Complementi di Equazioni Differenziali Ordinarie

Complementi di Equazioni Differenziali Ordinarie
Fabio Giannoni
I NDICE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Spazi metrici e spazi normati
Lo spazio delle curve continue
Esistenza e unicità locale
Estensione di soluzioni locali
Il Lemma di Gronwall
Esistenza globale
Dipendenza continua dai dati
Il teorema del confronto
1
3
4
5
6
7
8
10
In queste note sono presentati il teorema di esistenza e unicitá locale, il Lemma di
Gromwall applicato all’esistenza globale e alla dipendenza continua dai dati iniziali, ed
un teorema di confronto di soluzioni di equazioni differenziali. Sono presentati poi alcuni
risultati preliminari fondamentali alla teoria, come ad esempio il teorema delle contrazioni
e la completezza dello spazio delle curve continue dotato della metrica uniforme. Ricordiamo anche il principio di Cauchy per le funzioni di una variabile che viene utilizzato per
la estensione delle soluzioni locali.
1. Spazi metrici e spazi normati
Si dice spazio metrico un insieme X su cui definita una distanza d : X × X → R+ ,
ossia una funzione che verifica le seguenti proprietá:
(1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(2) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X (simmetria)
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X (disuguaglianza triangolare).
Definizione 1.1. xn successione in X si dice di Cauchy se ∀ϵ > 0 ∃n̄ ∈ N :
ϵ ∀n, m ≥ n̄.
1
d(xn , xm ) ≤
2
F. GIANNONI
Definizione 1.2. (X, d) si dice spazio metrico completo se tutte le successioni di Cauchy
convergono.
Sugli spazi metrici completi vale il teorema delle contrazioni.
Teorema 1.3. Sia (X, d) uno spazio metrico completo. Sia A : X → X tale che
d(A(x), A(y)) ≤ Kd(x, y) per ogni x, y ∈ X,
dove K ∈]0, 1[. Allora A ha un unico punto fisso x∞ in X (ossia una soluzione di A(x) =
x)). Esso é il limite della successione xn = An (x0 ), per ogni scelta di x0 ∈ X.
D IMOSTRAZIONE . Sia x0 ∈ X fissato, e si consideri la successione xn = An (x0 ),
n ≥ 1. Faremo vedere prima di tutto che essa é di Cauchy. Infatti, per ogni n, p ∈ N si ha
∑
n+p−1
d(xn+p , xn ) = d(A
n+p−1
(x0 ), A
n−1
(x0 )) ≤
d(Aj (x0 ), Aj−1 (x0 )) ≤
j=n
∑
n+p−1
K j−1 d(A(x0 ), x0 ) ≤
j=n
K n−1
d(A(x0 ), x0 ).
1−K
Quindi se n → +∞ si ha d(xn+p , xn ) → 0 indipendentemente da p, e quindi xn é di Cauchy
in X. Poiché X é completo esiste x∞ ∈ X tal che xn → x∞ . Quindi, per la continuitá di A
A(x∞ ) = lim A(xn ) = lim xn+1 = x∞ ,
n→+∞
n→+∞
ossia x∞ é un punto fisso. Se poi y∞ fosse un altro punto fisso si avrebbe
d(x∞ , y∞ ) = d(A(x∞ ), A(y∞ )) ≤ Kd(x∞ , y∞ )
da cui si deduce d(x∞ , y∞ ) = 0 perché K ∈]0, 1[.
Uno spazio vettoriale X (su R) si dice normato se esiste una funzione ∥ · ∥ : X → R+
che verifica le seguenti propriet:
(1) ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0
(2) ∥λx∥ = |λ|∥x∥ ∀λ ∈ R, ∀x ∈ X
(3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ ∀x, y ∈ X
(omogeneitá)
(subadditivitá)
Osservazione 1.4. ∥ · ∥ induce su X la distanza
(1.1)
d(x, y) = ∥x − y∥.
Definizione 1.5. (X, ∥ · ∥) normato, si dice di Banach se (X, d), con la distanza (1.1) é uno
spazio metrico completo.
NOTE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
3
2. Lo spazio delle curve continue
Consideriamo le curve continue y : [a, b] → Rm . Esse costituiscono uno spazio vettoriale che indicheremo con C 0 ([a, b], Rm ). Su di esso poniamo la seguente norma:
(2.1)
∥y∥∞ = max{∥y(t)∥E : t ∈ [a, b]}.
(
)
(
)
Si osservi che una successione (fn ) in C 0 [a, b], Rm è convergente a f ∈ C 0 [a, b], Rm
rispetto alla distanza indotta da questa norma se fn tende uniformemente ad f sull’intervallo [a, b] (ossia indipendentemente dalla variabile t). Per questo motivo, la topologia in
(
)
C 0 [a, b], Rm definita da tale distanza è chiamata la topologia della convergenza uniforme.
Esercizio 2.1. Verificare che (2.1) una norma su C 0 ([a, b], Rm ).
Proposizione 2.2. Lo spazio C 0 ([a, b], Rm ) con la norma (2.1) é uno spazio di Banach.
D IMOSTRAZIONE . Dobbiamo provare che, con la metrica della convergenza uniforme,
(
)
C [a, b], Rm è uno spazio metrico completo, cioè che ogni successione di Cauchy in
(
)
C 0 [a, b], Rm è convergente.
(
)
Data una successione di Cauchy (fn ) in C 0 [a, b], Rm , per ogni t ∈ [a, b] la successione
(fn (t)) è di Cauchy in R. Esiste pertanto il limite puntuale lim fn (t) = f (t) per ogni t.
0
n→∞
Bisogna ora dimostrare che f è continua e che la convergenza di (fn ) a f è uniforme. La
condizione di Cauchy per (fn ) ci dice che per ogni ε > 0 esiste N ∈ N tale che, per ogni
n, k ≥ N e per ogni t ∈ [a, b], si ha ∥fn (t) − fk (t)∥ < ε. Possiamo fissare t e passare
al limite per k → ∞ in questa disuguaglianza —si osservi che la scelta di N non dipende
da t— ottenendo ∥fn (t) − f (t)∥ ≤ ε per ogni n ≥ N e per ogni t ∈ [a, b]. Prendiamo ora
l’estremo superiore su t ∈ [a, b], e otteniamo sup ∥fn (t) − f (t)∥ ≤ ε, e cioè la convergenza
t∈[a,b]
di (fn ) a f è uniforme.
Per vedere che f è continua, sfruttiamo ora la continuità delle fn ed un argomento “ ε3 ”
nel seguente modo. Sia fissato t′ ∈ [a, b] e ε > 0. In corrispondenza di questo ε determiamo
ora N ∈ N tale che per ogni n ≥ N si abbia sup ∥fn (t) − f (t)∥ < 3ε ; inoltre, sia δ > 0
t∈[a,b]
tale che ∥fN (t) − fN (t′ )∥ < 3ε for all t with |t − t′ | < δ, la cui esistenza è garantita dalla
continuità di fN nel punto t′ . Usando la disuguaglianza triangolare, è facile mostrare che
∥f (t) − f (t′ )∥ < ε se |t − t′ | < δ, il che prova la continuità di f .
(
)
(
)
Esercizio 2.3. Sia C ⊂ Rn . Denotiamo con C 0 [a, b], C il sottoinsieme di C 0 [a, b], Rm
che consiste di tutte le funzioni che hanno immagine in C. Provare che se é un chiuso in Rn ,
)
(
(
)
aalora C 0 [a, b], C è un sottoinsieme chiuso di C 0 [a, b], Rm , e pertanto che è uno spazio
metrico completo con la metrica indotta.
4
F. GIANNONI
3. Esistenza e unicità locale
3.1. Il problema di Cauchy. Veniamo ora allo studio di un problema che consiste in
una equazione differenziale ed un dato iniziale, del tipo:
(3.1)
y ′ = f (t, y),
y(t0 ) = y0 ,
dove y è la funzione incognita della variabile reale t che ha valori in Rm , t0 ∈ R, y0 ∈ Rm ,
e f : [t0 − a, t0 + a] × B[y0 , b] → Rm è una funzione definita sul prodotto dell’intervallo
[t0 − a, t0 + a], con a > 0, con la palla chiusa di centro y0 e raggio b > 0 in Rm . Questo
è il Problema di Cauchy. Proviamo il seguente risultato di esistenza e unicità locale per il
problema di Cauchy (3.1), conosciuto come Teorema di Picard (o di Cauchy-Lipchitz):
Teorema 3.1. Supponiamo che f sia continua, e che sia Lipschitziana in y uniformemente
rispetto a t, cioè che esista una costante L > 0 indipendente da t tale che ∥f (t, y1 ) −
f (t, y2 )∥ ≤ L · ∥y1 − y2 ∥ per ogni y1 , y2 ∈ B[y0 , b].
Allora esiste δ > 0 ed un’unica funzione y : [t0 − δ, t0 + δ] → B[y0 , b] di classe C 1 che
è soluzione del problema di Cauchy (3.1) nell’intervallo [t0 − δ, t0 + δ].
D IMOSTRAZIONE . Osserviamo inizialmente che risolvere il problema di Cauchy (3.1)
in un intervallo [t0 − δ, t0 + δ], δ ∈ ]0, a[, è un problema equivalente a quello di determinare
una funzione continua y : [t0 − δ, t0 + δ] → B[y0 , b] tale che:
∫ t
y(t) = y0 +
(3.2)
f (s, y(s)) ds,
t ∈ [t0 − δ, t0 + δ].
t0
Infatti, se y è una funzione continua che risolve (3.2), allora usando il teorema fundamentale
del calcolo integrale si ottiene facilmente che y è derivabile, e soddisfa (3.1). Analogamente,
se y è una soluzione di (3.1), un’integrazione immediata ci dice che y risolve (3.2).
Possiamo pensare al lato destro di (3.2) come il valore F(y), dove F è un operatore con
dominio lo spazio
(
)
X = C 0 [t0 − δ, t0 + δ], B[y0 , b]
di tutte le curve continue z : [t0 − δ, t0 + δ] → B[y0 , b], e con codominio lo spazio di tutte
le curve continue definite su [t0 − δ, t0 + δ] e a valori in Rm . Più precisamente, per z ∈ X
definiamo:
∫
t
F(z)(t) = y0 +
f (s, z(s)) ds;
t0
chiaramente F(z) è una funzione continua (infatti, derivabile) su [t0 −δ, t0 +δ]. Determinare
una soluzione di (3.2) è lo stesso che determinare un punto fisso dell’operatore F.
Poniamo
M=
max ∥f (t, y)∥
t∈[t0 −a,t0 +a]
y∈B[y0 ,b]
e sia 0 < δ ≤ min{a, Mb }. Facciamo adesso vedere che con questa scelta l’immagine di F
è contenuta in X .
NOTE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
5
A questo scopo basta mostrare che per ogni z ∈ X e ogni t ∈ [t0 − δ, t0 + δ], si ha
∥F(z)(t) − y0 ∥ ≤ b:
∫
∫ t
t
F(z)(t) − y0 = f (s, z(s)) ds ≤ ∥f (s, z(s))∥ ds ≤ M |t − t0 | ≤ M δ ≤ b.
t0
t0
Abbiamo dunque una funzione F : X → X , dove X , munito della metrica
dist(f, g) = ∥f − g∥∞ = max ∥f (t) − g(t)∥
t∈[a,b]
è uno spazio metrico completo (vedere Esercizio 2.3).
Per concludere la dimostrazione, cioè per mostrare l’esistenza di un unico punto fisso di
F, faremo vedere che si puó scegliere δ > 0 piccolo in modo che F sia una contrazione.
Fissiamo dunque z1 , z2 e t. Si ha
∫ t
[
] f (s, z1 (s)) − f (s, z2 (s)) dt
∥F(z1 )(t) − F(z1 )(t)∥ = t0
∫ t
∫ t
≤ ∥f (s, z1 (s)) − f (s, z2 (s))∥ dt ≤ L ∥z1 (s) − z2 (s)∥ ds
t0
t0
≤ L|t − t0 | ∥z1 − z2 ∥∞ ≤ Lδ∥z1 − z2 ∥∞ .
Allora basterá scegliere δ in modo che Lδ ≤ 12 .
4. Estensione di soluzioni locali
Un problema che si presenta spesso nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie é’
quello di stimare l’intervallo massimale (contenente l’istante iniziale) in cui la soluzione del
problema di Cauchy (3.1) é definita. A questo prosito é utile il seguente teorema. Prima del
suo enunciato ricordiamo la seguente
Definizione 4.1. La funzione f = f (t, y) definita in [α, β] × Rm si dice localmente lipchitiziana in y uniformemente in t se per ogni (t′ , y ′ ) ∈ [α, β]×Rm esiste un intorno U di (t′ , y ′ )
in [α, β] × Rm ed una costante L = L(U ) > 0 tale che ∥f (t, y1 ) − f (t, y2 )∥ ≤ L · ∥y1 − y2 ∥
per ogni (t, y1 ), (t, y2 ) ∈ U .
Teorema 4.2. Sia f continua e localmente uniformemente lipchitziana in [α, β] × Rm . Sia
]t− , t+ [, l’intervallo massimale di definizione di y soluzione di (3.1) in [α, β] . Supponiamo
che f (t, y(t)) sia limitata in un intorno sinistro di t+ . Allora t+ = β. Analogamente se che
f (t, y(t)) é limitata in un intorno destro di t− si ha che t− α.
Per dimostrare il teorema 4.2 é’ utile il principio di Cauchy per le curve. Sia γ :
]a, b[→ Rm una curva. Utilizzando il principio di Cauchy per le successioni si dimostra
immediatamente il seguente
6
F. GIANNONI
Teorema 4.3. Esiste finito limt→a+ γ(t) se e solo se
∀ϵ > 0, ∃δ > 0 : t1 , t2 ∈]a, a + δ[⇒ ∥γ(t2 ) − γ(t1 )∥ < ϵ.
Analogamente per il limite sinistro in b.
D IMOSTRAZIONE T EOREMA 4.2. Dalla ipotesi segue subito che esiste C > 0 tale che
|y (t)| ≤ C per ogni t in un intorno sinistro di t+ . Allora y é lipchitiziana in tale intorno e dal
Teorema 4.3 segue che esiste finito limc→t+ y(t) = l. Se per assurdo t+ < β, considerando
la soluzione locale del problema di Cauchy
′
y ′ = f (t, y),
y(t+ ) = l,
e raccordandola con quella del problema di partenza (operazione che possiamo effettuare
grazie all’unicitá locale) si ottiene che esiste δ > 0 tale che la nostra soluzione di partenza é
definita in ]t− , t+ + δ[, in contraddizione con la definizione di t+ che é l’estermo superiore
dell’intervallo massimale di definizione. Analogamente si ragiona per t− .
Corollario 4.4. Sia f continua e localmente uniformemente lipchitziana in R × Rm . Sia
]t− , t+ [, l’intervallo massimale di definizione di y soluzione di (3.1). Supponiamo che
f (t, y(t)) sia limitata in un intorno sinistro di t+ . Allora t+ = +∞. Analogamente se
che f (t, y(t)) é limitata in un intorno destro di t− si ha che t− = −∞.
5. Il Lemma di Gronwall
Proposizione 5.1 (Lemma di Gronwall). Sia I un intervallo della retta reale, t0 un punto
interno di I; siano u, v : I → R due funzioni continue e non negative, e c ≥ 0 tali che:
∫ t
v(t) ≤ c +
u(s)v(s) ds,
∀ t ∈ I, t ≥ t0 .
t0
Allora vale la disuguaglianza:
(5.1)
v(t) ≤ c e
∫t
t0
u(s) ds
per ogni t ∈ I, t ≥ t0 .
D IMOSTRAZIONE . Per ogni ε > 0 definiamo la funzione derivabile wε : I → R tramite
∫t
la formula wε (t) = c + t0 u(s)v(s) ds + ε, wε (t0 ) = c + ε; si osservi che wε (t) > 0 e
v(t) ≤ wε (t) per ogni t ∈ I, t ≥ t0 e per ogni ε > 0. Vale la disuguaglianza:
(
)
∫ t
′
wε (t) = u(t)v(t) ≤ u(t) c +
u(s)v(s) ds ≤ u(t)wε (t), ∀ t ∈ I, t ≥ t0 .
t0
Dividiamo per wε (t) > 0 il primo e l’ultimo termine della disuguaglianza, e otteniamo:
wε′ (t)
≤ u(t),
wε (t)
NOTE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
e perciò:
(
log
wε (t)
c+ε
)
∫
t
=
t0
quindi:
wε′ (s)
ds ≤
wε (s)
∫t
v(t) ≤ wε (t) ≤ (c + ε)e
t0
u(s) ds
∫
7
t
u(s) ds,
t0
∀ t ∈ I, t ≥ t0 .
,
Passando al limite per ε → 0+ si ottiene la disuguaglianza (1).
6. Esistenza globale
Proviamo ora un risultato che garantisce l’esistenza di una soluzione del problema di
Cauchy (3.1) il cui dominio sia un intervallo prefissato. Questo risultato è conosciuto come
il teorema di esistenza globale per soluzioni del problema di Cauchy.
Teorema 6.1. Supponiamo che la funzione f in (3.1) sia definita nella striscia [α, β] × Rm ,
con t0 ∈ [α, β], e che le seguenti ipotesi siano soddisfatte:
(a) f è continua in [α, β] × Rm ;
(b) f è localmente Lipschitziana in y uniformemente in t;
(c) f ha crescita sublineare in y, cioè esistono costanti L1 , L2 ≥ 0 tali che
∥f (t, y)∥ ≤ L1 + L2 ∥y∥
per ogni (t, y) ∈ [α, β] × Rn .
Allora il problema di Cauchy (3.1) ammette una soluzione (unica) definita su tutto l’intervallo [α, β].
D IMOSTRAZIONE . Sia ]t− , t+ [ l’intervallo massimale di definizione di y. Basterá provare
che
sup{∥y(t)∥E : t ∈]t− , t+ [} < +∞.
(6.1)
Infatti, in tal caso abbiamo che y ′ risulta limitata in ]t− , t+ [ e allora applicando il Teorema
4.2 si ha subito la tesi.
Per dimostrare (6.1) useremo il Lemma di Gromwall, cominciando a stimare y in [t0 , t+ [.
A questo proposito sia ρ(t) = ∥y(t)∥. Si ha
ρ(t) = ∥y(t) − y(t0 ) + y(t0 )∥ ≤ ∥y(t) − y(t0 )∥ + ∥y0 ∥ =
∫ t
∫ t
′
∥y0 ∥ + ∥
y (s)ds∥ ≤ ∥y0 ∥ +
∥y ′ (s)∥ds =
∫
t0
t
∥y0 ∥ +
∫
t0
t
∥f (s, y(s))∥ds ≤ ∥y0 ∥ +
t0
L1 + L2 ∥y(s)∥ds ≤
t0
∫
t
∥y0 ∥ + L1 (t+ − t0 ) + L2
ρ(s)ds.
t0
8
F. GIANNONI
Allora posto C = ∥y0 ∥ + L1 (t+ − t0 ), dal Lemma di Gromwall si ottiene
ρ(t) ≤ CeL2 (t−t0 ) per ogni t ∈ [t0 , t+ [.
(6.2)
Per stimare y in [t− , t0 ] si pone τ = t0 − t, in modo che τ ∈ [0, t0 − t− [. Poniamo
ȳ(τ ) = y(2t0 − t).
Abbiamno
ȳ ′ (τ ) = −y ′ (2t0 − t) = −f (2t0 − t), y(2t0 − t)) = −f (τ, ȳ(τ )), ȳ(0) = y0 .
Ma ∥ − f (τ, ȳ(τ ))∥ = ∥f (τ, ȳ(τ ))∥, per cui possiamo usare il Lemma di Gromwall cone per
la dimostrazione di (6.2) e ottenere finalmente la (6.1).
Corollario 6.2. Supponiamo che la funzione f in (3.1) sia definita in R × Rm e che le
seguenti ipotesi siano soddisfatte:
(a) f è continua in R × Rm ;
(b) f è localmente Lipschitziana in y uniformemente in t;
(c) f ha crescita sublineare in y, cioè esistono funzioni continue costanti L1 (t), L2 (t) ≥
0 tali che
∥f (t, y)∥ ≤ L1 (t) + L2 (t)∥y∥
per ogni (t, y) ∈ R × Rm .
Allora il problema di Cauchy (3.1) ammette una soluzione (unica) definita su tutto R.
7. Dipendenza continua dai dati
Il Lemma di Gronwall é uno degli strumenti più utili per dimostrare risultati di dipendenza continua dai dati della soluzione di un’equazione differenziale ordinaria. Mostriamo
un piccolo esempio, dopo aver lasciato al lettore la soluzione del seguente esercizio:
Esercizio 7.1. Sia y0 ∈ Rn e b un numero reale positivo; denotiamo con B[y0 , b] la palla
chiusa di centro y0 e raggio r in Rn . Sia f : [t0 − a, t0 + a] × B[y0 , b] → Rn una funzione
continua e Lipschitziana nella seconda variabile y ∈ B[y0 , b] uniformemente rispetto alla
prima variabile t ∈ [t0 − a, t0 + a]. Ricordiamo che in questa situazione il problema di
Cauchy:

 y ′ = f (t, y)
 y(t0 ) = y0 ,
ammette soluzione unica y : [t0 − δ, t0 + δ] → B[y0 , b] in un intorno di t0 . Sia tn una successione in [t0 − a, t0 + a] tale che lim tn = t0 e zn una successione contenuta in B[y0 , b]
n→∞
tale che lim zn = y0 . Usando il Lemma di Gromwall ed il teorema di estenzione locale
n→∞
NOTE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
9
mostrare che esiste δ∗ > 0 (indipendente da n) tale che, per ogni n sufficientemente grande,
la soluzione yn del problema di Cauchy:

 y ′ = f (t, y)
 y(tn ) = zn ,
sia definita nell’intervallo [t0 − δ∗ , t0 + δ∗ ].
Siamo ora pronti per provare il seguente risultato di dipendenza continua dai dati iniziali
per soluzioni di un problema di Cauchy:
Proposizione 7.2. Usando le notazioni e le ipotesi dell’Esercizio 7.1, sia [α1 , β1 ] un intervallo chiuso contenuto nel dominio della y e di tutte le yn , per n sufficientemente grande.
La successione yn tende a y in [α1 , β1 ] nella topologia C 1 , ossia, yn tende uniformemente a
y e yn′ tende uniformemente a y ′ in [α, β].
D IMOSTRAZIONE . Possiamo ovviamente supporre che tn ∈ [α1 , β1 ] per ogni n (e
dunque anche t0 ∈ [α1 , β1 ]). Sia M = max{∥f (t, y)∥ : t ∈ [t0 − a, t0 + a], y ∈ B[y0 , b]},
sia e L > 0 la costante di Lipschitzianità della f in y. Per t ∈ [α1 , β1 ], calcoliamo:
∫ t
∫ t
∥yn (t) − y(t)∥ = f (s, yn (s)) ds −
f (s, y(s)) ds
(zn − y0 ) +
tn
t0
∫ t0
∫ t
[
] ≤ ∥zn − y0 ∥ + f (s, yn (s)) ds + f (s, yn (s)) − f (s, y(s)) ds
tn
t0
∫ t0
∫ t
[
] ≤ ∥zn − y0 ∥ + f (s, yn (s)) ds + f (s, yn (s)) − f (s, y(s)) ds
tn
t0
∫ t
≤ ∥zn − y0 ∥ + M |tn − t0 | + Lzn (s) − y(s) ds
t0
Applichiamo ora il lemma di Gronwall ai seguenti dati: v(t) = yn (t) − y(t), u(t) ≡ L,
c = ∥zn − y0 ∥ + M |tn − t0 |, e otteniamo la seguente disuguaglianza:
(
)
(7.1)
∥zn (t) − y(t)∥ ≤ ∥yn − y0 ∥ + M |tn − t0 | eL∥t−t0 ∥ .
Rimpiazzando t con t0 − t si dimostra che la (7.1) val anche per t ≤ t0 . Siccome tn
tende a t0 e zn tende a y0 , dalla (7.1) segue facilmente che yn tende uniformemente a y in
[α, β] quando n tende all’infinito. Siccome f è lipchitziana in y, segue che f (t, yn (t)) tende
uniformemente a f (t, y(t)) in [α1 , β1 ] quando n → ∞, e dunque yn′ tende uniformemente a
y ′ per n → ∞, e questo conclude la dimostrazione.
Partendo dal risultato della Proposizione 7.2, vogliamo stabilire ora un risultato di dipendenza continua della soluzione di un problema di Cauchy quando si perturba la funzione f
che definisce l’equazione differenziale. A tale scopo, consideriamo la seguente situazione:
sia f = f (t, y, λ) : [t0 − a, t0 + a] × B[y0 , b] × Λ → Rn , dove Λ è un aperto di Rk , e
10
F. GIANNONI
supponiamo che f sia continua e Lipschitziana rispetto a y e a λ uniformemente rispetto a
t. In questa situazione, si può provare sempre usando il lemma di Gromwall che, fissato
un qualunque λ̄ ∈ Λ ed un qualsiasi intorno U di λ con chiusura compatta in Λ, esiste un
numero positivo δ∗ > 0 tale che, per ogni λ ∈ U , l’unica soluzione yλ del problema di
Cauchy:

 y ′ = f (t, y, λ)
(7.2)
 y(t0 ) = y0 ,
sia definita in un intervallo che contiene [t0 − δ∗ , t0 + δ∗ ].
Enunciamo e proviamo ora il seguente:
Corollario 7.3. Sia λ0 ∈ Λ fissato, sia U un intorno di λ in Λ e sia [α1 , β1 ] ⊆ [t0 − a, t0 + a]
un intervallo contenuto nel dominio di yλ per ogni λ ∈ U .
Allora, per λ → λ0 , yλ tende a yλ0 nella topologia C 1 sull’intervallo [α1 , β1 ].
D IMOSTRAZIONE . Si introduce una funzione fittizia z = z(t) e si osserva che il problema (7.2) è equivalente al problema di Cauchy:


y ′ = f (t, y, z)




 z ′ = 0,
(7.3)

y(t0 ) = y0 ,




 z(t ) = λ .
0
0
Si osservi che nel problema (7.3) il parametro λ ha il ruolo di dato iniziale, e possiamo
quindi applicare il risultato di stabilità della Proposizione 7.2.
8. Il teorema del confronto
Passiamo ora allo studio di risultati che permettano di confrontare soluzioni di problemi
di Cauchy. Prima di enunciare il risultato centrale (Teorema del Confronto), presentiamo un
semplice risultato ausiliare:
Lemma 8.1. Siano y, z : [t0 , t1 [ → R che ammettono derivata destra in t0 , tali che y(t0 ) =
′ +
z(t0 ) e y ′ (t+
0 ) > z (t0 ). Allora esiste ε ∈ ]0, t1 − t0 [ tale che y(t) > z(t) per ogni t ∈
]t0 , t0 + ε].
D IMOSTRAZIONE . Per definizione di derivata destra, y(t) = y(t0 ) + y ′ (t+
0 )(t − t0 ) +
′ +
h1 (t) e z(t) = z(t0 ) + z (t0 )(t − t0 ) + h2 (t), dove:
lim+
t→t0
h1 (t)
h2 (t)
= lim+
= 0.
t − t0 t→t0 t − t0
NOTE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
11
Dunque, ricordando che y(t0 ) = z(t0 ):
lim+
t→t0
′ +
y(t) − z(t)
(y ′ (t+
0 ) − z (t0 ))(t − t0 ) + h1 (t) − h2 (t)
= lim+
t − t0
t − t0
t→t0
′ +
= y ′ (t+
0 ) − z (t0 ) + lim+
t→t0
Per il Teorema della Permanenza del Segno, deve aversi
t0 , e quindi y(t) − z(t) > 0 in questo intorno.
y(t)−z(t)
t−t0
h1 (t) − h2 (t)
> 0.
t − t0
> 0 in un intorno destro di
Teorema 8.2 (Teorema del Confronto). Siano y, z : [t0 , t1 [ → R funzioni derivabili, f, g :
[t0 , t1 [ × R → R funzioni continue, con f (r, s) < g(r, s) per ogni (r, s) ∈ [t0 , t1 [ × R, tali
che:
(8.1)
y ′ (t) = f (t, y(t)),
e
z ′ (t) = g(t, z(t)),
∀ t ∈ [t0 , t1 [ .
Se y(t0 ) ≤ z(t0 ), allora y(t) < z(t) per ogni t ∈ ]t0 , t1 [.
D IMOSTRAZIONE . Sia ϕ(t) = z(t) − y(t). Se ϕ(t0 ) = 0. Dal Lemma precedente si
ottiene l’esistenza di δ > 0 tale che ϕ(t) > 0 per ogni t ∈]t0 , t0 + δ[. Allora, se l’enunciato
del teorema non vale, esiste t̄ > t0 tale che
ϕ(t̄) = 0, ϕ(t) > 0 per ogni t ∈]t0 , t̄[.
Fissiamo t ∈]t0 , t̄[. Per il teorema di Lagrange esiste θ ∈]t0 , t̄[ tale che
ϕ(t̄) − ϕ(t) = (t̄ − t)ϕ′ (θ)
Ma ϕ(t̄) − ϕ(t) = ϕ(t) < 0, mentre (t̄ − t) > 0 e ϕ(θ) > 0 a causa della ipotesi (8.1).
Esercizio 8.3. Siano y : [t0 , t1 [→ R una funzione derivabile, ed f : [t0 , t1 [×R → R una
funzione continua tali che
y ′ (t) = f (t, y(t)).
Sia inoltre z : [t0 , t1 [→ R derivabile. Si provi che:
• se z ′ (t) < f (t, z(t)) (si dice che z è una sottosoluzione forte dell’equazione differenziale), e z(t0 ) ≤ y(t0 ), allora z(t) < y(t) in ]t0 , t1 [;
• se z ′ (t) > f (t, z(t)) (si dice che z è una soprasoluzione forte dell’equazione
differenziale), e z(t0 ) ≥ y(t0 ), allora z(t) > y(t) in ]t0 , t1 [;
Esercizio 8.4. Si dimostri un analogo del Teorema 8.2 “a sinistra”. (In altri termini, se
y, z :]t0 , t1 ] → R funzioni derivabili, e f, g :]t0 , t1 ] × R → R funzioni continue tali che
f (r, s) < g(r, s), tali che y ′ (t) = f (t, y(t)), z ′ (t) = g(t, z(t)) in ]t0 , t1 ], se y(t1 ) ≥ z(t1 )
allora y(t) > z(t) in ]t0 , t1 [. Per provare il risultato, ovviamente, servirà anche un analogo
“a sinistra” del Lemma 8.1.)
Si enunci inoltre l’analogo “a sinistra” dell’esercizio 8.3.
12
F. GIANNONI
Infine consideriamo il teorema di confronto per soprasoluzioni e sottosoluzioni deboli
(≡ non forti).
Teorema 8.5. Siano y : [α, β] → R una funzione derivabile, ed f : [α, β], ×R → R una
funzione continua e lipchitiziana in y uniformemente in t in intorno di y([α, β]), tali che
y ′ (t) = f (t, y(t)).
Sia inoltre z : [α, β] → R derivabile e tale che
z ′ (t) ≥ f (t, z(t)) per ogni t ∈ [α, β], z(t0 ) = y(t0 ),
(8.2)
ove t0 ∈]α, β[.
Allora
z(t) ≥ y(t) per ogni t ∈ [t0 , β], z(t) ≤ y(t) per ogni t ∈ [α, t0 ].
Osservazione 8.6. Se z é sottosoluzione in [α, β], ossia
z(t0 ) = y0 , z ′ (t) ≤ f (t, z(t)) per ogni t ∈ [α, β],
si ottiene (riconducendoci al teorema precedente sostituendo t con 2t0 − t):
z(t) ≤ y(t) per ogni t ∈ [t0 , β], z(t) ≥ y(t) per ogni t ∈ [α, t0 ].
D IMOSTRAZIONE T EOREMA 8.5. Conideriamo il caso t ≥ t0 . Fissiamo β ′ ∈]t0 , β[ ed
ϵ > 0 tale che la soluzione del problema di Cauchy
yϵ′ = f (t, yϵ ) − ϵ,
yϵ (t0 ) = y(t0 ),
sia definita in [t0 , β] per ogni ϵ sufficientemente piccolo. Si verifica immediatamente che
questo accade usando ancora una volta il lemma di Gromwall. E sempre utilizzando il
Lemma di Gromwall si verifica che
yϵ → y, uniformemente in [0, β ′ ].
Ma z ′ (t) ≥ f (t, z(t) => f (t, z(t) − ϵ), perció dall’esercizio 8.3 si deduce
z(t) > yϵ (t) per ogni t ∈ [t0 , β ′ ],
e passando al limite in ϵ → 0+ si ha
z(t) ≥ y(t) per ogni t ∈ [t0 , β ′ ].
Finalmente mandando β ′ a β si ottiene la tesi in [t0 , β].
Nel caso t ≤ t0 si rimpiazza t con t0 − t e ci si riconduce al caso precedente.