendo il diagramma di corpo libero, si determini
la forza risultante su di esso nelle componenti x e y:
20°
x
F1
Σ F x = F 1x + F 2x = F 1 cos 20° + F 2 cos 60° = 8.7 N
Σ F y = F 1y + F 2y = –F 1 sen 20° + F 2 sen 60° = 5.2 N
Per la seconda legge di Newton:
ax = Σ F x /m = 8.7/0.5 = 17.4 m/s2
ay = Σ F y /m = 5.2/0.5 = 10.4 m/s2
da cui:
a = 
a x2 + a y2 = 20.3 m/s2
θ = tg–1 (a y /a x ) = 30.87° o 0.54 rad
(angolo formato dal vettore accelerazione con l’asse x)
Due corpi di massa m1 = 50 kg e m2 = 40 kg, sono sospesi ad una puleggia
leggera e senza attrito, dove la fune è inestensibile e leggera (macchina di
Atwood). Calcolare il modulo dell’accelerazione delle due masse e la tensione
della fune.
T
T
+
m2
m2
m1
+
ESEMPIO 3.2
m1
m2g
m1g
(a)
(b)
(a) La macchina di Atwood; (b) diagramma di corpo libero per m 1 e m 2 .
continua
36 CAPITOLO 3 ■
Dinamica
Segue: Esempio 3.2
Soluzione
Si consideri l’asse y orientato verso il basso e nell’attribuire i segni alle componenti dell’accelerazione si tenga conto del fatto che la massa più grande (m 1)
scende, mentre quella più piccola (m 2) sale.
Applicando la seconda legge di Newton a m 1 e m 2 :
ΣF y1 = –T + m 1g = m 1a
ΣF y2 = –T + m 2 g = –m 2 a
Sottraendo la seconda equazione dalla prima ed eliminando così T si ha:
m 1g – m 2 g = m 1a + m 2 a
cioè:
a = g(m 1 – m 2 )/(m 2 + m 1) = 1.09 m/s2
e, sostituendo a nella seconda di Newton valida per la massa m 2 , si ottiene:
2 m 1m 2
T = ––––––––– g = 436 N
m1 + m2
Il principio di azione e reazione ha importanti conseguenze per lo studio del
moto dei sistemi costituiti da più corpi. Di seguito viene brevemente accennata
la conseguenza più diretta del terzo principio, cioè il teorema di conservazione della
quantità di moto. Si definisce quantità di moto di un corpo di massa m che si muove
con velocità v la grandezza vettoriale:
■ 3.2
q = mv
Inoltre si dice sistema isolato un sistema per cui la risultante delle forze esterne
sia nulla o alternativamente attraverso i contorni del quale non ci siano trasferimenti di energia dal sistema all’ambiente circostante e viceversa. Il teorema di
conservazione della quantità di moto afferma che in un sistema isolato la quantità di moto
totale del sistema si conserva.
Segue la dimostrazione di come questo teorema sia una conseguenza immediata del terzo principio della dinamica. Si consideri per semplicità un sistema
isolato costituito da due corpi puntiformi A e B. Per il terzo principio, se FAB è la
risultante delle forze che B esercita su A, FBA = –FAB è la risultante delle forze che
A esercita su B. Dal secondo principio della dinamica (3.1) e dalla definizione di
accelerazione si ha:
aA = FAB /mA = d vA /dt
aB = FBA /mB = d vB /dt
ma per il terzo principio FAB + FBA = 0 per cui:
■ 3.3
mA dvA /dt + mB dvB /dt = 0
Moltiplicando ambo i membri per dt e integrando fra uno stato iniziale i e
uno finale f di un corpo, la (3.3) diventa:
■ 3.4
mA (vAf – vAi ) + mB (vBf – vBi) = mA DvA + mB DvB = 0
7
I GAS E LE SOLUZIONI
Sommario
7.1 Introduzione
7.2 Leggi dei gas perfetti
7.3 Leggi dei gas reali
7.1 Introduzione
Un gas è un sistema costituito da un grande numero di atomi o di molecole che
interagiscono debolmente fra di loro. Pertanto un gas costituisce uno dei più semplici sistemi termodinamici e come tale verrà trattato nel capitolo successivo. In
questo capitolo verranno richiamate le leggi fondamentali che regolano in modo
specifico il comportamento dei gas e delle soluzioni, lasciando al capitolo successivo lo studio delle leggi che regolano il comportamento di gas e soluzioni considerati come un caso particolare di sistema termodinamico.
Lo stato fisico di un gas può essere descritto principalmente e nella maggior
parte dei casi dai valori che assumono le seguenti grandezze: pressione, volume,
temperatura e densità. Per l’introduzione del concetto di temperatura e la sua
misura, si rimanda al Capitolo 8; nel presente capitolo si fa riferimento alla grandezza temperatura ricorrendo al concetto quotidiano e a quanto già introdotto
in altri corsi universitari e nelle scuole superiori. Le leggi dei gas sono delle relazioni che si possono stabilire tra le grandezze sopraelencate e che devono valere
in condizioni di equilibrio o nel corso di particolari tipi di trasformazioni del gas.
Sperimentalmente è stato trovato che i gas rarefatti e ad alta temperatura
obbediscono abbastanza bene ad una serie di leggi relativamente semplici dette
leggi dei gas perfetti. Queste stesse leggi possono essere ricavate mediante un calcolo
teorico che parte dalle proprietà microscopiche del gas (teoria cinetica dei gas),
purché si assuma un modello in cui il gas è costituito da molecole puntiformi,
che non interagiscono e che si urtano in modo perfettamente elastico. Un gas
perfetto è un gas che si può identificare con il modello ideale descritto, oppure,
più semplicemente, un gas che obbedisce rigorosamente alle equazioni dei gas
perfetti.
7.4 Pressione parziale
7.5 Le soluzioni
7.6 Diffusione
7.7 Osmosi e pressione
osmotica
7.8 Lavoro osmotico e
potenziale chimico
in soluzioni diluite
7.9 Potenziale
elettrochimico
ed equilibrio di
Donnan-Gibbs
7.10 Fenomeni osmotici
e diffusione di gas
nell’organismo
umano
7.11 Meccanica della
respirazione
7.12 Equilibrio meccanico
degli alveoli
Esercizi e problemi
119
120 CAPITOLO 7 ■
I gas e le soluzioni
In termini microscopici, quindi, un gas perfetto è un gas costituito da un insieme di molecole o atomi in moto casuale, tra cui non esistono forze a lunga distanza, e che occupano una frazione trascurabile del volume del loro contenitore.
L’approssimazione con cui i gas reali obbediscono alle leggi dei gas perfetti è
tanto migliore quanto più il gas, reale è lontano dalle condizioni di liquefazione.
In questo capitolo oltre ai gas vengono trattate anche le soluzioni per il seguente motivo: una soluzione si comporta per certi aspetti come un gas di atomi
o molecole di soluto che si muovono in un volume pari al volume della soluzione.
7.2 Leggi dei gas perfetti
Per un gas perfetto valgono le seguenti leggi.
Legge di Boyle
Indicando con p la pressione e V il volume di una certa massa di gas, a temperatura
costante si ha:
p V = cost
■ 7.1
Leggi di Gay-Lussac
Se un gas viene riscaldato mantenendo la pressione costante, che il volume del gas a
temperatura t è legato al volume V 0 del gas a zero gradi centigradi dalla relazione:
V t = V 0 (1 + αt )
■ 7.2
dove la temperatura t è espressa in gradi centigradi (°C) o Celsius.
Se invece un gas viene riscaldato a volume costante, la pressione a temperatura
t è legata alla pressione a zero gradi centigradi dalla relazione:
p t = p 0 (1 + βt )
■ 7.3
Utilizzando le relazioni (7.1) e (7.2) si potrebbe dimostrare che deve essere
α = β. Secondo le due leggi di Gay-Lussac il coefficiente α di dilatazione è lo
stesso per tutti i gas e vale α < 1/273. Per i gas reali le tre leggi riportate sono
verificate con buona approssimazione solo se i gas sono lontani dalle condizioni
di liquefazione.
Le tre leggi precedenti possono essere compendiate in un’unica legge che
stabilisce una relazione tra il volume V 0 e la pressione p 0 alla temperatura di 0°
centigradi e il volume V e la pressione p alla temperatura di t gradi centigradi.
Infatti consideriamo le seguenti trasformazioni:
condizioni iniziali
dopo una isoterma dopo una isocora
condizioni finali
I
II
III
IV
p 0
p ′
p
p
V 0
V
V
V
0°
0°
t
t
Nel passaggio dallo stato I allo stato II vale la legge di Boyle: p 0V 0 = p ′V ;
nel passaggio dallo stato II allo stato III vale la seconda legge di Gay-Lussac:
7.2 ■
Leggi dei gas perfetti 121
p = p ′ (1 + α t ); ricavando dalla seconda relazione p ′ e sostituendo nella prima
si ottiene:
p V = p 0V 0 (1 + α t )
7.4
■
7.5
■
L’Equazione (7.4), chiamata equazione di stato dei gas perfetti, stabilisce la relazione che deve esistere fra i parametri termodinamici p, V e t per una certa massa
di gas che si trovi in uno stato di equilibrio.
Legge di Avogadro
Si ricordi che una grammomolecola (in chimica moderna del tutto equivalente a
dire una mole di molecole ) di una sostanza rappresenta una quantità, in grammi,
numericamente uguale al peso molecolare della sostanza misurato in unità atomiche (posto il peso di un atomo di idrogeno = 1).
Si ricorda che una mole di particelle di un certo tipo (ioni, atomi, molecole, ecc.) corrisponde a 6.022 ∙ 10 23 particelle. Così come si usa il termine grammomolecola per
una mole di molecole, si usa grammoione per una mole di ioni e grammoatomo
per una mole di atomi.
La legge dedotta da Avogadro afferma che volumi uguali di qualsiasi gas perfetto, nelle stesse condizioni di pressione e temperatura, contengono un ugual
numero di molecole e, sapendo che una grammomolecola di qualsiasi sostanza
contiene lo stesso numero di molecole e precisamente NA = 6.022 ∙ 1023, si ha che
una grammomolecola di qualsiasi gas occupa, nelle stesse condizioni di pressione
e temperatura, lo stesso volume.
Alla temperatura di 0 °C e alla pressione di 1 atm, il volume occupato da una
grammomolecola di qualsiasi gas è V0 = 22.41 litri.
Introducendo la temperatura assoluta (e l’associata scala kelvin) definita da:
T (K ) = 273.15 + t (°C), è possibile riscrivere la (7.4) nel modo seguente:
p V = (p 0V 0 /273.15) T = n RT
dove la quantità p 0V 0 /273.15 è stata posta uguale ad una costante R detta costante
dei gas perfetti. Poiché la costante R si riferisce ad una grammomolecola è necessario moltiplicare per il numero n di grammomolecole (o moli) perché la legge
valga per una quantità qualsiasi di gas. Per la legge di Avogadro la costante R è
uguale per tutti i gas perfetti. Infatti una grammomolecola di un gas perfetto a
0 °C e 1 atm occupa un volume di 22.41 litri. Quindi si calcola:
R = p 0V 0 /273.15 ≈ 1 ∙ 22.41/273.15 ≈ 0.082 litri ∙ atmosfere
che espressa nel sistema MKS- SI diventa:
R = p 0V 0 /273.15 = 105 ∙ 22.41 ∙ 10–3/273.15 = 8.315 joule/K ∙ mole.
Un cilindro di sezione con area A è chiuso da un pistone a tenuta, libero di
muoversi in verticale, e contiene un gas ideale. La pressione iniziale esercitata dal pistone è 100 kPa ed esso si trova a 20 cm dalla base del cilindro.
Aggiungendo una massa sopra il pistone la pressione aumenta fino a 150 kPa.
ESEMPIO 7.1
continua
122 CAPITOLO 7 ■
I gas e le soluzioni
Segue: Esempio 7.1
Supponendo che T resti costante e uguale a 300 K, si trovi la nuova altezza
del pistone.
Soluzione
Secondo la legge di Boyle si ha:
P 1V 1 = P 2V 2 1 V 2 = V 1 (P 1 /P 2 )
Scrivendo inoltre V 1 = Ah 1 e V 2 = Ah 2 , si ha:
h 2 = h 1 (P 1/P 2 ) = 20 cm ∙ 100 kPa/150 kPa = 13.3 cm
ESEMPIO 7.2
Un gas perfetto contenuto in un cilindro con pistone a tenuta e scorrevole
senza attrito, occupa un volume iniziale V 1 = 4 litri a t 1 = 20 °C. Si calcoli il
volume V 2 del gas quando dalla temperatura iniziale passa alla temperatura
t 2 = 110 °C, a pressione costante.
Soluzione
Dalla legge di Gay-Lussac si deduce:
V 1 = V 0 (1 + α t 1 )
e
V 2 = V 0 (1 + α t 2 )
dove V 0 è il volume occupato dal gas a 0 °C. Dividendo membro a membro
queste due equazioni si ottiene:
V 2 /V 1 = (1 + α t 2 )/(1 + α t 1 )
da cui, poiché α = (273.16 °C)–1, si ha:
V 2 = V 1(1 + α t 2 )/(1 + α t 1 ) = V 1 (273.16 °C + t 2 )/(273.16 °C + t 1 ) =
= 5.23 litri
7.3 Leggi dei gas reali
Nel paragrafo precedente è stata discussa un’equazione di stato valida per gas
perfetti e si è detto che un gas reale si comporta come un gas perfetto solo lontano dalle condizioni di liquefazione. In questo paragrafo verrà considerato il
comportamento di un gas reale per vedere in che cosa esso si discosta da un gas
perfetto, particolarmente in prossimità della temperatura di liquefazione.
Si prendano in considerazione delle trasformazioni isoterme, ottenute comprimendo o espandendo un gas lentamente in modo che la temperatura rimanga
quella del termostato con cui il gas è in contatto termico. Per una mole di gas
perfetto l’equazione dell’isoterma è:
p V = R T = cost.
Se si riporta in un diagramma cartesiano la pressione p in funzione del volume V si ottengono delle iperboli, come mostrato in Figura 7.l. Le iperboli corrispondono a diversi valori della temperatura assoluta T.
Se si riportano invece in un diagramma p-V i valori sperimentali che si ottengono per le isoterme di un gas reale si ottengono delle curve come quelle mostrate in Figura 7.2. Si osservi che, in questo secondo caso, per poter dare i valori
numerici di p, V, e T bisognerebbe specificare di quale gas si tratta.