soluzioni 19 Giugno 2013

SOLUZIONE PROVA SCRITTA 19 GIUGNO 2013
I Parte
Domanda 1 (5 punti)
Una sfera di catalizzatore poroso di diametro D è inizialmente investita da una corrente di gas
inerte. Al tempo t=0 nella corrente viene immessa la specie chimica A con concentrazione c∞ .
A reagisce nel catalizzatore secondo la reazione A→B con cinetica del primo ordine
irreversibile e costante cinetica k. D è la diffusività effettiva di A all'interno del catalizzatore,
mentre KC è il coefficiente di scambio di materia convettivo tra la corrente di gas e il
catalizzatore. Si scriva il bilancio di materia in transitorio che governa il problema e lo si
completi con le appropriate e corrette condizioni iniziali e al contorno
Soluzione
Si tratta di un problema di trasporto di materia con reazione chimica in transitorio. Con riferimento
ad un guscio sferico di spessore dr, il bilancio di materia sul catalizzatore poroso, con ovvio
significato dei simboli, è:
−D 4π r 2
∂c
∂c
∂c
+ D 4π r 2
− 4π r 2 drkc = 4π r 2 dr
∂r r
∂r r+dr
∂t
(1)
Dividendo per 4πdr e portando al limite si ottiene:
D
∂ ⎛ 2 ∂c ⎞
∂c
r
− r 2 kc = r 2
⎜
⎟
∂r ⎝ ∂r ⎠
∂t
(2)
La (2) è l'equazione richiesta. Le condizioni iniziali e al contorno si ricavano tenendo conto che:
- al tempo zero il reagente è assente, quindi la sua concentrazione è nulla in tutta la sfera
- al centro della sfera, per bilancio di materia, il flusso deve essere nullo, e quindi nullo deve essere
anche il gradiente di concentrazione
- alla superficie della sfera il flusso di materia convettivo in fase gas deve uguagliare il flusso
diffuso nel catalizzatore
Le tre condizioni si scrivono quindi come:
t=0 → c=0
∂c
r=0 →
=0
∂r
(3)
∂c
→ K C ⎡⎣ c∞ − c ( R ) ⎤⎦ = −D
∂r
Nell'ultima delle (3) c(R) è il valore del profilo di concentrazione alla superficie del catalizzatore, e
rappresenta quindi proprio la concentrazione di superficie che, in questo caso, è uguale sia in fase
gas che nel catalizzatore stesso.
r=R
Domanda 2 (5 punti)
Si derivi l'equazione di Stevino e se ne illustri il significato fisico
Soluzione
Vedi ad esempio appunti del corso
II parte
Problema 1 (10 punti)
In una lastra piana solida, di spessore δ=3cm e conducibilità termica k=5W/m°C, viene
generata in maniera uniforme la potenza termica p=106W/m3. La lastra viene raffreddata da
una corrente fluida alla temperatura T∞ =20°C che la investe da entrambi lati. Se
h=2000W/m2°C è il coeffciente di scambio termico convettivo tra il fluido e la lastra, si
determini, in condizioni stazionarie:
- il flusso di calore p (in W/m2), che attraversa una delle due superfici laterali della lastra
- la temperatura, Tmax (in °C) al centro della lastra
Soluzione
La risposta alla prima domanda è immediata. Infatti in condizioni stazionarie La potenza termica
che fuoriesce da ciascuna delle due superfici della lastra è pari alla metà della potenza termica
generata all'interno della lastra stessa. Quindi:
q=
pδ
2
(1)
Per il calcolo della temperatura al centro della lastra va impostato un bilancio di energia termica in
condizioni stazionarie sulla lastra, tenendo conto anche della generazione di calore. L'equazione di
bilancio è:
d 2T
k 2 + p=0
dx
(2)
La (2) può essere risolta (vedi ad esempio appunti del corso) per fornire il seguente profilo di
temperatura:
T ( x ) = Ts +
pδ 2 x ⎛
x⎞
1− ⎟
⎜
2k δ ⎝ δ ⎠
(3)
Nella (3) x è una coordinata che vale 0 ad una superficie e δ all'altra superficie della lastra. Ts è la
temperatura su entrambe le superfici della lastra. La temperatura al centro della lastra è quindi
fornita dalla (3) per x=δ/2:
⎛δ ⎞
pδ 2 δ ⎛
δ ⎞
pδ 2
Tmax = T ⎜ ⎟ = Ts +
1−
=
T
+
s
2k 2δ ⎜⎝ 2δ ⎟⎠
8k
⎝ 2⎠
(4)
Il calcolo di Tmax richiede la conoscenza di Ts. Questa è facilmente ricavata scrivendo l'espressione
per il flusso termico convettivo alla superficie della lastra:
q = h (Ts − T∞ )
Ricavando Ts dalla (5) e sostituendo nella (4) si ha infine:
Passando ai numeri si ha τ = V / Q = 10 / 2 = 5min e quindi:
(5)
Tmax = T∞ +
q pδ 2
+
h 8k
(6)
Passando ai numeri, il flusso termico è calcolato dalla (1):
q=
pδ 106 ⋅0.03
=
= 15000 W/m 2 °C
2
2
(7)
mentre la temperatura al centro della lastra è data dalla (6):
Tmax
q pδ 2
15000 106 ⋅0.032
= T∞ + +
= 20 +
+
= 50°C
h 8k
2000
8⋅5
(8)
Problema 2 (10 punti)
Due sfere vengono poste sul fondo di un recipiente di altezza H=1m completamente riempito
di acqua (densità ρ=1gm/cm3, viscosità µ=0.001 Pa s). La prima sfera ha diametro D1=1.5 cm
e densità ρ 1=0.94gm/cm3.La seconda sfera ha un diametro D2=3cm e risale alla superficie in
un tempo pari alla metà di quello impiegato dalla prima sfera. Supponendo che il moto di
entrambe le sfere possa essere considerato stazionario per tutta la sua durata, si calcoli la
densità ρ 2 della seconda sfera.
Soluzione
Il moto di entrambe le sfere è governato dal bilancio di forze sulla sfera dato, con significato noto
dei simboli, da:
c π D 2 ρv 2
π Di3
g ( ρ − ρi ) = FD,i = D,i i ∞,i
6
8
(9)
Nella (9) il pedice i vale 1 o 2 a seconda della sfera. La logica di soluzione del problema è di usare
una prima volta la (9) oer i=1, nel qual caso l'unica incognita è la velocità terminale. Una volta
calcolato questo valore, la velocità terminale della seconda sfera risulta essere il doppio della prima
(visto che il tempo di risalita è la meta). Rientrando con questo valore nella (9), riscritta per la
sceonda sfera, essa contiene come unica incognita la densità della stessa, e il problema viene così
chiuso.
Una strada più veloce è percorribile nel caso particolare in cui per entrambe le sfere il moto sia
puramente inerziale (Re>1000), per cui il coefficiente di attrito risulta costante e uguale per
entrambi i casi. In queste condizioni, scrivendo la (9) per entrambe le sfere e dividendo membro a
membro si ottiene:
D1 ( ρ − ρ1 )
D2 ( ρ − ρ2 )
=
2
v∞,1
2
v∞,2
(10)
Nel caso specifico, visto che il tempo di risalita della seconda sfera è la metà di quello della prima,
si avrà:
2
2
v∞,2
= 4v∞,1
(11)
per cui la (10) diventa:
D1 ( ρ − ρ1 )
D2 ( ρ − ρ2 )
=
1
4
(12)
e ciò permette di ricavare la densità della seconda sfera:
ρ2 = ρ −
4D1 ( ρ − ρ1 )
(13)
D2
Passando ai numeri si ha:
ρ2 = ρ −
4D1 ( ρ − ρ1 )
D2
= 1000 −
4 ⋅0.015(1000 − 940 )
0.03
= 860 Kg/m 3
(14)
Va però verificata a questo punto l'ipotesi Re>1. Basterà verificarla per la prima sfera in quanto a
seconda ha un diametro e una velocità più grandi e quindi il suo Reynolds sarà comunque maggiore.
Dalla (9), per i=1, si ha:
v∞,1 =
4D1 g ( ρ − ρ1 )
=
3
cD ρ
4 ⋅0.015⋅9.81(1000 − 940 )
3⋅0.44 ⋅1000
= 0.0826 m/s
(15)
da cui:
Re =
ρ v∞,1 D1
µ
=
1000 ⋅0.0826 ⋅0.015
= 1239
10−3
(16)