t - ISIP40

CORSO DI TECNICHE E SISTEMI
DI TRASMISSIONE FISSI E MOBILI
Prof. C. Regazzoni
COLLEGAMENTI HERTZIANI
1
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
[1]
P. Mandarini, “Comunicazioni Elettriche”, Vol. I e II,
Editrice Ingegneria 2000, Roma: 1989.
[2]
J. G. Proakis, “Digital Communications”, (Terza
Edizione), Mc.Graw-Hill, New York: 1995.
[3]
G. Maral, M. Bousquet, “Satellite Communications
Systems” (Terza Edizione), Wiley, 1998.
[4]
A. Bernardini, “Sistemi di telecomunicazione - Lezioni”,
Edizioni Ingegneria 2000, 1989.
2
GENERALITA’
iUn collegamento hertziano tra due punti è realizzato generando
un campo e.m. proporzionale al segnale da trasmettere e sfruttando
le proprietà propagative di tale campo.
iLa conversione da segnale elettrico a campo e.m. viene
effettuata da un'antenna detta TRASMITTENTE, mentre la
conversione da campo e.m. a segnale elettrico viene effettuata da
un'antenna detta RICEVENTE. L'insieme delle apparecchiature di
trasmissione, o ricezione, prende il nome di STAZIONE (di
trasmissione o ricezione).
3
MODELLO CIRCUITALE DEL
COLLEGAMENTO HERTZIANO
•Ogni antenna è in grado di effettuare le conversioni in modo ottimale
solo se il segnale in transito presenta un'occupazione spettrale
percentualmente molto contenuta rispetto alla sua frequenza centrale.
•I collegamenti hertziani consentono la trasmissione di soli segnali
modulati. Qui consideriamo segnali a banda stretta. Tali segnali
possono ritenersi sinusoidi a frequenza portante f p e di ampiezza e
fase lentamente variabili nel tempo, tanto che il segnale in transito
potrà essere spesso considerato come una sinusoide pura.
4
•La frequenza di portante può anche indicarsi attraverso la
corrispondente lunghezza d'onda:
λp = c f p
in cui c è la velocità di propagazione dell'onda e.m. nello spazio
(c=3*108 nello spazio vuoto).
•Si può ritenere che il collegamento soddisfi un modello di rete a due
porte (vedi Figura slide seguente) con le seguenti notazioni:
•impedenza di ingresso: Z AT ( f ) ( Z i ( f ) )
•impedenza di uscita: Z AR ( f ) ( Z u ( f ) )
•funzione di trasferimento intrinseca: H P ( f ) ( H Q ( f ) )
5
Rete a due porte
V1 ( f ) = Z11 ( f ) I1 ( f ) − Z12 ( f ) I 2 ( f )
V2 ( f ) = Z 21 ( f ) I1 ( f ) − Z 22 ( f ) I 2 ( f )
Circuito equivalente di una rete a due
porte (passiva) alimentata da un
generatore e collegata ad un carico
(modello adatto a collegamento
hertziano)
6
•La distanza tra le antenne è così grande che la presenza di antenne
riceventi non altera il campo e.m. prodotto dall'antenna
trasmittente e quindi il termine Z12 ( f ) può ritenersi praticamente
nullo:
• Z AT ( f ) può considerarsi una quantità caratteristica della sola
antenna trasmittente ed eventualmente della conformazione
dell'ambiente esterno in cui è inserita; prende il nome di
IMPEDENZA DI INGRESSO dell'antenna trasmittente;
• Z AR ( f ) avente proprietà analoghe, prende il
IMPEDENZA DI USCITA dell'antenna ricevente;
nome
di
7
Z11 ( f ) = Z i ( f ) = Z AT ( f )
e quindi,
Hp( f ) =
Z AT ( f ) + Z G ( f )
Z 21 ( f )
Z AT ( f ) + Z G ( f )
Z AT ( f )
non dipende dalle condizioni di adattamento delle antenne in ingresso e in
uscita, ma solo dalle caratteristiche delle antenne e dai fenomeni
propagativi che intervengono.
H p ( f ) sostituisce un
generatore controllato in
tensione VG ( f ) ed è ideale
perché ad impedenza di
ingresso infinita (quella del
generatore controllato in
tensione)
Trasmettitore
VG(f)
Ricevitore
HP(f)
ZG(f)
ZAR(f)
ZAT(f)
8
CARATTERISTICHE DI UN
COLLEGAMENTO HERTZIANO IDEALE
Ipotesi:
ÎNello spazio non ci sono altri corpi, oltre alle due antenne;
ÎLo spazio è isotropo e non dissipativo;
ÎLe connessioni tra le antenne e il ricevitore sono adattate per il
massimo trasferimento di potenza (le impedenze di uscita del
trasmettitore e di ingresso del ricevitore devono essere rispettivamente
pari a Z *AT ( f ) e Z *AR ( f ) all'interno della banda dei segnali in transito);
ÎSi può quindi assumere che il collegamento hertziano si comporti
come un canale perfetto, che introduce un ritardo, dovuto alla finita
velocità di propagazione del campo e.m., ed una riduzione in ampiezza
(attenuazione).
9
TIPI DI ANTENNE
•Esistono due tipi fondamentali di antenna:
•Antenna isotropa (o isotropica): è un tipo di antenna ideale che
irradia energia uniformemente in tutte le direzioni;
•Antenna direttiva: è un tipo di antenna che irradia energia in
maniera non uniforme nello spazio, ma in misura maggiore o
minore in dipendenza della direzione. Le antenne usate nelle
applicazioni reali sono di questo tipo.
10
Antenna non isotropica
•Nel caso in cui l’antenna trasmittente non sia isotropa, occorre fissare
un sistema di riferimento in coordinate polari (r,θ,φ) solidale con
l’antenna trasmittente (vedi Figura sottostante):
O
(θ,φ)
(θ’,φ’)
r
L
11
GUADAGNO DI ANTENNA
•E’ un parametro che dipende fondamentalmente dalle caratteristiche
fisiche dell’antenna, in particolare dalla direzionalità.
•Si definisce come funzione di guadagno GT(θ,φ ) il rapporto tra la
potenza irradiata (o ricevuta) per unità di angolo solido da
un’antenna direzionale (in una data direzione) e la potenza irradiata
(o ricevuta) per unità di angolo solida da un’antenna isotropa;
•Con guadagno di antenna (Gmax) si intende il valore massimo della
funzione di guadagno, ovvero il valore in corrispondenza della direzione
di massima radiazione (che in generale coincide con l’asse
elettromagnetico dell’antenna);
•Il valore del guadagno di antenna è GT=1 per antenne isotropiche.
12
•Nelle due figure sottostanti è evidenziata la funzione di guadagno
(detta anche caratteristica di radiazione) di un’antenna direttiva in
funzione della direzione. Tale rappresentazione è effettuata sia in
coordinate polari (a), che in coordinate cartesiane (b).
(θ3dB è l’angolo per cui il guadagno di antenna diminuisce di 3dB rispetto a Gmax)
13
POTENZA IRRADIATA
Antenna isotropica
•Si assume GT(θ,φ ) = GT =1;
•Sia O un punto dello spazio in cui è posta un’antenna trasmittente, si indichi
con PT la potenza disponibile all’uscita del trasmettitore. Si suppone che
l’antenna abbia un rendimento unitario, per cui tutta la potenza assorbita PT
viene irradiata.
•Poiché lo spazio libero non dissipa potenza, nel caso di antenne isotrope, la
potenza irradiata per unità di angolo solido è data da:
W = PT 4π
(W/steradianti)
14
Antenna non isotropa
•Il valore del guadagno è pari a:
(
)
G = 4π λ2 Aeff
ove:
λ = c fp
Aeff area efficace di apertura dell’antenna
Aeff = ηA
Efficienza dell’antenna
Area di apertura dell’antenna (dipende dalla
geometria dell’antenna)
15
Il coefficiente η può essere visto come il prodotto di diversi fattori di
efficienza, ognuno dei quali tiene conto di un diverso fattore:
illuminazione, perdita di potenza, resistività dell’antenna ecc.
η = η1 • η2 • ............ • ηk
Tipicamente questo prodotto fornisce un valore dell’efficienza
compreso tra 0.55 e 0.75.
16
•L’antenna non isotropa distribuisce la potenza irradiata nelle varie
direzioni angolari secondo la funzione di guadagno, GT(θ,φ ), definita
in precedenza.
•Per cui, la potenza irradiata per unità di angolo solido, in direzione
(θ,φ) è la seguente. Tale quantità è detta potenza isotropica
equivalente irradiata (EIRP):
G (θ , φ )
W (θ , φ ) = PT T
(W/steradianti)
4π
17
•Avendo fissato efficienza unitaria, la potenza totale transitante
attraverso una superficie sferica con centro nell’antenna tramittente e
raggio r dovrà essere pari a PT ;
•Ciò significa che Aeff = A, ovvero tutta la potenza transita nell’area
di apertura dell’antenna, cioè:
∫∫W (θ ,φ )dθdφ = P
T
e quindi:
θφ
∫∫ G (θ ,φ )dθdφ = 4π
T
θφ
(indipendente da r)
18
•Per la definizione data di Guadagno di antenna, la funzione di
guadagno GT(.,.) (rapporto tra potenza irradiata da un’antenna
direzionale e potenza irradiata da antenna isotropica) assumerà valori
compresi tra 0 e Gmax;
•Un’antenna si dice direttiva se in una certa direzione (θ,φ) la funzione
di guadagno assume un massimo sensibilmente maggiore di 1;
•Tale valore massimo, indicato con Gmax, è il GUADAGNO DI
ANTENNA, già definito in precedenza.
19
ANTENNE DIRETTIVE: CASO IDEALE
δε
δθ
δφ
Antenna a bandiera
Antenna circolare
Antenna a bandiera:
R = {ϑ , φ :0 < ϑ < π 2 ;0 < φ < δΦ}
Antenna circolare:
R = {ϑ , φ :0 < ϑ < δΘ}
GT (θ , φ ) = G cos θ
Gmax = G = 4π δΦ
GT (θ , φ ) = G
Gmax = G = 2 δΘ
Antenna a spillo
R = insieme di
direzioni in cui la
funzione di guadagno
assume il valore
massimo
Antenna a spillo:
{
R = ϑ , φ :ϑ +φ < δε
2
2
2
}
GT (θ , φ ) = G = 4π πδε 2 =area del cerchio a r fissato
Gmax = G = 4 δε 2
20
Densità di flusso di potenza (per unità di area)
•Una superficie di area A a distanza L dall’antenna trasmittente, sottende
un angolo solido A/L2. Tale superficie riceve una potenza pari a:
GT (θ , φ ) A
= ΦA (W)
2
L
4π
•Il termine Φ è comunemente detto densità di flusso di potenza ed è
misurata in W/m2.
WR = PT
•Si osserva che, nel caso dell’esempio riguardante l’antenna a spillo,
vale la seguente:
PT 4 δε 2
PT
(cioè: potenza per angolo
Φ=
=
solido a distanza L)
4πL2
δε 2πL2
(
)
21
POTENZA RICEVUTA
•Supponiamo che l'antenna ricevente si trovi ad una distanza L in
direzione (ϑ , φ ) e "veda" l'antenna trasmittente nella direzione (ϑ ′, φ ′) .
O
(θ,φ)
(θ’,φ’)
r
L
•In queste condizioni, una frazione della potenza W irradiata, viene
trasferita dall’antenna ricevente verso il ricevitore.
•La frazione in questione viene solitamente espressa come un
parametro di superficie, funzione di (ϑ ′, φ ′) ed è chiamata funzione di
area efficace dell’antenna ricevente.
22
•La potenza disponibile all'uscita dell'antenna ricevente assume la
forma:
(
WdT GT (θ , φ )S R θ ' , φ ′'
WdR = ΦS R (θ , φ ) =
4πL2
'
(
SR θ ' ,φ '
)
'
)
è la funzione di area efficace
•Poiché un’antenna può operare in maniera indifferente come
trasmittente e come ricevente, è logico pensare che esista un legame tra
la funzione guadagno e la funzione di area efficace. E’ possibile
dimostrare che tale legame è indipendente dalla geometria
dell’antenna e vale:
λ2p
S R (ϑ , φ ) = GR (ϑ , φ )
Funzione di guadagno
4π
dell’antenna ricevente
23
•Per un'antenna direttiva, la direzione di massima emissione
corrisponde alla direzione in cui è massima la potenza ricevuta.
•Il massimo valore di SR, che prende il nome di AREA DI
APERTURA EFFICACE, si può quindi esprimere in funzione del
guadagno di antenna. Si può verificare che tale espressione (in dB)
vale:
AeffR ( dB ) = max 10 log10 S R (θ , φ ) = GR ( dB ) − 21.5 − 20 log10 f p
(θ ,φ )
•Antenna a bandiera:
GdB = 28.6 − 10 log10 δΦ gradi
•Antenna circolare:
GdB = 20.6 − 10 log10 δΘ gradi
Guadagno
d’antenna in
ricezione (in dB)
•Antenna a spillo:
GdB = 41.2 − 20 log10 δε gradi
24
L'attenuazione disponibile di un collegamento hertziano, dovuta
unicamente a direttività e distanza e crescente con la frequenza, vale
quindi:
2
⎛ 4πL ⎞
1
⎟
Ad = ⎜
⎜ λ ⎟ G (ϑ , φ )G (ϑ ′, φ ′)
R
⎝ p ⎠ T
Ad dB = 32.4 + 20 log10 Lkm + 20 log10 f pMHz − GT dB − GRdB
Nell'ipotesi di guadagni d'antenna nulli (in dB), prende il nome di
ATTENUAZIONE DI BASE DELLO SPAZIO LIBERO.
Osservazione: L'attenuazione del collegamento hertziano aumenta col
quadrato della lunghezza del collegamento, non esponenzialmente
come nei coassiali o nelle fibre ottiche.
25
PEGGIORAMENTI INTRODOTTI DA UN
COLLEGAMENTO REALE
Assorbimento da superficie terrestre
•La superficie terrestre può ritenersi un corpo conduttore con
conducibilità e costante dielettrica dipendenti dalle caratteristiche
del terreno sottostante il collegamento.
•Secondo le equazioni di Maxwell, se le antenne sono molto
prossime al terreno si prevede la propagazione di un campo e.m.
lungo la superficie terrestre (ONDA SUPERFICIALE) e la
corrispondente attenuazione è del tipo descritto in precedenza,
peggiorata di un termine moltiplicativo as = as (L )
detta
ATTENUAZIONE SUPPLEMENTARE, che tiene conto della
dissipazione di potenza provocata dal suolo.
26
Per frequenze inferiori a 10MHz:
a s ≈ (1 + 2 p )
p=
dove σ ≈ 5 ⋅10
−5
5.8 10 −6
2
f p2MHz L km ≈ f p2MHz L km 10
σ
è la conducibilità del suolo.
Al crescere della distanza e/o della frequenza della portante, l'onda
superficiale diventa inutilizzabile per la realizzazione di collegamenti
hertziani (vedi Figura).
27
Attenuazione supplementare dell’onda superficiale in
funzione della distanza e della frequenza di portante
28
Assorbimento atmosferico e da pioggia
•L'ipotesi di spazio non dissipativo può ritenersi valida fino a circa
10GHz: oltre, l'attenuazione viene peggiorata da un termine
moltiplicativo (ATTENUAZIONE SUPPLEMENTARE) derivante
da ossigeno, vapor d'acqua e pioggia.
•L’attenuazione supplementare dovuta all’assorbimento da parte
dell’ossigeno diventa sensibile per frequenze portanti superiori a
30GHz e presenta un massimo a circa 60GHz (20dB/km).
•Quella dovuta a vapor d’acqua presenta invece un massimo a circa
22GHz (1÷2dB/km al massimo).
29
Assorbimento da pioggia
•Per quanto riguarda l'attenuazione supplementare dovuta alla
pioggia, consideriamo un breve tratto del collegamento, di lunghezza
.∆x .
•Se la lunghezza d'onda è paragonabile al diametro delle gocce, allora
si verifica assorbimento di potenza da parte di quest'ultime:
∆a p = Kr0α ∆x
∆a p dB / Km = log K + 10α log r0
dove r0 è l’intensità di precipitazione (mm/ora) e K ed α sono
parametri che dipendono da diversi fattori (temperatura, velocità
del vento, frequenza di portante, forma delle gocce, ecc.).
30
Dipendenza dei parametri K e α in funzione del valore della
frequenza della portante
portante (GHz)
α
K
10
1.27
0.010
15
1.14
0.036
20
1.08
0.072
25
1.05
0.120
30
1.01
0.177
35
0.97
0.248
31
Attenuazione supplementare dovuta alla pioggia in
funzione della frequenza e dell’entità delle precipitazioni
32
•Fissando un riferimento X sulla congiungente le due antenne con
origine nell’antenna trasmittente:
L
a p = a p (t ) = K ∫ r0α ( x, t )dx = KLrLα (t )
(1)
0
1α
essendo:
⎡1 L α
⎤
(
)
(
)
rL t = ⎢ ∫ r0 x , t dx ⎥
⎣L 0
⎦
•rL è la precipitazione mediata in distanza;
•r0 è la precipitazione puntuale.
33
•La funzione rL(t) di distribuzione dell’attenuazione supplementare in
funzione della lunghezza del collegamento è una realizzazione di un
processo aleatorio RL(t), le cui caratteristiche variano da zona a zona.
• Per una certa zona essa è definibile come:
DApdB ( a pdB ; L) = Pr{ ApdB > a pdB | L}
o meglio la funzione inversa:
a pdB = a pdB ( D; L)
cioè il valore dell’attenuazione supplementare superata con
probabilità D in funzione della lunghezza L del collegamento.
34
(Probabilità che la precipitazione superi una
certa intensità su tratta di lunghezza L)
Da (1) si ha che:
{
D ApdB (a pdB ; L ) = Pr{ApdB > a pdB | L} = Pr RL > (a pdB KL )
1α
}
(
= rL* | L = DRL rL* = (a pdB KL ) ; L
1α
ovvero, se si conosce DRL o L, la funzione inversa rl* = rl(D;L) si può
esprimere come:
(valore di precipitazione a cui corrisponde una
probabilità D di essere superata)
a pdB ( D, L) = KLrL ( D; L)
α
(attenuazione corrispondente)
Per ogni sito è di solito nota la sola distribuzione puntuale dell’intensità
di precipitazione DR ( r0 )e quindi anche la sua funzione inversa r = r ( D)è
quindi necessaria un’estrapolazione da questa alla funzione DR ( rL ; L)
in funzione di L.
0
0
0
L
35
)
•Tale estrapolazione viene effettuata con metodi empirici, per es.
supponendo che piova con intensità costante su tutto il collegamento:
r0 ( D) → rL ( D; L)
α
α
e tenendo conto della disuniformità dell’intensità di precipitazione
utilizzando una lunghezza di tratta equivalente : Le = L ⋅ f ( D, L)
•Ove f(D,L) è un coefficiente riduttivo dipendente dalla distribuzione
locale
Nota: Se cresce D
•Risulta pertanto:
diminuisce
l’attenuazione
a pdB ( D, L) = KLe rL ( D; L) = KLr0 ( D ) f ( D, L) (ovvero è più
probabile che
•Sperimentalmente:
quell’attenuazione
− ( 0.632+ 0.0187 ln D )
. (100 D )
α 012
venga superata). Per
a pdB ( D, L) = [ KLr0 ]
1 + 0.045 L
D basso, i valori
dell’attenuazione
sono più significativi36
α
α
Distribuzione dell’attenuazione supplementare al
variare delle frequenza
Funzione di distribuzione
dell’intensità di precipitazione
nella località del Fucino
Corrispondente distribuzione di attenuazione supplementare a 15 e 30 GHz (curve b e c)
37
Riflessione e diffusione
La propagazione non avviene tramite traiettorie rettilinee:
Îse esistono regioni con indice di rifrazione differente, il raggio e.m.
curva verso le zone con indice maggiore (RIFLESSIONE o
RIFRAZIONE);
Îtransita attraverso regioni a struttura irregolare, e quindi può subire
fenomeni di assorbimento e reirradiazione in tutte le direzioni
(DIFFUSIONE).
38
Costituzione dell’atmosfera
ÎLa fascia più bassa dell’atmosfera prende il nome di TROPOSFERA, e si
estende fino ad una quota di circa 20km. L’indice di rifrazione può ritenersi
variabile, ed in particolare decrescente con la quota. Possono crearsi fenomeni di
diffusione per frequenze tra 100MHz e 10GHz.
ÎLa IONOSFERA è localizzabile a circa 80km di quota; l’alta concentrazione di
elettroni e ioni liberi provoca fenomeni di assorbimento e riflessione interessanti
frequenze comprese tra 5 e 30MHz. Si possono individuare i seguenti strati:
Ðstrato D (50-90km), assorbente (solo ore diurne);
Ðstrato E (≈110km), riflettente e piuttosto stabile;
Ðstrato F1 (≈220km), riflettente e piuttosto stabile;
Ðstrato F2 (≈300km), riflettente e piuttosto stabile;
Ðstrato E sporadico, riflettente.
39
•La ionosfera è anche sede di fenomeni di diffusione per frequenze comprese tra
35 e 50MHz, a causa della presenza di meteoriti.
•In base al valore della frequenza di portante possono verificarsi i seguenti
comportamenti:
ÐTra qualche decina di KHz e qualche MHz, la propagazione avviene
per onda di terra, e quindi con portata limitata;
ÐTra qualche MHz e qualche decina di MHz, la propagazione avviene
per raggio diretto (la portata è in questo caso quella ottica), oppure per
successive riflessioni sugli strati E e F e sulla superficie terrestre, oppure
per DIFFUSIONE IONOSFERICA. Il collegamento risulta estensibile
oltre la visibilità, ma non perfetto, in quanto esistono infiniti percorsi tra
le antenne;
40
ÐPer valori superiori a qualche decina di MHz, la propagazione
avviene essenzialmente per raggio diretto e quindi tra punti in
visibilità, oppure per DIFFUSIONE TROPOSFERICA.
Propagazione in non
visibilità per anomalie
della ionosfera e
frequenze comprese tra
qualche MHz e qualche
decina di MHZ
ÐPossono quindi essere presenti percorsi multipli tra le antenne, a
causa di fenomeni di riflessione dal terreno o di incurvamenti per
variazioni dell’indice di rifrazione
41
CAMMINI MULTIPLI
•Ciascuna delle anomalie di propagazione di cui si è parlato in
precedenza può essere tenuta in conto immaginando che i raggi
congiungenti le antenne siano più d'uno (CAMMINI MULTIPLI,
detto anche CANALE MULTIPATH);
42
Generalità sui cammini multipli
ÎNei corsi di telecomunicazioni di base, si è sempre considerato il
canale radio come canale Gaussiano, additivo, ed a banda limitata
(canale AWGN);
ÎQuesta approssimazione può essere accettabile solo in pochi e
particolari casi. In realtà le regole di propagazione dei segnali
nell’etere sono assai lontane da una caratterizzazione del canale di tipo
AWGN;
ÎI canali radio sono caratterizzati da un tipo di propagazione detta
multi-percorso (multipath), la quale provoca fenomeni di
evanescenza (fading) del segnale ricevuto. Per questo si dice che i
canali radio sono affetti da un tipo particolare di distorsione, detta
multipath fading.
43
Risposta all’impulso tempo-variante
ÎIl canale AWGN è caratterizzato da una risposta all’impulso tempoinvariante, nel caso in cui la condizione di Nyquist sia rispettata (ovvero il rate
di segnalazione sia minore del doppio della larghezza di banda del canale);
ÎInvece un canale multipath è caratterizzato da una risposta all’impulso di tipo
tempo-variante;
ÎSe trasmettiamo un impulso molto stretto (idealmente un delta di Dirac), la
risposta di un canale multipath sarà tipicamente un treno di impulsi, distanziati
uno rispetto all’altro da un intervallo di tempo detto time spread (τ). Le
ampiezze degli impulsi saranno anch’esse alterate (attenuazione);
Î Ripetendo gli esperimenti di trasmissione in tempi diversi sia il time spread,
che l’attenuazione assumeranno caratteristiche diverse, come mostrato dalla
figura nella slide successiva.
44
Esempio di risposta all’impulso di canale multipath
45
Rappresentazione degli effetti del canale multipath sul
segnale trasmesso (1)
•Un segnale passabanda generico può essere rappresentato nella seguente maniera:
{
s (t ) = Re sl (t )e j 2πf ct
}
(i)
•Assumendo che vi sia propagazione multi-percorso, si assegna ad ogni percorso
un ritardo di propagazione ed un fattore di attenuazione. In tal modo, il
segnale passabanda ricevuto può essere espresso nella seguente forma:
x(t ) =
∑α (t)s(t − τ (t))
n
(ii)
n
n
•Sostituendo (i) in (ii), si ottiene la seguente formulazione:
⎧⎡
x(t ) = Re⎨⎢
⎩⎣
∑α (t )e
n
n
− j 2πf cτ n ( t )
⎤ j 2πf ct ⎫
sl (t − τ n (t ) )⎥ e
⎬ (iii)
⎦
⎭
46
Rappresentazione degli effetti del canale multipath sul
segnale trasmesso (2)
•Appare chiaro che l’equivalente passabasso del segnale ricevuto in un canale
multipath è il seguente:
rl (t ) =
− j 2πf cτ n ( t )
α
(
t
)
e
sl (t − τ n (t ) )
∑ n
(iv)
n
•Poiché rl(t) è la risposta di un canale equivalente passabasso al segnale
equivalente passabasso sl(t), ne consegue che la risposta all’impulso tempovariante di un canale caratterizzato dalla presenza di cammini multipli è la
seguente:
c(τ ; t ) =
− j 2πf cτ n ( t )
α
(
t
)
e
δ (τ − τ n (t ) )
∑ n
(v)
n
47
Rappresentazione degli effetti del canale multipath sul
segnale trasmesso (3)
•Per alcuni tipi di canale, come ad esempio il canale troposferico, caratterizzati
da un numero di percorsi potenzialmente infinito, è più opportuna una
rappresentazione continua del segnale ricevuto (e non discretizzata sulla base di
un numero finito di percorsi):
+∞
x(t ) = α (τ ; t ) s (t − τ )dτ
∫
(vi)
−∞
•Dove α (τ ; t ) indica l’attenuazione delle componenti del segnale multi-percorso
corrispondenti al τ ed all’istante di tempo t.
•Andando a sostituire l’espressione di s(t) riportata in (i), all’interno
dell’espressione (vi) si otterrà:
⎧⎪⎡ +∞
⎤ 2πf t ⎫⎪
− 2πf cτ
x(t ) = Re ⎨⎢ α (τ ; t )e
sl (t − τ )dτ ⎥ e c ⎬
⎪⎩⎢⎣−∞
⎪⎭
⎥⎦
∫
(vii)
48
Rappresentazione degli effetti del canale multipath sul
segnale trasmesso (4)
•L’integrale riportato nell’espressione (vii) rappresenta la convoluzione di sl(t) con
la risposta all’impulso tempo-variante del canale c(τ;t), che pertanto è la seguente:
c(τ ; t ) = α (τ ; t )e − j 2πf cτ
(viii)
ove c(τ ; t) rappresenta la risposta del canale nell’istante di tempo t, dovuta ad un
impulso applicato nell’istante (t - τ).
•L’espressione riportata in (viii) rappresenta l’equivalente passabasso della
risposta all’impulso di un canale multipath di tipo continuo , mentre l’espressione
riportata in (v) rappresenta l’equivalente passabasso della risposta all’impulso di
un canale multipath caratterizzato da un numero discreto di percorsi.
49
Rappresentazione statistica di un canale multipath
•Ritorniamo al caso si un canale multipath a cammini discreti. Supponiamo
che il segnale trasmesso sia una portante non modulata a frequenza fc, in
pratica:
sl (t ) = 1
∀t
(ix)
•In tal caso, il segnale ricevuto si riduce alla seguente espressione:
rl (t ) =
− j 2πf cτ n ( t )
− jθ n ( t )
θ n (t ) =ˆ 2πf cτ n(t) (x)
α
(
t
)
e
=
α
(
t
)
e
∑ n
∑ n
n
n
•Dal punto di vista vettoriale il segnale ricevuto è rappresentabile
mediante una somma di fasori, caratterizzati da ampiezza e fase
tempo-variante.
50
Im
α1
rl(t)
θ1
θ2
Re
α2
Rappresentazione vettoriale di un canale multipath a due cammini
51
•Se il mezzo attraverso cui avviene la propagazione è stabile, il valore
di αn(t) subirà lievi oscillazioni nel tempo;
•Ma, per l’altro verso, θn(t) può variare di un fattore 2π se τn(t) varia di
un fattore 1/fc, che è generalmente un numero molto piccolo;
•Per cui θn(t) è un parametro molto sensibile anche a piccole
oscillazioni della caratteristica tempo-variante del canale multipath;
•Inoltre, ci si attende che il ritardo di propagazione τn(t) associato ad
ogni cammino vari in maniera assolutamente non prevedibile (per cui
si considera a tutti gli effetti un processo aleatorio);
•Questo implica che anche il segnale ricevuto rl(t) può essere modellato
come un processo aleatorio.
52
•Se il numero dei cammini è molto elevato (come è ragionevole supporre
nei canali radio reali), si può invocare il teorema del limite centrale e
supporre rl(t) come un processo aleatorio di tipo Gaussiano a valori
complessi;
•Per cui, anche la risposta all’impulso del canale multipath c(τ ; t)
potrà essere modellata come un processo aleatorio Gaussiano a valori
complessi;
•La propagazione multi-percorso propria dei canali radio reali,
rappresentata nella formula (x) si traduce, a livello fisico, in un fenomeno
di evanescenza (fading) del segnale ricevuto. Tale fenomeno è noto in
letteratura col nome di multipath fading.
53
Multipath fading: rappresentazione grafica vettoriale
Im
Im
istante t+δ t
α2
rl(t)
θ2
θ1
α1
α1
istante t
θ1
Re
α2
θ2
rl(t+δ t)
Re
FADING (il segnale ricevuto è
fortemente attenuato rispetto
all’istante precedente)
54
Effetti pratici del multipath fading sulla qualità delle
comunicazioni
ÎDa quanto si è visto nei grafici della slide precedente, il multipath fading causa
notevoli fluttuazioni temporali della potenza del segnale ricevuto.
ÎIn pratica, il segnale talora viene amplificato (quando l’effetto della somma
vettoriale dei cammini è costruttivo) e talora attenuato (quando l’effetto della
somma vettoriale dei cammini è distruttivo), in istanti temporali successivi, a
causa delle ampie escursioni del valore dello sfasamento tempo-varianteθn(t);
ÎQuesto effetto può essere notato, a livello macroscopico (ed analogico), ad
esempio quando il segnale ricevuto dalle comuni autoradio, come si suol dire, “va
e viene”;
ÎIn sistemi di trasmissione digitale, si noterà un consistente aumento del BER
in corrispondenza di “sprofondamenti” del livello del segnale dovuti al multipath
fading, che pertanto può essere considerato una sorta di auto-interferenza.
55
Fading di Rayleigh
ÎQuando la risposta all’impulso del canale multipath c(τ ; t) è
modellata come un processo aleatorio Gaussiano complesso a media
nulla, l’inviluppo c(τ ;t ) ad ogni istante t è distribuito secondo Rayleigh,
per cui, in tal caso, si parla di fading di Rayleigh;
r2
⎧
−
⎪ f R ( r ) = 2r e Ω r ≥ 0
⎨
Ω
⎪⎩ f R (r ) = 0 altrimenti
Ω =ˆ E ( R 2 )
Esempio di distribuzione di
Raileygh a varianza unitaria
56
Fading di Rice
ÎQuando la risposta all’impulso del canale multipath c(τ ; t) è
modellata come un processo aleatorio Gaussiano complesso a media non
nulla, l’inviluppo c(τ ;t ) ad ogni istante t è distribuito secondo Rice, per
cui, in tal caso, si parla di fading di Rice, o di canale Ricean multipath;
(r 2 + s 2 )
⎧
−
⎪ f R (r ) = r e 2σ 2 I '0 ⎛⎜ rs ⎞⎟ r ≥ 0
2
⎨
σ2
⎝σ ⎠
⎪ f (r ) = 0
altrimenti
⎩ R
r =ˆ X 12 + X 22 var( X 1 ) = var( X 2 ) = σ 2
E ( X 1 ) = m1
s =ˆ m12 + m22
E ( X 2 ) = m2 I0(.) = funzione di
Bessel di ordine 0
Esempio di distribuzione di Rice con
m1 = m2 = 1 e varianza 1
57
Uso dei diversi tipi di modellamenti del fading
ÎIl modellamento del fading di Rayleigh è generalmente usato nei canali
radio ove non esiste una componente del segnale ricevuta in linea
diretta (componente LOS) ed il segnale desiderato è ricevuto solo tramite
le sue repliche variamente sfasate e ritardate.
ÎQuesta situazione si verifica soprattutto nel caso di canali radio
urbani, ove le antenne sono poste generalmente ad altezza inferiore
rispetto ai mezzi di riflessione e dispersione del segnale (alberi, edifici);
ÎIl modellamento del fading di Rice è utile nei casi in cui, invece, esista
una componente LOS del segnale, che viene ricevuta insieme ad alcune
repliche sfasate e ritardate generate, per lo più, da riflessioni secondarie
della componente diretta.
ÎTali repliche agiscono come puri segnali interferenti.
58
Esempio di collegamento aereo - torre di controllo, con un percorso diretto ed
una singola componente multipath di riflessione, che viene ricevuta con un
ritardo τ0 rispetto alla componente LOS.
Risposta all’impulso
del canale
c(τ ; t ) = αδ (τ ) + β (t )δ (τ − τ 0 (t ))
Percorso diretto
(componente speculare fissa)
Funzione di
trasferimento
componente multipath
(modellabile con Rayleigh)
C ( f ; t ) = α + β (t )e − j 2πfτ 0 ( t )
Questo tipo di canale multipath può essere rappresentato efficacemente dal
modello di Rice, visto in precedenza.
59