Luca Salasnich – FISICA MEDICA – Cap. 4
4. DINAMICA
4.1 Principi della dinamica
I tre principi della dinamica per un corpo puntiforme
(detto anche punto materiale o particella) sono:
1) principio di interzia di Galilei;
2) legge dinamica di Newton;
3) principio di azione e reazione.
Il principio di interzia di Galilei afferma che un corpo libero, cioè
non sottoposto all’azione di altri corpi, si muove di moto rettilineo
r
uniforme. Quindi la sua velocità è costante, e si indica con v 0 .
r
Il vettore costante v 0 può essere nullo ed in questo caso si dice
che il corpo è in quiete.
La legge dinamica di Newton afferma che nel generico moto di un
corpo di massa m, l’accelerazione istantanea del corpo è
determinata da una causa esterna secondo la relazione
r
v
F = ma ,
r
dove la grandezza vettoriale F è detta forza agente sul corpo.
La forza si misura in Newton (N), dove 1 N = 1 kg m/s2.
Dalla legge di interzia e dalla legge dinamica di Newton si
deduce che per un corpo libero, la cui accelerazione è nulla,
deve essere nulla la forza agente sul corpo:
r
r
r r
a = 0 ⇔ F = 0 .
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Va notato che la forza agente su un corpo può essere la somma
vettoriale di forze diverse che agiscono sul corpo.
r
v v
F
,
F
,...,
F
Cioè, se 1 2
N sono le N forze che agiscono sul corpo, la
forza risultante sarà
r r
r
v N r
F = ∑ Fi = F1 + F2 + ... + FN .
i =1
Ed è questa la forza risultante che determina il moto del corpo.
Il principio di azione e reazione afferma che dati due corpi
r
la forza F12 che agisce sul primo corpo a causa del secondo corpo
r
F
è uguale e contraria alla forza 21 che agisce sul secondo corpo a
causa del primo corpo. Ovverosia:
r
r
F12 = − F 21 .
Questo principio a volte si enuncia dicendo che “ad ogni azione
corrisponde una reazione uguale e contraria”.
4.2 Quantità di moto
r
Dato un corpo di massa m e velocità v , la sua quantità di moto è
la grandezza vettoriale definita come
r
r
p = mv .
La quantità di moto si misura in kg m/s = N s.
Se vi sono N corpi, ognuno con la propria quantità di moto,
la quantità di moto totale è la somma vettoriale delle quantità di
moto dei singoli corpi. Inoltre, si dimostra la conservazione della
quantità di moto: se non agiscono forze esterne sul sistema la
quantità di moto totale di conserva.
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4.3 Forze agenti su un corpo
La dinamica di un corpo puntiforme è determinata dalle legge di
Newton
r
v
F = ma .
Consideriamo alcuni semplici casi.
4.3.1 Forza peso
Se la forza è costante anche l’accelerazione è costante e quindi il
corpo si muove di moto uniformemente accelerato.
È questo il caso della forza peso, che ora analizziamo.
La forza peso è la forza a cui è soggetta un corpo in caduta libera
nel vuoto. Essa è data da
r
r
F = mg
r
g
dove m è la massa del corpo mentre è un vettore noto come
accelerazione di gravità, diretto verso il centro della terra ed il cui
modulo vale circa
g = 9.81 m/s2 .
Dunque l’intensità della forza peso è proporzionale alla massa del
corpo. Nel linguaggio parlato spesso le parole “peso” e “massa”
vengono considerate sinonimi.
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Se un corpo è in caduta libera nel vuoto su di esso agisce la sola
r
r
forza peso F = m g e quindi dalla legge di Newton
r
v
mg = ma
si ricava l’accelerazione, che è l’accelerazione di gravità.
Lungo l’asse verticale z:
a=−g,
dove il segno meno è dovuto al fatto che l’accelerazione di gravità
è diretta verso il basso.
Si tratta di una moto uniformemente accelerato.
Se il corpo parte da fermo da un’altezza h, la sua posizione nel
tempo lungo l’asse verticale z risulta data da
z = h−
1 2
gt ,
2
con z = 0 quando il corpo tocca il suolo. In quel caso si avrà
h=
1
gT 2 ,
2
dove T è il tempo impiegato dal corpo per raggiungere il suolo.
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4.3.2 Forza elastica
La forza elastica è la forza che segue la seguente legge, nota
come legge di Hooke:
r
r
F = − kr ,
r
dove r è la posizione del corpo sulla quale agisce la forza
e k è una costante, detta costante elastica, che si misura in
Newton/metro.
Essa è detta forza elastica perché è la forza esercitata da un
elastico o una molla per piccole deformazioni. La forza elastica
è una forza di richiamo perché ha sempre segno opposto alla
deformazione e tende a riportare l’elastico o la molla nello stato
di riposo.
Se un corpo di massa m è sottoposto all’azione di una forza
elastica si dimostra che esso è soggetto ad un moto armonico,
la cui frequenza angolare è data da
ω =
k
m
.
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4.3.3 Forza di reazione vincolare
La forza di reazione vincolare è la forza esercitata da una
superficie solida su un corpo a contatto con la superficie.
r
La forza di reazione vincolare F , essendo un vettore, si può
pensare come la somma vettoriale di
r
F
una forza di reazione T tangente (parallela) alla superficie ed
r
una forza di reazione FN normale (perpendicolare) alla superficie:
r r
r
F = FT + FN .
r
La forza FN di reazione normale alla superficie è sempre tale da
impedire il moto del corpo nella direzione normale (entrante) alla
superficie, se la superficie non si deforma o spezza.
r
La forza FT di reazione tangente alla superficie è anche detta forza
di attrito. Per essa si distinguono due casi:
r r
F
i) superficie liscia (o vincolo liscio): T = 0
r r
F
ii) superficie scabra (o vincolo scabro): T ≠ 0 .
r
Dagli esperimenti si trova che la forza di attrito FT agente su un
corpo che si muove su una superficie solida scabra è data da
FT = − µ F N
dove µ è un coefficiente, detto coefficiente di attrito
(solitamente compreso tra 0 ed 1).
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Es. Le forze agenti su un corpo fermo su un piano orizzontale
r
r
r
W
=
m
g
sono: la forza peso
e la forza di reazione normale N
La forza peso W è perpendicolare al tavolo e la forza di
reazione vincolare N è uguale e contraria alla forza peso.
4.3.4 Forza di attrito in un fluido
La forza di attrito in un fluido (gas o liquido) è la forza
esercitatardal fluido su un corpo che si muove con una
velocità v all’interno del fluido. La forza è data da
r
r
F = − cv
dove c è un coefficiente, detto coefficiente di attrito viscoso,
che dipende dalla forma del corpo e dalla natura del fluido.
Si osservi che questa espressione per la forza di attrito viscoso è
valida se la particella si muove a bassa velocità. A velocità altre la
dipendenza dalla velocità non è più lineare.
Nel caso di una sfera di raggio R che si muove in un fluido Stokes
ha dimostrato che il coefficiente di attrito viscoso è dato dalla
seguente formula
c = 6π R η
dove η è un coefficiente noto come viscosità del fluido.
Una semplice analisi dimensionale mostra che la viscosità η si
misura in Ns/m2, dove 1 N s/m2 = 1 Poiseuille (Po).
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4.3.5 Forza di tensione di un cavo
Quando un cavo (o una fune, una corda, un filo) è fissato ad un
corpo e tirato , si dice che è sotto tensione.
Il cavo esercita sul corpo una forza di tensione, indicata
r
solitamente con T , applicata al punto di fissaggio del cavo e
orientata lungo il cavo nel verso di allontanamento dal corpo.
4.4 Statica di un corpo rigido
Affinché il corpo rigido non trasli deve essere nulla la somma
vettoriale delle forze esterne agenti su di esso:
r r
∑ i Fi = 0 .
Ma per avere un corpo rigido fermo questo non basta.
Infatti, affinché il corpo rigido non ruoti deve essere nullo il
momento risultante delle forze esterne:
r
r
M
=
0
∑ i
.
i
Non abbiamo però ancora definito il momento di una forza.
Ecco la definizione.
r
r
Data la forza F ed il raggio vettore r = OP, si dice momento della
forza applicata nel punto P rispetto all’origine O, la seguente
grandezza vettoriale:
r r r
M =r∧F .
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Es. In figura sono rappresentati due corpi, una a sinistra di
massa mS e distanza rS dal fulcro, ed uno a destra
di massa mD e distanza rD dal fulcro,
appoggiati su una asta rigida, di massa trascurabile,
appoggiata al fulcro grigio.
r
Le frecce indicano la forza peso mS g agente sul corpo
r
m
g
di sinistra, la forza peso D agente sul corpo di destra e
r
la forza di reazione vincolare N dell’asta e dell’appoggio.
Per l’equilibrio:
mS g + mDg = N
ma anche, calcolando i momenti delle forze dispetto al fulcro
rS ⋅ mS g = rD ⋅ mDg .
Dalla prima equazione:
N = ( mS + mD ) g ,
dalla seconda equazione:
rS mS = rD mD .
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4.5 Trazione cervicale
Mostriamo due esempi di trazione cervicale.
La forza F1 esercitata sulle vertebre cervicali di un paziente nel
dispositivo di trazione mostrato in figura è di intensità pari a
quella della forza peso P del corpo collegato con una cinghia ed
una puleggia al mento del paziente.
La testa del paziente è appoggiata su una piattaforma mobile in
modo da eliminare l’attrito tra la testa e il tavolo.
Il sistema è all’equilibrio:
- la forza peso P è equilibrata dalla forza F di tensione
verticale della cinghia;
- la forza F1 di tensione orizzontale della cinghia è equilibrata
dalla forza –F1 di reazione vincolare della cervicale.
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Nella figura sottostante la trazione cervicale sul paziente è
esercitata utilizzando un corpo di forza peso P = 10 N.
La forza verticale F che agisce sulla cervicale è la somma
vettoriale delle due forze trasversali di tensione P del cavo.
Dato che queste due forze sono uguali in modulo e formano un
angolo di 90o ne segue che la forza F è di lunghezza pari alla
diagonale del quadrato di lato P.
Si ha perciò
F = 2 P.
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4.6 Esercizi svolti sulla dinamica
1. Una forza agisce su un corpo di 5 kg di massa riducendo la
sua velocità da 7 a 3 metri al secondo in 2 secondi.
Calcolare la forza in Newton.
Soluzione:
posto M = 5 kg , v1 = 7 m/s , v2 = 3 m/s , ∆t = 2 s
si ha
F = M a = M (v2 – v1)/∆t = 5 kg×4 m/s / (2 s)
= 10 kg m/s2 = 10 N .
2. Una cabina di massa 2000 kg scende nel pozzo di uan
miniera con una accelerazione di 1m/s2.
Determinare la tensione nel cavo quando la cabina si muove.
Soluzione:
posto M = 2×103 kg , a = 1 m/s2 , g = 9,81 m/s2
e detta T la tensione del cavo, la forza risultante F agente
sulla cabina è data da
F=Ma=Mg–T,
da cui segue
T = M (g – a) = 2×103 kg × 9,81 m/s2 =
= 17,62×103 kg m/s2 = 17,62×103 N .
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3. Una forza orizzontale di 20 N agisce per 3 s su un blocco di
5 kg posto su un terreno scabro orizzontale (coefficiente di
attrito 0,25). Determinare la velocità del blocco
dopo 3 secondi sapendo che la velocità iniziale è nulla.
Soluzione:
posto Fe = 20 N , M = 5 kg , v1 = 0 ,
∆t = 3 s , µd = 0,25 , g = 9,81 m/s2
e detta Fa la forza di attrito data da
Fa = µ M g ,
la forza risultante F nella direzione orizzontale è
F = Fe – Fa = Fe – µ M g = M (v2 – v1)/∆t
da cui si ricava la velocità finale
v2 = (Fe – µ M g)∆t/M
= (20 N – 0,25×5 kg×9,81 m/s2)×3 s/(5 kg)
= 4,5 m/s .
4. Una macchina lanciatrice di palline da tennis è posta in uno
stagno ghiacciato. La macchina lancia una pallina di 0,15 kg
orizzontalmente con una velocità di 36 m/s. Qual’è la
velocità di rinculo della macchina se la sua massa è di 50 kg?
Soluzione:
posto mp = 0,15 kg , M = 50 kg , vp =36 m/s ,
e detta v la velocità di rinculo della macchina,
poiché il sistema pallina e macchina lanciatrice è isolato
e lo stagno ghiacciato permette di trascurare l’attrito,
la quantità di moto totale del sistema, che prima del lancio è
zero, si conserva. Quindi:
mp vp – M v = 0
da cui
v = (mp/M) vp = (0,15 kg/50 kg) × 36 m/s =
= 0,11 m/s .
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5. Una leva è incernierata in un punto distante 1/3 della sua
lunghezza da un estremo. Indicando con F1 e con F2 le due
forze agenti, perpendicolarmente alla leva, ai due estremi (F1
sul braccio più corto ed F2 sul braccio più lungo), indicare il
valore del rapporto F1/F2 affinché la leva sia in equilibrio.
Soluzione:
detta L la lunghezza della leva,
il modulo del momento della forza F1 con punto di
applicazione sul fulcro (cerniera) è dato da
M1 = (L/3) F1 ,
Il modulo del momento della forza F2 con punto di
applicazione sul fulcro è dato da
M2 = (2L/3) F2 .
Per l’equilibrio deve essere M1 = M2 e quindi
(L/3) F1 = (2L/3) F2 da cui F1/F2 = (2/3) / (1/3) = 2 .
6. Una leva è incernierata nel suo punto di mezzo. Su di un
braccio sono sospesi due corpi di masse 5 kg e 3 kg a
distanze dal fulcro di 75 cm e 120 cm, rispettivamente.
Calcolare la massa che, sospesa sull’altro braccio ad una
distanza di 100 cm, mantiene la leva in equilibrio orizzontale.
Soluzione:
posto m1 = 5 kg , m2 = 3 kg , g = 9,81 m/s2 ,
L1 = 0,75 m , L2 = 1,2 m , L2 = 1 m ,
ed indicata con m3 la massa incognita,
il modulo del momento della forza peso agente
sulla i-esima massa risulta
Mi = mi g Li ,
con i = 1,2,3 .
Per l’equilibrio deve essere
M1 + M2 = M3
da cui
m1 g L1 + m2 g L2 = m3 g L3
ed infine
m3 = (m1 L1 + m2 L2)/L3 = 7,35.
