Corso di
FINANZA AZIENDALE
AVANZATA
anno accademico 2008/2009
modulo n. 1
Codice corso 6825
Argomenti trattati
Riferimenti alla teoria degli investimenti ed alla struttura
finanziaria (corso base)
Struttura finanziaria ottimale e determinazione del
Costo del capitale
Teoria delle opzioni
Applicazione delle opzioni alla struttura finanziaria e
alle decisioni di investimento
Valutazioni finanziarie d’impresa
Decisioni del management, strategia aziendale e valore
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
2
1
Testi relativi
• Berk J., DeMarzo P., Finanza aziendale 1;
Pearson, Milano, 2008; capitolo 18.
• Berk J., DeMarzo P., Finanza aziendale 2;
Pearson, Milano, 2008.
• Manuale di valutazione finanziaria, McGraw
Hill, 1996;
• lucidi e materiale usati a lezione
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3
Nota bene
• Il corso di finanza aziendale avanzato presuppone la
conoscenza di:
• Finanza base; elementi di matematica finanziaria base;
l’analisi per flussi di cassa.
• Per rivedere tali argomenti può essere utile
considerare i lucidi dei corsi di finanza base
(triennale);
• Per un ripasso è utile il testo:
Berk J., DeMarzo P., Finanza aziendale 1;
Pearson, Milano, 2008; capp.6;7;14;15;16;
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4
2
LEZIONE
CONTENUTO
1
Richiami dei concetti di base
Teoria della struttura finanziaria e capital budgeting
avanzato
2
Determinazione del Wacc e relativi problemi
applicativi
3
Determinazione della combinazione ottimale delle
fonti di finanziamento
Caso applicativo
4
Esercitazioni sulla struttura finanziaria
Interazione investimenti-finanziamenti
duration debiti
5
Teoria delle opzioni e valutazione delle opzioni
6
Applicazione della formula di B/S
Applicazione delle opzioni alla struttura finanziaria
Opzioni e debito rischioso
7
Opzioni reali
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8
5
Finanza agevolata
Modalità d’esame
• Esame solo scritto
consistente in
• ESERCIZI
• +
• DOMANDE
• Test 18/3/2008 h. 11.00
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6
3
Alcuni pre-requisiti
• Saper determinare i flussi di cassa
• Conoscere la logica del CAPM
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7
logica del CAPM
ri = rf + β i (rm − rf )
Premio al rischio
rf = tasso risk free
rm = rendimento
βi =
cov
σ
Rischio sistematico
del titolo
medio
di mercato
ri , rm
2
m
SML
ri
rm
B
rf
Bm
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Bi
8
4
RIPRESA DEI
CONCETTI RELATIVI
ALL’ANALISI PER FLUSSI E AL RENDICONTO FINANZIARIO
Esercitazione 1:Caso alfa
alcuni dati di riferimento
STATO PATR
FINANZIARIO
Attivo fisso netto AF
di cui crediti comm a lungo
magazzino MAG
liquidità differite
liquidità immediate LI
di cui titolo a breve
Capitale investito CI
patrimonio netto
cap sociale
riserve
utile
passività consolidate
di cui debiti operativi
passività a b/t
di cui debiti finanziari
totale a pareggio
n
CONTO ECONOMICO
RICLASSIFICATO
ricavi netti di vendita
n+1
184.281
13.142
547.528
223.438
47.911
163.989
23.045
499.454
244.383
22.862
atri ricavi
1.003.158
930.688
costi per servizi
475.098
20.715
386.218
68.165
153.269
10.708
374.791
189.725
1.003.158
536.628
20.715
439.786
76.127
99.159
11.975
294.901
111.989
930.688
n
variazione rim. Prodotti e pro
costi capitalizzati
PRODUZIONE LORDA D'ES
acquisti netti
variazione rim. Mat prime
-
VALORE AGGIUNTO
costo personale
-
MOL =RISULTATO LORDO
ammortamenti
svalutazioni crediti
-
altri accantonamenti
REDDITO OPERATIVO
oneri finanziari (Gestione finagestione ordinaria
gestione straordinaria
-
RIS. AL LORDO IMPOSTE
imposte sul reddito
REDDITO ESERCIZIO
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-
n+1
766.104
767.123
10.305
11.568
87.691 49.912
129
864.100
728.908
267.782 - 190.632
9.693
2.378
319.649 - 256.047
266.976
120.192
146.784
42.160
2.525
102.099
7.017
95.082
10.331
84.751
16.586
68.165
-
284.607
125.229
159.378
40.992
559
10.183
107.644
11.120
96.524
6.341
90.183
14.056
76.127
10
5
CASO ALFA…CONTINUA
171.139
784.108
47.911
1.003.158
195.774
332.286
475.098
1.003.158
n+1
140.944
766.882
22.862
930.688
194.887
199.173
536.628
930.688
CCNO
AF netto
Cio
588.334
171.139
759.473
571.995
140.944
712.939
CI
759.473
475.098
284.375
759.473
712.939
536.628
176.311
712.939
Stato Patrimoniale gestionale
attivo fisso
attivo corrente
attivo non operativo
capitale investito
passivo corrente
debiti finanziari
patrimonio netto
totale a pareggio
patrimonio netto
Posizione finan netta
Posizione finan netta
n
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11
APPLICHIAMO IL RENDICONTO AL CASO ALFA
RENDICONTO FINANZIARIO
flusso CCNO gestione caratteristica
var CCNO (escluso liq)
FLUSSO CASSA GESTIONE CARATT
-investimenti
+disinvestimenti
FCU FLUSSO DI CASSA UNLEVERED
-oneri finanziari
-dividendi
-rimborsi finanziamenti
- gestione straordinaria
fabbisogno finanziario incrementale
copertura
variazione debiti bancari
variazione cap proprio
variazione altri debiti
fonti finanziarie a copertura
variazione saldo di cassa
-
134.580
16.339
150.919
10.797
-
140.122
11.120
14.597
133.113
6.341
25.049
-
-
25.049
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12
6
La rappresentazione a scalare dei flussi di cassa: modello
a quattro aree
+/- Flusso monetario della gestione caratteristica o corrente
(RO al netto imposte +ammortamenti +/- variazione CCNO)
+/- Saldo dei flussi dell’area operativa non corrente investimenti /
disinvestimenti
= flusso di cassa unlevered (FCU)
+/- Saldo dei flussi dell’area finanziamenti / rimborsi
+/- Saldo dei flussi dell’area remunerazioni finanziarie
+/- Saldo dei flussi dell’area straordinaria
= flusso di cassa agli azionisti o levered (FCE) =
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RIPRESA DEI
CONCETTI RELATIVI
ALLA STRUTTURA FINANZIARIA
7
• Riprendiamo ora sinteticamente!!!!!
LA TEORIA DELLA STRUTTURA
FINANZIARIA
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15
Iniziamo con alcune ipotesi semplificatrici…
RO netto imposte
+ ammortamenti
+/- variazione CCNO
= flusso mon ges caratt
-investimenti operativi
+ disinvestimenti oper.
= flusso di cassa operativo
Non esistono imposte
Ammortamenti =investimenti
Variazione CCNO=0
Disinvestimenti = 0
FCU=RO
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16
8
Determinazione del rendimento atteso sulle attività in un mondo in
cui non esistono imposte, ossia tc=0
Valori di mercato≠valori contabili
∞
∞
W =∑
t =1
FCU t
(1 + rA )t
RO
RO
=
→ rA =
rA
W
D=∑
D
t =1
FCdebitot
(1 + rD )t
=
OF
OF
→ rD =
D
rD
W
∞
E=∑
E
Dipende solo dal
rischio operativo
t =1
FCE t
(1 + rE )t
=
RE
RE
→ rE =
E
rE
RO = RE + OF
rA = rE *
RO netto imposte
+ ammortamenti
+/- variazione CCNO
= flusso mon ges caratt
-investimenti operativi
+ disinvestimenti oper.
= flusso di cassa operativo
E
D
+ rD *
= wacc
E+D
E+D
se D = 0 → W = E → rA = rEu
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17
Questa relazione identifica il rendimento di equilibrio del capitale. rA è
influenzato dal rischio operativo. Incrementando progressivamente
l’indebitamento, l’azionista sopporta anche un rischio finanziario. Chiederà per
questo una remunerazione maggiore.
rE
r
r E = r A + (r A − r D ) *
rA=wacc
D
PN
Se D=0
re = ra
rD
Debito privo di rischio
Debito rischioso
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D
E
Debito
Capitale
netto
18
9
Impatto dell’aumento della leva finanziaria
ra=wacc
D/PN
rd
0,5
1
1,5
2
2,5
2,8
3
3,5
4
re
2,5%
2,5%
3,0%
3,0%
4,0%
4,5%
5,0%
6,0%
7,0%
wacc
16,8%
12,0%
21,5%
12,0%
25,5%
12,0%
30,0%
12,0%
32,0%
12,0%
33,0%
12,0%
33,0%
12,0%
33,0%
12,0%
32,0%
12,0%
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19
Struttura finanziaria irrilevante: principio della pizza
WL=WU
D
D
E
E
W
Lev+
rischio +
re+
W
Tesi
La struttura finanziaria non incide sui flussi di cassa quando si verificano, per esempio :
Assenza di imposte
Assenza di costi di fallimento
Assenza di effetti sugli incentivi al management
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20
10
… E se esistono le imposte?
W
L
= W
RO
-IMP
RO netto
-OF
+scudo
RE
u
+ tc * D
levered
200
-100
100
-20
10
90
FLUSSI AZIONISTI 90
rD * D ⇒ creditore
FLUSSI CREDITORI 20
WL =
ra= 10% rd=5% D=400 tc=50%
unlever
levered ed
RO
200
200
-OF
-20
RAI
180
200
-IMP 50%
-90
-100
RE
90
100
Ro(1 − tc ) − rD * D + tc * rD * D = RE ⇒ azionista
RE + OF = Ro(1 − tc ) + tc * D * rD ⇒ azionista + creditori
Ipotesi:
FLUSSO AGLI
AZIONISTI
=100
FLUSSI TOTALI =90+20= 110
FCU tc * rd * D 100
+
=
+ 0,5 * 400 = 1200
rA
rd
10%
WU =
FCU 100
=
= 1000
rA
10%
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21
… come valutare un’impresa indebitata: criteri
D
WU
WTS
E
WL
a) Criterio basato sul wacc
b) Criterio basato sul Vam
c) Criterio basato sul flusso di cassa agli azionisti
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22
11
… come valutare un’impresa indebitata: CONSIDERAZIONI
GENERALI
D
WU
WTS
E
WL
0
1
t
Qual è il valore in t=1?
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23
… come valutare un’impresa indebitata
FCU
1
+ r d * tc * D
FCU
1
+ W
FCU
1
FCU
1
+ W
+ W
1
1
1
= E
= W
= W
W
0
=
FCU
1 + W
1 + wacc
1
W
0
=
FCU
1 + wacc
1
+ W
= E * (1 + re 1 ) + D * (1 + r d ) =
1
* (1 + r e 1 ) + D
0
0
0
1
+
1
0
E
(1 +
W
0
* r et
0
( 1 + wacc
ma
W
1
FCU
( 1 + wacc
1
0
* ( 1 + r d ) − r d * tc * D
D
+
W
0
0
=
+ r d ( 1 − tc ))
0
)
FCU
2 + W
1 + wacc
2
=
2
2
)
2
+ ... +
2
FCU
( 1 + wacc
n
n
)
n
Wacc può variare con il tempo.
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24
12
… come valutare un’impresa indebitata
Wacc varia con il tempo.
Potrebbe essere utile avere un wacc costante da usare come
tasso di sconto…
È possibile disporre di un wacc costante restringendo le
politiche di finanziamento delle imprese alle seguenti:
Policy 1 = debito ribilanciato continuamente in modo da avere
un rapporto D/W costante. Modello di Harris-Pringle
Policy 2 = debito fisso e perpetuo calcolato sulla base del
valore iniziale. Modello di Modigliani-Miller
Policy 3= debito ribilanciato ad intervalli per mantenere un
rapporto D/W costante. Modello di Miles-Ezzell
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25
Valutazione di un’impresa indebitata: un quadro generale
Wu
ra
βa
D
rd
βd
WTS
rts
βts
E
res
βe
Wl
Flussi di cassa attivo = flussi di cassa passivo
Rendimento attivo = costo passivo
Wu * ra + WTS * rts = D * rd + E * re
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26
13
Policy 1 = debito ribilanciato continuamente in modo da avere
un rapporto D/W costante: MODELLO HARRIS
Ipotesi= a) D/E costante b) D ribilanciato continuamente c)
rischio scudo fiscale= rischio dei flussi, quindi:
rfs=ra
Wu * ra + WTS * ra = D * rd + E * re
Da cui:
ra = re *
E
D Wacc ante imposte
+ rd *
Wl
Wl
Relazione tra ra e wacc
Dato ra calcolo re
re = ra + (ra − rd )
D
E
wacc = ra − rd * tc *
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D
Wl
27
Policy 1= Debito ribilanciato nel continuo--- Modello di Harris
Relazione tra beta: beta WTS = beta asset
βa *
Wu
WTS
E
D
+ βWTS *
= βe *
+ βd *
Wl
Wl
Wl
Wl
E
Wl
βa = βe *
β
El
= β
A
+
(β
+ βd *
A
− β
D
D
Wl
)D
E
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14
Punto di vista dei beta: un modello
β El = β A + (β A − β D )
D
E
Rischio finanziario
Rischio operativo
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29
Componenti di rischio del beta
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30
15
Esercitazione 2
L’azienda pippo SPA, presenta la seguente situazione a valore di
mercato. La pippo vuole intraprendere un nuovo investimento Olivio
che sarà finanziato con la stessa struttura dell’impresa
SP val mercato PIPPO
cassa
attività
senza inv
0
1200
totale attivo
debito
equity
1200
600
600
totale
D/(D+E) = d
E/(D+E) = e
rd
re
WACC
ra= wacc ante imposte
1200
50,00%
50,00%
5,50%
10,00%
6,65%
7,75%
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31
esemplificazione
Il nuovo investimento della Pippo SPA richiede un esborso di
60 ammortizzabili in 4 anni a quote costanti. L’aliquota
fiscale è del 40%. Si stimano inoltre i seguenti dati
0
vendite
costi operativi monetari
1
2
3
4
100,00
100,00
100,00
100,00
- 50,00 - 50,00 - 50,00 - 50,00
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32
16
Utilizzo del wacc
0
vendite
costi operativi monetari
MOL
-
ammortamenti
EBIT
imposte su EBIT
EBIT netto
-
+ammortamenti
variaz CCNO
investimenti
FCU
1
2
3
4
100,00
100,00
100,00
100,00
- 50,00 - 50,00 - 50,00 - 50,00
50,00
50,00
50,00
50,00
-
-
wacc
VA
VAN=VA-I
15,00 35,00
14,00 21,00
15,00 35,00
14,00 21,00
15,00 35,00
14,00 21,00
15,00
35,00
14,00
21,00
-
15,00
15,00
15,00
15,00
60,00
60,00
36,00
36,00
36,00
36,00
-
6,65%
122,91
62,91
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33
Azienda Pippo senza e con l’investimento…
SP val mercato PIPPO
cassa
attività
totale attivo
debito
equity
senza inv con inv
0
1200 1.322,91
1200 1322,909
600 661,4547
600 661,4547
totale
D/(D+E) = d
E/(D+E) = e
rd
re
WACC
ra= wacc ante imposte
1200 1322,909
50,00%
50,00%
50,00%
50,00%
5,50%
5,50%
10,00%
10,00%
6,65%
6,65%
7,75%
7,75%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
34
17
Rapporto debito/mezzi propri costante
• Capacità di debito
Rappresenta il debito, a una particolare data, richiesto per
mantenere costante il rapporto obiettivo dell’impresa
debito/valore totale.
La capacità di debito alla data t si calcola come:
D
t
= d * WL
t
– dove d è il rapporto obiettivo dell’impresa debito/valore totale
e WLt è il valore del progetto all’istante t – cioè il valore, in
presenza di indebitamento, dei flussi di cassa successivi a t.
FCU
W=valore
capacità debito
-
60,00
122,91
61,45
1
36,00
95,08
47,54
2
36,00
65,41
32,70
3
36,00
33,76
16,88
4
36,00
-
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35
Utilizzo del metodo del valore attuale modificato VAM
• Valore attuale modificato (VAM)
– Un metodo di valutazione per determinare il valore di un
investimento in presenza di debito calcolando prima il suo
valore unlevered e aggiungendo poi il valore dello scudo
fiscale degli interessi e sottraendo i costi di altre imperfezioni
del mercato.
WL = VAM = Wu + VA(scudo fiscale debito) - VA(costi dissesto/agenzia etc)
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36
18
VAM: sequenze
1) calcolare il valore dei flussi di cassa usando il costo del
capitale unlevered del progetto come se fosse finanziato
senza ricorrere al debito.
2) Costo del capitale unlevered
Il costo del capitale di un’impresa in assenza di indebitamento:
per un’impresa che mantiene un rapporto di indebitamento
obiettivo, può essere stimato come il costo medio ponderato
del capitale calcolato senza tenere conto delle imposte (WACC
prima delle imposte).
rU =
E
D
rE +
rD = WACC prima delle imposte
E + D
E + D
– Questa equazione vale anche in presenza di imposte per le imprese che
modificano il debito per mantenere un rapporto di indebitamento
obiettivo.
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo37
VAM: sequenze
3. Si calcola il valore attuale dello scudo fiscale degli interessi.
a. Si calcola lo scudo fiscale atteso degli interessi.
b. Si attualizza lo scudo fiscale degli interessi.
4. Si aggiunge al valore unlevered il valore attuale dello scudo
fiscale degli interessi per determinare il valore dell’investimento
in presenza di indebitamento.
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
38
19
Utilizzo VAM: esempio
FCU
W=valore
capacità debito
OF calcolati su D(t-1)
scudo fiscale
ra =wacc ante imp
VA scudo fiscale
Wu
WL=VAM=Wu+SF
VAMn
-
60,00
122,91
61,45
7,75%
3,01
119,90
122,91
62,91
1
36,00
95,08
47,54
3,38
1,35
7,75%
2
36,00
65,41
32,70
2,61
1,05
7,75%
3
36,00
33,76
16,88
1,80
0,72
7,75%
4
36,00
0,93
0,37
7,75%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
39
Vantaggi del VAM
– Può essere più semplice da applicare
rispetto al WACC quando l’impresa non
mantiene costante il rapporto debito/mezzi
propri.
– Considera esplicitamente le imperfezioni
del mercato e quindi permette ai manager
di misurare il loro contributo al valore del
progetto.
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
40
20
Utilizzo del metodo del flusso di cassa
per gli azionisti
• Flusso di cassa per gli azionisti (FTE, Flow To Equity)
– Un metodo di valutazione che calcola i flussi di cassa che
spettano agli azionisti al netto di tutti i pagamenti effettuati e
ricevuti dai detentori del capitale di debito.
– I flussi di cassa degli azionisti sono poi attualizzati usando il
costo del capitale proprio.
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41
Metodo FCE:esempio
FCU
OF
scudo fiscale
Rimb/acc debito
FCE
re
VA FCE
VAN FCE
-
60,00
- 61,45 1,45
10,00%
61,45
62,91
36,00
3,38 1,35
13,91 20,06
36,00
2,61 1,05
14,84 19,59
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36,00
1,80 0,72
15,83 19,10
36,00
0,93
0,37
16,88
18,57
42
21
Vantaggi/svantaggi del metodo FTE
• Il metodo FTE offre alcuni vantaggi.
– Può essere più semplice da usare quando si calcola il valore del capitale
proprio per l’intera impresa, se la struttura del capitale aziendale è
complessa e non si conoscono i valori di mercato delle altre componenti
del capitale.
– Può essere considerato più trasparente per discutere i benefici di un
progetto per gli azionisti enfatizzando l’impatto del progetto sul capitale
proprio.
• Il metodo FTE ha uno svantaggio.
– Prima di poter prendere le decisioni di capital budgeting occorre
calcolare la capacità di debito del progetto per determinare gli interessi e
la variazione del debito nei diversi anni.
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43
Il costo del capitale del singolo progetto di investimento
• Nella realtà, uno specifico progetto di investimento
potrebbe avere un rischio di mercato diverso dal progetto
medio dell’impresa.
• In più, i diversi progetti possono anche variare in termini di
grado di indebitamento che sono in grado di sostenere.
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44
22
Stima del costo del capitale unlevered
• Supponiamo che la spa Pippo introduca un investimento
nuovo in produzioni di alluminio con rischio di mercato
diverso rispetto all’impresa
• Come stimare il costo del capitale associato alla nuova
divisione?
•
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45
Stima del costo del capitale unlevered
• Supponiamo che due aziende siano confrontabili con la
divisione alluminio e che abbiano le seguenti
caratteristiche:
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46
23
Stima del costo del capitale unlevered (continua)
• Ipotizzando che entrambe le imprese mantengano
costante il loro rapporto di indebitamento obiettivo,
possiamo stimare il costo del capitale in assenza di
indebitamento per ogni concorrente usando il loro WACC
ante imposte.
Azienda comparabile 1: ra= 12%*60% + 6% *40% = 9,6%
Azienda comparabile 2: ra = 10,7%* 75% + 5,5%*25% = 9,4%
Facciamo una media = 9,5%
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47
Rapporto di indebitamento del progetto
e costo del capitale proprio
• Il costo del capitale proprio di un progetto può essere
diverso da quello dell’impresa se il progetto usa un
rapporto di indebitamento obiettivo diverso da quello
dell’impresa. Il costo del capitale proprio del progetto si
può calcolare come:
re = ra + (ra − rd ) *
D
E
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48
24
Rapporto di indebitamento del progetto
e costo del capitale proprio (continua)
• Ora supponiamo che L’azienda Pippo voglia mantenere lo stesso
peso del debito e del capitale proprio nel finanziare l’espansione
nel settore dell’alluminio e che il costo del capitale preso a prestito
sia stimato al 6%.
• Si ricorda che il costo del capitale unlevered era pari al 9,5%, il
costo del capitale proprio della divisione alluminio è stimato in:
rE = 9,5% +
0,50
(9,5% − 6%) = 13,0%
0,50
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49
Rapporto di indebitamento del progetto
e costo del capitale proprio (continua)
• La stima del WACC della divisione alluminio è quindi:
rWACC = 0,50 × 13,0% + 0,50 × 6,0% × (1 − 0,40) = 8,3%
• Un metodo alternativo per calcolare il WACC della
divisione è:
rwacc = rU − dτ c rD
rwacc = 9,5% − 0,50 × 0,40 × 6% = 8,3%
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50
25
Il VAM con diverse politiche di indebitamento
Finora si è ipotizzato che l’impresa volesse mantenere
un rapporto debito/mezzi propri costante.
Il debito, in tal caso, è ribilanciato continuamente e
possiamo utilizzare tutto il formulario sottostante al
modello di Harris-Pringle
É, tuttavia, possibile che l’impresa usi politiche di
indebitamento alternative:
– Per esempio l’impresa potrebbe usare un livello di
debito predeterminato che viene poi rimborsato
secondo un piano di ammortamento predefinito. In tal
modo, il debito è noto, ma il rapporto D/W non è più
costante.
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51
Livelli di debito predeterminati
• Con questa politica di indebitamento invece di
determinare il debito secondo un obiettivo di rapporto
debito/mezzi propri un’impresa può definire un piano di
debito per importi fissati a determinate scadenze.
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52
26
Livelli di debito predeterminati (continua)
• Riconsideriamo il progetto Olivio dell’impresa Pippo.
Supponiamo che la Spa PIPPO pianifichi di contrarre un
debito di 30,62 milioni e di ridurlo secondo un piano
fissato:
0
30,62
debito in essere
rimborsi
-
1
20,00
10,62 -
2
10,00
10,00 -
3
10,00
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53
Livelli di debito predeterminati (continua)
• Quando i livelli assoluti del debito sono prefissati, si può
scontare lo scudo fiscale degli interessi al costo del
capitale di debito pari al 5,5%
– Nel caso del progetto Olivio
Dpredeterminato
FCU
Dpredeterminato
OF
scudo fiscale Ts
VA scudo
-
60,00
30,62
1,22
1
36,00
20
1,68 0,67
0,61
2
36,00
10
1,10 0,44
0,21
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3
36,00
4
36,00
0,55
0,22
-
-
54
27
Livelli di debito predeterminati (continua)
• Ricordando che ra=7,75% il valore levered del progetto
Olivio è:
D predeterminato
FCU
D predeterminato
OF
scudo fiscale Ts
VA scudo
Wu
VAM
-
60,00
30,62
1,22
119,90
121,12
1
36,00
20
1,68 0,67
0,61
93,20
93,81
2
36,00
10
1,10 0,44
0,21
64,42
64,63
3
36,00
4
36,00
0,55
0,22
33,41
33,41
-
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55
Livelli di debito permanente (modello di MM)
• Quando un’impresa ha un certo ammontare di debito
permanente che mantiene nel tempo, il valore levered del
progetto diventa:
– Valore levered con debito permanente
WL = WU + tc * D
– AVVERTENZA!!!!!!!!!!!!!!
– Quando il livello di debito è predeterminato, l’impresa
non ha un rapporto di indebitamento obiettivo d, quindi
le precedenti equazioni che usano un rapporto di
indebitamento obiettivo non sono valide.
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56
28
Policy 2: Valutazione di un’impresa indebitata: un quadro generale
Wu
ra
βa
D
rd
βd
WTS
rts
βts
E
res
βe
Wl
Flussi di cassa attivo = flussi di cassa passivo
Rendimento attivo = costo passivo
Wu * ra + WTS * rts = D * rd + E * re
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57
Policy 2= Debito costante e perpetuo (Modigliani Miller)
Ipotesi= a) D perpetuo e costante b) flussi perpetui,
quindi:
WTS = tc*D e rfs=rd
Wu * ra + tc * D * rd = D * rd + E * re
Da cui:
ra = re *
E
D
+ rd * (1 − tc )
con Wu = E + D(1 - tc)
Wu
Wu
Dato ra calcolo re
re = ra + (ra − rd )(1 − tc )
D
E
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58
29
Policy 2= Debito costante e perpetuo (Modigliani Miller)
Relazione tra ra e wacc
wacc = ra (1 − tc *
D
)
Wl
Relazione tra beta = beta WTS = beta debito
βa *
β
El
E
D
Wu
WTS
+ β TS *
= βe *
+ βd *
Wl
Wl
Wl
Wl
= β
A
+ (β
A
− β
D
)(1 −
tc
)D
E
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59
Punto di vista dei beta: un modello
β El = β A + (β A − β D )(1 − tc )
D
E
Rischio finanziario
Rischio operativo
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60
30
Punto di vista dei beta: alcune formule valide per MM
β El = β A + (β A − β D )(1 − tc )
o in altra forma : β A =
D
E
D
(1 − tc )
E
D
1 + (1 − tc ) *
E
B EL + β D *
→ β A = β Eu =
1. se β D = 0
da cui : β A =
β EL
β El
1 + (1 − tc )
D
E
→ β A < β El
D
1 + (1 − tc ) E
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Azienda plus
(A)
61
Esercitazione 3 Azienda Per
(B)
D=900
D=313
Per ipotesi siano: FCU = 360; rd=10%; ra=15%; tc=40%
a) Qual è il rendimento per l’azionista di A e B?
b) Qual è il Wacc di A e B?
c) Qual è il valore di A e B?
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62
31
Soluzione….
caso plus
caso per
40,00%
40,00%
15,00%
15,00%
360
360
0,1
0,1
900
313
tc
ra
FCU
rd
D costante
WU = FCU*(1-tc)/ra
VA scudo fiscale tc*D
WL = Wu +tc*D
noto WL
D/E
D/W
re
wacc
1.440
360
1.800
100,00%
50,00%
18,00%
12,00%
WL = FCU*(1-tc)/wacc
1.800
1.440
125
1.565
25,00%
20,00%
15,75%
13,80%
1.565
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63
Confronto fra i tre metodi
• Generalmente il WACC è il metodo più semplice da
utilizzare quando l’impresa mantiene fisso il rapporto
debito/mezzi propri per tutta la durata dell’investimento.
• Nel caso di politiche di debito alternative, il VAM è
solitamente il metodo più adatto.
• L’FTE è usato in genere solo in casi complessi in cui i
valori della struttura del capitale aziendale o dello scudo
fiscale degli interessi sono difficili da determinare.
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64
32
Temi avanzati di capital budgeting
• Debito modificato periodicamente
– Nel “mondo reale” la maggior parte delle imprese lascia che
il rapporto debito/mezzi propri si allontani dall’obiettivo e
periodicamente modifica l’ammontare del debito per
riallinearsi al target.
–Supponiamo che l’impresa modifichi il suo debito
ogni s periodi, come mostrato nella slide seguente.
Gli scudi fiscali degli interessi fino alla data s sono
predeterminati e devono essere scontati al tasso rD.
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65
Attualizzazione dello scudo fiscale con adeguamento periodico del
debito
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66
33
Temi avanzati di capital budgeting (continua)
• Debito modificato periodicamente
– Gli scudi fiscali degli interessi per i periodi successivi alla
data s dipendono dalle variazioni che l’impresa apporterà al
suo debito e sono quindi rischiosi.
• Se l’azienda modificherà il debito secondo un rapporto
debito/mezzi propri,allora i futuri scudi fiscali degli
interessi saranno scontati a un tasso rD per i periodi per i
quali sono noti e a un tasso rU per tutti gli altri periodi,
quando sono ancora rischiosi.
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67
Temi avanzati di capital budgeting (continua)
• Debito modificato periodicamente
– Un importante caso particolare si ha quando il debito è
modificato annualmente
VA(tc * OFt ) =
tc * OFt
(1 + rd ) * (1 + ra )t −1
(1 + ra )
D
wacc = ra −
* tc * rd *
(1 + rd )
WL
=
(1 + ra )
(1 + ra )t (1 + rd )
tc * OFt
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*
68
34
Rapporto di indebitamento e costo del capitale
• Quando il debito è fissato in ammontare secondo un piano
predefinito, gli scudi fiscali degli interessi del debito sono
conosciuti e relativamente sicuri.
– Questi flussi di cassa sicuri ridurranno l’effetto del rapporto
di indebitamento sul rischio del capitale proprio dell’impresa.
– Per tenere conto di questo effetto, quando si valuta
un’azienda indebitata occorre dedurre dal debito il valore di
questi scudi fiscali “sicuri”
•Quandi se Ts è il valore attuale degli scudi fiscali degli interessi del
debito, il rischio del capitale proprio di un’azienda dipenderà dal suo
debito al netto degli scudi fiscali:
D s = D − Ts
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69
Rapporto di indebitamentocosto del capitale: generalizzazione
• Il costo del capitale proprio ora si può calcolare come:
– Rapporto di indebitamento e costo del capitale con un piano
di debito predeterminato
Ds
E
rd
re +
ra =
s
s
E+D
E+D
da cui
Ds
re = ra + (ra − rd )
E
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70
35
Rapporto di indebitamentocosto del capitale: generalizzazione
• Il WACC si può calcolare come:
– WACC del progetto con piano del debito predeterminato
wacc= ra − d *tc*[rd + φ(ra − rd)]
• dove d è il rapporto debito/valore e Φ = Ts ⁄ (tc*D) è una
misura della permanenza del livello di debito.
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71
Casi particolari
wacc= ra − d *tc*[rd +φ(ra − rd)]
1. Debito modificato nel continuo= Harris-pringle
---- Ts=0; Ds=D; Φ=0
2. Debito modificato a cadenza annuale: Miles-Ezzell
rd
rd
tc * rd * D
Ts =
; D s = D1 − tc
; φ =
1 + rd
1 + rd
1 + rd
3. Debito costante all’infinito : MM
---- Ts=tc*D; Ds=D*(1-tc); Φ=1
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72
36
WACC o FTE quando varia il rapporto di indebitamento
Quando varia il rapporto di indebitamento il metodo VAM
appare il migliore.
In effetti il WACC e l’FTE sono difficili da usare quando
un’impresa non mantiene un rapporto debito/mezzi propri
costante, perché quando cambia l’incidenza del debito, il
costo del capitale proprio del progetto e il WACC non
rimangono costanti nel tempo.
Tuttavia, è comunque possibile utilizzare i due metodi con
alcune modifiche.
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73
Esempio
D predeterminato
FCU
D predeterminato
OF
scudo fiscale Ts
VA scudo
Wu
VAM
E =WL-D
D effettivo = D-Ts
re
wacc
ra calcolato
WL
-
60,00
30,62
1,22
119,90
121,12
90,50
29,40
8,48%
7,17%
7,75%
121,12
1
36,00
20
1,68 0,67
0,61
93,20
93,81
73,81
19,39
8,34%
7,27%
7,75%
93,81
2
36,00
10
1,10 0,44
0,21
64,42
64,63
54,63
9,79
8,15%
7,40%
7,75%
64,63
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
3
36,00
4
36,00
0,55
0,22
33,41
33,41
33,41
7,75%
7,75%
7,75%
33,41
-
74
37
WACC o FTE quando varia
il rapporto di indebitamento (continua)
• Per esempio, all’inizio del progetto il WACC si calcola
come:
E
D
+ rd (1 − tc) *
E+D
E+D
90,50
30,62
wacc1 = 8,48% *
+ 5,5% * (1 − 40%) *
121,12
121,12
73,81
20
wacc 2 = 8,34% *
+ 5,5% * (1 − 40%) *
93,81
93,81
wacc = re *
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75
WACC o FTE quando varia
il rapporto di indebitamento (continua)
• Il valore levered ogni anno si calcola come:
FCU t +1 + WLt +1
WLt =
1 + wacct
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76
38
Esercitazione 4
Fiordo spa vuole effettuare un investimento di 100 finanziato
interamente da debito. Il costo del capitale di debito è del
5%; l’aliquota fiscale è del 40%; il costo del capitale
unlevered è del 12%.
FCU
debito
rimborso debito
rd
tc
ra
0
-100
100
1
80
60
-40
5%
40%
12%
5%
40%
12%
2
30
30
-30
5%
40%
12%
3
30
0
-30
5%
40%
12%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
77
Esercitazione 4
Con il metodo VAM calcolare il valore levered del
progetto di investimento
FCU
OF
scudo fiscale D
WU
WTS
WL
-100
116,70
3,51
120,21
80
-5
2
50,70
1,69
52,39
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
30
-3
1,2
26,79
0,57
27,36
30
-1,5
0,6
-
78
39
Esercitazione 4
Calcolare l’wacc e il Wl utilizzando l’wacc
Ts
Tc*D
Ts/tc*D
D/WL
wacc
WL
0
1
2
3,51
1,69
0,57
40
24
12
8,78%
7,03%
4,76%
83,19% 114,53% 109,66%
10,13%
9,48%
9,66%
120,21
52,39
27,36
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
3
0
0
79
Esercitazione 4
Calcolare il costo del capitale proprio re ed il valore
del capitale proprio
FCU
WL
D
E
D effettivo
re
wacc
D/WL
FCU
OF
scudo fiscale D
rimborso D
FCE
E
-100
80
30
120,21
52,39
27,36
100
60
30
20,21 7,61 2,64
96,49
58,31
29,43
45,42% -41,63% -65,95%
10,13%
9,48%
9,66%
83,19% 114,53% 109,66%
-100
0
0
20,21 -
80
-5
2
-40
37
7,61 -
30
-3
1,2
-30
-1,8
2,64
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
30
0
30
-1,5
0,6
-30
-0,9
80
40
Esercitazione 5
Fiordo spa vuole effettuare un investimento di 200 finanziato
per 90 da debito. Il costo del capitale di debito è del 5%;
l’aliquota fiscale è del 40%; il costo del capitale unlevered
è del 10%.
0
-200
90
FCU
debito
rimborso debito
rd
tc
ra
1
110
60
-30
5%
40%
10%
5%
40%
10%
2
80
30
-30
5%
40%
10%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
3
50
0
-30
5%
40%
10%
81
Esercitazione 5
Determinare:
a) Il valore levered del progetto con il metodo VAM
b) Il wacc e il WL utilizzando l’wacc
c) Il costo del capitale proprio ed il valore di E
punto a)
FCU
OF
scudo fiscale D
WU
WTS
WL
-200
203,68
3,32
207,00
110
-4,5
1,8
114,05
1,69
115,74
80
-3
1,2
45,45
0,57
46,03
0
3,32
36
9,23%
43,48%
9,05%
207,00
1
1,69
24
7,03%
51,84%
8,89%
115,74
2
0,57
12
4,76%
65,18%
8,63%
46,03
50
-1,5
0,6
-
punto b)
Ts
Tc*D
Ts/tc*D
D/WL
wacc
WL
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
3
0
0
82
41
Esercitazione 5
punto b)
FCU
WL
D
E
D effettivo
re
wacc
D/WL
FCU
OF
scudo fiscale D
rimborso D
FCE
E
-200
207,00
90
117,00
86,68
13,70%
9,05%
43,48%
-200
0
0
117,00
110
115,74
60
55,74
58,31
15,23%
8,89%
51,84%
110
-4,5
1,8
-30
77,3
55,74
80
46,03
30
16,03
29,43
19,18%
8,63%
65,18%
80
-3
1,2
-30
48,2
16,03
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
50
0
50
-1,5
0,6
-30
19,1
83
Esercitazione n. 6
• La bingo srl sta realizzando un investimento che presenta
un costo unlevered del 9%; l’aliquota fiscale è del 40% e il
costo del debito è del 5%.
a)Ipotizzando che la Bingo mantenga costante il rapporto
D/E al 50%, calcolare l’wacc dell’investimento
Utilizzo il modello Harris-Pringle:
wacc = ra − rd * tc *
D
= 9% - 5% * 0,4 * 0,5/1,5 = 8,33%
Wl
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
84
42
Esercitazione n. 6
b) Ipotizzando che la Bingo modifichi il proprio livello di
debito una volta l’anno per mantenere costante il rapporto
D/E al 50%, calcolare l’wacc dell’investimento
Utilizzo il modello Miles-Ezzell:
D 1 + rd
*
=
Wl 1 + ra
1,09
9% - 5% * 0,4 * 0,5/1,5 *
= 8,31%
1,05
wacc = ra − rd * tc *
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
85
Esercitazione n. 6
c) Ipotizzando che l’investimento generi un flusso di 10
all’anno che decresce al tasso annuo del 2%, calcolare il
valore del progetto nell’ipotesi a) e b):
10
10
=
= 96 , 78
wacc + g 8,33 % + 2 %
10
10
=
= 97 , 01
b )WL =
wacc + g 8,31 + 2 %
a )WL =
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
86
43
Esercitazione 7
impresa Amor spa
n. azioni circolazione
10
FCU anno 1
15
tasso crescita successiva
4,00%
beta levered impresa concorrente
gamma impresa concorre
beta lev
beta debito
D/E
D/E di Amor
0,3
beta debito Amor
0
aliquota fiscale
40,0%
tasso risk free
5,00%
rendimenti mercato
11,00%
a) stimare il costo dell'equity
b) stimare il prezzo dell'azione
1,5
0,3
1
a) costo capitale proprio
uso la SML; mi serve però il Beta levered
calcolo ilo beta unlevered (modello di Harris
beta unl gamma=be*E/W+bd*D/W
beta levered Amor ba+(ba-bde)*D/E
re
oppure
dato Ba calcolo ra con la SML
dato ra calcolo re =ra+(ra-rd)*D/E
b) prezzo azione
uso il metodo wacc per calcolare il WL
wacc
WL=FCU/wacc-g
dato WL calcolo E
prezzo azione
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
Pringle)
0,90
1,17
12,02%
10,40%
12,02%
9,94%
252,59
194,30
19,43
87
Esercitazione 8
impresa giro spa
n. azioni circolazione
25
FCU anno 1
50
tasso crescita successiva
5,00%
beta levered impresa concorrente
gamma impresa concorre
beta lev
beta debito
D/E
D/E di Amor
0,6
beta debito Amor
0
aliquota fiscale
40,0%
tasso risk free
5,00%
rendimenti mercato
13,00%
a) stimare il costo dell'equity
b) stimare il prezzo dell'azione
a) costo capitale proprio
uso la SML; mi serve però il Beta levered
calcolo ilo beta unlevered (modello di Harris
beta unl gamma=be*E/W+bd*D/W
beta levered Amor ba+(ba-bde)*D/E
1,6
re
0,25
oppure
1,5
dato Ba calcolo ra con la SML
dato ra calcolo re =ra+(ra-rd)*D/E
b) prezzo azione
uso il metodo wacc per calcolare il WL
wacc
WL=FCU/wacc-g
dato WL calcolo E
prezzo azione
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
Pringle)
0,79
1,264
15,11%
11,32%
15,11%
10,57%
897,67
561,04
22,44
88
44
Esercitazione 9
Pinco spa non ha debiti
il suo D/E
0
beta unlevered
1,5
FCU
25
si vuole modificare la struttura finanziaria
D/E voluto e costante
30,0%
rd atteso con quella struttura
6,5%
aliquota fioscale
35,00%
tasso risk free
5,0%
rendimento mercato
11,0%
∆mkt =
a) completare
D/E
prima variazione struttura fin
dopo la variazione struttura fin
SML
ra
rd
0
30,0%
(14% − 13,475% )*178,57 = 6,96
6,5%
b) calcolare WL e il vantaggio fiscale
WL prima variazione
FCU/wacc
WL dopo la variazione strutt finanz
WTS =valore scudo fiscale
WL -WL
13,475%
ra+(ra-rd)*D/E2 modi
re
wacc
14,0%
14,0%
14,0%
14,0%
16,25%
13,48%
178,57
185,53
6,96
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
89
Esercitazione 10
Dupacspa presenta la seguente SF
il suo D/E
0
beta unlevered
1,2
FCU
20
si vuole modificare la struttura finanziaria (diverse opzio
D/E voluto e costante
30,0%
1,50
rd atteso con quella struttura
6,0%
10,0%
aliquota fioscale
35,00%
35,0%
tasso risk free
5,0%
rendimento mercato
11,0%
a) completare
D/E
prima variazione struttura fin
Prima opzione struttura fin
Seconda opzione strutt finanz
0
30,0%
150,0%
b) calcolare WL e il vantaggio fiscale
WU
FCU/wacc
WL prima opzione SF
WTS =valore scudo fiscale
WL -WL
WL seconda opzione SF
WTS =valore scudo fiscale
SML
ra
rd
6,0%
10,0%
ra+(ra-rd)*D/E2 modi
re
wacc
12,2%
12,2%
12,2%
12,2%
14,06%
11,72%
12,2%
15,50%
10,10%
163,93
170,72
6,78
198,02
34,09
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
6,78
34,09
90
45
Costi del dissesto finanziario
• Lo scudo fiscale rappresenta un incentivo ad indebitarsi.
• Il debito eccessivo accentua il rischio ed aumenta la
pressione dovuta al pagamento di capitale e di interessi.
• Se l’impresa non riesce a fronteggiare gli impegni assunti
la conseguenza estrema potrebbe essere il fallimento
• Il fallimento ed in particolare i costi del dissesto tendono a
controbilanciare i vantaggi del debito
• In presenza di fallimento il valore dell’impresa fallita
viene ridotto da tutti i pagamenti che devono essere
effettuati per la procedura di fallimento.
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
91
Costi del dissesto finanziario
• Costi diretti (costi legali, costi di perizie, costi
amministrativi e contabili)(1,5-4,2%)
• Costi indiretti (10-20%)
1.
2.
3.
4.
Pregiudicata capacità di proseguire l’attività
Condizioni di finanziamento più onerose
perdita di credibilità nei confronti dei clienti e dei fornitori
Necessità di liquidare gli investimenti fissi per fronteggiare i fabbisogni
finanziari correnti
5. Volumi di ricavi che si riduce;
6. Canale di finanziamento commerciale che tende a prosciugarsi;
7. Management e lavoratori qualificati che preferiscono migrare verso altre
aziende
Implicazioni
Imprese con utili e flussi di cassa volatili …meno debito
Imprese con matching tra flussi di cassa operativi e flussi di cassa connessi al
servizio del debito… sono avvantaggiate.
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
92
46
Stima dei costi di fallimento
Da un punto di vista teorico, tale stima richiede:
1. La stima della probabilità di insolvenza (PD) associata ad
un aumento del debito;
2. La stima del valore attuale dei costi diretti ed indiretti di
fallimento
Esempio:
PD = 3% costi diretti/indiretti = 1000
Stima costo fallimento = 3%*1000= 30
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
93
Esercitazione 11
La spa Gamma ha un futuro incerto. Introduce un prodotto innovativo che è
migliore del precedente. Non si sa, tuttavia, se incontrerà il favore del pubblico.
Si stima che alla fine dell'anno 1:
HP 1
HP 2
valore impresa
150
80
probabilità
50,0%
50,0%
Determinare:
a) il valore dell'impresa se finanziata interamente da E
b) il valore dell'impresa nel caso in cui vi sia un debito di
100
con scadenza nell'anno 1.
tasso
5,0% costi disses
20
unlevered
successo insucc
D
E
W
150
150
suc
80
80
W unlevere
(150*0,5+80*0,5)/1,05
W levered
Debito
Equity
costi disse
(150*0,5+60*0,5)/1,05
(100*0,5+60*0,5)/1,05
(109,52-100)
(0*0,5+20*0,5)/1,05
levered
insuc
100
50
150
60
0
60
109,52
100
76,19
23,81
9,52
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
94
47
Esercitazione 12
La spa Gamma ha un futuro incerto. Introduce un prodotto innovativo che è
migliore del precedente. Non si sa, tuttavia, se incontrerà il favore del pubblico.
Si stima che alla fine dell'anno 1:
HP 1
HP 2
valore impresa
200
90
probabilità
50,0%
50,0%
Determinare:
a) il valore dell'impresa se finanziata interamente da E
b) il valore dell'impresa nel caso in cui vi sia un debito di
140
con scadenza nell'anno 1.
tasso
5,0% costi disses
40
unlevered
successo insucc
D
E
W
200
200
suc
90
90
levered
insuc
140
60
200
50
0
50
W unlevere
(150*0,5+80*0,5)/1,05
138,10
W levered
Debito
Equity
costi disse
(150*0,5+60*0,5)/1,05
(100*0,5+60*0,5)/1,05
119,0476
90,48
28,57
19,05
(109,52-100)
(0*0,5+20*0,5)/1,05
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
95
Esercitazione n. 13
La spa Dutex sta lanciando un nuovo prodotto. Il valore della spa è legato al
successo di tale lancio. In effetti ssi stima che la società possa assumere
fra 1 anno i seguenti valori, tutti equiprobabili: 150; 135; 95; 80. Si
ipotizzi un tasso di sconto del 5%. In caso di insolvenza il costo del
dissesto è stimato pari al 25% del valore delle attività.
1) Quale sarà il valore di Dutex nell’ipotesi la società sia finanziata solo
con Equity?
Valore del capitale proprio
Probabilità
Azioni in circolazione (in milioni)
Valore iniziale del capitale proprio
in ipotesi di assenza di debito
Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3 Scenario 4
150,00
135,00
95,00
80,00
25,00%
25,00%
25,00%
25,00%
10,00
109,52
(150+135+95+80)/1,05 *0,25 = 109,52
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
96
48
Esercitazione n. 13: continua
2) nell’ipotesi esista un debito di 100 da rimborsare alla fine dell’anno
Quale sarà il valore iniziale del debito e qual’e il tasso di rendimento
del debito
Valore del capitale proprio
Valore del debito senza costi dissesto
Valore del debito al netto costi fall
Valore complessivo
Probabilità
Costi di fallimento
Tasso privo di rischio
Valore iniziale del debito
Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3 Scenario 4
50,00
35,00
0,00
0,00
100,00
100,00
95,00
80,00
100,00
100,00
71,25
60,00
150,00
135,00
71,25
60,00
25,00%
25,00%
25,00%
25,00%
0,00
0,00
23,75
20,00
5,00%
78,87
Rendimento alla scadenza (YTM)
26,79%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
97
Esercitazione n. 13: continua
3) Qual è il valore iniziale dell’equity e quanto vale complessivamente la
spa?
0 Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3 Scenario 4
50
35
0
0
0,25
0,25
0,25
0,25
5,00%
0
0
0
20,24
0
0
0
Valore del capitale proprio
Probabilità
tasso di sconto
Valore iniziale del debito
Valore iniziale del capitale proprio
Valore complessivo in presenza di debito
Costi di fallimento
Probabilità
valore attuale costi fallimento al tasso 5%
20,24
99,11
0
0,25
0
0,25
23,75
0,25
D+E
20
0,25
10,42
109,52-10,42= 99,11
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
98
49
Esercitazione n. 14
La spa Dutex sta lanciando un nuovo prodotto. Il valore della spa è legato al
successo di tale lancio. In effetti ssi stima che la società possa assumere fra
1 anno i valori specificati. Si ipotizzi un tasso di sconto del 10%. In caso di
insolvenza il costo del dissesto è stimato pari al 25% del valore delle
attività.
1) Quale sarà il valore di Dutex nell’ipotesi la società sia finanziata solo
con Equity?
2) nell’ipotesi esista un debito di 100 da rimborsare alla fine dell’anno
Quale sarà il valore iniziale del debito e qual’e il tasso di rendimento
del debito
3) Qual è il valore iniziale dell’equity e quanto vale complessivamente la
spa?
Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3 Scenario 4
500,00
400,00
250,00
120,00
25,00%
25,00%
15,00%
35,00%
Valore impresa
Probabilità
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
99
Esercitazione n. 14: soluzione
Valore impresa
Probabilità
Azioni in circolazione (in milioni)
Valore iniziale del capitale proprio
in ipotesi di assenza di debito
valore finale debito
Valore del capitale proprio
Valore del debito senza costi dissesto
Valore del debito al netto costi fall
Valore complessivo
Probabilità
Costi di fallimento
Tasso privo di rischio
Valore iniziale del debito
Rendimento alla scadenza (YTM)
Rendimento atteso
Valore iniziale del capitale proprio
Valore complessivo in presenza di debito
Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3 Scenario 4
500,00
400,00
250,00
120,00
25,00%
25,00%
15,00%
35,00%
10,00
276,82
Scenario 1 Scenario 2 Scenario 3 Scenario 4
350
150,00
50,00
0,00
0,00
350,00
350,00
250,00
120,00
350,00
350,00
187,50
90,00
500,00
400,00
187,50
90,00
25,00%
25,00%
15,00%
35,00%
0,00
0,00
62,50
30,00
10,00%
213,30
64,09%
10,00%
45,45
258,75
Valore attuale dei costi di fallimento attesi
18,07
Prof. Piatti - Università degli studi di BergamoValore complessivo (inclusi i costi di fallimento)
276,82
100
50
Esercitazione n. 15
La spa Alfa interamente finanziata da E vuole realizzare un investimento
del costo di
60 finanziato da E.
Il costo del capitale unlevered è pari a
10,00% e i flussi
di cassa del progetto sono stimati pari a
10
L'aliquota fiscale è del
40%
a) qual è il VA dell'investimento
b) qual è il VAN
c) ipotizzando di finanziare il progetto con debito perpetuo al tasso
determinare il VAM
d) calcolare il VAM netto
e) i costi di dissesto riducono il flusso di cassa a
8
quale sarà il VAMn
a) VA investimento
Fc/ra
b) VAN I = VA -I
c) VAM=Fc/ra+tc*D
d) VAMn= VAM -I
e) VAN
5,0%
100
40
124
64
44
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
101
Esercitazione n. 16
La spa Alfa interamente finanziata da E vuole realizzare un investimento
del costo di
80 finanziato da E.
Il costo del capitale unlevered è pari a
12,00% e i flussi
di cassa del progetto sono stimati pari a
12
L'aliquota fiscale è del
40%
a) qual è il VA dell'investimento
b) qual è il VAN
c) ipotizzando di finanziare il progetto con debito perpetuo al tasso
determinare il VAM
d) calcolare il VAM netto
e) i costi di dissesto riducono il flusso di cassa a
10
quale sarà il VAMn
a) VA investimento
Fc/ra
b) VAN I = VA -I
c) VAM=Fc/ra+tc*D
d) VAMn= VAM -I
e) VAN
5,0%
100
20
132
52
35,33333
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
102
51
Relazione rating e PD annua
r a tin g
S & P
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
A A
A +
A
A +
B
B
B
B
B
B
+
B +
B
B +
-
C C
P D
a n n u a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
7
9
2 0
,0
,0
,0
,0
,0
,0
,0
,1
,2
,3
,6
,7
,1
,4
,9
,8
,3
0
0
0
0
3
4
7
9
0
0
2
8
9
2
3
4
9
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
103
Esemplificazione 17
La rosso-celeste spa è un’impresa senza debito il cui valore di mercato è
stimato in 12.000. L’aliquota fiscale è il 40% ed il rendimento atteso
sugli asset dell’impresa è stimato pari al 15%.
Si sta decidendo di ricorrere all’indebitamento (il debito verrebbe
utilizzato per riacquistare azioni proprie e la dimensione dell’impresa
rimarrebbe invariata). Il costo del debito è pari al 12%. Il valore
attuale dei costi di fallimento sarebbero pari a 8000 con probabilità di
fallimento variabile in funzione dell’indebitamento. Sia:
Pd=8% per debiti pari a 5000, Pd = 30% per debiti di 8000
a) Determinare ra e wacc dell’impresa unlevered;
b) Determinare il valore dell’impresa nell’ipotesi dei due debiti
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
104
52
soluzione
debito
Wu
0
5000
8000
tc*D
12000
12000
12001
costo fall
0
2000
3200
WL
0
640
2400
12000
13360
12801
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
105
Esercitazione n. 18
DGH spa è priva di debito e vale
100
con n. azioni in circolazione
40
Essa vuole modificare la sua struttura finanziaria
emettendo un importo fisso di debito e riacquistare azioni
L'emissione di D costa una commis su D
5,0%
Si stimano inoltre i seguenti costi di dissesto
debito
0
10
valore attuale costi dissesto
0
-0,3
aliquota fiscale
35,0%
a) qual è il livello ottimale del debito
b) qual è il prezzo delle azioni
a)
debito
scudo fiscale
costi emissione netti
costi dissesto
VANF
b) prezzo
WL = WU +VANF
prezzo azioni
0
0
0
0
0
10
3,5
-0,325
-0,3
2,875
20
-1,8
30
-4,3
20
7
-0,65
-1,8
4,55
30
10,5
-0,975
-4,3
5,225
40
-7,5
50
-11,3
40
14
-1,3
-7,5
5,2
50
17,5
-1,625
-11,3
4,575
105,225
2,63
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
106
53
Esercitazione n. 19
La Falchirama Spa, società quotata, sta valutando se ha o meno capacità di
indebitamento inutilizzata. Il valore di mercato della società è presentato in
tabella. Il debito attuale ha un rating pari a BBB con un costo del debito del
5%. A quel rating la PD è stimata pari al 9,5% ed i costi di dissesto sono
stimabili nel 40% del valore dell’impresa.
Vi si chiede di determinare, usando il criterio del VAM, il valore dell’impresa
priva di debito ed il valore dell’impresa con strutture finanziarie diverse
come da ipotesi in tabella. (una volta raggiunto il rapporto il debito è
mantenuto costante
Situazione a val mkt
attivo fisso
attivo corr
Cap investito
debito
equity
tot a a pareg
1.400
900
2.300
500
1.800
2.300
D/(D+E)
30,0%
40,0%
50,0%
60,0%
70,0%
rating
BBB
rd
5,00%
risk free
2,50%
aliquota imposta
30,00%
Probabil fallimento
9,50%
costi dissesto
40% Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
PD nuova
15,00%
25,00%
40,00%
60,00%
80,00%
107
Esercitazione n. 19 … soluzione
situazione a valore di mkt
debito
500
equity
1.800
tot a a pareg
2.300
D/E mkt
27,78%
D/(D+E) mkt
21,74%
Wunlevered con il VAM
W levered
2.300
-scudo fisc Debito 150
+ costi fal*PD
87,40
W unlevered
2.237
D/(D+E)
30,0%
40,0%
50,0%
60,0%
70,0%
PD nuova Wlevered
15,00%
2.307
25,00%
2.283
40,00%
2.215
60,00%
2.111
80,00%
2.016
D
* Wl − pd * cfall * Wl
Wl
Wu
Wl =
D
1 − tc *
+ pd * cfall
Wl
Wl = Wu + tc *
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108
54
Alcuni dati empirici per la realtà italiana..
costi diretti composizione del campione
periodo
Barontini (1997)*
22 aziende in amministrazione
controllata e 55 aziende in
4,00% concordato preventivo
1988-1995
Belcredi (1997)*
1,50% 18 aziende
1992-1996
Floreani (1997)*
60 aziende in amministrazione
4,20% straordinaria
1979-1996
Fonte: (a cura di Caprio L.), La gestione delle crisi di impresa in Italia, in Studi e Ricerche del
Mediocredito Lombardo, Milano,1997
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109
• Implicazioni dell’option theory sulla struttura finanziaria
• Rinvio
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110
55
Costi di agenzia
•
Rappresentano i conflitti di interesse tra azionisti e
creditori
1. Incentivo a intraprendere progetti a elevato rischio
2. Incentivo a sotto-investire
Modi per superare tali situazione conflittuali:
1. Introdurre clausole di protezione dei creditori (covenants)
2. Ricorrere al debito con garanzie reali o al leasing
Costi agenzia
totale
Costi agenzia
debito
Costi agenzia
Equity
D/W ottimale
D/W
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111
Jensen M., Meckling W., Theory of the firm: Manageerial Behavior, Agency cost abd Ownership structure, in Journal od Financial
Economics, Ocober 1976.
Perdita di flessibilità finanziaria
•
•
La flessibilità finanziaria è un aspetto strategico che
contribuisce a creare valore.
Una riduzione di tale flessibilità erode il valore aziendale
•
Il valore della flessibilità, difficile da stimare, è legato a 2
aspetti:
1. Alla disponibilità e alla dimensione dei progetti di
investimento
2. Alla possibilità di ricorrere a fonti di finanziamento
alternative
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112
56
Trade-off vantaggi/svantaggi debito
Vantaggi del debito
Svantaggi del debito
Beneficio fiscale: aliquote più alte … costi fallimento: maggiore rischio
benefici maggiori
operativo … maggiore costo
disciplina management: maggiore
separazione tra manag e proprietà … costi agenzia: maggiore conflitti di
maggiori benefici
interesse … maggiore costo
perdita flessibilità finanziaria futura:
maggire l'incertezza sulle necessità
finanziarie future … maggiore costo
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113
Tratto da: Damodaran (2001), pag. 306.
Valore dell’impresa
Valore dell’impresa =
Valore impresa unlevered
+
Valore attuale dello scudo fiscale –
Valore attuale dei costi di dissesto
finanziario, dei costi di agenzia, dei costi
di perdita della flessibilità finanziaria
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114
57
VALORE AZIENDALE
Massimo valore
dell’impresa
Valore di mercato dell’impresa
Costi del dissesto
VA del beneficio
fiscale del debito
Valore dell’impresa
soggetta all’effetto leva
finanziaria
Valore dell’impresa
non soggetta
all’effetto leva
finanziaria
Rapporto di indebitamento
ottimale
Debito
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115
Modello trade-off statico
r
Il livello di indebitamento ottimale si realizza quando il
wacc assume il valore minimo
rE
WACC
Max valore
rD
D/V*
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D
E
116
58
ASIMMETRIE INFORMATIVE e scelte finanziarie
I soggetti interni all’azienda dispongono di maggiori
informazioni rispetto all’esterno
Le asimmetrie tendono a penalizzare il ricorso al
finanziamento esterno in quanto i finanziatori esterni
disponendo di informazioni più limitate non credono ai
managers. La penalizzazione si può realizzare attraverso:
1. Un costo del capitale maggiore
2. Razionamento del capitale
La simmetria penalizza entrambe le tipologie di
finanziamento. Essa tuttavia tende ad essere più
rilevante per il capitale di rischio
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117
Teoria dell’ordine di scelta
Considerate questi fatti:
L’annuncio di un’emissione di azioni riduce il prezzo delle azioni,
in quanto gli investitori credono che i manager dell’azienda siano
più inclini a emettere azioni quando le stesse sono sovraprezzate.
Pertanto, le aziende preferiscono ricorrere al finanziamento
interno, il che permette di reperire i fondi senza inviare segnali
negativi.
Qualora si renda necessario un finanziamento esterno, le imprese
cominciano con l’emettere debito, utilizzando le azioni come
ultima risorsa.
Le aziende più redditizie sfruttano meno il debito: non perché
puntino a un rapporto di indebitamento minore, ma perché non
hanno necessità di di finanziamento esterni.
Tratto da: Brealey R., Myers S., Allen F., Sandri S., “Principi di Finanza aziendale”, McGraw-Hill, 2007 Lucido n. 19 del cap 17
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118
59
Teoria dell’ordine di scelta
Alcune implicazioni:
Il ricorso ai capitali interni può essere preferibile al
finanziamento esterno.
Adattano la distribuzione degli utili alle opportunità di
investimento evitando variazioni improvvise dei dividendi;
Le imprese + redditizie sono anche quelle meno indebitate
perché???????
L’attrattiva dei benefici fiscali non sembra essere la variabile
determinante in tale teoria
Continua……….
Si veda: Brealey R., Myers S., Allen F., Sandri S., “Principi di Finanza aziendale”, McGraw-Hill, 2007, cap 17.
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119
Teoria dell’ordine di scelta
Alcune implicazioni:
I rapporti di indebitamento variano quando è presente uno
squilibrio tra il cash flow interno, al netto dei dividendi, e le
opportunità di investimento:
imprese con alto RO, ma con opportunità limitate tendono ad avere
un rapporto di indeb. Minore; al contrario imprese con alto RO e
alte opportunità tendono ad indebitardi di più
Si veda: Brealey R., Myers S., Allen F., Sandri S., “Principi di Finanza aziendale”, McGraw-Hill, 2007, cap 17.
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120
60
…alcune conclusioni
a) Nel lungo periodo il valore di un’impresa si basa più sulle
decisioni di inevstimento operative che sulle politiche
finanziarie
b) È meglio pertanto avere una elasticità finanziaria per
poter disporre velocemente di finanziamenti per
supportare buoni investimenti
Si veda: Brealey R., Myers S., Allen F., Sandri S., “Principi di Finanza aziendale”, McGraw-Hill, 2007, cap 17.
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121
Struttura finanziaria ottimale: realtà empirica italiana
• imprese che possono usufruire di scudi fiscali alternativi al
debito hanno meno debito;
• Maggiore rischiosità operativa –debito
• Le imprese che hanno avuto un’alta redditività in passato
presentano – debiti
• Il settore di appartenenza influenza il livello di debito
• Non esiste tuttavia significatività statistica del fatto che la
scelta della struttura finanziaria dipenda da una precisa
strategia legata alla gerarchia delle fonti o considerazioni
legate all’asimmetria informativa o ai segnali
Si veda: Brealey R., Myers S., Allen F., Sandri S., “Principi di Finanza aziendale”, McGraw-Hill, 2007, cap 17.
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122
61
Trade-off debito e ciclo di vita*
fase 1
start-up
zero per scarsa
redditività
elevate, il
business è
asimmetrie informati un'idea
molto alti
costi dissesto fin.
Beneficio fiscale
costi agenzia
molto alti
bisogno di flessibilità molto alto
trade-off
costi debito>
benefici
fase 2
espansione
fase 3
crescita
basso
aumenta con
gli utili
fase 4
maturità
alto
diminuiscono
elevate, scarsa dimunuscono, maggiore
trasparenza
track record
trasparenza
molto alti
alti
declinanti
invetimenti
difficili da
controllare
alti
declinanti
alto con
fabbisogni
imprevedibili alto
basso
rilevanti
costi debito> benefici debito benefici del
non irrilevanti debito
benefici
*Tratto da: Dallocchio, Salvi, Finanza d’azienda, Egea, 2004.
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fase 5
declino
alto ma
declinante
aumentano,
possibile
espropriazione
bassi
bassi
basso
benefici
debito> costi
123
Importanza del settore di appartenenza
• Il livello di indebitamento, da un punto di vista empirico,
risulta influenzato dalla struttura finanziaria prevalente del
settore di appartenenza
• In generale:
• Maggiore è la volatilità dei flussi di cassa operativi, minore
dovrebbe essere la leva finanziaria
• Dove prevale stabilità dei flussi è possibile ricorrere di più
al debito
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124
62
Teoria delle opzioni e struttura
finanziaria
LE OPTION
• Contratto a termine mediante il quale, dietro
pagamento di un premio, si acquista il diritto
(non l’obbligo) di poter acquistare o vendere
dei beni ad un prezzo e a una scadenza
prefissati nel contratto
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126
63
Opzioni
• Le call sono opzioni
per acquistare
una certa attività
a (o entro) una certa
data
ad un certo prezzo
(detto prezzo
d’esercizio strike price)
• Le put sono opzioni
per vendere
una certa attività
a (o entro) una certa
data
ad un certo prezzo
(detto prezzo
d’esercizio strike price)
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127
… tipo europeo
L’opzione call o put è esercitabile
ad una data certa.
… tipo americano
L’opzione call o put è esercitabile
entro una certa data.
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128
64
opzioni – vs – forward
e future
diritto / facoltà di ritiro o
consegna a termine del
sottostante
pagamento a pronti
di un premio per
l’acquisto del “diritto”
la controparte è
obbligata al ritiro o
consegna a termine
del sottostante
nessun pagamento
iniziale
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129
FINALITA' DELLE OPZIONI
APRIRE
POSIZIONI
SPECULATIVE
RIALZISTA
ACQUISTA
OPZIONI CALL
RIBASSISTA
ACQUISTA
OPZIONI PUT
COPERTURA
DAI RISCHI
ACQUISTO CALL
VIENE FISSATO
UN TETTO
MASSIMO
ACQUISTO PUT
VIENE FISSATO
UN TETTO
MINIMO
compratore = rialzista
prevede un aumento dei prezzi, acquista a termine bloccando il prezzo oggi. A termine, se la sua aspettativa si è
realizzata, lucra la differenza tra il prezzo aumentato ed il prezzo pattuito (più basso)
venditore = ribassista
prevede una riduzione dei prezzi. Il contratto iniziale prevede in questo caso una vendita anziché un acquisto a
termine a. L’operatore vende a termine bloccando il prezzo oggi. A termine, se la sua aspettativa si è
realizzata, lucra la differenza tra il prezzo ridotto ed il prezzo pattuito (più alto)
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130
65
COPERTURA CON OPTIONS
0
pronti
n
termine
titoli per 100
prevedo una var. + tassi quindi -P
acquisto opzione put con strike price di 100
pagando un premio
valore titoli 93
sulla posizione a pronti
sulla posizione a termine
perdita 7
guadagno 7
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131
COPERTURA CON OPTIONS
0
pronti
n
termine
titoli per 100
prevedo una var. + tassi quindi -P
acquisto opzione put con strike price di 100
pagando un premio
valore titoli 103
sulla posizione a pronti
sulla posizione a termine
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guadagno 3
NON ESERCITO
L'OPZIONE PERDO
SOLO IL PREMIO
132
66
COPERTURA CON FUTURES
0
pronti
n
termine
titoli per 100
prevedo una var. + tassi quindi -P
vendo future sui titoli al prezzo di 100
valore titoli 93
sulla posizione a pronti
sulla posizione a termine
perdita 7
guadagno 7
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133
COPERTURA CON FUTURES
0
pronti
n
termine
titoli per 100
prevedo una var. + tassi quindi -P
vendo future sui titoli al prezzo di 100
valore titoli 103
sulla posizione a pronti
sulla posizione a termine
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guadagno 3
perdita 3
134
67
Diagrammi di posizione e di profitto della call
Punto di vista del compratore
Se S>SP C=S-SP
Se S<=SP C=0
C=max (0; S-SP)
S
SP
SP
S
Punto di vista del venditore
Se S>SP
Il venditore a
fronte di un
guadagno pari al
premio, può
sostenere una
perdita illimitata
SP
S
SP
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S
135
Diagrammi di posizione e di profitto della put
Punto di vista del compratore
Se S>=SP P=0
Se S<SP P=SP-S
P=max (0; SP-S)
S
SP
SP
S
Punto di vista del venditore
Se S>SP
Il venditore a
fronte di un
guadagno pari al
premio, può
sostenere una
perdita illimitata
SP
S
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SP
S
136
68
Valore a scadenza della call e della put option: sintesi
C =S – SP se S > SP in the money
Call =
C =0
se S <= SP out of the money
P =SP– S se S< SP in the money
put =
P =0
se S >= SP out of the money
Asimmetria delle opzioni = l’opzione non garantisce al compratore e al
venditore gli stessi diritti.
Il venditore dell’opzione ha un premio certo, ma il suo profitto
dipenderà dalla decisione del compratore
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137
Considerazioni
Il compratore di un’opzione call ha perdite max
pari al costo dell’opzione e guadagni
potenzialmente “illimitati”
Il compratore di un’opzione put ha perdite max pari
al costo dell’opzione e guadagni max pari allo strike
price – il prezzo di acquisto effettivo (se questo ultimo
è inferiore a (strike price-premio).
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138
69
Put-call parity
Immaginiamo di detenere un portafoglio composto da:
1) Una azione del valore di S0
2) Una put option P0
3) Vendita di call option C0
Vogliamo calcolare il valore di tale portafoglio alla scadenza.
Alla scadenza possono
esserci 2 possibili scenari
1) detengo l'azione
2) + ho una put
3) vendo una call
S < SP
S
SP - S
0
S >= SP
S
0
-(S - SP)
SP
SP
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Qualunque sia lo
scenario il portafoglio
alla scadenza varrà
sempre SP e quindi
garantisce un
rendimento certo risk
free rf
139
Put-call parity…segue
Indipendentemente dallo scenario a scadenza, il portafoglio varrà sempre
SP. Il suo valore può pertanto essere scontato al tasso risk free rf.
SP
1 + rf
C = S + P − VA ( SP )
S 0 + P0 − C 0 =
P = VA ( SP ) + C − S
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È possibile usare la
put-call parity per
valutare la put
europea dato il valore
della call e viceversa
140
70
Valore opzione
call
put
S
SP
rf
scad
volatilità
+
+
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
Limite superiore
pari al valore
dell’azione
C
Limite inferiore
pari a S-SP ossia
al valore della
Call a scadenza
B
A
SP
S
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141
Valutazione opzioni
• Non posso usare le formule di attualizzazione in quanto
non riesco a trovare un accettabile tasso a cui attualizzare
• Tale tasso, infatti, varia continuamente al variare del
prezzo dell’azione
• Esempio:
si supponga di acquistare un’opzione call (operatore
rialzista)….dato lo SP se il valore dell’azione S sale
l’opzione ha un’alta probabilità di essere in the money e
quindi di essere esercitata; il risultato è che sarà meno
rischiosa..
Se S si riduce l’opzione ha un’alta probabilità di finire out of
the money e quindi è più rischiosa
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142
71
Modalità di valutazione
• Metodo binomiale (Cox, Ross, Rubinstein, 1979,
Option pricing, A simplified Approach, in Journal
of Financial Economics, n. 7)
• Modello di Black e Scholes (Black, Scholes,
1973, The Pricing of Options and Corporate
Liabilities, in Journal of Political Economy, n. 81)
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143
Metodo binomiale
Idea 1 … Alla fine di un periodo, il prezzo di un’azione può
variare ma solo verso 2 livelli possibili (up e down)
Idea 2 …posso creare un portafoglio equivalente in termini di
flussi di cassa a quello delle opzioni (che replica i flussi
associati all’opzione). Tale portafoglio è formato da azioni
(attività) e da debito (passività)
S1u= S0*u
S0
S1d= S0*d
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144
72
Esempio… SP=80 rf=10%
S1u=105 C1=25
S0=70
S1d=55 C1= 0
Possibile strategia alternativa… replico il portafoglio con l’opzione, ossia
creo un portafoglio equivalente, in termini di flussi di cassa, caratterizzato
da acquisto azioni e debito
Si ipotizzi di acquistare ½ azione e di accendere un debito per 25 in t=0.
in t=1, si avrà:
P1u=52,5-25*1,1 = 25
P1d=27,5-25*1,1 = 0
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145
Esempio … continua
2 portafogli che alla fine dell’anno 1 generano gli stessi flussi dovrebbero
avere lo stesso valore
In altri termini, la call deve valere come il portafoglio replicato
In t=0
S0 * λ - D
70 * 0,5 - 25 = 10
λ = hedge ratio =
∆ tra il possibile prezzo dell' opzione a scad.
25 − 0
= 0,5
=
∆ tra il possibile prezzo dell' azione a scad. 105 − 55
n. Azioni da acquistare per replicare una call
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146
73
Esempio … continua
• La call vale 10 a prescindere dalla propensione al rischio
dell’investitore
• Sulla base di tale idea si può considerare un’ulteriore modalità di
calcolo del valore dell’opzione, che possiamo utilizzare ipotizzando
investitori neutrali al rischio. In particolare, dobbiamo:
• 1) calcolare il valore atteso finale;
• 2) scontarlo al tasso privo di rischio
S1u=105 up del 50%
S0=70
S1d=55 down del 21,5%
Calcolo il valore della probabilità (possiamo chiamarla probabilità
neutrale al rischio) di up e down in modo indiretto:
50%*p -21,5%*(1-p) = 10%
da cui p=44%
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147
Esempio … continua
S1u=105 C= 25
S0=70
S1d=55 C= 0
Calcolo il valore atteso della call in t=1
25*p +0*(1-p) = 25*44% =11
Attualizzo al tempo t=0 con tasso risk free del 10%
C = 11/1,1 = 10
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148
74
sintesi
• Abbiamo ora 2 modalità per calcolare il valore
dell’opzione:
• 1. trovare una combinazione di azioni e debito che replichi
la posizione dell’investimento in opzione. Poiché le 2
strategie generano lo stesso risultato devono avere lo
stesso valore
• 2. ipotizzare un mondo neutrale al rischio per cui il
rendimento atteso dell’azione dovrà uguagliare il tasso
risk free. Pertanto determino il valore atteso dell’opzione e
lo riporto al tempo t=0 scontandolo al tasso risk free.
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149
Esemplificazione n.20
calcolare il valore della Call sapendo che S= 28 SP=30 u=1,4 d=0,8
rf=10%
S1u=39,2 up del 40% C=9,2
S0=28
S1d=22,4 d del 20% C=0
Primo modo: considero il portafoglio di S e D che replica il flusso di
cassa dell’opzione
S 1 u * λ − 1 ,1 * D = 9 , 2 → 39 , 2 * λ − 1 ,1 * D = 9 , 2
S id * λ − 1 ,1 * D = 0
da cui λ =
→ 22,4 * λ - 1,1 * D = 0
C 1, u − C 1 , d
S 1 ,u − S 1, d
e D =
S 1, d − C 1 , d
1 + rf
=
S 1, u − C 1 , u
1 + rf
λ=0,55 D=11,2
Il portafoglio replicante è pari all’acquisto del 55% dell’azione e a un debito di
11,2
A t=0 S0*λ –D = 28*0,55 – 11,2 = 4,2
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150
75
Secondo modo per il calcolo della Call
• Calcolo la probabilità neutrale al rischio p:
• 0,4*p-0,2*(1-p)=0,10
• p=0,3/0,6=50%
• C= (9,2*0,5+0*0,5)/1,1 = 4,18
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151
Esemplificazione n.21
calcolare il valore della Call sapendo che S= 40 SP=38 u=1,2 d=0,67
rf=10%
S1u=48 up del 20% C=10
S0=40
S1d=26,8 d del 33% C=0
Primo modo: considero il portafoglio di S e D che replica il flusso di
cassa dell’opzione
S 1 u * λ − 1,1 * D = 10 → 48 * λ − 1,1 * D = 10
S 1 d * λ − 1,1 * D = 0
→ 26,8 * λ - 1,1 * D = 0
λ=0,47 D=11,45
Il portafoglio replicante è pari all’acquisto del 47% dell’azione e a un
debito di 11,45
A t=0 S0*λ –D = 40*0,47 – 11,45 = 7,38
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152
76
Secondo modo per il calcolo della Call
• Calcolo la probabilità neutrale al rischio p:
• 0,2*p-0,33*(1-p)=0,10
• p=0,53/0,43=81%
• C= (10*0,81+0..)/1,1 = 7,38
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153
Esemplificazione n.22
calcolare il valore della Put sapendo che S= 60 SP=60 u=1,2 d=0,9
rf=3%
S1u=72 up del 20% P=0
S0=60
S1d=54 d del 10% P=6
Primo modo: considero il portafoglio di S e D che replica il flusso di
cassa dell’opzione
S 1 u * λ − 1, 03 * D = 0 → 72 * λ − 1, 03 * D = 0
S 1 d * λ − 1, 03 * D = 6
→ 54 * λ - 1,03 * D = 6
λ=-0,333 (vendita) D=-23,301 (prestito)
Il portafoglio replicante è pari alla vendita del 33,33% dell’azione e a
un prestito di 23,301
A t=0 S0*λ –D = -60*0,333+23,301 = 3,30
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154
77
Secondo modo per il calcolo della Put
• Calcolo la probabilità neutrale al rischio p:
• 0,2*p-0,1*(1-p)=0,03
• p=0,13/0,3=43,333%
• P= (0…+60*0,56,667)/1,03 = 3,30
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155
Altri esempi… da svolgere
Calcolare il valore della call option al tempo zero in base alle seguenti
ipotesi:
a) S0= 50; SP=45; up=1,2; d=0,8; rf= 3%
(risultato: lamba= 0,75; valore call=8,37)
b) S0= 45; SP=41; up=1,1; d=0,85; rf= 2%
(risultato: lamba= 0,76; valore call=5,67)
c) S0= 50; SP=55; up=1,2; d=0,8; rf= 3%
(risultato: lamba= 0,25; valore call=2,79)
d) S0= 80; SP=90; up=1,4; d=0,75; rf= 5%
(risultato: lamba= 0,42; valore call=9,67)
Calcolare il valore della put option al tempo zero in base alle seguenti
ipotesi:
e) S0= 80; SP=80; up=1,1; d=0,7; rf= 3%
(risultato: lamba= -0,75; valore put=4,08)
f) S0= 50; SP=55; up=1,3; d=0,8; rf= 3%
(risultato: lamba= -0,6; valore put=7,86)
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156
78
Esemplificazione n.23
calcolare il valore della Call sapendo che SP=50 rf=6%
S2u=60
S1u=50
S2d=40
S0=40
S1d=30
S2d=20
Per calcolare il valore di un’opzione con un albero binomiale a 2 stadi
occorre procedere a ritroso. Prima si calcola il valore dell’opzione in
ogni stato del tempo, quindi al tempo 1 e successivamente si risale al
tempo 0. Calcoliamo la Call al tempo 1
S 1 u * λ − 1, 06 * D = 10 → 60 * λ − 1, 06 * D = 10
S 1 d * λ − 1, 06 * D = 0
λ = 0,5
in t = 1
→ 40 * λ - 1,06 * D = 0
D = 18,87
C = 50 * 0,5 - 18,87 = 6,13
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157
Esemplificazione n.23
calcolare il valore della Call sapendo che S= 40 SP=50 rf=6%
S1u=50
S0=40
S1d=30
Call = 6,13
Call = 0
S 1 u * λ − 1, 06 * D = 0 → Call = 0
S 1 d * λ − 1, 06 * D = 0
→ Call = 0
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
158
79
Esemplificazione n.23
calcolare il valore della Call sapendo che S= 40 SP=50 rf=6%
S1u=50
S0=40
S1d=30
Call = 6,13
Call = 0
S 1 u * λ − 1, 06 * D = 6 ,13 → 50 * λ − 1, 06 * D = 6 ,13
S 1 d * λ − 1, 06 * D = 0
λ = 0,31
in t = 0
→ 30 * λ - 1,06 * D = 0
D = 8 , 67
C = 40 * 0,31 - 8,67 = 3 , 59
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159
Esemplificazione n.24
calcolare il valore della Call sapendo che SP=21 rf=10%
S2u=28,80
S1u=24
S2d=16,8
S0=20
S1d=13,40
S2d=8,98
Risultato:
C al tempo 1 = 5,67
Call al tempo 0 = 4,18
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160
80
Formula di Black/Sholes
• Nell’approccio binomiale, per ipotesi, alla fine del periodo vi sono
solo 2 possibili prezzi.
• Nella realtà, possiamo frazionare infinitamente i periodi ed ottenere
una variazione del prezzo delle azioni continua.
• È possibile pensare di far tendere a 0 la durata di ogni periodo e
all’infinito il numero dei periodi
• Possiamo fare riferimento ad una distribuzione continua dei prezzi
C = S*λ - D
binomiale
C = S*[N(d1)] – SP*e-rt*[N(d2)]
Black/Sholes
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161
Formula Black/Sholes
C = S*[N(d1)] – SP*e-rt*[N(d2)]
S
ln
+ r *t
1
SP
+ σ
d1 =
2
σ t
t
d 2 = d1 − σ
t
C- Prezzo della call
S - Prezzo dell’azione
N(d1) – Funzione di probabilità cumulata normale standard di (d1)
SP - Prezzo di esercizio
N(d2) - Funzione di probabilità cumulata normale standard di (d2)
r – tasso di interesse
t – durata dell’opzione (come % annua)
σ - Scarto quadratico medio del tasso di rendimento all’azione (volatilità annua)
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162
81
Formula Black/Sholes:
la formula è valida per la valutazione delle opzioni call europee
e americane che non pagano dividendi
S
ln
+ r *t
1
SP
+ σ
d1 =
2
σ t
d 2 = d1 − σ
t
t
Distribuzione normale cumulata
N(d1) = N(0) = 0,5
Probabilità di estrarre un
numero inferiore a 0
µ=0
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163
Formula Black/Sholes: volatilità implicita
C = S*[N(d1)] – SP*e-rt*[N(d2)]
S
ln
+ r *t
1
SP
+ σ
d1 =
2
σ t
t
d 2 = d1 − σ
t
Degli imput richiesti dalla B/S 4 variabili sono direttamente osservabili: S; t; SP;
r. Il parametro volatilità σ è invece da determinare.
Vi possono essere 2 possibili strategie:
a)
Utilizzare dati storici e calcolare il parametro
b)
Dato il prezzo di mercato della Call, ricavare indirettamente la volatilità
(volatilità implicita) dalla formula di B/S. La volatilità così ottenuta può essere
utilizzata per stimare il valore di altre opzioni sull’azione aventi la stessa data di
scadenza oppure con scadenza diversa se si stima che la volatilità non vari
sensibilmente nel tempo
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164
82
Formula Black/Sholes
Esempio: sottoscrizione di una call il 4/10/n con scadenza 21/4/n+1 (199
giorni); S=50; SP=45; r=3%; σ=10%
risk free
tempo in anni
S
SP
STD
3,00%
0,54521
50
45
10,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
1,68535
1,61151
0,95404
0,94647
valore Call
valore put =C+ val att SP-S (put-call
parity)
λcall=Hedge
ratio
5,80
0,08
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165
Formula Black/Sholes: significato di N(d)
Esempio: sottoscrizione di una call il 4/10/n con scadenza 21/4/n (199
giorni); S=50; SP=45; r=3%; σ=10%
N(d1) = N(1,68535) = 0,95404
Probabilità di estrarre un
numero inferiore a
1,68535
µ=0
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166
83
Esempio B/S 1
Input
risk free
tempo in anni =117/365
S
SP
STD
9,25%
0,32055
1,83
1,8
31,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
0,35087
0,17536
0,63716
0,56960
valore Call
0,170670335
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167
Esempio B/S 2
Input
risk free
tempo in anni
S
SP
STD
12,47%
4,00000
140
160
40,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
0,85659
0,05659
0,80416
0,52256
valore Call
valore put =C+ val att SP-S (put-call
parity)
valore attuale SP
Hedge ratio =λ
61,81
21,80
100
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168
84
Put e formula di Black-Scholes
• Dalla PUT-CALL parity=
• P = C – S + VA(SP)
• Sostituiamo alla C la formula di B/S
P = SP * e − r*t [1 − N (d 2 )] − S [1 − N (d1 )]
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169
Formula di Black/Sholes e portafoglio equivalente
C = S*λ - D
C = S*[N(d1)] – SP*e-rt*[N(d2)]
N(d1) è la funzione di distribuzione normale cumulata e ha valore
compreso tra 0 e 1; ciò significa che 0<λ<1.
Inoltre, poiché λ<1 segue che ∆C < ∆P (prezzo dell’azione)
PUT = P - S * λ
P = SP * e − r*t [1 − N (d 2 )] − S [1 − N (d1 )]
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170
85
Rischio e rendimento di un’opzione
Il rischio di un’opzione = beta e lo possiamo calcolare come il
beta del portafoglio equivalente
S *λ
D
− βD
maβ D = 0
S *λ − D
S *λ − D
S *λ
= βS
da cui β CALL > β S
S *λ − D
β CALL = β S
β CALL
>1
S *λ
P
maβ P = 0
+ βP
P − S *λ
P − S *λ
S *λ
da cui β PUT < 0 quando β S > 0
= −β S
P − S *λ
β PUT = − β S
β PUT
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171
Rischio e rendimento di un’opzione
S *λ
S *λ − D
S * N (d1 )
= βS
C
β CALL = β S
β CALL
da cui β CALL > β S
S *λ
da cui β PUT < 0 quando β S > 0
P − S *λ
S * [1 − N (d1 )]
= −β S
Put
β PUT = − β S
β PUT
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172
86
Esercitazione n.25
Si calcoli il beta dell’opzione call sull’azione gamma (valore azione 12,58) con SP
pari a 14 e σ = 25%. Il beta dell’azione gamma è pari a 1,34 il tasso risk free è pari
al 4,38%. N(d1)= 0,133; N(d2)=0,115
La scadenza dell’opzione è fra 45 giorni.
β CALL = β S
S * N (d1 )
12,58 * 0,133
= 1,34 *
= 31,49
C
0,0711
Si calcoli il beta dell’opzione put sull’azione gamma (valore azione 12,58) con SP
pari a 12,5 e σ = 25%. Il beta dell’azione gamma è pari a 1,34 il tasso risk free è
pari al 4,38%. N(d1)= 0,57; N(d2)= 0,536
La scadenza dell’opzione è fra 45 giorni.
β PUT = − β S
S * [1 − N (d1 )]
12,58 * [1 − 0,571]
= −1,34 *
= −19,585
Put
0,369
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173
Teoria delle opzioni e struttura
finanziaria
87
Equity in termini di opzione call
Sit. Patrim.
Debito D = 1000
W = 2000
Equity E = 1000
Debito=pure discount bond con
una certa scadenza T
Equity = opzione call azionista in
cui il sottostante non è l’azione,
ma il valore dell’azienda W
C=E
SP = D (valore attuale del debito) S= W
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175
Equity = opzione call
• Il capitale azionario offre un diritto residuale agli azionisti,
nel senso che essi partecipano alla distribuzione solo se
sono stati pagati i creditori.
• D’altro canto, la responsabilità limitata degli azionisti fa si
che:
• A) i creditori possiedano l’impresa;
• B) gli azionisti godono di un’opzione call sull’attivo
d’impresa con uno strike price pari al valore del debito.
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176
88
Equity come call: esempio
Ipotizziamo che il valore di mercato dell’attivo dell’impresa alfa sia pari a
W=100. Le attività sono finanziate da un debito il cui valore nominale è
pari a 80 e che sarà rimborsato fra 10 anni in un’unica soluzione; la
volatilità sul rendimento delle attività sia pari a DEV std= 40%.
Vogliamo calcolare:
1) il valore di mercato dell’equity visto come opzione call;
2) Il valore di mercato del debito ed il tasso di interesse sul debito rischioso.
D=?
W = 100
Val nom= 80 rf= 10% r=?
E = call ?
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177
Esempio: continuazione
C = S*[N(d1)] –
SP*e-rt*[N(d2)]
C=0,94514*100-80*e-010*10*0,63101 = 75,94
risk free
tempo in anni
S=W
SP = D
STD
10,00%
10,00
100
80
40,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
1,59944
0,33452
0,94514
0,63101
valore Call = Equity
valore mercato debito D=WE
valore put =C+ val att SP-S
(put-call parity) (A)
valore attuale SP (B)
valore di mercato debito
D=val SP-P
tasso sul debito rischioso
75,94
24,06
6,79
31
24,06
12,77%
D= valore nominale 80; valore di mercato 100-75,94= 24,06
Tasso di interesse sul debito rischioso = 24,06*(1+r)10 = 80 r=12,77%
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178
89
Equity = call: considerazioni
Azienda in crisi = il suo capitale netto, se è visto come una call option, può
avere valore, anche se W<D. Infatti esiste sempre una certa probabilità
che il valore dell’attività sottostante (ossia l’azienda) possa superare lo
strike price (ossia il valore del debito) prima della scadenza.
questo potrebbe giustificare l’esistenza di un valore del Capitale in aziende
in crisi
Esempio: Consideriamo i dati dell’esemplificazione precedente e
supponiamo che W=60 < D=80
Input
risk free
tempo in anni
S=W
SP = D
STD
10,00%
10,00
100
80
40,00%
10,00%
10,00
60
80
40,00%
10,00%
10,00
60
80
60,00%
10,00%
10,00
60
80
5,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
1,59944
0,33452
0,94514
0,63101
1,19559
-0,06932
0,88407
0,47237
1,32411
-0,57326
0,90727
0,28323
4,58415
4,42604
1,00000
1,00000
75,94
24,06
39,14
20,86
46,10
13,90
30,57
29,43
valore Call = Equity
valore mercato debito D=W-E
tasso sul debito rischioso
12,77%
14,39%
19,13%
10,52%
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179
Legenda :
Put-call parity
va=valore attuale; C=call; P=put;
S=valore dell’azione sottostante;
SP=strike price; D=debito;
W=valore attivo
C – P = S - vaSP
Da cui rimaneggiando con una certa fantasia
vaSP - P
=
S C
vaD - P
=
W E
= D rischioso
Valore attivo – call option
Il creditore possiede l’azienda ed ha ceduto una call option agli
azionisti sulle attività dell’azienda con uno SP pari al Debito.
Gli azionisti eserciteranno l’opzione e acquisteranno le attività
se S>SP ossia se W>D
Debito certo senza rischio – valore put
Il creditore ha acquisito un debito privo di rischio e venduto
agli azionisti un’opzione put, in base alla quale gli azionisti
possono vendere l’azienda se W<SP cioe se W<D
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180
90
Proviamo ad applicare il nostro ragionamento precedente,
nell’ipotesi di essere a scadenza: valutiamo il debito rischioso
D= 1000
W = 2000
E=C
E = 1000
1) debito rischioso = W-E
W>D
W – D = 1000
P=0
2) debito rischioso = debito certo - p
W – max(0;(W – D))
D–P
W – (W – D)
D–0
2000-(2000-1000) = 1000
1000- 0 = 1000
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181
Proviamo ad applicare il nostro ragionamento precedente,
nell’ipotesi di essere a scadenza: valutiamo il debito rischioso
D= 1000
W = 800
E=0
1) debito rischioso = W-E
W<D
C=0
P = D-W=200
2) debito rischioso = debito certo - p
W – max (0;(W – D))
D – max (0; (D-W))
W – (0)
D – (D-W)
800 - 0 = 800
1000- 200 = 800
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182
91
Struttura finanziaria come opzioni
E=C
W
D = W – E = W -C
D = SP - P
W
E = W – D = W – SP + P
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183
Debito con garanzia
Il creditore sopporta il rischio di
fallimento e chiede una
remunerazione adeguata per
coprirsi da tale rischio
In presenza di una garanzia, in caso di
fallimento del debitore, il creditore si
rivale sul garante. Il valore della put che
ha venduto all’azionista e che rappresenta
per lui un costo gli viene rimborsato dal
garante. Da questo punto di vista la
garanzia trasforma un prestito rischioso in
uno privo di rischio o con rischio inferiore
Sappiamo che:
Debito rischioso = debito privo di rischio – valore dell’opzione put
Debito rischioso + valore della put = debito privo di rischio
L’opzione put è assimilabile al
costo della garanzia che deve
essere sopportato dal garante
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184
92
Debito e E come opzioni…
Il fatto che il capitale proprio (E) e il debito possano essere visti come
opzione consente di usare i risultati della teoria delle opzioni.
E visto come una opzione call= il valore di E aumenta se:
a) Aumenta W;
b) Aumenta σ;
c) Aumenta la durata del finanziamento;
d) Aumenta il tasso risk free
Inoltre possiamo stimare il beta equity sfruttando la relazione
rischio/rendimento di un’opzione:
S *λ
S *λ − D
W *λ
D
D
= β A * λ * 1 +
= β A * N (d 1 ) * 1 +
E
E
E
β CALL = β S
βE = βA
NB: Se Bd=0 E è sempre in the money e quindi λ=1 be=ba(1+D/E)
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185
Debito rischioso e opzioni
• A volte non si riescono a trovare abbastanza informazioni
e dati di mercato per valutare il beta del debito
W
E
− βE *
D
D
ricordando la definizione di beta equity
D =W −C
βD = β A *
W
W
E
− β A * λ * = β A * (1 − λ ) * 1 +
D
D
D
E
β D = β A * [1 − N (d1 )]* 1 +
D
βD = β A
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186
93
Esemplificazione n. 26
Il beta levered di gamma è pari a: 1,3. il capitale proprio di
gamma ha un valore di mercato di 40. Il valore di mercato
del debito è stimato pari a 60. l’hedge ratio è pari a 0,8.
Determinare il beta asset ed il beta debt. Utilizzando la teoria
delle opzioni.
βe
1,3
= 0,65
λ (1 + D / E ) 0,8 * (1 + 60 / 40)
β d = β a * (1 − λ ) * (1 + E / D ) = 0,65 * 0,2 * 100 / 60 = 0,217
βa =
=
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187
Esemplificazione n. 27
Il beta levered di gamma è pari a: 1,5. il capitale proprio di gamma
ha un valore di mercato di 300. Il valore di mercato del debito è
stimato pari a 850. l’hedge ratio è pari a 0,92.
Determinare il beta asset ed il beta debt. Utilizzando la teoria delle
opzioni.
βe
1,5
= 0,467
λ (1 + D / E ) 0,92 * (1 + 850 / 300)
β d = β a * (1 − λ ) * (1 + E / D ) = 0,467 * 0,08 * 1150 / 850 = 0,046
βa =
=
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188
94
Problemi di agenzia:conflitti di interesse tra azionisti e creditori
Azionisti e creditori possono avere interessi diversi.
In particolare, gli azionisti in genere presentano una
propensione maggiore dei creditori:
a) ad intraprendere progetti rischiosi;
b) distribuire dividendi superiori.
Il conflitto che si genera è modellabile utilizzando la teoria
delle opzioni.
Se l’equity è un’opzione call, tutte le volte che si
intraprendono strategie che determinano un aumento
della varianza del valore dell’attivo, a parità di condizioni,
si verifica un aumento del valore della call ossia
dell’equity
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189
Equity = call: considerazioni
Conflitti di interesse creditori/azionisti, si consideri la situazione
dell’impresa senza investimento (come da tabella). Si immagini
che si possa scegliere un investimento nuovo con NPV pari a 1000. Tale investimento è molto rischioso e porta la STD DEV
dell’impresa al 65%
Input
risk free
tempo in anni
S=W
SP = D
STD
senza inv
d1
d2
N(d1)
N(d2)
valore Call = Equity
valore mercato debito D=W-E
tasso sul debito rischioso
+inv A
2,50%
3,00
10000
6000
25,00%
2,50%
3,00
9000
6000
65,00%
1,56941
1,13640
0,94172
0,87211
0,98968
-0,13615
0,83883
0,44585
4.562,70
5.437,30
5.067,71
3.932,29
3,34%
L’incremento di valore
dell’E avviene a scapito
del valore del debito e
quindi dei creditori
15,12%
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190
95
Equity = call: considerazioni
Conflitti di interesse creditori/azionisti, effetti delle fusioni
conglomerali. Si considerino i dati delle tabelle sotto evidenziate
e si determini il valore di E e D tramite la teoria delle opzioni
spa A
Input
risk free
tempo in anni
S=W
SP = D
STD
spa B
3,00%
5,00
3000
2000
25,00%
dev std A
dev std B
correlazione A,B
peso A
peso B
dev std A+B
3,00%
5,00
5000
3000
50,00%
A+B
3,00%
5,00
8000
5000
36,04%
25,000%
50,000%
40,000%
37,500%
62,500%
36,039%
Per il calcolo della
dev std del
portafoglio si veda
il lucido
successivo
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191
Determinazione della varianza di un portafoglio
Prima regola
Siano X e Y 2 variabili casuali e Z=X+Y
la var(Z)= var(X) + var(Y) + 2 cov(X,Y)
Seconda regola
Data il prodotto tra uno scalare ed una variabile casuale
var(aX) = a2 var X
Ciò premesso, dato un portafoglio P (valore A+B) composto da una
certa % a dell’azienda A e da una certa % b delll’azienda B, si avrà:
P = aX + bY
Var (P ) = a 2Var ( X ) + b 2Var (Y ) + 2abCov( X , Y ) =
= a 2Var ( X ) + b 2Var (Y ) + 2abρ X ,Y * σ X σ Y
poichèσ X ,Y =
Cov( X , Y )
σ Xσ Y
da cui : Cov(X, Y ) = σ X ,Y * σ X σ Y
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192
96
Fusioni conglomerali: effetti (travaso di ricchezza da azionisti a
creditori)
Input
risk free
tempo in anni
S=W
SP = D
STD
spa A
spa B
A+B
3,00%
5,00
3000
2000
25,00%
3,00%
5,00
5000
3000
50,00%
3,00%
5,00
8000
5000
36,04%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
1,27315
0,71414
0,89852
0,76243
1,15008
0,03204
0,87494
0,51278
1,17230
0,36644
0,87946
0,64298
valore Call = Equity
valore mercato debito D=W-E
1.383,10
1.616,90
3.050,66
1.949,34
4.268,60 4.433,75
3.731,40 3.566,25
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
193
Esercitazione 28
La spa Alfa ha un valore corrente delle attività di 3000 ed un debito nominale pari a 1000. Il
debito verrà pagato in un’unica soluzione fra 4 anni. La varianza sulla redditività dell’attivo è
pari all’1% e il tasso risk free è del 5%
Si vuole determinare: il valore dell’equity; il valore di mercato del debito ed il tasso di interesse
sul debito rischioso. Si ipotizzino inoltre gli stessi dati utilizzando una varianza del 16%.
In p u t
risk free
tem p o in a n n i
S = W
SP = D
STD
5 ,00%
4 ,00
30 00
10 00
10 ,00%
5,00 %
4,00
3 000
1 000
40,00 %
d1
d2
N (d 1 )
N (d 2 )
6 ,593 06
6 ,393 06
1 ,000 00
1 ,000 00
2,02 327
1,22 327
0,97 848
0,88 939
v alore C all = E q u ity
v alore m ercato d eb ito D = W -E
v alore p u t = C + v al att S P -S (p u t-call
p arity) (A )
v alore attu ale S P (B )
2.181,2 7
818,7 3
2.20 7,26
79 2,74
v alore d i m ercato d eb ito D = val S P -P
tasso su l d eb ito risch io so
3 ,9 7
823
2 9 ,9 7
823
8 1 8 ,7 3
7 9 2 ,7 4
5 ,1 3 %
5 ,9 8 %
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
194
97
Esercitazione 29
La spa Alfa ha un valore corrente delle attività di 500 ed un debito nominale pari al 75% del
valore di mercato dell’attivo. Il debito verrà pagato in un’unica soluzione fra 4 anni. La varianza
sulla redditività dell’attivo è pari al 56,25% e il tasso risk free è del 10%
Si vuole determinare: il valore dell’equity; il valore di mercato del debito ed il tasso di interesse
sul debito rischioso. Si ipotizzino inoltre gli stessi dati utilizzando una varianza del 4%.
risk free
tem p o in a n n i
S = W
SP = D
STD
1 0,0 0%
4 ,0 0
5 00
3 50
7 5,0 0%
1 0 ,0 0 %
4 ,0 0
500
350
2 0 ,0 0 %
1 ,2 5 4 45
-0 ,2 4 5 55
0 ,8 9 5 16
0 ,4 0 3 02
2 ,0 9 1 6 9
1 ,6 9 1 6 9
0 ,9 8 1 7 7
0 ,9 5 4 6 5
v a lo re C a ll = E q u ity
v a lo re m ercato d eb ito D = W -E
v a lo re p u t = C + v a l a tt S P -S (p u t-call
p a rity ) (A )
v a lo re a ttu a le S P (B )
3 53 ,03
1 46 ,97
2 6 6,9 1
2 3 3,0 9
v a lo re d i m erca to d eb ito D = va l S P -P
ta sso su l d eb ito risch ioso
d1
d2
N (d 1)
N (d 2)
9 2 ,0 8
5 ,9 7
239
239
1 4 6 ,9 7
2 3 3 ,0 9
2 4 ,2 2 %
1 0 ,7 0 %
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
195
Esercitazione 30
La spa Alfa ha un valore corrente delle attività di 4000 ed un debito nominale pari a 800. Il
debito verrà pagato in un’unica soluzione fra 4 anni. La varianza sulla redditività dell’attivo è
pari al 42,25% e il tasso risk free è del 10%
Si vuole determinare: il valore dell’equity; il valore di mercato del debito ed il tasso di interesse
sul debito rischioso. Si ipotizzino inoltre gli stessi dati utilizzando una varianza dell’1%.
risk free
tem po in anni
S=W
SP = D
ST D
10,00%
4,00
4000
800
65,00%
10,00%
4,00
4000
800
10,00%
d1
d2
N (d1)
N (d2)
2,19572
0,89572
0,98594
0,81480
10,14719
9,94719
1,00000
1,00000
valore C all = E quity
valore m ercato debito D =W -E
valore put =C + val att SP-S (put-call
parity) (A )
valore attuale SP (B )
3.506,84
493,16
3.463,74
536,26
valore di m ercato debito D =val SP-P
tasso sul debito rischioso
53,25
10,15
546
546
493,16
536,26
12,86%
10,52%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
196
98
Esercitazione 31
La spa Alfa ha un valore corrente delle attività di 10000 e deve rimborsare fra 1 anno ad una banca un prestito
di 7500 che rappresenta l’unico debito. La varianza sulla redditività dell’attivo è pari al 30% e il tasso risk free
è del 3%. La spa Alfa sta considerando 2 investimenti alternativi. L’investimento A presenta un valore netto di
1.000 e provocherebbe un aumento della volatilità:dal 30% al 45%. L’investimento B ha invece un valore
attuale di 2000 e porterebbe la varianza dell’attivo dal 30% al 20%. Si vuole determinare: il valore dell’equity,
il valore di mercato del debito nell’ipotesi di assenza degli investimenti ed in presenza dei 2 investimenti.
Input
senza inv
+inv A
+inv B
risk free
3,00%
3,00%
3,00%
tempo in anni
1,00
1,00
1,00
S=W
10000
11000
12000
SP = D
7500
7500
7500
STD
30,00%
45,00%
20,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
1,20894
0,90894
0,88666
0,81831
1,14276
0,69276
0,87343
0,75577
2,60002
2,40002
0,99534
0,99180
valore Call = Equity
valore mercato debito D=W-E
valore put =C+ val att SP-S (put-call
parity) (A)
valore attuale SP (B)
2.910,64
7.089,36
4.106,99
6.893,01
4.725,39
7.274,61
valore di mercato debito D=val SP-P
tasso sul debito rischioso
192,19
388,54
6,94
7.282
7.282
7.282
7.089,36
6.893,01
7.274,61
5,79%
8,81%
3,10%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
197
Struttura finanziaria
• Possiamo usare
la teoria delle
opzioni per
definire il tasso
sul debito
rischioso a fronte
di strutture
finanziarie
differenti.
risk free
tempo in anni
S=W
SP = D
STD
5,00%
4,00
3000
500
30,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
3,61960
3,01960
0,99985
0,99873
valore Call = Equity
valore mercato debito D=W-E
valore put =C+ val att SP-S (put-call
parity) (A)
valore attuale SP (B)
2.590,71
409,29
valore di mercato debito D=val SP-P
tasso sul debito rischioso
409,29
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
2,06
411
5,13%
198
99
Struttura finanziaria e costo del debito
val nom D val merc Wval mer E val mer D D/W
rd
3000 2.590,71
409,29
13,64%
5,13%
500
3000 2.590,71
409,29
13,64%
5,13%
1000
3000 2.186,17
813,83
27,13%
5,29%
1500
3000 1.805,44 1.194,56
39,82%
5,86%
2000
3000 1.468,36 1.531,64
51,05%
6,90%
2500
3000 1.183,39 1.816,61
60,55%
8,31%
3000
3000
949,47 2.050,53
68,35%
9,98%
costo del debito rischioso
11,00%
10,00%
9,00%
8,00%
7,00%
6,00%
5,00%
4,00%
13,64%
13,64%
27,13%
39,82%
51,05%
60,55%
68,35%
rd
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
199
sintesi
Quando un’impresa ha debiti è come se i creditori avessero
acquistato l’azienda e avessero venduto agli azionisti una
call option per ricomprarla ad uno strike price pari al
debito; oppure è come se il creditore avesse acquisito un
asset privo di rischio ed avesse venduto un’opzione put
agli azionisti consistente nel loro diritto di vendere
l’azienda se W<D
Valore del debito = W-E=W-C oppure valore certo –put
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
200
100
Alcuni limiti all’applicabilità del modello delle opzioni
• Esistono solo 2 tipi di portatori di interessi: creditori e
azionisti
• Il debito è caratterizzato da un’unica emissione tipo zerocoupon bond
• È necessario conoscere il valore di mercato dell’attivo e la
sua varianza
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
201
Compromessi per poter applicare la teoria delle opzioni quando le
ipotesi precedenti non sono rispettate
Valore azienda
W = valore di mercato
del debito + valore di
mercato del capitale
azionario
W = valore attuale dei
flussi di cassa attesi
attualizzato al WACC
tempo
0
1
2
3
4
5
WACC
VA
VAN
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
CF unlevered
-300
50
80
95
102
800
10,00%
749,3
449,3
202
101
Determinazione della varianza delle attività
Prima regola
Siano X e Y 2 variabili casuali e Z=X+Y
la var(Z)= var(X) + var(Y) + 2 cov(X,Y)
Seconda regola
Data il prodotto tra uno scalare ed una variabile casuale
var(aX) = a2 var X
Ciò premesso, dato un portafoglio W(valore azienda) composto da una
certa % a di debito e da una certa % b di equity, si avrà:
P = aX + bY
Var (P ) = a 2Var ( X ) + b 2Var (Y ) + 2abCov( X , Y ) =
= a 2Var ( X ) + b 2Var (Y ) + 2abρ X ,Y * σ X σ Y
poichèσ X ,Y =
Cov( X , Y )
σ Xσ Y
da cui : Cov(X, Y ) = σ X ,Y * σ X σ Y
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
203
Determinazione della varianza delle attività
P = aX + bY
Var (P ) = a 2Var ( X ) + b 2Var (Y ) + 2abCov ( X , Y ) =
= a 2Var ( X ) + b 2Var (Y ) + 2abρ X ,Y * σ X σ Y
poichèσ X ,Y =
Cov ( X , Y )
σ Xσ Y
da cui : Cov(X, Y ) = σ X ,Y * σ X σ Y
Nel caso dell’azienda
P=W X=Debito Y=equity
a = composizione della struttura finanziaria D/(D+E)
b = E/(D+E)
Quindi:……..
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
204
102
Determinazione della varianza delle attività
Nel caso dell’azienda
P=W X=Debito Y=equity
a = composizione della struttura finanziaria D/(D+E)
b = E/(D+E)
2
Quindi:……..
2
D E
E
D
Var (W ) =
Cov(D, E ) =
*
Var (E ) + 2
Var (D ) +
D
E
D
E
+
+
D+E D+E
2
2
D E
E
D
=
ρ D , E * σ Dσ E =
*
Var (E ) + 2
Var (D ) +
D+E D+E
D+E
D+E
Cov(D, E )
da cui : Cov(D, E ) = σ D , E * σ Dσ E
poichèσ D , E =
σ Dσ E
σ W = Var (W )
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
205
esempio
D
E
W
dev STD D
dev std E
correla D,E
900
100
1.000
10,00%
25,00%
30,00%
var W
DEVstd W
1,0075%
10,04%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
206
103
Scadenza del debito
• Se il debito è rappresentato da diversi tipologie di
finanziamenti, ciascuno con durata diversa e non del tipo
zero-coupon bond
• È possibile usare la duration di ciascun debito
• Calcolare la duration del debito complessivo come la
media ponderata delle duration di ciascuna tipologia di
debito Esempio….
scadenza
20 anni
15 anni
10 anni
1 anno
valore nom Dtasso
duration
1.000
11,00%
14,1
2.000
12,00%
10,2
3.000
12,00%
7,5
5.000
12,50%
1
totale D
11.000
5,6
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
207
Esercitazione 32
tempo
0
1
2
3
4
5
WACC
val nominale D1
val nominale D2
D/D+E
dev std D
dev std E
correl D;E
tasso rf
Equity=call
CF unlevered
Date le seguenti informazioni,
-300
determinare
il valore di mercato del
50
capitale
proprio
utilizzando la teoria
80
delle
opzioni
95
150
800
8% scad
duration tasso
300
6
4,5
5,0%
100,0
3
2
4,5%
80%
0,1
W
545
0,4
dev
Std
W
12,90%
0,3
duration D
3,9
3,0%
?
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
208
104
Continuazione esemplificazione 32
Input
risk free
tempo in anni
S=W
SP = D
STD
3,00%
3,90
545
400
12,90%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
1,80084
1,54608
0,96414
0,93896
valore Call = Equity
valore mercato debito D=W-E
valore put =C+ val att SP-S (put-call
parity) (A)
valore attuale SP (B)
191,34
353,66
valore di mercato debito D=val SP-P
353,66
2,79
356
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
209
Opzioni reali e teoria degli
investimenti
105
Limiti del VAN
Con il VAN il progetto viene realizzato se il VAN>0.
Il VAN richiede stime di flussi di cassa e di tasso di attualizzazione deterministiche.
In altri termini, nel momento in cui si calcola il VAN si deve essere in grado di
stimare tutte le sue componenti.
Ciò significa che tutte le componenti di incertezza o tutte le conseguenza future
connesse all’investimento devono essere ponderate e ricondotte all’interno dei flussi
di cassa. In tal modo, stimati i flussi di cassa, il ruolo del manager diventa passivo.
Il VAN è sufficiente, pertanto, quando:
•Devo valutare investimenti sostitutivi;
•Gli investimenti generano flussi di cassa relativamente stabili;
•Gli investimenti sono scomponibili in sotto fasi legate in modo
deterministico;
•Effettuo investimenti su commessa;
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
211
Limiti del VAN
Il Van risulta non adeguato per la valutazione di investimenti
caratterizzati :
Da decisioni dipendenti dall’esito di variabili incerte;
Dalla conseguente necessità di un intervento del management
nell’implementazione del progetto.
Tra le possibili correzioni da apportare al VAN vi sono:
a) l’analisi reticolare
b) L’analisi delle opzioni implicite
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
212
106
Analisi reticolare
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
213
Esercitazione 33: società editoriale
Lancio di una nuovo periodico di nicchia
Il processo di lancio richiede una indagine di mercato
preliminare per verificare la dimensione e l’evoluzione
della nicchia di lettura che si intende occupare
Per il progetto, data la difficoltà di stima, si prevedono le
seguenti fasi:
Fase 1 = in t0 la società commissiona una ricerca di mercato
al costo pari a 1.000. L’obiettivo della ricerca è quello di
verificare la dimensione della nicchia potenziale e gli
eventuali competitors …. Risultati della ricerca in t1 pr.
70% di successo
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
214
107
Segue…
Fase 2 =dati i risultati della ricerca qualora si decida di
proseguire occorrerebbe effettuare un lancio pilota in T1
circoscritto alle edicole dei capoluoghi di provincia. Costo
complessivo 3000. l’alternativa è rinunciare al progetto
Fase 3 = a 1 anno dal lancio pilota, ossia in T2 la società
valuta la risposta del target sulla base dell’ADS
(accertamento diffusione stampa). Se il responso è
ritenuto soddisfacente la distribuzione viene allargata a
tutte le edicole del territorio nazionale sostenendo un
costo pari a 30.000. alternativamente la società chiude la
testata pilota. Al riguardo si stima la probabilità di
successo pari al 60%.
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
215
Segue…
Fase 4 /5/6 = se si decide di procedere vengono formulate le
ipotesi sui flussi di cassa nei 3 anni successivi secondo 3
diversi scenari. Il costo opportunità si ritiene pari al 10%.
scenari
ottimistico
atteso
pessimistico
prob
flussi di cassa
3
40%
35.000
30%
30.000
30%
8.000
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
4
40.000
30.000
9.000
5
45.000
30.000
10.000
216
108
soluzione
anno 0
anno 1
risultato
positivo
risultato
prob..
positivo
scenario
anno 2
prob.
anno 3
anno 4
anno 5
prob.cong.
VAN 12% VAN*prob.
40%
35.000
40.000
40.000
16,80%
realistico
30%
400.000
500.000
600.000
12,60%
33.137
4.175
-30.000 pessimis.
30%
300.000
400.000
500.000
12,60%
-10.154
-1.279
28,00%
-3.727
-1.044
30,00%
-1.000
investim.
60%
prob.
ottimistico
53.037
8.910
investim.
70%
-3.000
risultato
negativo
prob.
40% STOP
ricerca
-1.000
risultato
negativo
prob.
30% STOP
100,00%
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
-300
10.463
217
Limiti del VAN: un esempio
Si ipotizzi di decidere se investire subito in un progetto di
investimento oppure alla fine dell’anno, il costo è pari a 1600.
I flussi di cassa previsti sono riscossi in via anticipata e sono pari a
200 nell’anno 0. nell’anno 1 vi è una probabilità del 50% che i
flussi salgano a 300 ed una probabilità del 50% che scendano a
100.
Il wacc è pari al 10%.
100
300
VAN 0,nodiff = −1600 + 200 +
* 0,5 = 600
* 0,5 +
0,1
0,1
− 1600 + 300 + 300 / 0,1
− 1600 + 100 + 100 / 0,1
VAN 0, sidiff =
* 0,5 +
* 0,5 = 545,45
1,1
1,1
Il criterio del Van considera il rinvio come ipotesi alternativa: una
esclude l’altra. In tal modo si confrontano soluzioni alternative e si
sceglie quella migliore………..
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
218
109
Limiti del VAN
Altro esempio:
Devo stimare la convenienza al lancio di un prodotto Z cui seguirà, in
caso di successo, il lancio di un altro prodotto X.
Il lancio del prodotto Z può essere esaminato alla luce del VAN e quindi
in modo deterministico, magari con analisi per scenari.
Il lancio di X è invece dipendente da Z e quindi si configura come
un’opportunità che sarà esercitata solo nel caso in cui il lancio di Z
abbia successo.
In tal caso, un approccio solo deterministico sottovaluterebbe il progetto
Spesso, infatti, gli sviluppi legati ad una decisione di investimento sono
tali da non poter essere valutati che in una fase successiva
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
219
Opzioni reali: una possibilità
• Con la metodologia del VAN un progetto sarà realizzato se il suo VAN
> 0.
• Questa metodologia non tiene conto della possibilità che un progetto
contenga delle opzioni implicite
• La presenza di opzioni consente all’investitore di non essere passivo,
ma di poter scegliere se esercitare l’opzione o abbandonarla.
• In particolare, grazie alla presenza di opzioni, il management può
rispondere ai cambiamenti del mercato, traendone i benefici relativi.
• Possiamo pensare alle opzioni reali come al valore degli intangibili o al
valore delle strategie finanziarie
• In realtà, tuttavia, il valore attuale di un progetto dovrebbe essere
rappresentato dal VAN del progetto senza opzioni + il valore delle
opzioni
• Valore progetto = VAN + OPZ
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
220
110
Opzioni reali: una possibilità
• Considerando la flessibilità
• il valore attuale di un progetto dovrebbe essere rappresentato dal VAN
del progetto senza opzioni + il valore delle opzioni
• VAN esteso del progetto = VAN base + valore delle opzioni reali
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221
Opzioni finanziarie vs/opzioni reali
a) l’opzione finanziaria è scritta su uno strumento
finanziario, mentre quella reale su un bene (azienda o
investimento);
b) I parametri dell’opzione finanziaria sono più facili da
stimare in quanto esistono prezzi osservabili. Nelle
opzioni reali la volatilità del sottostante può essere solo
stimata ricorrendo a simulazioni
c) Le opzioni finanziarie non sono assunte dalla società
emittente titoli, mentre le opzioni reali sono assunte dal
management che controlla l’attività reale
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222
111
Opzioni reali e investimenti
• Qualsiasi progetto di investimento può essere assimilato
ad una opzione call con scadenza immediata
• Con valore del sottostante pari al Valore attuale dei flussi
di cassa
• Con strike price pari all’investimento iniziale
• A scadenza T=0 la Call avrà valore se VA>I0 ossia se
VAN>0.
• Non vi è al riguardo differenza tra VAN e opzioni. La
differenza si evidenzia se t≠0
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223
VAN vs/metodo binomiale: un esempio
Si ipotizzi di dover realizzare un progetto di investimento che richiede al
tempo T=0 un esborso di 104. Il valore attuale dei flussi di cassa al
tempo T=1 è pari a :
a) 180 con probabilità del 50%
b) 60 con probabilità del 50%
Tasso risk free = 8% wacc = 20%
Applico il criterio del VAN
VA= (180*0,5+60*0,5)/1,2 = 100
VAN = 100-104 = -4
VAN negativo= rifiuto il progetto
Lucidi tratti da: opzini reali: finanza per l’innovazione e l anew economcy della prof. Antonettla Angelini (Facoltà di Economia di Pisa
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224
112
Applico la teoria delle opzioni
VAu1=180 up del 80% C=180
VA0=100
VAd1=60 d del 40% C=60
•
•
•
•
•
Calcolo la probabilità neutrale al rischio p:
0,8*p-0,4*(1-p)=0,08
p=40% 1-p= 60%
C= (180*0,4 + 60*0,6)/1,08 = 100
C= VA = 1000 In assenza di opzioni le opzioni conducono allo stesso
risultato del VAN:
• Differenze: il VAN sconta i flussi di cassa attesi al wacc, le opzioni scontano
i flussi di cassa attesi utilizzando le probabilità neutrali al rischio ed il tasso
risk free
Lucidi tratti da: opzini reali: finanza per l’innovazione e l anew economcy della prof. Antonettla Angelini (Facoltà di Economia di Pisa
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225
Tipologia di opzioni reali 1: opzione di espansione
• Si intraprendono progetti perché ciò da la possibilità
di intraprenderne altri in futuro. In tal modo, il
progetto iniziale contiene un’opzione che consente
all’impresa la possibilità di intraprenderne altri. Tale
possibilità ha valore (Pindyck, 1993)
• In questa ottica un’impresa può intraprendere un
progetto anche con VAN negativo se esiste la
possibilità di realizzare VAN positivi su altri progetti
+
+
futuri che tuttavia non potrebbero essere intrapresi
senza il progetto iniziale
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226
113
opzione di espansione = opzione call
• L’opzione di espansione può essere assimilata ad
una opzione call:
• Con SP = al valore dell’investimento necessario per
ampliare il progetto o intraprenderne uno legato al
progetto iniziale
• Con sottostante = VA del progetto risultante
dall’espansione
-
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+
+
227
Opzione di espansione = esempio 34
In t=1, il management ha la possibilità di duplicare la
dimensione del progetto. In t=1, in tal caso, si dovrebbe
sostenere un investimento aggiuntivo di 80. Il valore atteso
del progetto, nel caso di esercizio dell’opzione, raddoppia.
VAu1 = 180 C= 100
VAd1 = 60 C= 0
SP = 80 al tempo in cui si esercita l’opzione
Applico le probabilità neutrali al rischio:
C= (100*0,4 + 0*0,6 )/1,08 = 37,03
VAN esteso = -4 + 37,03 = 33,03
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228
114
opzione di espansione con B/S esempio 35
Esempio:
Nell’anno 0, la società gamma vuole introdurre sul mercato un
nuovo microchip A. Per tale progetto si stimano i seguenti flussi
di cassa: wacc = 15%
0
-230
0
-300
-530
Flusso di CCN gestione caratt
variazione CCN
Investimenti
Flusso di cassa unlevered
wacc
VAN
-
1
150
- 60
0
90
2
170
- 100
3
350
- 100
4
200
+-100
5
0
+-100
70
250
300
100
15%
13,19
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229
Opzione di espansione…
Il progetto microchip A non dovrebbe essere intrapreso
secondo la logica del VAN.
Immaginiamo, tuttavia, che tale progetto consenta
successivamente di introdurre il microchip B e poi quello
C… Questa opzione, in realtà, ha una valenza strategica
non indifferente. Se infatti non si introducesse il microchip
A ci si precluderebbe la possibilità di introdurre anche altri
tipi di microchip perdendo la possibilità di sfruttare quel
tipo di mercato.
Ma quanto vale questa opzione strategica?
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230
115
Opzione di espansione… continua
• Ipotizziamo che in t= 3 si possa introdurre il microchip B
che richiede investimenti per 1000. In t=3 il valore attuale
atteso delle entrate previste per il microchip B sia pari a
950.
• I flussi di cassa futuri del microchip B sono tuttavia molto
incerti, ipotizziamo uno scarto quadratico medio del 30%.
• Il progetto iniziale contiene un’opzione call (di espansione)
con SP pari all’investimento richiesto ossia 1000, durata 3
anni, e S = valore attuale del progetto (950/(1,15)3 =
624,64. Il risk free è pari al 3%.
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231
Soluzione esempio
Input
risk free
tempo in anni
S = valore attuale attività
SP = investimento
STD
3,00%
3,00
624,64
1000
30,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
-0,47262
-0,99223
0,31824
0,16054
valore Call =
52,06
van progetto senza opzione
valore call espansione
valore attuale complessivo
-
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13,19
52,06
38,88
232
116
Opzione di espansione: alcune considerazioni!
L’investimento nel progetto
iniziale consente l’opportunità
di effettuare il secondo
investimento. Tale secondo
investimento rappresenta il
potenziale di investimento
Il progetto
iniziale non è
un’opzione e
può avere
VAN<0
S= VA= valore attuale
dei flussi di cassa legati al
secondo investimento
qualora fosse effettuato
oggi
SP= il costo
dell’investimento iniziale
del secondo progetto
T= durata dell’opzione
=limite interno
Volatilità = da stimare sui
flussi di cassa del secondo
progetto
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233
Domande da porsi per capire se l’opzione di ampliamento genera
valore
1) Il progetto iniziale è un pre-requisito al progetto di
ampliamento? (ricerca e sviluppo)
2) L’impresa ha un diritto di esclusiva sul secondo progetto?
Oppure il secondo progetto fornisce un vantaggio
competitivo?
Implicazioni …prosegue
Intraprendo un progetto iniziale con VAN<0 se penso che
crei l’opportunità di sfondare in nuovi mercati o su nuovi
segmenti……ne segue che l’opzione di ampliamento avrà
maggior valore per settori più volatili e con maggior
rendimento
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234
117
Implicazioni …prosegue
a) Intraprendo un progetto iniziale con VAN<0 se penso che
crei l’opportunità di sfondare in nuovi mercati o su nuovi
segmenti……ne segue che l’opzione di ampliamento avrà
maggior valore per settori più volatili e con maggior
rendimento
b) Le spese per ricerche e sviluppo, in genere considerate
costi sommersi, sono in realtà opzioni il cui SP è il relativo
costo e con VA rappresentato dal valore attuale dei
brevetti
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235
Implicazioni …prosegue
a) Le motivazioni di carattere strategico sono opzioni reali?
Le opzioni reali assegnano un valore solo ad alcune
motivazioni strategiche. In particolare motivazioni
strategiche generiche e solo qualitative “immagine
aziendale o potenziale di crescita” non sono valorizzate
con le opzioni
L’approccio delle opzioni reali cerca di assegnare un valore
monetario alle motivazioni strategiche
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236
118
Opzione di espansione: esempio 36
L’azienda alfa sta valutando se investire 1000 per introdurre
un certo prodotto in Brasile. Dall’analisi effettuata si sa
che il valore attuale di tale investimento sarà 950. Se il
mercato brasiliano dovesse diventare più redditizio si
potrebbe introdurre il prodotto in tutta l’America Latina
con un investimento aggiuntivo di 300 fra 5 anni. La stima
del valore attuale atteso (ad oggi) dei flussi di cassa del
progetto America Latina è di 280.
L’incertezza del progetto America Latina porta la volatilità al
40%. Il tasso risk free è del 3%.
Intraprendo il progetto oppure no?
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237
Soluzione esempio 36
Input
risk free
tempo in anni
S = valore attuale attività
SP = investimento
STD
d1
d2
N(d1)
N(d2)
3,00%
5,00
280
300
40,00%
0,53778
-0,35664
0,70464
0,36068
valore Call =
104,17
van progetto senza opzione
valore call espansione
valore attuale complessivo
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-
50,00
104,17
54,17
238
119
Tipologia di opzioni reali 2: opzione di abbandono
• A volte, si intraprendono progetti e successivamente è
possibile pensare ad un loro ridimensionamento oppure
ad un loro abbandono, qualora si verifichino situazioni di
mercato negative. Anche questa flessibilità deve essere
valorizzata. ..come? Attraverso un’opzione put
• In particolare, sia:
Va=il valore del progetto qualora fosse portato avanti;
L= il valore di liquidazione del progetto stesso se
interrotto
L’opzione di abbandono del progetto conviene quando
Va<L
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239
Opzione di abbandono: esempio 37
Riprendiamo l’esempio iniziale
L’investimento di 104 del progetto, supponiamo che possa
essere “rateizzato”: in t=0 si intraprende il progetto per un
esborso di 40 e in t=1 viene realizzata l’altra tranche del
progetto con un esborso di 60 (capitalizzato al risk free)
=64*1,08= 69,12.
Valutiamo l’opzione di abbandono con SP = 69,12
In questo caso SP è interpretabile non tanto come valore di
liquidazione quanto come risparmio di flussi di cassa dovuti
al fatto che abbandonando il progetto non devo effettuare
l’investimento
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240
120
Determinazione del valore della put option (opzione di abbandono):
SP=69,12
VAu1=180 up del 80% P=0
VA=100
VAd1=60 d del 40% P=9,12
• Calcolo la probabilità p:
• 0,8*p – 0,4*(1-p)= 0,08
• p=40%
Opzione put= (0*0,4 + 9,12*0,6)/1,08 = 5,1
VAN esteso = -4 + 5,1 = 1,1
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241
Tipologia di opzioni reali opzione di abbandono
• Esempio:38
Nell’anno 0, la società Beta vuole utilizzare una certa
tecnologia dal costo di 550 . Nell’anno 1, il valore
attuale dei flussi di cassa attesi è stimato pari a 850 con
probabilità 60% e 400 con probabilità del 40%.
Nell’ipotesi di uno scenario pessimistico, tuttavia, la
società Beta può vendere l’impianto ricavando 440. Il
tasso risk free sia 3% e il wacc il 10%
Determinare se è conveniente o meno attuare il progetto.
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242
121
Opzione di abbandono
• Il progetto assumerà il seguente valore:
Valore del progetto senza l’opzione di abbandono
+
Valore dell’opzione di abbandono
La possibilità di vendere il progetto nell’anno 1 può essere
interpretata come un opzione put con SP pari a quanto
si incasserà dalla vendita e con S pari al valore attuale
del progetto
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243
Soluzione senza tener conto della teoria delle opzioni
In t=1, nel primo scenario, il VA1 è 850;
In t=1, nel secondo scenario, il VA2 è 400;
In t=1 il valore di liquidazione L è 440.
Se non considero il valore di liquidazione il VAN del progetto:
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244
122
Calcolo il VAN senza considerare l’opzione
F cassa
t=0
prob
t=1
850
60%
t=1
400
40%
?
Con un WACC del 10%, il VA del progetto è = 609
(0,6*850/1.1)+(0,4*400/1,1) = 609
mentre il VAN = 609-550= 59
Il VAN tuttavia non valorizza l’opzione di
abbandono
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245
Ora considero il valore di liquidazione
In t=1, nel primo scenario, il VA1 è 850;
In t=1, nel secondo scenario, il VA2 è 400;
In t=1 il valore di liquidazione L è 440.
Se non considero il valore di liquidazione il VAN del progetto:
VAN =
850
400
* 0,6 +
* 0,4 = 609 − 550 = 59
1,1
1,1
Confronto L con VA1; non mi conviene esercitare l’opzione;
Confronto L con VA2; mi conviene abbandonare il progetto
prendendo in t=1 440.
Sulla base di questo ragionamento calcolo il VAN al tempo
t=0
440
850
VA =
VAN
1,1
opzione
* 0 ,6 +
* 0 , 4 = 623 , 64
1,1
= 623 ,64 − 550 = 73 , 64
VAN − VAN
opzione
= valore opzione 73 , 64 − 59 = 16 , 64
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246
123
Determinazione del valore della put option (opzione di abbandono):
SP=440
VAu1=850 up del 39,55% P=0
VA=609
W1=400 d del 34,33% P=40
•
•
•
•
Calcolo la probabilità p:
0,3955*p-0,3433*(1-p)=0,03
p=50,53%
P= (0*50,53%+40*0,4947)/1,03 = 19,21
• Valore complessivo = 59+19,21 =78,21
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247
Opzione di abbandono: esempio 39
• Nell’anno 0, la società Beta vuole utilizzare una certa
tecnologia del costo di 560. Nell’anno 1, il valore attuale
dei flussi di cassa attesi è stimato pari a 738 con
probabilità 60% e 415 con probabilità del 40%.
Nell’ipotesi di uno scenario pessimistico, tuttavia, la
società Beta può vendere l’impianto ricavando 500. Il
tasso risk free sia 5% e il wacc il 10%
Determinare se è conveniente o meno attuare il progetto.
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248
124
Opzione di abbandono
prob
t=0
t=1
738
60%
t=1
415
40%
?
Con un WACC del 10%, il VA del progetto è = 553
(0,6*738/1.1)+(0,4*415/1,1) = 553
mentre il VAN=553-560=-7
Il VAN tuttavia non valorizza l’opzione di
abbandono
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
249
Determinazione del valore della put option (opzione di abbandono):
SP=500
W1=738 up del 33,34% P=0
W0=553
W1=415 d del 25,02% P=85
•
•
•
•
Calcolo la probabilità p:
0,3334*p-0,2502*(1-p)=0,05
p=51,43%
P= (0*5143%+85*0,4857/1,05 = 39,32
• Valore complessivo = -7+39,32 =32,32
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250
125
Opzione di contrazione
• È speculare all’opzione di espansione
• Essa è un’opzione put su una parte del progetto
• Lo SP = risparmio di flussi di cassa o eventuale valore di
realizzo di una parte del progetto
• Se il risparmio di costi è > del VA atteso con la
contrazione del progetto conviene esercitare l’opzione
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251
Opzione di contrazione: esempio 40
• Si supponga che l’investimento iniziale di 104 possa
essere scomposto in 2 parti:
• In t=0 I0 = 50
• In t=1 I1 = 54 ----54*1,08= 58,32
La seconda tranche di investimento non verrà realizzata o
verrà realizzata in misura inferiore in caso di evoluzione
negativa del mercato.
In particolare, in caso di mercato sfavorevole il management
investirà in t=1 solo 25 anziché 58,32 con un risparmio di
33,32. in tal caso, tuttavia il valore atteso del progetto si
dimezza.
Valutiamo l’opzione.
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
252
126
Determinazione del valore della put option (opzione di contrazione):
SP=33,32
VAu1=90 up del 80% P=0
VA=50
(90*0.5+30*0.5)/1,2
VAd1=30 d del 40% P=3,32
• Calcolo la probabilità p:
• 0,8*p – 0,4*(1-p)= 0,08
• p=40%
Opzione put= (0*0,4 + 3,32*0,6)/1,08 = 1,85
VAN esteso = -4 + 1,85 = - 2,15
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253
Opzione di differimento
Un progetto con un VAN>0 oggi non significa che vada
necessariamente intrapreso oggi. Potrebbe essere meglio
attendere un periodo ed osservare il mercato.
Avere questa possibilità implica un vantaggio che deve
essere valutato.
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254
127
Opzione di differimento: alcuni aspetti operativi
il sottostante S è il VA dei flussi di cassa del progetto
attualizzati al wacc (VA non VAN)
SP coincide con l’esborso dell’investimento I0
La durata T è rappresentata dalla durata del brevetto o del
vantaggio competitivo
La volatilità può essere stimata in base a progetti simili a
scenari a simulazioni Monte Carlo alla volatilità di azioni
relative ad aziende operanti nello stesso settore
Rf = tasso risk free di durata pari a T
Il “costo del differimento” è difficile da stimare. In prima
approssimazione si può ipotizzare che il costo sia 1/T
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255
Esempio 41 di differimento
Un investimento richiede un esborso di 170 in T=0 e consentirà di avere un
VA dei flussi pari a 200. Nell’anno t=1 se la domanda sarà bassa il
flusso di cassa dell’anno 1 sarà 15 ed il VA dei flussi di cassa dei periodi
successivi (in t=1) sarà pari a 150, mentre se la domanda fosse alta il
flusso di cassa dell’anno 1 sarà 30 ed il VA dei flussi di cassa dei periodi
succesivi sarà 250. E’ possibile posticipare di un anno l’investimento. Il
risk free è pari al 4%.
Il progetto contiene un’opzione call di differimento che possiamo valutare
con il metodo binomiale.
Particolarità:
Il differimento determina la perdita del flusso di cassa del primo anno. Tale
flusso può essere assimilato al dividendo che riduce il valore dell’azione
una volta che è stato pagato
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256
128
Determinazione del valore della call option (opzione di differimento):
SP=180 = I0
VAu1= 250+30=280 rendim =40%
W1=250 C1=70
W0=200
VAd1=150+15= 165 rendim=-17,5%
W1= 150 C1=0
•
•
•
•
Calcolo la probabilità p:
0,4*p-0,175*(1-p)=0,04
p=37,39%
P= (70*37,39%+0*..)/1,04 = 28,76
• Confronto il valore del differimento 28,76 con il VAN nel
caso di progetto immediato (200-180)=20
• Mi conviene posticipare
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257
Opzione di differimento: un esempio 42
Si ipotizzi di decidere se investire subito in un progetto di
investimento oppure alla fine dell’anno, il costo è pari a 1600.
I flussi di cassa previsti sono riscossi in via anticipata e sono pari a
200 nell’anno 0. nell’anno 1 vi è una probabilità del 50% che i
flussi salgano a 300 ed una probabilità del 50% che scendano a
100.
Il wacc è pari al 10% ed il risk free al 4%
300
100
* 0,5 +
* 0,5 = 2200
0,1
0,1
VAN = 2200 − 1600 = 600
VA0,nodiff = +200 +
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258
129
Determinazione del valore della call option (opzione di differimento):
SP=1600 = I0
VAu1= 300+300/0.1 = 3300 rendim =50%
VA0=2200
W1=300/0.1=3000 C1=1400
VAd1=100+100/0.1= 1100 rendim=-50%
W1= 100/0.1=1000 C1=0
•
•
•
•
Calcolo la probabilità neutrale al rischio p:
0,5*p - 0,5*(1-p)=0,04
P = 54%
P= (1400*0.54+0*..)/1,04 = 727
• Confronto il valore del differimento 727 con il VAN nel caso di
progetto immediato 600
• Mi conviene posticipare
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259
Opzione di differimento con B/S
• In genere l’opzione di differimento implica la rinuncia ai
flussi di cassa del periodo di posticipazione
• In termini della formula di B/S ciò equivale al meccanismo
dei dividendi:
• Si deve pertanto considerare la variante di B/S con
dividendi
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260
130
B/S formula: correzione per i dividendi nell’ipotesi di durata residua
inferiore all’anno
• Si immagini una opzione call sul titolo alfa che in T=0 è
quotato 200; sia lo SP = 195 e 6 mesi di durata residua.
La dev std del titolo è 15% annua ed il risk free è il 3%.
Tra 3 mesi sarà pagato un dividendo di 2,5. Determinare il
valore della Call.
devo modificare il prezzo del titolo S ' = S −
div
(1 + rf ) t
la call varrà C = S ' * N (d1) − SP * e − rf *t * N (d 2)
dove
S'
ln + rf * t
SP
1
d1 =
+ σ t
2
σ t
d 2 = d1 − σ t
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261
B/S formula: correzione per i dividendi
Input
risk free
tempo in anni
S
S corretto per dividendi
SP
STD
senza dividendo
3,00%
0,5
200
197,51841
195
15,00%
195
15,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
0,31544
0,20937
0,62379
0,58292
0,43315
0,32709
0,66755
0,62820
dividendo
tempo stacco dividendo
dividendo attualizzato
valore Call
2,50000
0,250
2,48159
11,23
12,83
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3,00%
1
200
262
131
B/S formula: correzione per i dividendi nell’ipotesi di durata
superiore all’anno
• Si immagini una opzione call sul titolo alfa che in T=0 è
quotato 100; sia lo SP = 105 con durata residua di 3 anni.
La dev std sul logaritmo del titolo è 30% annua ed il risk
free è il 3%. Il dividend considerato costante è pari a 2,5.
Determinare il valore della Call.
la call varrà C = Se -y*t * N (d1) − SP * e − rf *t * N (d 2 )
dove
S
log + rf * t − y * t
1
SP
+ σ t
d1 =
2
σ t
d 2 = d1 − σ t
div
y=
S
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263
B/S formula: correzione per i dividendi nell’ipotesi di durata
superiore all’anno
Input
risk free
tempo in anni
S
S corretto per dividendi
SP
STD
3,00%
3,0
100
92,77435
105
30,00%
105
30,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
0,19478
-0,32484
0,57722
0,37265
0,33912
-0,18050
0,63274
0,42838
dividendo
tasso dividendo
valore Call
senza dividendo
3,00%
3
100
2,50000
2,50%
17,79
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
22,17
264
132
Opzione differimento con B/S esempio 43
Un’azienda ha sviluppato un nuovo tipo di stucco con i flussi
di cassa stimati di seguito. L’esborso iniziale per tale tipo
di produzione è pari a 540 ma garantisce di operare sul
mercato senza la pressione dei concorrenti.
La volatilità dei flussi è stimata pari al 30%, il tasso risk free è
il 3%. L’wacc dell’azienda è pari al 12%.
0
1
2
3
4
5
-540 100 125 130 150 180
flussi di cassa
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265
Segue…
wacc
VA
VAN
-
Input
risk free
tempo in anni
S=VA
S corretto per dividendi
SP
STD
d1
d2
N(d1)
N(d2)
tasso dividendo
valore Call
12,00%
478,93
61,07
3,00%
5,0
478,93
176,19
540
30,00%
-1,11060
-1,78142
0,13337
0,03742
20,00%
6,11
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266
133
Esercitazione 44
L’impresa gamma presenta un valore di mercato delle attività di
2500. Il rapporto di indebitamento a valore di mercato (D/D+E)
target è pari al 70%. Si conoscono, inoltre, le seguenti
informazioni:
lo scarto quadratico medio del debito è pari al 5%; il debito, del
valore nominale di 1500 ha una duration di 6 anni;
lo scarto quadratico medio dell’equity è pari al 60%;
il coefficiente di correlazione tra debito e equity è 0,4;
il tasso risk free è del 2,5%.
Determinare:
1. lo scarto quadratico medio del valore di mercato delle attività;
2. il valore di mercato del capitale proprio;
3. il valore di mercato del debito;
4. il tasso di interesse sul debito rischioso.
• NB N(d1) = 0,94663
N(d2) = 0,87107
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267
soluzione
• a)La varianza dell’attivo è = 3,8665% =
0,7^2*0,05^2+0,3^2*0,6^2+2*0,7*0,3*0,4*0,05*0,6
• Da cui lo scarto quadratico medio è = 19,66%
• b) dispongo di tutti i dati per applicare la formula di B/S
• Call = E = 2500*0,94663-1500*e^(-0.025*6)*0,87107 =
1241,97
• c) il valore di mercato del debito è: 2500-1241,97=
1258,03
• d) il tasso di interesse sul debito rischioso lo ottengo
risolvendo:
• 1258,03*(1+x)^6=1500 = 2,98%
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268
134
Esercitazione 45
Nell’anno 0, la società gamma vuole introdurre sul mercato un
nuovo microchip A. Per tale progetto si stimano i seguenti valori:
wacc = 15%; aliquota fiscale 40%:
MOL
ammortamenti
aliquota fiscale 40%
variazione CCN
Investimenti
0
1
450
50
2
550
50
3
550
50
4
600
50
5
650
50
0
-1000
10
5
-10
10
-30
-1200
In t= 3 è possibile introdurre il microchip B che richiede
investimenti per 680. Per tale microchip B si stimano inoltre i
seguenti flussi di cassa:
lancio in t=3 del nuovo prodotto
scenario ottimistico
realistico
pessimistico
anni
4
5
500
800
300
500
150
200
probabilità
0,2
0,5
0,3
Ipotizzando uno deviazione std del microchip B del 45% ed un risk free
del 3%. Determinare la convenienza economica del progetto
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269
soluzione
RO
-imposte
RO netto
ì+ammortamenti
flusso CCNo
var CCN
flusso Cassa
investimento
Flusso Cassa unlevered
wacc
VAN
-
lancio in t=3 del nuovo prodotto
scenario ottimistico
realistico
pessimistico
VA atteso
investimento in t=3
-1200
-1200
15%
28,64
probabilità
0,2
0,5
0,3
400
-160
240
50
290
-10
280
500
-200
300
50
350
-5
345
500
-200
300
50
350
10
360
550
-220
330
50
380
-10
370
600
-240
360
50
410
30
440
280
345
360
370
440
4
500
300
150
5
800
500
200
VA
VA*pr
1040 207,94
638,9 319,47
281,7 84,499
611,91
680
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270
135
Soluzione: continua
risk free
tempo in anni
S = valore attuale attività
SP = investimento
STD
3,00%
3,00
402,34
680
45,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
-0,16813
-0,94755
0,43324
0,17168
valore Call =
67,62
van progetto senza opzione
valore call espansione
valore attuale complessivo
-
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28,64
67,62
38,98
271
Esercitazione 46
• Il valore nominale del debito della spa gamma è pari a
2000 con una duration di 4 anni. Il valore dell’opzione put
è pari a 274,40 ed il tasso risk free è pari al 3,5%.
Determinare il tasso di interesse di mercato del debito.
• Ipotizzando un valore di mercato attuale della società di
3000 determinare il valore della call.
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
272
136
soluzione
valore Call = Equity
valore mercato debito D=W-E
valore put =C+ val att SP-S (put-call
parity) (A)
valore attuale SP (B)
1.497,43
1.502,57
valore di mercato debito D=val SP-P
tasso sul debito rischioso
1.502,57
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274,40
1.777
7,41%
273
Esercitazione 47
• La WOOL spa vorrebbe immettere sul mercato un nuovo
prodotto, il cui lancio richiederebbe una ricerca di mercato
da effettuare nell’anno 0, con un costo di 50.000. C’è la
probabilità del 75% che i risultati dell’indagine siano
positivi; in tal caso l’impresa preferirebbe effettuare,
nell’anno 1, un lancio di prova solo in Italia, per testare la
reazione del mercato nazionale; il costo netto di tale
operazione si prevede di 100.000.
• Dopo un anno, se i dati delle vendite in Italia saranno
soddisfacenti (probabilità del 70%), la distribuzione dei
nuovi prodotti verrà allargata all’estero, con un
investimento netto di 300.000. Alternativamente la società
rinuncerebbe al progetto.
• Se il progetto verrà portato avanti, si prevedono i seguenti
flussi di cassa:
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
274
137
scenario
ottimistico
realistico
pessimistico
probabilità
20%
60%
20%
anno 3
500.000
400.000
300.000
anno 4
600.000
500.000
400.000
anno 5
700.000
600.000
500.000
Ipotizzando un tasso di attualizzazione del 12%, si valuti
l’opportunità di realizzare il progetto nelle due seguenti
ipotesi:
1 – l’impresa sia mossa solo da considerazioni di
massimizzazione del valore monetario del progetto
2 – l’impresa non intenda accettare progetti con
probabilità di insuccesso superiori al 40%.
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275
soluzione
anno 0
anno 2
anno 1
risultato
prob.
positivo
risultato
prob..
positivo
scenario
70%
prob.
anno 3
anno 4
anno 5
prob.cong
VAN 12%
VAN*prob.
ottimistico
20%
500.000
600.000
700.000
10,50%
755.956
79.375
realistico
60%
400.000
500.000
600.000
31,50%
564.483
177.812
-300.000 pessimis.
20%
300.000
400.000
500.000
10,50%
373.011
39.166
22,50%
-139.286
-31.339
25,00%
-50.000
-12500
investim.
investim.
75%
-100.000
risultato
negativo
prob.
30% STOP
ricerca
-50.000
risultato
negativo
prob.
25% STOP
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
276
138
warrant
Gli warrant attribuiscono ai possessori la facoltà di acquistare
azioni ordinarie ad un prezzo SP prefissato e per un certo
periodo di tempo determinato
Gli warrant sono assimilabili ad opzioni call
1) In genere gli warrant accompagnano l’emissione di
prestiti obbligazionari consentendo l’emissione a tassi
inferiori
2) Presentano il vantaggio di dare un’opportunità di
investimento a chi non conoscendo la società è riluttante
a sottoscrivere azioni
3) Se esercitati gli warrant generano una raccolta di fondi
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
277
Differenze tra warrant e call
• Warrant
• Se esercitato, il warrant
richiede l’emissione di
azioni. Il numero di azioni in
circolazione pertanto
aumenta
• Se esercitato aumentano i
fondi a disposizione della
società
• Aumentando il numero delle
azioni in circolazione si
verifica l’effetto diluizione
• Call
• La call, quando viene
esercitata, non genera
cambiamenti nel numero di
azioni in circolazione (è
emessa da individui, non da
società)
• La società non riceve nuovi
fondi dall’esercizio
dell’opzione
• Poiché non aumenta il
numero delle azioni in
circolazione, non si genera
l’effetto diluizione
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
278
139
Valutazione degli warrant
n. azioni in circolazione
prezzo dell'azione S
rapporto q= 1 warrant ogni 4 azioni
numero warrant per azione
strike price
scadenza
dev std azioni S
risk free
10.000
100
n. warrant
valore ex warrant=(S+q*SP)/(1+q)
2.500
96,00
25,0%
80
4
10%
3%
valore azioni cum war
raccolta fondi con warrant
totale
valore azione ex warrant (Sw)
100,00
20,00
120,00
96,00
valore warrant= Sw-SP
16,00
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
279
Warrant VS call: facciamo la valutazione a scadenza
Se S < SP
Se S > SP
Valore CALL
0
S - SP
Valore warrant
0
Sw − SP =
1
(S − SP )
1+ q
Effetto
diluizione
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
280
140
Valutazione warrant
Input
risk free
tempo in anni
Sw
SP
STD
3,00%
4
96,00
80
10,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
1,61161
1,41161
0,94648
0,92097
valore Call
valore Call*effetto diluizione
25,52
20,41
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
281
Ancora un esempio di valutazione dell’warrant
n. azioni in circolazione
prezzo dell'azione S
rapporto cambio = 1 warrant ogni 5 azioni
numero warrant per azione
strike price
scadenza
dev std azioni S
risk free
n. warrant
valore ex warrant=(S+q*SP)/(1+q)
valore azioni cum war
raccolta fondi con warrant
totale
valore azione ex warrant (Sw)
valore warrant= Sw-SP
200.000
55
20,0%
45
2
15%
4%
40.000
53,33
55,00
9,00
64,00
53,33
risk free
tempo in anni
Sw
SP
STD
4,00%
2
53,33
45
15,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
1,28410
1,07197
0,90045
0,85813
valore Call
valore Call*effetto diluizione
12,38
10,31
8,33
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
282
141
Aumenti di capitale sociale con diritto di opzione
Il diritto di opzione è il diritto del vecchio azionista di
sottoscrivere le azioni di nuova emissione, in proporzione
alle azioni possedute.
Con tale diritto si tutela il vecchio azionista e si evita che
l’aumento di capitale sociale, se sottoscritto da nuovi
azionisti possa alterare i precedenti equilibri di proprietà.
È tuttavia possibile:
a) Escludere, per particolari casi il diritto di opzione
b) Che il vecchio azionista non avendo disponibilità
finanziarie o per motivi strategici non sottoscriva le azioni
di nuova emissione. In tal caso, egli può vendere il suo
diritto di opzione ad altri azionisti. Il problema, in tal caso,
è stimare il prezzo di tale diritto….
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
283
Valutazione diritti di opzione
n. azioni in circolazione
1.200.000
prezzo dell'azione p
10
n. azioni nuove
480.000
rapporto cambio = 2 az nuove ogni 5 azioni vecchie
numero az nuove per azione
40,0%
prezzo emissione= pe (SP)
8
scadenza
0,1
dev std azioni S
15%
risk free
3%
n. azioni nuove
valore ex DO=(S+q*Pe)/(1+q)
valore azioni cum Do
raccolta fondi con aumento CS
totale
valore azione ex DO =Pex
valore teorico DO=P-Pex
480.000
9,43
10,00
3,20
13,20
9,43
Questo valore può
essere interpretato
come il compenso che
il vecchio azionista
riceve per
compensare la
perdita derivante
dall’emissione di
nuove azioni
0,5714
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
284
142
DO… punto di vista del nuovo azionista
punto di vista nuovo azionista
per sottoscrivere 2 nuove azioni deve
comprare 5 DO. Dopo questa operazione
si avrà:
valore 2 nuove azioni = 2*Pe
+ acquisto di 5 DO 5*0,5714
somma spesa totale
valore medio delle 2 azioni
guadagno lordo senza considerare i DO
il valore del DO 1,43*q
16
2,857
18,857
9,43
1,43
0,5714
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
285
DO VS call: facciamo la valutazione a scadenza
Valore CALL
Valore diritti di
opzione
Se S < SP
Se S > SP
0
S - SP
0
( Pex − SP ) * q =
Do =
q
(S − SP )
1+ q
q
(S − Pe )
1+ q
Effetto
diluizione
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
286
143
Utilizzo formula B/S per valutare i DO
risk free
tempo in anni
S=P
SP
STD
3,00%
0,1
9,43
8
15,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
3,55078
3,50334
0,99981
0,99977
valore DO
valore Call*effetto diluizione
1,453
0,4150
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
287
DO: un altro esempio
n. azioni in circolazione
10.000.000
prezzo dell'azione p
28
n. azioni nuove
3.600.000
rapporto cambio = 9 az nuove ogni 25 azioni vecchie
numero az nuove per azione
36,0%
prezzo emissione= pe (SP)
22
scadenza
0,1
dev std azioni S
15%
risk free
3%
n. azioni nuove
valore ex DO=(S+q*Pe)/(1+q)
valore azioni cum Do
raccolta fondi con aumento CS
totale
valore azione ex DO =Pex
valore teorico DO=P-Pex
3.600.000
26,41
28,00
7,92
35,92
26,41
risk free
tempo in anni
S=P
SP
STD
3,00%
0,1
26,41
22
15,00%
d1
d2
N(d1)
N(d2)
3,94003
3,89260
0,99996
0,99995
valore DO
valore Call*effetto diluizione
4,478
1,1853
1,5882
Prof. Piatti - Università degli studi di Bergamo-
288
144
