a di Ingegneria Laurea in Ingegneria Gestionale Corso di

Università degli Studi di Padova
Facoltà di Ingegneria
Laurea in Ingegneria Gestionale
Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria
Vicenza 8/05/09
1. Sia W=< (2, −1, 2, 0), (0, 2, 1, 2) > . Si scriva v=(0,1,0,1) come somma di un vettore
di W ed uno di W⊥ .
2. Considerato il sottoinsieme W={(x, y, z) | x − 2y + 2z = 1} ⊂ IR3 , si determini il
vettore w∈ W di norma minima.
3. Se R4 = he1 + e2 , e3 i ⊕ he1 , e2 − e4 i si dica qual è la proiezione di v = (2, 2, 0, −1)
su he1 + e2 , e3 i.
E la proiezione di v su he1 , e2 − e4 i?
4. Dati i sottospazi U = h(2, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0)i e V = {(x, y, z, t)|x + y + z + t = 0} di
R3 si determini una base ortonormale di U ∩ V .
Si calcoli la proiezione ortogonale su U ∩ V di u = (1, −1, −1, −2).
Si calcoli la proiezione ortogonale di u su (U ∩ V )⊥ .
5. In IR4 si considerino i due sottospazi vettoriali
U = h(1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, −1)i ,
W = h(−1, 1, 1, 0), (1, 2, −1, 0)i.
Si dica se W = U ⊥ .
Dato il vettore v = (2, 0, 2, −1) ∈ IR4 si determini la proiezione ortogonale u su U
e la proiezione ortogonale w su W.
Risulta v=u+w?
6. Trovare il vettore di modulo minimo nell’insieme
(2, 0, 0)+ < (1, 1, 0), (1, 1, 1) > .
7. Se possibile si determini una base ortonormale del sottospazio
V = h(1, 0, 2, 2), (2, 2, 0, −1), (5, 0, 1, 1)i
di IR4 e la si estenda ad una base ortonormale di IR4 .
Si determini la proiezione ortogonale di (3, 3, 0, 3) su V e su V ⊥ .
8. In R3 sia U = {(2, −1, 2)}. Si determini un sistema di equazioni e una base ortonormale del sottospazio U ⊥ .
9. Si segni quale delle seguenti affermazioni è vera:
• ogni famiglia ortonormale di Rn è una base ;
1
• ogni famiglia ortonormale di Rn è linearmente indipendente ;
• se (w1 , w2 , w3 ) p
è una famiglia ortonormale di Rn la norma di v = x1 w1 +
x2 w2 + x3 w3 è x21 + x22 + x23 .
• ogni sistema lineare AX = 0 di m e quazioni in n incognite su R definisce il
complemento ortogonale dello spazio vettoriale generato dalle righe di A.
10. Fissato un sistema di riferimento ortonormale {O,i,j}, sono dati i punti
7
3
A(1, 1), B(3, 2), C(2, 0), D(−1, − ), E(9, 4), F (−7, − ).
2
2
−→
−−→
−−→
−−→
Siano u1 = AB, u2 = CD, u3 = BE, u4 = DF . Calcolarne le coordinate.
a) Dire quante e quali sono le direzioni distinte individuate dai vettori u1 , u2 , u3 , u4 .
b) Dire quali delle seguenti coppie di vettori sono coppie di vettori paralleli e
concordi(stesso verso):
(u1 , u2 )paralleli , concordi ,
(u3 , u4 )paralleli , concordi ,
(u1 , −u2 )paralleli , concordi ,
(u1 , u4 )paralleli , concordi .
c) Si dica se esiste a ∈ R tale che u1 = au2
Si , a =
; no ;
d) Si dica se esiste b ∈ R tale che u2 = bu1
Si , b =
; no .
11. Sia u un vettore di norma 1 di IR4 ; si dica quale delle seguenti frase è falsa:
A. per ogni v di IR4 , il vettore v − (v · u)u è ortogonale a u;
B. per ogni v di IR4 , il vettore v − (v · u)u ha norma 1;
C. l’insieme dei vettori ortogonali a u è un sottospazio di IR4 .
12. Siano u, v vettori geometrici non nulli. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(Nota bene: u || v := u e v sono paralleli.)
A. || u + v ||= 0 ⇒ u || v;
B. u || v ⇒|| u + v ||=|| u || + || v ||;
C. u · v = 0 ⇒|| u + v ||>|| u || + || v ||.
13. Siano u, v, w vettori linearmente indipendenti dello spazio V3 dei vettori geometrici.
Si dica quale delle seguenti affermazioni è vera.
A. Ogni vettore è il prodotto vettoriale degli altri due.
2
B. La matrice che ha per colonne le componenti dei vettori u, v, w rispetto ad un
base B di V3 ha rango 3.
C. Esiste un endomorfismo di V3 il cui nucleo contiene < u, v > e la cui immagine
è < v, w > .
14.
L’area del triangolo di vertici A(2, 0, 1), B(2, 2, −2), C(3, 2, −5) è:
A. 7;
B.
7
;
2
C. 1.
15. Si considerino i punti A(-4,4,-4), B(0,0,3), C(-2,20,4). Quale frase è vera?
A. I punti sono allineati;
B. il triangolo è rettangolo;
C. il baricentro del triangolo ABC è il punto (-6,24,3).
16. Si dimostri che i punti A,B,C e D appartengono tutti allo stesso piano
~ = 0.
~ · (AC
~ × AD)
⇐⇒ AB
17. Si dica quanto vale il prodotto interno di due vettori liberi u = (1, 2, −2),v =
(2, 1, −2):
18. I vettori u = (1, 2, −2), v = (2, 1, −2) hanno direzioni perpendicolari? Si, No.
(se è vero si dice che essi sono ortogonali, in simboli u ⊥ v).
19. Fissato un sistema di riferimento ortonormale { O, i,j,k}, si considerino i punti
A(1, 2, 2), O(0, 0, 0),B(2, −2, 1). Essi sono vertici di un triangolo rettangolo?
Si
, no .
−→
Si scrivano le coordinate di ver OA = ( ,
,
−→
) e di ver AB = ( ,
,
).
Quali sono i coseni degli angoli:
cos Ô =
Qual è il baricentro G( ,
,
, cos  =
, cos B̂ =
) di tale triangolo?
20. Fissato un sistema di riferimento ortonormale { O i,j}. Verificare se i punti del
piano A(2, 1), B(1, −1), C(3, 3) sono allineati o no.
21. Fissato un sistema di riferimento ortonormale { i,j,k} di V3 . Determinare due
vettori geometrici, uno parallelo ed uno ortogonale al vettore u = (3, 1, −2), la cui
somma sia uguale al vettore w = (−1, 2, −4).
22. Fissato un sistema di riferimento ortonormale { i,j,k} di V3 . Dati il vettore u=
(3,-6,6) e i punti A(2,0,1) e B(1,3,1), trovare la lunghezza della proiezione ortogonale
del segmento AB sulla direzione del vettore u
3
23. Trovare il volume del parallelepipedo determinato dai vettori u = (1, 2, 3), v =
(2, 0, 1), w = (−1, 1, 2).
24. Si sa che il volume di un tetraedro è la sesta parte del volume di un parallelepipedo.
Calcolare il volume del tetraedo i cui vertici sono i punti: O(0,0,0), P(p,0,0),
Q(,0,q,0) e R(0,0,r).
c = − 78 .
25. Sono dati due vettori u e v geometrici tali che kuk = 2, kvk = 2 e cosuv
a) Si dica perché risulta dimhu, vi = 2.
b) Si calcolino il versore w1 di u + v e un versore w2 ∈ hu, vi tale che (w1 , w2 )
sia una base di hu, vi concorde con (u, v).
c) Qual è il coseno dell’angolo che il vettore v forma con w1 ?
Dip. Metodi e Modelli Matematici per le Scienze applicate - Università di Padova eserciziog080509.tex
4