Introduzione alle funzioni

Il concetto di funzione
a una sola variabile
indipendente
Corso di Laurea in Disegno Industriale
Corso di “Metodi Numerici per il Design”
Lezione 17 Ottobre 2002
Introduzione alle funzioni
F. Caliò
1
2
Insiemi 6 7 , (
Funzione come corrispondenza fra insiemi
Dato un insieme I di elementi xi…
…e un insieme E di elementi yi
\
[ [
,
[
Gli insiemi I e E sono costituiti di elementi omogenei,
prelevati da insiemi più ampi, rispettivamente S e T
\
[
\
\
I
6
(
Stabiliamo una corrispondenza f (univoca) tale che:
´D RJQL HOHPHQWR GL , FRUULVSRQGH XQ VROR HOHPHQWR GL (µ
$EELDPR FRVu GHILQLWR XQD IXQ]LRQH I LQ FXL
, q O·LQVLHPH GL GHILQL]LRQH
( q O·LQVLHPH LPPDJLQH
[ JHQHULFR HOHPHQWR GL , q OD YDULDELOH LQGLSHQGHQWH
I
,
(
7
I [ 6→7
6 LQVLHPH LQ FXL HVLVWH OD YDULDELOH LQGLSHQGHQWH
7 LQVLHPH LQ FXL HVLVWH OD IXQ]LRQH
, LQVLHPH GL GHILQL]LRQH ,⊆ 6
( LQVLHPH LPPDJLQH ( ⊆ 7
3
4
Funzioni invertibili e non
Esempio di funzione
Funzione invertibile
f: programmazione di un termostato ambiente
6
{PDWWLQD SRPHULJJLR VHUD QRWWH}
}
7
{22°,19°,15°}
}
P
, 6
Q
S
,
19°
22°
(
15°
7
\
[ [
[
\
\
(
[
Funzione non invertibile
V
,
\
[ [
[
"
[
5
Metodi Numerici per il Design
Introduzione alle funzioni
\
\
\
(
6
Lezione 16/17 Ottobre 2002
Pagina 1
Esempi di funzioni invertibili e non
3XQWL GHO SLDQR → FLUFRQIHUHQ]H
GL UDJJLR GDWR FRQ FHQWUR LQ HVVL
Funzione invertibile
Funzione Reale di una
Variabile Reale
4XDGUDWL GHO SLDQR →
FLUFRQIHUHQ]H LQVFULWWH LQ HVVL
Funzione non invertibile
7
8
Funzione reale di variabile reale
Intervalli di numeri reali
6 5
/·LQVLHPH GL GHILQL]LRQH GL XQD I 5
7 5
I[
VSHVVR XQ
LOOLPLWDWR
5→
→5
ESEMPIO: f(x) = x2
I=R
E = R+
ALTRO ESEMPIO: f(x) =
LQWHUYDOOR
→
5 q
OLPLWDWR R
Sapendo che tutti i numeri reali sono rappresentati
dai punti di un asse (ad esempio asse x),
rappresentiamo un intervallo come porzione di
un asse:
− 1 per x = 0

 π per x = 1
intervallo
x
0
R
I = {0,1}
E = {-1,π}
9
10
Intervalli limitati (di estremi a,b)
Intervalli limitati (continuazione)
,QWHUYDOOR DSHUWR D VLQLVWUD
Esistono:
• un numero a (estremo inferiore) che è minore o
uguale di tutti i numeri dell’intervallo;
• un numero b (estremo superiore) che è maggiore
o uguale di tutti i numeri dell’intervallo.
$
$
$
$
$
{[ | D ≤ [ ≤ E}
}
>D E@
A
a
A
[ ≤ E}
}
a
b
,QWHUYDOOR DSHUWR D GHVWUD
$
,QWHUYDOOR FKLXVR
{[ | D
D E@
{[ | D ≤ [
>D E
A
E}
}
a
b
,QWHUYDOOR DSHUWR
b
$
$
{[ | D
D E
[
A
E}
}
a
b
(continua)
11
Metodi Numerici per il Design
Introduzione alle funzioni
12
Lezione 16/17 Ottobre 2002
Pagina 2
Intervalli illimitati
Intervalli illimitati (continuazione)
Manca almeno uno dei due estremi.
$
$
,QWHUYDOOR OLPLWDWR D GHVWUD FKLXVR
$
$
{[ | [ ≤ F}
}
∞ F@
-∞
∞
$
{[ | [
∞ F
A
{[ | [ ≥ F}
}
>F ∞
$
A
{[ | [ ! F}
}
F ∞
-∞
∞
A
$
c
A
-∞
∞
{ [ ∈ 5 }
∞ ∞
$
∞
c
,QWHUYDOOR LOOLPLWDWR
F}
}
∞
c
,QWHUYDOOR OLPLWDWR D VLQLVWUD DSHUWR
c
$
,QWHUYDOOR OLPLWDWR D GHVWUD DSHUWR
$
A
,QWHUYDOOR OLPLWDWR D VLQLVWUD FKLXVR
∞
Quest’ultimo intervallo coincide con
l’intero asse, quindi $ = 5
(continua)
13
Insieme di definizione
Insieme di definizione - Esempi
6H GL XQD I 5 → 5 q GDWD OD VROD HVSUHVVLRQH
VL LQWHQGH FKH O·LQVLHPH GL GHILQL]LRQH q
O·LQVLHPH GL WXWWL L YDORUL [ SHU FXL WDOH
HVSUHVVLRQH q YDOLGD
Esempio:
f(x ) =
1
x +9
,
{[ | [ ≠
∞
Esempio 1: f ( x ) =
,
,
{[ | [ ≤
∪ [ ≥ }
@ ∪ > ∞
∞
-∞
∞
-1
,
,
∞
f ( x ) = ln( x + 3 )
{[ | [ !
}
∞
-3
15
Grafico di una funzione f(x)
&XUYD GHO SLDQR [ \ GL HTXD]LRQH \
y
∞
1
L’argomento dev’essere positivo, quindi:
}
∪
( x − 1 )( x + 1 )
Il radicando dev’essere non negativo, quindi:
Esempio 2:
Questa espressione perde significato solo per x = -9,
quindi:
,
14
∞
16
Curve piane
1RQ RJQL FXUYD GHO SLDQR [ \ q XQ JUDILFR GL IXQ]LRQH
I[
Questa curva non può
essere il grafico di una
funzione
y
I
0
x
0
17
Metodi Numerici per il Design
Introduzione alle funzioni
x
18
Lezione 16/17 Ottobre 2002
Pagina 3
Funzione come corrispondenza fra insiemi
Dati tre insiemi ; < =:
– determiniamo l’insieme 6=;×<;
– stabiliamo una corrispondenza univoca da 6 a 7.
6 ;×<
Il concetto di funzione
a due variabili
indipendenti
,
]
[\
(
7
;
19
[
\
<
)XQ]LRQH GD 6=;×
×< D 7 q XQD FRUULVSRQGHQ]D
XQLYRFD GD 6 D 7 [ \ VRQR OH YDULDELOL
LQGLSHQGHQWL
20
Funzione reale di due variabili reali
• Funzione di una variabile reale: un valore della variabile
indipendente è un numero reale, ossia un elemento di 5.
• Funzione di due variabili reali: un valore della variabile
indipendente è una coppia ordinata di numeri reali;
• tale coppia è un elemento dell’insieme 5 , prodotto
cartesiano di 5 con se stesso.
Funzione Reale di due
Variabili Reali
6 5
7 5
I[ \
5 →5
21
Regioni piane
Regione limitata
/·LQVLHPH GL GHILQL]LRQH GL XQD I 5 → 5 q
VSHVVR XQD UHJLRQH OLPLWDWD R LOOLPLWDWD
funzione a una variabile → intervallo
funzione a due variabili → regione piana
Esiste una circonferenza che la racchiude.
y
5HJLRQH OLPLWDWD FKLXVD
Sapendo che tutte le coppie ordinate di numeri reali sono
rappresentate dai punti di un piano (ad esempio piano xy),
una regione è rappresentata da una porzione di piano:
y
FRPSUHQGH LO SURSULR
FRQWRUQR
x
y
L SXQWL GL FRQWRUQR QRQ
IDQQR SDUWH GHOOD UHJLRQH
x
23
Metodi Numerici per il Design
Introduzione alle funzioni
0
5HJLRQH OLPLWDWD DSHUWD
regione
0
22
0
x
24
Lezione 16/17 Ottobre 2002
Pagina 4
Regione illimitata
Insieme di definizione
Non è racchiudibile in una circonferenza.
6H GL XQD I 5 → 5 q GDWD OD VROD
HVSUHVVLRQH VL LQWHQGH FKH O·LQVLHPH GL
GHILQL]LRQH q O·LQVLHPH GL WXWWH OH FRSSLH
RUGLQDWH [ \ SHU FXL WDOH HVSUHVVLRQH q
YDOLGD
y
(VHPSLR
WXWWL L SXQWL VRSUD OD
SDUDEROD
Quindi per individuare le eventuali regioni costituenti
l’insieme di definizione si devono determinare tutti i
punti del piano xy in cui l’espressione è definita.
x
0
25
Insieme di definizione - Esempio
f( x,y ) =
26
Insieme di definizione – Altri esempi
1
1+
x
2
+ y
2
− 16
Esempio 1: f ( x , y ) =
Il radicando deve essere non negativo, quindi:
,
{[ \ | [
\ ≥
x
y
Il denominatore deve essere non nullo, quindi…
}
y
Esempio 2: f ( x , y ) =
0
x
1.
2.
1
x
2
+ y
2
− 16
Il radicando deve essere non negativo, quindi…
Il denominatore deve essere non nullo, quindi…
27
28
Grafico di una funzione f(x,y)
6XSHUILFLH GHOOR VSD]LR [ \ ] GL HTXD]LRQH
] I[ \
z
FINE
0
x
I
y
29
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Lezione 16/17 Ottobre 2002
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