Forze su cariche nei fili: il motore elettrico
~ un tratto di filo (d~`) percorsa da una corrente i è soggetto
In presenza di un campo magnetico B,
~
~ Un tratto rettilineo di filo di lunghezza L subisce quindi una forza
ad una forza F~ = id` ∧ B.
Z L
~ = iL(L̂ ∧ B)
~ ⇒ |F~ | = iLB sin α
~
d~` ∧ B
F =i
0
dove L̂ è il versore diretto lungo la direzione individuata dal filo e di verso corrispondente al verso
in ci scorre la corrente nel filo, e α è l’angolo fra L̂ ed il campo magnetico B.
Si consideri ora una spira quadrata di lato L, percorsa da una corrente elettrica i ed immersa
~ (v.figura: la spira è vista ”di lato”, con la corrente che scorre nel filo
in un campo magnetico B
”davanti” da in alto a sinistra ad in basso a destra (freccia continua), nel filo ”dietro” da in basso
a destra a in alto a sinistra (freccia tratteggiata), mentre nei due fili perpendicolari al foglio la
corrente scorre verso ”fuori” nel filo in alto a sinistra e verso ”dentro” nel filo in basso a destra)
Applicando la formula della forza detta in precedenza, si vede immediatamente che nei due fili
paralleli al foglio la forza è diretta perpendicolarmente al filo (ed al foglio...) e tende solo a deformare
la spira (che si assume indeformaile, e quindi queste forze non hanno effetto). Nei due tratti di filo
perpendicolari al foglio, viceversa, la forza magnetica è diretta sempre perpendicolarmente al filo,
ma in questo caso tende a muovere la spira anzichè a deformarla (v.figura)
1
Le due foze infatti, pur essendo uguali e opposte non giacciono sulla stessa linea di applicazione, e
inducono quindi un momento torcente che farà ruotare la spira. Per calcolare il momento torcente,
si considera che nei due tratti di filo in esame la corrente scorre sempre perpendicolarmente al
campo magnetico (e quindi |F | = iLB) ed i due momenti delle forze, calcolati rispetto al centro
dela spira, si scrivono quindi
~ 1 = ~r1 ∧ F~1 = |r1 ||F | sin θ = L iLB sin θ
M
2
~ 2 = ~r1 ∧ F~2 = |r2 ||F | sin θ = L iLB sin θ
M
2
Entrambi questi momenti torcenti sono diretti, seguendo la regola della mano destra, perpendicolarmente al foglio, in verso uscente. Il momento complessivo è quindi la somma dei due momenti:
~ =M
~1 +M
~ 2 = iL2 B sin θ
M
Definendo il versore n̂ perpendicolare al piano della spira e diretto secondo la regola della mano
destra (le dita della mano destra seguono la corrente, il pollice indica la direzione di n̂), si ha che
~ (in quanto n̂⊥~ri e
l’angolo θ compreso fra ~ri e F~i è uguale all’angolo fra il versore n̂ ed il campo B
2
~ F~ ). Definito il vettore µ
B⊥
~ = iL n̂ si ha allora
~ =µ
~
M
~ ∧B
Il risultato può essere generalizzato ad una spira di forma qualunque: l’unica differenza è che al
posto di L2 , nella definizione di µ
~ , va sostituita l’area della spira S. Questo momento torcente
effettuerà un lavoro (elementare)
dL = |M |dθ = |µ|B sin θdθ = iSBd cos θ
e sviluppa quindi una potenza (meccanica)
W =
dL
d
= iSB cos θ
dt
dt
Per aumentare il valore di questa potenza (ed ottenere quindi un motore in grado di muovere
oggetti anche molto pesanti), si considera, anzichè una spira, un numero N molto grande di spire
avvolte una attorno all’altra. Ciascuna di esse subirà un momento torcente pari a quello scrtto in
precedenza, e quindi complessivamente il motore costituito da N spire svilupperà una potenza
W = iN SB
d
cos θ
dt
Chi fornisce l’ energia necessaria asviluppare questa (grande) energia meccanica? Non certo
il campo magnetico (basta mettere una calamita, che non si ”scarica” man mano che il motore
gira...). Chiaramente, sarà il generatore che fa scorrere la corrente nel circuito a fornire l’energia.
Ma quanta energia fornisce il generatore? Per una resistenza percorsa da corrente (il filo che costituisce la spira ha sempre una resistenza non nulla...) il generatore deve fornire una energia pari
all’energia persa per effetto Joule (ovvero WJ = i2 R) ma questo numero non è in alcun modo
legato all’energia meccanica prodotta dal motore scritta in precedenza (e poi va tutto a finire in
calore sviluppato per effetto Joule, quindi non è utilizzabile per il movimento...). Per capire inche
modo il generatore fornisce l’energia necessaria al movimento, bisogna fare un passo ulteriore. Per
semplicità di calcolo, ci riferiao di nuovo al caso della spira quadrata.
Se la spira, soggetta al momento torcente, comincia a muoversi (v.figura), gli elettroni che si
trovano al suo interno dovranno muoversi con essa, acquistando una componente di velocità nella
direzione del moto del tratto di filo in cui sono contenuti.
A causa di questa nuova componente della velocità (se la spira è ferma ma percorsa da corrente gli
elettroni hanno comunque una componente di velocità, relativa al fatto che la spira è percorsa da
corrente, come discusso in precedenza...), la forza che agisce su di essi avrà una nuova componente,
~ Tale nuova componente è
determinata come in precedenza dalla forza di Lorentz (F~ = q~v ∧ B).
perpendicolare al filo nei due tratti di filo paralleli al foglio (e quindi inefficace) ma nei due tratti
di filo perpendicolari al foglio la nuova forza risulta parallela al filo e quindi tende a muovere gli
elettroni lungo il filo. Se si usa la regola della mano destra, si scopre che tale forza è diretta in
modo opposto alla direzione in cui scorre la corrente (v.figura).
Questa ”nuova” forza agisce da forza elettromotrice del circuito costituito dalla spira. Applicando
la definizione di forza elettromotrice
I ~ ~ I
F · d`
~ · d~`
εi =
= (~v ∧ B)
q
~
Scegliendo come verso di percorrenza della spira quello determinato dalla corrente, si ha che ~v ∧ B
~ non contribuisce
è perpendicolare a d~` nei due tratti paralleli al foglio (e quindi inquei tratti ~v ∧ B
all’integrale) mentre è antiparallela a d` nei due tratti perpendicolari al foglio. In definitiva, (|~v ∧
~ = |~v ||B|
~ sin θ)
B|
~ sin θ
εi = −2L|~v ||B|
Ma |~v | =
ds
dt
=
L/2dθ
dt
=
L dθ
2 dt ,
e quindi
~ sin θ dθ = −L2 |B|
~ d cos θ
εi = −L2 |B|
dt
dt
Nel circuito costituito dal generatore e dalla spira in movimento, quindi, ci sono due forze elettromotrici: la prima è quella determinata dal generatore (ε0 ) mentre la seconda è quella appena
calcolata. Dato che quest’ultima è diretta n modo opposto alla direzione in cui scorre la corrente
in assenza di movimento, il circuito equivalente si può disegnare in questo modo:
Dove la resistenza R è l’inevitabile resistenza del filo che costituisce la spira. La corrente che scorre
nella resistenza (cioè nella spira) vale allora
i=
~ d cos θ
ε0 − L2 |B|
ε0 − |εi |
dt
=
R
R
θ
Man mano che la spira acquista velocità (e quindi aumenta il termine d cos
dt ), la corrente che
scorre nel circuito diminuisce, quindi diminuisce la forza che si esercita sul filo e quindi diminuisce
il momento torcente. Se si vuole mantenere il momento torcente calcolato in precedenza (che
equivale a dire che si vuole mantenere il valore di i pari a quello che si aveva quando la spira non
si muoveva) è qindi necessario che il generatore non fornisca una forza elettromotrice ε0 , ma una
forza elettromotrice
0
2 ~ d cos θ
~ d cos θ ⇒ i = ε − L |B| dt = ε0
ε0 = ε0 + L2 |B|
dt
R
R
in modo da compensare la nuova forza elettromotrice indotta dal moto della spira. Se però questa
è la forza elettromotrice fornita dal generatore, la potenza generata da quest’ultimo sarà
~
WG = ε0 i = ε0 i + iL2 |B|
d cos θ
~ d cos θ
= ε0 i + |µ||B|
dt
dt
Il primo termine è esattamente l’energia che viene dissipata per effetto Joule nella resistenza
2
(ε0 i = ε0 εR0 = ε0
R = i2 R = WJ ), mentre il secondo è esattamente pari alla potenza mecR
canica generata dal motore, calcolata in precedenza.
In conclusione, l’energia necessaria al moto del motore viene fornita dal generatore, che, se si
vuole che il motore funzioni, deve fornire una forza elettromotrice (e quindi una potenza) aggiuntiva
rispetto a quella che serve semplicemente per far scorrere una corrente nella spira.
