La relazione tra EPL e Disoccupazione

La relazione tra EPL e Disoccupazione
Appendice statistica dell’“Anti-Blanchard” - Brancaccio (2012)
Domenico Suppa
Università degli Studi di Napoli “Federico II”
13 maggio 2014 - Università del Sannio
Domenico Suppa
La relazione tra EPL e Disoccupazione
OECD Employment Outlook 1999
Domenico Suppa
La relazione tra EPL e Disoccupazione
OECD Employment Outlook 2004
Domenico Suppa
La relazione tra EPL e Disoccupazione
Determinazione degli scarti dalle medie
Domenico Suppa
La relazione tra EPL e Disoccupazione
Calcolo dell’indice di correlazione: ρ =
Domenico Suppa
La relazione tra EPL e Disoccupazione
Sy ,x
Sy Sx
Proprietà dell’indice di correlazione
• ρ(X , Y ) = ρ(Y , X ) : simmetria
• ρ(X , X ) = 1
• −1 ≤ ρ(X , Y ) ≤ 1
• Invarianza rispetto a trasformazioni lineari delle variabili, a meno
del segno.
• ρ assume valore −1 o 1 se tra le variabili esiste una correlazione
perfetta, rispettivamente negativa o positiva.
• Se le variabili sono indipendenti, l’indice di correlazione tra esse è
nullo.
Ma: se ρ = 0, non è detto che le variabili siano indipendenti.
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La relazione tra EPL e Disoccupazione
Interpretazione geometrica di ρ(Y , X )
y
x
∀Y , X ∈ Rn
Domenico Suppa
ρ(Y , X ) = cos(θ )
La relazione tra EPL e Disoccupazione
y i = α + β x i + εi
Regressione lineare semplice:
a, b, ei indicano, rispettivamente, le stime di α, β , εi , ∀i = 1, . . . , N:
Modello stimato
yi = a + bxi + ei
Stima
ŷi = a + bxi
Residui
ei = yi − ŷi
Impieghiamo il metodo dei minimi quadrati per stimare α, β .
N
Risolvendo il problema di minimo
min ∑ ei2
a,b i=1
otteniamo:
q
2
∑i (yi − y )
Sy
∑i (yi − y )(xi − x)
q
=
ρ(x, y ) = ρy ,x
b=
2
Sx
2
∑i (xi − x)
∑i (xi − x)
a = y − bx
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La relazione tra EPL e Disoccupazione
Calcolo dei parametri(a, b), della stima (Ŷ ) e dei residui (e)
√
Sy
4.221, 429
0, 208 = 0, 247
b = ρy ,x = √
Sx
2.992, 857
a = y − bx = 50, 71 − 0, 247(52, 14) = 37, 834
ei = yi − ŷi
ŷi = a + bxi
i
X
Y
Ŷ
e
1
2
3
4
5
6
7
20
30
40
60
65
70
80
35
20
80
90
30
60
40
42.77
45.24
47.71
52.66
53.89
55.13
57.60
-7.77
-25.24
32.29
37.34
-23.89
4.87
-17.60
52.14
50.71
50.71
0
Medie
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100
Rappresentazione grafica della retta di regressione
^ =a + bX
Y
i
i
37.34
80
a= 37.834
32.29
b= 0.247
e4
^
Y
60
e3
e6
4.87
Y
e7
40
e5
e1
−17.6
−7.77
20
e2
−23.89
0
−25.24
0
20
40
60
80
100
X
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La relazione tra EPL e Disoccupazione
Definizione dell’indice di determinazione: R 2
Devianza campionaria
Varianza campionaria
N
N
2
DEV(X ) = ∑ [Xi − E (X )]
i=1
∑ [Xi −E (X )]2
VAR(X ) =
i=1
N −1
Scomposizione della devianza della regressione
DEV(Y ) = DEV(Ŷ ) + DEV(e)
R2 =
DEV(Ŷ )
DEV(e)
ESS
RSS
= 1−
=
= 1−
DEV(Y )
DEV(Y ) TSS
TSS
L’indice R 2 fornisce una misura della bontà di adattamento della retta
di regressione ai dati, indicando quanta parte della variabilità totale di
Y è spiegata dalla stima (Ŷ ) di Y (ottenuta dalla minimizzazione dei
quadrati dei residui della regressione).
Solo nel caso della regressione semplice R 2 = ρ 2 .
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La “BONTÀ” statistica della regressione
Se sono soddisfatte le seguenti ipotesi:
1. la relazione tra Y e X è lineare: Y = β0 + β1 X + ε;
2. X ha almeno due valori distinti ed è nota seza errori;
3. la media condizionata degli errori è zero: E (ε|X ) = 0;.
• Allora: gli stimatori dei minimi quadrati sono non distorti.
4. gli errori sono tra loro incorrelati: ρ(εi , εj ) = 0 ∀i 6= j;
5. la varianza degli errori è costante è finita (omoschedasticità):
σε2i = σ 2 ∀i = 1, . . . , N;
• Allora vale la seguente proprietà finita: gli stimatori dei minimi
quadrati hanno varianza minima tra tutti gli stimatori lineari e non
distorti (sono BLUE: teorema di Gauss-Markov).
6. Gli errori sono tra loro indipendenti e distribuiti identicamente in
modo normale con media zero e varianza costante;
• Allora: gli stimatori dei minimi quadrati hanno varianza minima
(sono i più efficienti) tra tutti gli stimatori possibili, non solo
rispetto a quelli lineari e non distorti.
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Il test sui parametri della regressione lineare (applicazioni)
I
Gli stimatori dei minimi quadrati sono combinazioni lineari delle
variabili casuali εi .
I
Quindi, se gli errori sono tra loro indipendenti, anche se non sono
distribuiti in modo normale, si può applicare il teorema limite
centrale (se la numerosità campionaria è elevata).
I
Le stime risulteranno non distorte, consistenti e asintoticamente
normali.
I
Sotto queste condizioni, lo stimatore standardizzato dei parametri
si distribuisce come una variabile casuale t di Student.
In particolare, l’ipotesi nulla (H0): il parametro β è uguale a zero, può
essere rifiutata se la tc = SbB , calcolata sotto l’ipotesi H0, è in modulo
maggiore del valore teorico t(α/2,N−2) determinato per il livello di
significatività α e in corrispondenza di N − 2 gradi di libertà (sulle
tavole statistiche della v. c. t di Student).
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La relazione tra EPL e Disoccupazione
Individuazione della Regione critica per H0 : β = 0
0.3
0.2
0.1
tc
0.0
Densità della v. c. t di Student
Individuazione della Regione Critica, RC(α=5%), per H0, GDL=5
tc
α 2
α 2
− tα
−3
2−2
−1
0
1
2
tα
23
v. c. t di Student
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La regressione con il foglio elettronico
B
B
Domenico Suppa
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Il test sulla significatività del coefficiente angolare
0.3
0.2
0.1
tc=0.475
0.0
Densità della v. c. t di Student
Collocazione della tc rispetto alla RC(α=5%) per H0, GDL=5
α 2
α 2
− tα
−3
2−2
−1
0
tc
1
2
tα
23
v. c. t di Student
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Il test su β in base al p-value
0.3
tc=0.475
0.1
0.2
p−value=0.654
p−value/2
p−value/2
0.0
Densità della v. c. t di Student
p−value (GDL=5)
−3
−2
−1
− tc 0 tc
1
2
3
v. c. t di Student
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La relazione tra EPL e Disoccupazione
Formule utilizzate nel foglio elettronico
• Correlazione: CORRELAZIONE(Y ;X )
• Regressione: REGR.LIN(Y ;X ;Intercetta={0|1};Info.={0|1})
• Regione critica per {H0 : β = 0}: INV.T(α;GDL)
• p-value: DISTRIB.T( SbB ;GDL;Modo={1|2})
Nello scrivere le ultime due formule è necessario tener conto del fatto
che il test è bidirezionale, per cui, nel caso dell’esempio numerico,
avremo: INV.T(0, 05;5) e DISTRIB.T(0, 475;5;2).
Nota: la funzione INV.T richiede il valore α per restituire il valore t corrispondente ad α/2.
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L’indagine grafica della relazione tra due variabili
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La relazione tra EPL e Disoccupazione
Incorrelazione e indipendenza probabilistica
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La relazione tra EPL e Disoccupazione
Relazione stimata tra Disoccupazione e EPL (dati OCSE)
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I dati OCSE
•
http://stats.oecd.org/
I
Labour
I
Employment Protection
I
I
(Data by theme)
Strictness of employment protection – overall
General Statistics
I
Key Short-Term Economic Indicators
I
Harmonised unemployment rate: all persons, s.a.
• Paesi (27): Australia, Austria, Belgium, Canada, Czech Republic,
Denmark, Finland, France, Germany, Greece, Hungary, Ireland,
Italy, Japan, Korea, Mexico, Netherlands, New Zealand, Norway,
Poland, Portugal, Slovak Republic, Spain, Sweden, Turkey,
United Kingdom, United States.
• Anni (24): 1985 - 2008.
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