Le formule che ti servono

Le formule che ti servono
1 Cariche elettriche e campi elettrici
L’origine dell’elettricità
Esistono due tipi di carica elettrica: positiva e negativa.
Nel SI l’unità di misura della carica elettrica è il coulomb (C).
La carica elettrica di un elettrone o di un protone vale:
e = 1,6021 ⋅ 10–19 C
Oggetti carichi e forza elettrica
Conduttori e isolanti
Legge di Coulomb
forza elettrica che
due cariche elettriche
puntiformi q1 e
q2 esercitano una
sull’altra.
F= k
q1 q2
r2
1
8,99 ⋅ 109 N ⋅ m2/C2 = 4rf
0
8,85 ⋅ 10–12 C2/(N ⋅ m2)
= costante dielettrica del
vuoto
La forza agisce lungo la linea che congiunge le due cariche.
Legge di conservazione della carica elettrica
La carica elettrica totale di un sistema isolato rimane costante durante un processo
Il campo elettrico
F
E= q
0
Cariche uguali si respingono. Cariche opposte si attraggono
Conduttore elettrico
È un materiale che conduce facilmente le cariche elettriche.
Isolante elettrico
campo elettrico
carica di prova
Si misura in newton per coulomb (N/C)
Campo elettrico creato da una carica puntiforme q
E= k
È un materiale che non conduce le cariche elettriche o lo fa
con grande difficoltà.
q
r2
distanza dalla carica
Campo elettrico fra le armature di un condensatore piano
v
E= f
0
Elettrizzazione per contatto e per induzione.
Polarizzazione
carica per unità
di superficie sulle
armature
Carica per contatto
La carica elettrica viene fornita a un oggetto ponendolo a
contatto con un oggetto già carico.
Il teorema di Gauss
Carica per induzione
La carica elettrica viene fornita a un oggetto ponendolo nelle
vicinanze di un oggetto già carico.
Flusso elettrico attraverso una superficie piana
U S ^ E h = E $ A = E cos zA
area della superficie S
angolo che il
campo E forma
col vettore A
Polarizzazione di un isolante
Modifica temporanea della distribuzione della carica elettrica.
Flusso elettrico attraverso una superficie (caso generale)
U S ^ E h = E 1 $ A 1 + E 2 $ A 2 + E 3 $ A 3 + .... = / E k $ A k
k
Teorema di Gauss
Q
U S ^E h = f
0
superficie chiusa
(superficie gaussiana)
2
carica totale contenuta
all’interno di S
Le formule che ti servono
2 Il potenziale elettrico
Energia potenziale in un campo elettrico
La circuitazione del campo elettrico
Lavoro ed energia potenziale elettrica
Circuitazione di un campo vettoriale
lavoro
elettrico
energia
potenziale
elettrico in B
LAB = UA − UB
Energia potenziale elettrica U fra due cariche puntiformi
q1 e q2
U= k
k
curva chiusa
orientata
campo vettoriale
Circuitazione del campo elettrico
C c ^E h = 0
q1 q2
1 q1 q2
r = 4rf 0 r
distanza fra le
cariche q1 e q2
8,99 ⋅ 109 N⋅m2/C2
C c ^Z h = / Z k $ Ds k
campo elettrico
generato da
cariche in quiete
curva chiusa
orientata
Condensatori e dielettrici
Il potenziale elettrico
Condensatore
Potenziale elettrico V in un punto
È un dispositivo, formato da due armature conduttrici vicine,
che immagazzinano carica ed energia.
U
V= q
0
carica di prova posta
nel punto in cui si
valuta V
Differenza di potenziale elettrico fra due punti
q = C ∆V
carica su
ciascuna
armatura
capacità del
condensatore
(misurata in farad)
U
U
L
VB - VA = q B - q A = - qAB
0
0
0
Costante dielettrica relativa 𝛆r di un materiale
Elettronvolt. Unità di misura per l’energia:
1 eV = 1,60 ∙ 10−19 J
intensità del
campo elettrico
senza dielettrico
E
f r = E0
intensità del campo
elettrico con dielettrico
La differenza di potenziale elettrico
di una carica puntiforme
Forza di Coulomb fra due cariche puntiformi all’interno di
un dielettrico
Potenziale elettrico di una carica puntiforme
q
V= kr
differenza di
potenziale fra le
armature
distanza del punto
considerato dalla
carica q
Potenziale elettrico totale: in un dato punto il potenziale
q1 q2
1
F = 4rf f
r 0
r2
costante dielettrica
relativa del materiale
distanza fra le
cariche q1 e q2
Capacità di un condensatore a facce piane e parallele
dovuto a due o più cariche è la somma dei potenziali delle
singole cariche.
C=
distanza fra
le armature
fr f0 A
d
area di ciascuna
armatura
Energia accumulata in un condensatore
Le superfici equipotenziali
e la loro relazione con il campo elettrico
Campo elettrico fra due superfici equipotenziali vicine
DV
E=Ds
distanza fra le
superfici
differenza di
potenziale fra
le superfici
energia =
1
C DV 2
2
Densità di energia
(energia immagazzinata nell’unità di volume)
densità di energia =
1
f f E2
2 r 0
3
Le formule che ti servono
3 La corrente elettrica e i circuiti elettrici
Forza elettromotrice e corrente elettrica
Resistori in parallelo
Corrente elettrica
Dq
i=
Dt
1
1
1
1
RP = R1 + R2 + R3 + f
quantità di carica
che attraversa
la sezione di un
conduttore
intervallo
di tempo
considerato
L’ unità di misura della corrente è l’ampère (A).
resistenza equivalente delle resistenze
R1 , R2 , R3,... in parallelo
Le leggi di Kirchhoff
Legge dei nodi
Le leggi di Ohm
Prima legge di Ohm
DV
i = R oppure
corrente che attraversa
un conduttore a
temperatura costante
∆V = Ri
differenza di
potenziale agli
estremi del
conduttore
resistenza elettrica del
conduttore misurata in
ohm (Ω)
Seconda legge di Ohm
L
R= tA
resistività del
materiale
resistenza di un filo
conduttore di lunghezza L
e sezione A
Resistività e resistenza al variare della temperatura
ρ = ρ0 [1 + α (T − T0)]
R = R0 [1 + α (T − T0)]
ρ e ρ0 = resistività alle temperature T e T0
R e R0 = resistenze alle temperature T e T0
α = coefficiente di temperatura della resistività
La somma delle intensità di
corrente entranti in un nodo
è uguale alla somma delle
intensità di corrente uscenti
dal nodo.
Condensatori in parallelo
Condensatori in serie
CP = C1 + C2 + C3 + ...
1
1
1
1
=
+
+
+f
CS
C1 C2 C3
capacità equivalente
dei condensatori C1 ,
C2 , C3 , ... in serie
capacità equivalente
dei condensatori C1 ,
C2 , C3 , ... in parallelo
I circuiti RC
Carica e scarica di un condensatore in un circuito in corrente
continua con resistenza R e capacità C
Carica di un condensatore
Scarica di un condensatore
t
e - RC h
t
q = q 0 e - RC
carica massima
La potenza elettrica
Potenza dissipata da un resistore
DV
R
τ = RC
differenza di
potenziale fra
due punti
P = i ∆V
carica all’istante iniziale
Costante tempo del circuito
Potenza elettrica associata a un circuito
P = Ri 2 =
In una maglia la somma
algebrica delle differenze di
potenziale è uguale a zero.
Condensatori in parallelo e in serie
q = q 0 ^1 -
corrente che scorre
tra due punti di un
circuito
Legge delle maglie
12 La corrente elettrica nei liquidi
2
Prima legge di Faraday
La massa di una sostanza liberata a un elettrodo è direttamente proporzionale alla carica che ha attraversato la
soluzione.
Resistori in serie
RS = R1 + R2 + R3 + ...
resistenza equivalente delle
resistenze R1 , R2 , R3 , ... in serie
4
Seconda legge di Faraday
Una stessa quantità di carica libera agli elettrodi masse di
sostanze direttamente proporzionali ai loro equivalenti chimici.
Le formule che ti servono
4 Campo magnetico
La forza di Lorentz
Campi magnetici prodotti da correnti
Forza di Lorentz: su una carica elettrica q positiva, in moto
Legge di Biot-Savart: per un filo molto esteso e percorso da
una corrente I, il campo magnetico B a una distanza r dal filo vale
con velocità v in un campo magnetico B , agisce la forza
F = qv # B
B=
Direzione e verso di F possono essere stabiliti dalla prima
regola della mano destra. Ne consegue che
B=
n0 i
2r r
permeabilità magnetica del vuoto = 4π ∙ 10−7 T ∙ m/A
F
qv seni
angolo formato da v
e da B
Il moto circolare di una carica
in un campo magnetico
Una carica q di massa m, in moto con velocità v
perpendicolare a un campo B uniforme, percorre una
traiettoria circolare di raggio
Unità di misura
1 ampere = intensità di corrente elettrica che, scorrendo in
due fili paralleli rettilinei molto lunghi e distanti 1 m, provoca
una forza di 2 ⋅ 10−7 N su un tratto di 1 m di filo.
1 coulomb = quantità di carica elettrica che attraversa in 1 s
la sezione di un filo percorso da una corrente di 1 A.
Spire e solenoidi
Intensità di un campo magnetico al centro di una spira circolare piana
avvolgimenti della spira
mv
r = qB
n0 i
2R
B= N
La forza magnetica su un filo
percorso da corrente
raggio della spira
All’interno di un solenoide
La forza magnetica agente su un filo rettilineo lungo L, percorso da una corrente i e immerso in un campo magnetico B, ha
intensità
F = iLB sen θ
angolo fra la direzione
di i e B .
Direzione e verso di F si determinano con la regola
della mano destra.
numero di spire
N
B = n0 L i
lunghezza del
solenide
Il teorema di Gauss per il campo
magnetico
Flusso del campo magnetico
U S ^B h = / B k $ A k
k
flusso di B
superficie S di area A
Teorema di Gauss
Il momento torcente su una spira
percorsa da corrente
U S ^B h = 0
Su una spira di area A immersa in un campo B agisce
un momento torcente τ tale che
Il teorema di Ampère
τ = iAB sen ϕ
angolo formato da
B e dalla normale
al piano della spira
Circuitazione del campo magnetico
C c ^ B h = / B k $ DA k
k
circuitazione di B
curva chiusa orientata
Momento magnetico
Il momento magnetico di una spira di area A percorsa
dalla corrente i è
n m = iA
Teorema di Ampère
Lungo una curva chiusa γ risulta
C c ^B h = n 0 / i j
curva chiusa
j
corrente
concatenata
con γ
5
Le formule che ti servono
5 Induzione elettromagnetica
La legge dell’induzione elettromagnetica
di Faraday-Neumann
f.e.m. media
indotta nel circuito
considerato
fem = -
DU^ B h
Dt
variazione di flusso
magnetico attraverso
una superficie
delimitata dal
circuito
L’alternatore e la corrente alternata
F.e.m. di un alternatore (spira di area A che ruota con velocità angolare ω in un campo magnetico uniforme B ):
fem = f0 sen ωt = ωAB sen ωt
Corrente in un circuito di soli resistori:
intervallo di tempo in cui
avviene la variazione ∆Φ
i(t) = i0 sen ωt =
f0
sen ωt
R
Valori efficaci per correnti e forza elettromotrice alternata
(con I0 e f0 valori di picco):
valori di picco
Legge di Lenz
Ieff =
La corrente indotta ha un verso tale da generare un campo
magnetico indotto che si oppone alla variazione di flusso
magnetico che l’ha provocata.
I0
2
feff =
f0
2
Potenza media in un circuito in corrente alternata:
P = ieff feff
Mutua induzione e autoinduzione
Circuiti RLC in corrente alternata
Per effetto della mutua induzione, la f.e.m. media fem
indotta nella bobina secondaria da una variazione
di corrente ∆Ip nella bobina primaria nel tempo ∆t vale:
Impedenza: quando un resistore, un condensatore e un
induttore sono connessi in serie si ha
impedenza
mutua induttanza
fra le bobine
fem = - M
feff = ZIeff
Di p
Dt
Z=
Per effetto dell’autoinduzione, la variazione di corrente ∆i
in una bobina induce nella stessa bobina una f.e.m. media
induttanza della
bobina
fem = - L
~L
tg z =
Per un solenoide lungo l, con N avvolgimenti di area A,
valgono le relazioni
energia =
1
B2
2n 0
XL - XC
L
La potenza media dissipata sul resistore vale
P = Ieff feff cosϕ
1 2
Li
2
In ogni punto dello spazio in cui esiste un campo magnetico
B la densità di energia (energia immagazzinata per unità di
volume) è espressa dalla relazione
densità di energia =
1
~C
L’angolo di sfasamento ϕ tra corrente e tensione è tale che
Di
Dt
N2
L = n0 I A
R 2 + ^ X C - X Lh2
Trasformatore
In un trasformatore con Np avvolgimenti nella bobina primaria
e Ns avvolgimenti nella bobina secondaria, le tensioni Vs e Vp
ai capi delle bobine sono tali che
Vs
Ns
Vp = N p
6
}
rapporto di
trasformazione
Le formule che ti servono
6 Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche
Energia e quantità di moto di un’onda
elettromagnetica
Le equazioni di Maxwell
Teorema di Gauss
Densità di energia totale nel vuoto
Q
U S ^E h = f T
0
u=
Legge di Faraday-Neumann-Lenz
1
1
f E2 +
B2
2n 0
2 0
E = cB
Irradiamento S di un’onda elettromagnetica nel vuoto
DU^ B h
C c ^E h = Dt
Teorema di Gauss per il campo magnetico
S = cu
Densità della quantità di moto trasportata da un’ onda
elettromagnetica
U S ^B h = 0
u
P= c
P = f 0 ^E # B h
Teorema di Ampère generalizzato
DU^ E h l
C c ^B h = n 0 b i + f 0
Dt
Un’onda elettromagnetica consiste di campi elettrici e
campi magnetici oscillanti perpendicolari fra loro. L’onda è
trasversale perché i campi sono perpendicolari alla direzione
di propagazione dell’onda. Le onde elettromagnetiche si
propagano nel vuoto alla velocità della luce
1
f0 n0
costante dielettrica
del vuoto
permeabilità
magnetica del vuoto
p = 2u
(superficie assorbente)
(superficie riflettente)
p=
1
u
3
p=
(superficie assorbente)
2
u
3
(superficie riflettente)
L’effetto Doppler
v
f0 = fs b 1 ! crel l
frequenza
osservata
Lo spettro elettromagnetico
se v rel % c
velocità relativa fra
osservatore e sorgente
frequenza emessa
dalla sorgente
c = f λ
frequenza
p = u
Pressione di radiazione dovuta a radiazione diffusa
Le onde elettromagnetiche
c=
Pressione di radiazione dovuta a radiazione incidente
perpendicolarmente
Segno +: sorgente e osservatore in avvicinamento.
lunghezza d’onda
L’insieme delle onde elettromagnetiche formano lo spettro
elettromagnetico.
La luce visibile è compresa tra 380 nm (violetto) e 750 nm
(rosso).
La polarizzazione delle onde
elettromagnetiche
Legge di Malus
S = S 0 cos 2 i
irradiamento medio
della luce che esce
dall’analizzatore
angolo fra
gli assi di
trasmissione
irradiamento medio della
luce polarizzata incidente
sull’analizzatore
7
Le formule che ti servono
7 Relatività
I postulati della relatività ristretta
La quantità di moto relativistica
1. Principio di relatività. Le leggi fisiche sono le stesse in
tutti i sistemi di riferimento inerziali.
2. Principio di invarianza della velocità della luce. La
velocità della luce nel vuoto, misurata in qualsiasi sistema
inerziale, ha sempre lo stesso valore c, indipendentemente
dalla velocità relativa fra la sorgente di luce e l’osservatore.
massa del corpo
p=
mv
1-
quantità di moto
relativistica
v2
c2
velocità della
particella
La relatività della simultaneità
Stabilire la simultaneità o meno di due eventi in punti diversi
dipende dallo stato di moto dell’osservatore.
L’equivalenza tra massa ed energia
Energia e massa sono
La relatività del tempo:
dilatazione temporale
Dt 0
Dt =
1-
v2
c2
=
E=
Dt 0
= cDt 0
1 - b2
velocità relativa tra
l’osservatore che misura ∆t0
e l’osservatore che misura ∆t
1-
energia totale
del corpo
massa del corpo
mc 2
v2
c2
velocità
del corpo
Energia a riposo E0: equivale all’energia totale di un corpo
coefficiente di
dilatazione
fermo
E0 = mc2
Energia cinetica: l’energia totale di un corpo è la somma
della sua energia a riposo e della sua energia cinetica K.
J
K = E - E 0 = mc 2 K
K
KK
L
La relatività delle distanze:
contrazione delle lunghezze
L = L0
lunghezza
contratta
1-
v2
L
= c0
c2
velocità
relativa
v2
1- 2
c
N
- 1O
O
OO
P
Energia totale e quantità di moto
E 2 = p2c2 + m2c4
quantità di moto relativistica
lunghezza
propria
La contrazione si verifica solo lungo la direzione del moto
relativo.
1
La composizione relativistica delle velocità
Per corpi in moto lungo la stessa direzione
v=
Le trasformazioni di Lorentz
Sono le trasformazioni sotto le quali le equazioni dell’elettromagnetismo rimangono invariati nel passare da un sistema di
riferimento a un altro in moto relativo
xl =
x - vt
= c^ x - vt h
1 - b2
y = y ′
z = z ′
tl =
8
vx
c2 = cbt - b x l
c
1 - b2
t-
velocità di un
oggetto rispetto al
sistema
di riferimento S
v1 + v2
v v
1 + 1 22
c
velocità
dell’ oggetto
rispetto al sistema
di riferimento S′
velocità
del sistema S′
rispetto al sistema S
Le formule che ti servono
8 Oltre la fisica classica
La radiazione di corpo nero
e l’ipotesi di Planck
La quantità di moto di un fotone
e l’ effetto Compton
Legge di Stefan-Boltzmann: un corpo nero a temperatura assoluta T irradia in 1 s da 1 m2 di superficie una energia totale
Quantità di moto di un fotone
p=
E = σT 4
costante di Planck
h
m
lunghezza d’onda
del fotone
costante di Stefan-Boltzmann =
= 5,67 ⋅ 10−8 J/(s ⋅ m2 ⋅ K4)
Variazione della lunghezza d’onda nell’effetto Compton
Energie degli oscillatori atomici
Planck ipotizzò che un corpo nero sia costituito da oscillatori
atomici che possono avere solo energie quantizzate espresse
da
E = nhf
differenza fra la lunghezza
d’onda λ′ del fotone diffuso
e la lunghezza d’onda λ del
fotone incidente
lunghezza d’onda Compton
del fotone diffuso
con n = 1, 2, 3, ...
costante di Planck =
= 6,626 068 76 ∙ 10−34 J ∙ s
h
ml - m = mc ^ 1 - cos ih
frequenza di vibrazione
dell’oscillatore
massa
dell’elettrone
angolo
di diffusione
I fotoni e l’effetto fotoelettrico
Il modello di Bohr dell’atomo di idrogeno
Energia di un fotone: la radiazione elettromagnetica è formata da fotoni, che sono pacchetti di energia
Il modello atomico di Bohr vale per atomi o ioni con un solo
elettrone orbitante attorno a un nucleo contenente Z protoni.
L’elettrone percorre orbite circolari dette orbite stazionarie.
costante di Planck
E = hf
energia di un fotone
Emissione di fotoni
frequenza del fotone
Caratteristiche dell’effetto fotoelettrico
∙
∙
Un metallo emette fotoelettroni solo se la frequenza della
luce incidente è superiore a un valore soglia f 0 che dipende
dal metallo.
L’energia cinetica massima dei fotoelettroni espulsi non varia
quando l’intensità della luce aumenta ma rimane costante la
sua frequenza.
frequenza del
fotone emesso
hf = Kmax + W0
energia meno elevata
energia più elevata
Momento angolare orbitale dell’elettrone: il suo modulo può
avere solo i seguenti valori discreti
Ln = n
Conservazione dell’energia ed effetto fotoelettrico:
gli elettroni emessi dal metallo possono avere un’energia cinetica massima Kmax lagata all’energia hf del fotone incidente e
al lavoro di estrazione W0 del metallo:
hf = Ei − Ef
costante di Planck
h
2r
con n = 1, 2, 3, f
Raggio ed energia totale dell’orbita: il raggio rn dell’orbita
n-esima e l’energia totale associata En hanno i seguenti valori
discreti
rn =
En =
n2 f0 h2
= ^ 5, 29 $ 10 - 11 mh n 2
rm e e 2
me e4 1
1
= ^ 5, 29 $ 10 - 11 mh 2
n
8f 20 h 2 n 2
con n = 1, 2, 3, f
con n = 1, 2, 3, f
9
Le formule che ti servono
9 La meccanica quantistica
La lunghezza d’onda di de Broglie
e la natura ondulatoria dei corpi materiali
costante di Planck
h
m= p
modulo della quantità di moto
relativistica della particella
L’atomo di idrogeno secondo
la meccanica quantistica
Numeri quantici: la meccanica quantistica descrive l’atomo
di idrogeno in termini di quattro numeri quantici:
∙ numero quantico principale n (n = 1, 2, 3, ...)
∙ numero quantico azimutale l (l = 0, 1, 2, ..., n – 1)
∙ numero quantico magnetico ml (ml = –l, ..., –2, –1, 0, +1, +2, ..., +l)
∙ numero quantico di spin ms (ms = + 1/2, – 1/2)
Il principio di indeterminazione
di Heisenberg
Il principio di esclusione di Pauli
e la tavola periodica degli elementi
Fissa dei limiti alla possibilità di conoscere il comportamento
di una particella
Principio di esclusione di Pauli: in un atomo due elettroni
h
^ Dp x h^ Dx h $ 4r
indeterminazione
nella componente
x della quantità di
moto della particella
indeterminazione
nella componente x
della posizione di una
particella
Può essere espresso dalla relazione (energia e tempo):
h
^ DE h^ Dt h $ 4r
indeterminazione
nell’energia della
particella
non possono avere lo stesso insieme di valori dei quattro
numeri quantici.
Questo principio determina il modo in cui gli elettroni di un
atomo a più elettroni si distribuiscono in gusci (determinati
da n) e in sottogusci (determinati da l).
I raggi X
Spettro dei raggi X: contiene righe (o picchi) pronunciati,
indeterminazione
nell’intervallo di tempo
sovrapposti a un intervallo continuo di lunghezze d’onda; la
riga Kα corrisponde al salto di un elettrone dal livello n = 2
al livello n = 1; la riga Kβ al salto di un elettrone da n = 3 a
n = 1.
Lunghezza d’onda di taglio
(V = differenza di potenziale ai capi del tubo a raggi X):
hc
m 0 = eV
10