Il concetto di funzione a una sola variabile indipendente Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di “Metodi Numerici per il Design” Lezione 17 Ottobre 2002 Introduzione alle funzioni F. Caliò 1 2 Insiemi 6 7 , ( Funzione come corrispondenza fra insiemi Dato un insieme I di elementi xi… …e un insieme E di elementi yi \ [ [ , [ Gli insiemi I e E sono costituiti di elementi omogenei, prelevati da insiemi più ampi, rispettivamente S e T \ [ \ \ I 6 ( Stabiliamo una corrispondenza f (univoca) tale che: ´D RJQL HOHPHQWR GL , FRUULVSRQGH XQ VROR HOHPHQWR GL (µ $EELDPR FRVu GHILQLWR XQD IXQ]LRQH I LQ FXL , q O·LQVLHPH GL GHILQL]LRQH ( q O·LQVLHPH LPPDJLQH [ JHQHULFR HOHPHQWR GL , q OD YDULDELOH LQGLSHQGHQWH I , ( 7 I [ 6→7 6 LQVLHPH LQ FXL HVLVWH OD YDULDELOH LQGLSHQGHQWH 7 LQVLHPH LQ FXL HVLVWH OD IXQ]LRQH , LQVLHPH GL GHILQL]LRQH ,⊆ 6 ( LQVLHPH LPPDJLQH ( ⊆ 7 3 4 Funzioni invertibili e non Esempio di funzione Funzione invertibile f: programmazione di un termostato ambiente 6 {PDWWLQD SRPHULJJLR VHUD QRWWH} } 7 {22°,19°,15°} } P , 6 Q S , 19° 22° ( 15° 7 \ [ [ [ \ \ ( [ Funzione non invertibile V , \ [ [ [ " [ 5 Metodi Numerici per il Design Introduzione alle funzioni \ \ \ ( 6 Lezione 16/17 Ottobre 2002 Pagina 1 Esempi di funzioni invertibili e non 3XQWL GHO SLDQR → FLUFRQIHUHQ]H GL UDJJLR GDWR FRQ FHQWUR LQ HVVL Funzione invertibile Funzione Reale di una Variabile Reale 4XDGUDWL GHO SLDQR → FLUFRQIHUHQ]H LQVFULWWH LQ HVVL Funzione non invertibile 7 8 Funzione reale di variabile reale Intervalli di numeri reali 6 5 /·LQVLHPH GL GHILQL]LRQH GL XQD I 5 7 5 I[ VSHVVR XQ LOOLPLWDWR 5→ →5 ESEMPIO: f(x) = x2 I=R E = R+ ALTRO ESEMPIO: f(x) = LQWHUYDOOR → 5 q OLPLWDWR R Sapendo che tutti i numeri reali sono rappresentati dai punti di un asse (ad esempio asse x), rappresentiamo un intervallo come porzione di un asse: − 1 per x = 0 π per x = 1 intervallo x 0 R I = {0,1} E = {-1,π} 9 10 Intervalli limitati (di estremi a,b) Intervalli limitati (continuazione) ,QWHUYDOOR DSHUWR D VLQLVWUD Esistono: • un numero a (estremo inferiore) che è minore o uguale di tutti i numeri dell’intervallo; • un numero b (estremo superiore) che è maggiore o uguale di tutti i numeri dell’intervallo. $ $ $ $ $ {[ | D ≤ [ ≤ E} } >D E@ A a A [ ≤ E} } a b ,QWHUYDOOR DSHUWR D GHVWUD $ ,QWHUYDOOR FKLXVR {[ | D D E@ {[ | D ≤ [ >D E A E} } a b ,QWHUYDOOR DSHUWR b $ $ {[ | D D E [ A E} } a b (continua) 11 Metodi Numerici per il Design Introduzione alle funzioni 12 Lezione 16/17 Ottobre 2002 Pagina 2 Intervalli illimitati Intervalli illimitati (continuazione) Manca almeno uno dei due estremi. $ $ ,QWHUYDOOR OLPLWDWR D GHVWUD FKLXVR $ $ {[ | [ ≤ F} } ∞ F@ -∞ ∞ $ {[ | [ ∞ F A {[ | [ ≥ F} } >F ∞ $ A {[ | [ ! F} } F ∞ -∞ ∞ A $ c A -∞ ∞ { [ ∈ 5 } ∞ ∞ $ ∞ c ,QWHUYDOOR LOOLPLWDWR F} } ∞ c ,QWHUYDOOR OLPLWDWR D VLQLVWUD DSHUWR c $ ,QWHUYDOOR OLPLWDWR D GHVWUD DSHUWR $ A ,QWHUYDOOR OLPLWDWR D VLQLVWUD FKLXVR ∞ Quest’ultimo intervallo coincide con l’intero asse, quindi $ = 5 (continua) 13 Insieme di definizione Insieme di definizione - Esempi 6H GL XQD I 5 → 5 q GDWD OD VROD HVSUHVVLRQH VL LQWHQGH FKH O·LQVLHPH GL GHILQL]LRQH q O·LQVLHPH GL WXWWL L YDORUL [ SHU FXL WDOH HVSUHVVLRQH q YDOLGD Esempio: f(x ) = 1 x +9 , {[ | [ ≠ ∞ Esempio 1: f ( x ) = , , {[ | [ ≤ ∪ [ ≥ } @ ∪ > ∞ ∞ -∞ ∞ -1 , , ∞ f ( x ) = ln( x + 3 ) {[ | [ ! } ∞ -3 15 Grafico di una funzione f(x) &XUYD GHO SLDQR [ \ GL HTXD]LRQH \ y ∞ 1 L’argomento dev’essere positivo, quindi: } ∪ ( x − 1 )( x + 1 ) Il radicando dev’essere non negativo, quindi: Esempio 2: Questa espressione perde significato solo per x = -9, quindi: , 14 ∞ 16 Curve piane 1RQ RJQL FXUYD GHO SLDQR [ \ q XQ JUDILFR GL IXQ]LRQH I[ Questa curva non può essere il grafico di una funzione y I 0 x 0 17 Metodi Numerici per il Design Introduzione alle funzioni x 18 Lezione 16/17 Ottobre 2002 Pagina 3 Funzione come corrispondenza fra insiemi Dati tre insiemi ; < =: – determiniamo l’insieme 6=;×<; – stabiliamo una corrispondenza univoca da 6 a 7. 6 ;×< Il concetto di funzione a due variabili indipendenti , ] [\ ( 7 ; 19 [ \ < )XQ]LRQH GD 6=;× ×< D 7 q XQD FRUULVSRQGHQ]D XQLYRFD GD 6 D 7 [ \ VRQR OH YDULDELOL LQGLSHQGHQWL 20 Funzione reale di due variabili reali • Funzione di una variabile reale: un valore della variabile indipendente è un numero reale, ossia un elemento di 5. • Funzione di due variabili reali: un valore della variabile indipendente è una coppia ordinata di numeri reali; • tale coppia è un elemento dell’insieme 5 , prodotto cartesiano di 5 con se stesso. Funzione Reale di due Variabili Reali 6 5 7 5 I[ \ 5 →5 21 Regioni piane Regione limitata /·LQVLHPH GL GHILQL]LRQH GL XQD I 5 → 5 q VSHVVR XQD UHJLRQH OLPLWDWD R LOOLPLWDWD funzione a una variabile → intervallo funzione a due variabili → regione piana Esiste una circonferenza che la racchiude. y 5HJLRQH OLPLWDWD FKLXVD Sapendo che tutte le coppie ordinate di numeri reali sono rappresentate dai punti di un piano (ad esempio piano xy), una regione è rappresentata da una porzione di piano: y FRPSUHQGH LO SURSULR FRQWRUQR x y L SXQWL GL FRQWRUQR QRQ IDQQR SDUWH GHOOD UHJLRQH x 23 Metodi Numerici per il Design Introduzione alle funzioni 0 5HJLRQH OLPLWDWD DSHUWD regione 0 22 0 x 24 Lezione 16/17 Ottobre 2002 Pagina 4 Regione illimitata Insieme di definizione Non è racchiudibile in una circonferenza. 6H GL XQD I 5 → 5 q GDWD OD VROD HVSUHVVLRQH VL LQWHQGH FKH O·LQVLHPH GL GHILQL]LRQH q O·LQVLHPH GL WXWWH OH FRSSLH RUGLQDWH [ \ SHU FXL WDOH HVSUHVVLRQH q YDOLGD y (VHPSLR WXWWL L SXQWL VRSUD OD SDUDEROD Quindi per individuare le eventuali regioni costituenti l’insieme di definizione si devono determinare tutti i punti del piano xy in cui l’espressione è definita. x 0 25 Insieme di definizione - Esempio f( x,y ) = 26 Insieme di definizione – Altri esempi 1 1+ x 2 + y 2 − 16 Esempio 1: f ( x , y ) = Il radicando deve essere non negativo, quindi: , {[ \ | [ \ ≥ x y Il denominatore deve essere non nullo, quindi… } y Esempio 2: f ( x , y ) = 0 x 1. 2. 1 x 2 + y 2 − 16 Il radicando deve essere non negativo, quindi… Il denominatore deve essere non nullo, quindi… 27 28 Grafico di una funzione f(x,y) 6XSHUILFLH GHOOR VSD]LR [ \ ] GL HTXD]LRQH ] I[ \ z FINE 0 x I y 29 Metodi Numerici per il Design Introduzione alle funzioni 30 Lezione 16/17 Ottobre 2002 Pagina 5