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Tubi di Flusso
Fisica Generale B
•! Si chiama tubo di flusso la superficie tubolare che si ottiene
considerando tutte le linee di flusso di un campo vettoriale che
passano per i punti di una linea chiusa l.
l!
•! Non vi è alcun flusso sulla superficie
laterale di un tubo di flusso.
7. Le Equazioni del Campo
Magnetico
•! La relazione tra la superficie di una sezione
obliqua S e la superficie di una sezione normale
! è data da:
http://campus.cib.unibo.it/2478/
Domenico Galli
l
•! L’intersezione di un tubo di flusso con una
superficie determina una sezione obliqua S del tubo si flusso.
!
!
n̂ S
S cos! = "
April 20, 2011
Digitally signed by Domenico Galli
DN: c=IT, o=INFN, ou=Personal Certificate,
l=Bologna, cn=Domenico Galli
Date: 2011.04.20 17:21:28 +02'00'
2!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
Flusso del Campo Magnetico
Flusso del Campo Magnetico (II)
•! Consideriamo una carica puntiforme q in moto con
velocità v.
•! Chiamiamo d! l ed! l " gli elementi di superficie individuati dalle 2
intersezioni del tubo di flusso con ! e chiamiamo n̂l e n̂l ! i versori a
essi normali.
!
!
! B
B
v
!
r ! P !
B
B
•! Come abbiamo visto, le linee di flusso di B sono
circonferenze concentriche aventi il centro sulla
direzione del vettore velocità della carica.
!
•! Consideriamo una superficie chiusa !, e su di essa una linea chiusa l.
!
Bl
•! Costruiamo un tubo di flusso sulla linea l.
•! Il tubo di flusso così costruito interseca
la superficie ! anche lungo una seconda
linea chiusa l".
l
q
!
v
nˆl
nˆl !
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
!
•! Poiché le linee di campo sono circonferenze concentriche
!
!
rispetto alla direzione del vettore velocità v della
Bl
carica, si ha:
d! l
! l = ! l"
! !
Bl !
l!
!
•! Siano infine Bl e Bl ! i vettori campo magnetico sulle
2 intersezioni.
l
d# l cos$ = d# l " cos$ "
q
d! l "
!
v
!
!
nˆl
d! l
! !
Bl !
l!
nˆl !
3!
n̂
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
d! l "
4!
Flusso del Campo Magnetico (III)
!
Flusso del Campo Magnetico (IV)
!
•! Inoltre Bl = Bl ! , in quanto gli elementi di superficie d! l e d! l "
hanno la stessa distanza dalla carica q (la linea di flusso è una
circonferenza). Si ha perciò:
d! l cos" = d! l # cos" # $&
!
!
!
!
% ( Bl d! l cos" = Bl # d! l # cos" #
Bl = Bl #
'&
!
!
!
!
) Bl i n̂l d! l = Bl # i n̂l # d! l # ( d* d! B = )d* d! B
l
( )
l#
( )
•! Ripetendo lo stesso ragionamento con differenti
piccole linee chiuse l, è possibile ricoprire l’intera
superficie ! e concludere che deve essere nullo
il flusso attraverso l’ intera superficie chiusa !.
q
!
Bl
l
!
v
•! Possiamo quindi concludere che è sempre nullo il flusso del campo
magnetico attraverso una superficie chiusa ! (legge di Gauss per il
campo magnetico, forma integrale).
!
!
!" B = "
Bi
## n̂ dS = 0
( )
!
!
! B
B
v
!
r ! P !
B
B
nˆl
•! Utilizzando il teorema della divergenza, si ha:
!
$
"
"!" Bi n̂ dS = 0
&
! !
!
% (
#i B dV &
"
"!" Bi n̂ dS = """
V
'
d! l
! !
Bl !
l!
nˆl !
5!
Bl
l
"
q
!
v
!
v
! !
Bl !
l!
d! l "
6!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
•! Consideriamo un filo rettilineo indefinito percorso da corrente e
consideriamo la circuitazione lungo una circonferenza di raggio R
giacente in un piano perpendicolare al filo e avente il centro sul filo
stesso.
•! Confrontando le leggi di Gauss per il campo elettrico e per il campo
magnetico, è evidente che non esiste la “carica magnetica”, ovvero
non esiste una grandezza che ha per il campo magnetico la stessa
funzione che la carica elettrica ha per il campo elettrico: !
( )
l
d! l
•! Vogliamo ora trovare la circuitazione del campo magnetico lungo una
curva chiusa l in presenza di carica elettrica in movimento.
(legge di Gauss per il campo magnetico, forma locale)
( )
V
nˆl
Circuitazione del Campo Magnetico
•! Poiché l’uguaglianza deve valere per un volume arbitrario:
!
!
Q
E ="
#"# E i n̂ dS = $
0
!
!
B ="
## Bi n̂ dS = 0
! !
nˆl !
Flusso del Campo Magnetico (V)
%
''! "
&
'! "
'(
!
Bl
""" # i B dV = 0
q
d! l "
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! !
!i B = 0
"
nˆl
•! Per quanto abbiamo visto, il campo magnetico è tangente alla
z
circonferenza e ha modulo costante (legge di Biot
e Savart) :
d! l
!
µi
B = 0
2! R
! !
Bl !
l!
nˆl !
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d! l "
x
7!
!
! B
dl
!
r !
B P
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!
B
y
!
B
8!
Circuitazione del Campo Magnetico (II)
Circuitazione del Campo Magnetico (III)
•! La circuitazione del campo magnetico lungo la circonferenza vale
perciò:
! !
!
!
"! Bid l = "! B dl = B
l
l
•! Nel caso di un filo indefinito percorso da
corrente l’espressione:
l i
!
µi
"!l dl = B 2" R = 2"0R 2" R = µ0i
! !
!
Bid
"! l = µ0 !! ! i n̂ dS
l
è corretta.
dove, più in generale, i è l’intensità della corrente “concatenata” con
la linea l.
•! Potremo anche scrivere:
!l
! !
!
"! Bid l = µ0i = µ0 !! ! i n̂ dS
l
•! Infatti, come si vede dalle figure, per qualsiasi
superficie !l che ha per bordo l, l’intensità
totale della corrente che attraversa la
superficie è la medesima.
i
l = !" l
"l
"l
9!
Circuitazione del Campo Magnetico (IV)
!l
! l$
•! Dunque l’espressione:
l
"l
$
&
&
S
S d !V
S d "E
dE
dQ
&
Q = C!V = # 0 !V % ( i =
= #0
= #0
= #0S
dt
"
" dt
" dt
dt
&
dQ
&
i=
!
&
dt
'
E
!l
non può essere vera per entrambe le superfici.
"!l
l
!V
"
( )
( )
i
i
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
10!
•! Avremo:
i
! !
!
Bid
"! l = µ0 !! ! i n̂ dS
i
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E=
l
!l
•! Osserviamo tuttavia, che quando nel filo scorre corrente, si
accumula carica elettrica sulle armature del condensatore e di
conseguenza aumenta il campo elettrico all’interno del
condensatore.
•! Come si vede nelle due figure, le due superfici !l e !"l hanno entrambe
per bordo la linea l, ma soltanto la prima interseca il filo:
!
µ0 "" ! i n̂ dS = 0
i
Circuitazione del Campo Magnetico (V)
•! Tuttavia sorgono dei problemi se si introduce, lungo il filo, un
condensatore e si fa passare lungo il filo una corrente variabile nel
tempo.
!
µ0 "" ! i n̂ dS # 0
!l
l = !" l
dove !l è una qualunque superficie aperta avente la circonferenza l
come bordo, perché, se la corrente i è concatenata con l, essa deve
attraversare !l.
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l = !" l
11!
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i
12!
Circuitazione del Campo Magnetico (VI)
Circuitazione del Campo Magnetico (VII)
•! L’espressione:
( condensatore)
dE
( filo)
= !0S
i
is = ! 0 S
dt
mette in relazione l’intensità di corrente nel filo con la variazione
nel tempo del campo elettrico nel condensatore.
•! Possiamo anche immaginare che nel condensatore scorra una
“corrente virtuale” (che non consiste in un moto di cariche
elettriche):
dE
is = ! 0 S
dt
= is
!
E
is
i
is = ! 0
i
i
13!
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!
!
l
0 0
!
d
E i n̂ dS
!!
dt "
l
!l è una qualunque superficie aperta avente la
curva l come bordo:
.
( )
! "l = l
l
"l
0 0
!
d
E i n̂ dS
!!
dt "
l
–! Se si utilizza la superficie della prima figura il secondo termine è nullo
mentre non è nullo il primo;
–! Se si utilizza la superficie della seconda figura il
primo termine è nullo ma non è nullo il secondo.
!l
l
i
(legge di Ampère-Maxwell – forma integrale).
•!
!
0
•! In questo modo:
!
"l
!
"! Bid l = µ !! ! i n̂ dS + µ #
)
"! Bid l = µ !! ! i n̂ dS + µ #
0
14!
Circuitazione del Campo Magnetico (IX)
•! Il problema di inconsistenza che abbiamo prima trovato, si risolve
considerando, oltre alla corrente, anche la corrente di spostamento:
!
i
dove la superficie piana S è stata sostituita con una superficie
arbitraria !l avente n̂ come normale.
•! Torniamo ora alla circuitazione del campo magnetico.
(
"!l
l
!
d
E i n̂dS
##
dt "
l
Circuitazione del Campo Magnetico (VIII)
l
i
si riferisce al campo elettrico uniforme presente in un condensatore
a facce piane e parallele.
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! !
"! Bid l = µ0 i + is
i
dE
dt
•! Più in generale, potremo scrivere la corrente di spostamento nella
forma:
i
detta corrente di spostamento. Avremo così:
( filo)
( condensatore)
i
!
E
•! L’espressione:
•! Inoltre, poiché:
( filo) ( condensatore)
"!l
l
i
i
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i
"!l
l
= is
il risultato è il medesimo utilizzando le due
superfici.
15!
!l
l
i
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16!
L’Operatore Rotore
•! Consideriamo una funzione vettoriale della posizione P (campo
vettoriale):
(
)
(
)
(
•! Si definisce l’operatore “rotore” come:
)
! ! $ #
#
#'
+ !ˆ + k̂ ) " Fx ı̂ + Fy !ˆ + Fz k̂
! " F = & ı̂
#y
#z (
% #x
(
(
"
"
& P !! 3 "F"
#
F
P !V
(
" "
" "
'
$% F
3
# $ % F P !V
() P !! """
(
(
)
2
)
1
! !
!
! " F = rot F == det
!ˆ
(
k̂
#
#x
#
#y
#
#z
Fx
Fy
Fz
)
)
( )
(
)
1
=
(
2
2
0
1
1
Campo vettoriale
2
!
!
#$ F
k̂
%
%z
Fx
Fy
Fz
ı̂
!ˆ
k̂
%
%x
%
%y
%
%z
!2 y
2x
2z
= det
( )
17!
Significato Fisico del Rotore
(
)
=
( )
( )
(
)
18!
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Significato Fisico del Rotore (II)
•! Cerchiamo di capire intuitivamente il significato dell’operatore
rotore:
ı̂
!ˆ
k̂
% #F #Fy (
% #Fy #F (
! !
% #F #F (
#
#
#
=' z $
$ x * k̂
! " F = det
ı̂ + ' x $ z * !ˆ + '
*
#x #y #z
#z )
#x )
#y )
& #z
& #y
& #x
Fx Fy Fz
•! Consideriamo la circuitazione (ovvero l’integrale lungo una linea
chiusa) in un piano perpendicolare all’asse z. Prendiamo, come linea
chiusa, un rettangolo infinitesimo e consideriamo
z y
y0 + !y
0
l’integrale:
y
x0
A
!
F
!x"0
!y"0 #
B
!ˆ
%
%y
& % 2z
& % !2 y
& % 2x
% 2x )
% 2z )
% !2 y )
=(
!
!
!
+ ı̂ + (
+ !ˆ + (
+ k̂ = 4 k̂ "V
%y
%z
%z
%x
%x
%y +*
('
('
*+
'(
*+
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x0 + !x
x
)( x, y, z ) = det
ı̂
%
%x
( )
% #F #Fy (
% #Fy #F (
% #Fx #Fz (
ˆ
$
$ x * k̂
=' z $
!
+
* ı̂ + '
'
#z )
#x *)
#y )
& #z
& #y
& #x
! ""!
I = lim #
$ F i dP
)( )
Esempio :
!
F x, y, z = !2 yı̂ + 2x !ˆ + 2zk̂ "V
0
ı̂
!
"
"
"
+ !ˆ + k̂
! = ı̂
"y
"z
"x
•! L’operatore rotore si applica a un campo vettoriale; il risultato è un
altro campo vettoriale:
! !
!
F = F P = F x, y, z = Fx x, y, z ı̂ + Fy x, y, z !ˆ + Fz x, y, z k̂
( )
L’Operatore Rotore (II)
!
"
"
"
+ !ˆ + k̂
! = ı̂
"y
"z
"x
!y
•! La linea ! in figura si può descrivere come:
! = AB " BC " CD " DA
{( x, y, z ) #! ; x # %& x , x + $x '( , y = y , z = z }
BC = {( x, y, z ) #! ; x = x + $x, y # %& y , y + $y '( , z = z }
CD = {( x, y, z ) #! ; x # %& x , x + $x '( , y = y + $y, z = z }
DA = {( x, y, z ) #! ; x = x , y # %& y , y + $y '( , z = z }
AB =
3
0
0
0
0
3
0
0
0
0
3
0
0
0
0
3
0
0
0
0
z
x0
D
!!"
dP
y0
y0 + !y
y
D
!x
!x
x0 + !x
x
C
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A
19!
B
!y
C
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20!
Significato Fisico del Rotore (III)
Significato Fisico del Rotore (IV)
•! Abbiamo quindi:
ı̂ dx
!ˆ dy
( ı̂ dx
( !ˆ dy ,
)
$
$
$
$
! ""!
% ! ""!
% ! ""!
% ! ""! .
+ % ! ""!
F
i
dP
F
i
dP
I = lim #
=
lim
+
F
i
dP
+
F
i
dP
+
F
i
dP
'
'
'
'
.=
!x"0 $
!x"0 + &
&
&
&
!y"0 #
!y"0 +
.# ( B,C )
# (C , D )
# ( D, A)
* # ( A, B)
)
,
= lim + $ Fx dx + $ Fy d y ( $ Fx dx ( $ Fy d y . =
!x"0 +
.
# ( B,C )
# ( D,C )
# ( A, D )
!y"0 * # ( A, B )
-
= lim [
$
!x"0
!y"0 x/)* x0 ,x0 + !x ,y = y0
z = z0
Fx dx +
$
x = x0 + !x
y/)* y0 , y0 + !y ,z = z0
$
Fy d y (
x/)* x0 ,x0 + !x ,y = y0 + !y
z = z0
A
x0
)
"
)
Fy d y]
y0
B
y0 + !y
y
D
(
)
(
per cui si ha:
(
"
! D,C
)
"
Fx dx =
x)%& x0 ,x0 + #x '(
y = y0 + #y
z = z0
(
(
x0 + #x
) "
(
x0
)
x0 + #x
)
(
% x$x
0
+O *
*
2
&
( )
2
x0 + )x
(
) "
(
)
x0
&
$ x0 + )x
dx + O * " x # x0 dx + =
+'
*% x0
(
x0 + )x
(
"
! B,C
2
x + )x
&0
+
+
' x0
=
z
x
2
x0 + !x
x0
A
y0
y0 + !y
D
C
B
(
)
)
Fy dx =
"
% Fy x0 + #x, y0 , z0 + O y $ y0 ' d y =
&
(
x = x0 + #x
y)%& y0 , y0 + #y '(
z = z0
(
z
B
x0
(
)
y0 + #y
(
) "
(
)
= Fy x0 + #x, y0 , z0
=
x
x0 + !x
)
)
y0
x + #x
= Fx x0 , y0 + #y, z0 #x + O #x 2
(
$ x#x
0
+O *
*
2
%
( )
)
per cui si ha:
'0
+
+
( x0
)
22!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
(
)
)
)
Fy x0 + !x, y, z0 = Fy x0 + !x, y0 , z0 + O y " y0
x # x0
)
(
(
•! Nel tratto BC possiamo scrivere Fy utilizzando la formula di Taylor:
'
% x0 + #x
dx + O * " x $ x0 dx + =
+(
*& x0
= Fx x0 , y0 + #y, z0 %& x '( x
0
(
per
)
x " x0
per
Significato Fisico del Rotore (VI)
% Fx x0 , y0 + #y, z0 + O x $ x0 ' dx =
&
(
= Fx x0 , y0 + #y, z0
(
)
)
(
)
$ Fx x0 , y0 , z0 + O x # x0 & dx =
%
'
(
•! Nel tratto CD possiamo scrivere Fx utilizzando la formula di Taylor:
)
x($% x0 ,x0 + )x &'
y = y0
z = z0
= Fx x0 , y0 , z0 )x + O )x
Significato Fisico del Rotore (V)
(
"
Fx dx =
21!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
Fx x, y0 + !y, z0 = Fx x0 , y0 + !y, z0 + O x " x0
(
= Fx x0 , y0 , z0 $% x &' x
0
C
!y
)
= Fx x0 , y0 , z0
!x
x0 + !x
x
(
per cui si ha:
(
x = x0
y/)* y0 , y0 + !y ,z = z0
z
(
Fx x, y0 , z0 = Fx x0 , y0 , z0 + O x ! x0
! A, B
$
Fx dx (
•! Nel tratto AB possiamo scrivere Fx utilizzando la formula di Taylor:
A
y0
y0 + !y
D
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
23!
(
y # y0
)
(
y0 + #y
= Fy x0 + #x, y0 , z0 %& y '( y
0
(
per
'
% y0 + #y
d y + O * " y $ y0 dx + =
+(
*& y0
(
% y$ y
0
+O *
*
2
&
( )
= Fy x0 + #x, y0 , z0 #y + O #y
C
)
)
)
2
y + #y
'0
+
+
( y0
=
z
x0
A
y0
y
y0 + !y
D
2
x0 + !x
B
C
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
24!
Significato Fisico del Rotore (VII)
Significato Fisico del Rotore (VIII)
•! Nel tratto DA possiamo scrivere Fy utilizzando la formula di Taylor:
(
)
(
)
(
Fy x0 , y, z0 = Fy x0 , y0 , z0 + O y ! y0
)
per
•! Avremo quindi:
&
)
I = lim ( $ Fx dx + $ Fy d y % $ Fx dx % $ Fy d y + !
!x"0 (
+
# ( B,C )
# ( D,C )
# ( A, D )
!y"0 ' # ( A, B )
*
! lim &' Fx x0 , y0 , z0 !x + Fy x0 + !x, y0 , z0 !y +
!x"0
y " y0
per cui si ha:
(
"
! A, D
)
Fy dx =
"
x = x0 + (x
y)$% y0 , y0 + (y &'
z = z0
(
= Fy x0 , y0 , z0
(
(
)
)
!y"0
y0 + (y
) "
y0
)
(
y0 + (y
(
$ y# y
0
+O *
*
2
%
)
)
2
( )
)
= Fy x0 , y0 , z0 (y + O (y 2
=
z
x0
x0 + !x
y0
A
y
!y"0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
!y"0
(
(
)
)
)
z
(
(
x
B
(
(
)
25!
(
z
)
A
x0
y0
y0 + !y
y
D
B
C
!y
26!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
•! La componente z del rotore di una funzione vettoriale è uguale alla
circuitazione della funzione lungo una linea chiusa infinitesima
giacente su di un piano perpendicolare all’asse z, divisa per l’area
del circuito:
'
""!
""! *
!
)
z
A
!y
)
!x
!
(! " F )
)
)
)
)
Significato Fisico del Rotore (X)
(
% $F
(
$Fy
I = lim ' # x x0 , y0 , z0 !y!x +
x0 , y0 , z0 !x!y * =
!x"0
$x
*)
!y"0 '
& $y
% $Fy
(
$F
x0
x0 , y0 , z0 # x x0 , y0 , z0 * dx dy =
='
$y
'& $x
*)
! !
= + , F dx dy
x0 + !x
(
(
x0 + !x
x
(
)
I = lim $% Fx x0 , y0 , z0 # Fx x0 , y0 + !y, z0 &' !x + lim $% Fy x0 + !x, y0 , z0 # Fy x0 , y0 , z0 &' !y
!x"0
!x"0
•! Da cui:
)
)
C
B
% !F
Fx x0 , y0 + "y, z0 $ Fx x0 , y0 , z0
' x x0 , y0 , z0 = lim
"y#0
' !y
"y
&
Fy x0 + "x, y0 , z0 $ Fy x0 , y0 , z0
' !Fy
lim
' !x x0 , y0 , z0 = "x#0
"x
(
)
(
D
•! Ricordando ora la definizione di derivata parziale, si ha:
(
(
!y"0
Significato Fisico del Rotore (IX)
)
)
+ lim &' Fy x0 + !x, y0 , z0 % Fy x0 , y0 , z0 )* !y
!x"0
y0 + !y
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
(
(
!y"0
y + (y
&0
+
+
' y0
(
% Fx x0 , y0 + !y, z0 !x % Fy x0 , y0 , z0 !y )* =
= lim &' Fx x0 , y0 , z0 % Fx x0 , y0 + !y, z0 )* !x +
!x"0
&
$ y0 + (y
d y + O * " y # y0 dx + =
*% y0
'+
= Fy x0 , y0 , z0 $% y &' y
0
(
(
$ Fy x0 , y0 , z0 + O y # y0 & d y =
%
'
z
*
' 1
!
!
) 1
=
lim
F
i
dP
F
i dP ,
= lim )
,
&
#
&
#x$0 #x #y #
Axy $0 ) A
,
,+
%
#y$0 )
(
+
( xy % ( Axy )
•! Abbiamo dimostrato questo risultato riferendoci a un circuito
rettangolare:
–! Il risultato vale per un percorso infinitesimo di forma arbitraria,
giacente su di un piano (circolare, triangolare, ecc.).
y0
z
y0 + !y
y
D
x0
A
y0
!x
y
Axy
!x
x0 + !x
x
C
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
z
y0 + !y
y
D
27!
B
!y
C
( )
! Axy
x
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
28!
Significato Fisico del Rotore (XI)
Significato Fisico del Rotore (XI)
•! Ragionando allo stesso modo si trova che:
•! Ragionando ancora allo stesso modo, considerando la circuitazione di
una funzione vettoriale lungo una linea chiusa infinitesima ! giacente
su di un piano non parallelo agli assi, si trova:
–! La componente x del rotore di una funzione vettoriale è uguale alla
circuitazione della funzione lungo una linea chiusa infinitesima giacente
su di un piano perpendicolare all’asse x, divisa per l’area del circuito:
–! La componente y del rotore di una funzione vettoriale è uguale alla
circuitazione della funzione lungo una linea chiusa infinitesima giacente
su di un piano perpendicolare all’asse y, divisa per l’area del circuito:
z
(
(
! !
!" F
! !
!" F
)
)
x
y
'
' 1
! ""! *
! ""! *
) 1
=
lim
F
i
dP
F
= lim )
,
&
#& i dP ,,
#y$0 #y #z #
Ayz $0 ) A
,
%
yz
#z$0 )
+
(
% ( Ayz )
+
(
'
*
"
"
!
"
"
!
*
' 1
!
!
1
F i dP , = lim )
F i dP ,
= lim )
#
&
#
&
#x$0 #x #z
,
,+ Axz $0 )( Axz % ( Axz )
%
#z$0 )
(
+
Ayz
(
( )
! Ayz
y
x
z
& 1
! !
! " F i n̂ = lim (
A# $0 A
(' #
)
#
! ""! )
F
#% i dP ++
#
*
!
29!
)
( )
( )
( )
= n̂i ı̂ v x + n̂i !ˆ v y + n̂i k̂ v z =
= axv x + a yv y + azv z
•! Per quanto riguarda le circuitazioni, consideriamo la circuitazione di
una funzione vettoriale lungo la linea chiusa triangolare infinitesima
!!(ABC), rossa in figura.
#
!
(
•! La circuitazione si può scrivere come la
somma di 3 circuitazioni lungo le linee
chiuse infinitesime !1!(BCO), !2!(CAO)
e !3!(ABO) giacenti su 3 piani paralleli
agli assi:
n̂
#
30!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
Significato Fisico del Rotore (XIII)
•! Può apparire singolare che le circuitazioni, normalizzate all’area, di
funzioni vettoriali lungo linee piane chiuse infinitesimali si
comportino come componenti di vettori;
!
v i n̂ = v x ı̂ + v y !ˆ + v z k̂ i n̂ =
"
$
Significato Fisico del Rotore (XII)
•! Per un generico vettore v , la componente
nella direzione del versore n̂ si può
scrivere come:
A!
y
( )
! Axz
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
&
n̂
Axz
x
•! Per comprendere come possa avvenire,
consideriamo il piano ABC rappresentato
in figura, e il versore n̂ a esso normale;
dove n̂ è la normale al piano su cui giace
la linea chiusa infinitesima ! e A! è l’area
racchiusa dalla linea ! sul piano
considerato.
"
' !
"
%
ovvero come combinazione lineare
!
delle 3 componenti cartesiane.
$
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
! ""!
! ""!
! ""!
! ""!
F
i
dP
=
F
i
dP
+
F
i
dP
+
F
#"
#"
#"
#" i dP
!
!1
!2
!3
in quanto, in tale somma, gli integrali
sui lati OA, OB e OC si cancellano tra
loro (essendo percorsi in verso
opposto).
!
31!
&
#
n̂
#
"
' !
"
%
$
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
32!
Significato Fisico del Rotore (XIV)
Significato Fisico del Rotore (XV)
•! Dalle espressioni:
(
! !
!" F
)
x
& 1
= lim (
A# $0 A
(' # 1
1
! ""! )
#% F i dP ++ ,
#1
*
(
! !
!" F
)
y
& 1
= lim (
A# $0 A
(' # 2
2
! ""! )
#% F i dP ++ ,
#2
*
(
! !
!" F
)
z
& 1
= lim (
A# $0 A
(' # 3
3
! ""! )
#% F i dP ++
#3
*
avremo pertanto:
!
&
!
&
! ""! )
,
! ""!
•! Campo vettoriale
con rotore nullo:
!
F x, y = x ı̂ + y !ˆ
( )
'
A# $0
*
# #
(
'
#
- #1
#2
#3
& 1
! !
! !
! !
= lim (
A# ! " F + A# ! " F + A# ! " F
1
2
3
x
y
A# $0 A
(' #
A# ! !
A# ! !
A# ! !
= 1 !" F + 2 !" F + 3 !" F =
x
y
z
A#
A#
A#
! !
! !
! !
= ax ! " F + a y ! " F + az ! " F
(
(
(
)
)
)
x
(
(
(
)
)
)
y
(
(
(
) )++ =
)
z
0*
0
#
&
*
1
)
)
n̂
#
z
!
"
"
2
$
33!
Significato Fisico del Rotore (XVI)
( )
1
0
1
2
! ! % #F #Fy ( % #F #F (
% #Fy #F (
!
% #0 #y ( % #x #0 (
% #y #x (
x
$ z * !ˆ + '
$ x * k̂ = ' $ * ı̂ + ' $ * !ˆ + ' $ * k̂ = 0
!" F =' z $
* ı̂ + '
#z
#x
#y
#y
#y
#z
#z
#x
#x
#y
#z
#x
&
)
&
)
&
)
)
&
) &
&
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
!
F x, y = y ı̂ ! x !ˆ
2
%
' !
come atteso.
•! Campo vettoriale
con rotore non–nullo:
1
! ""! / )
! ""!
(! " F ) i n̂ = lim (( A1 #% F i dP ++ = lim (( A1 .. #% F i dP + #% F i dP + #% F i dP11 ++ =
A# $0
2
34!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
Significato Fisico del Rotore (XVII)
•! Campo vettoriale
con rotore non–nullo:
2
!
F x, y = !x 2 !ˆ
( )
1
2
1
0
0
1
1
2
2
2
( )
1
0
1
( )
2
2
% #0 # $x ( % #y #0 (
% # $x #y (
! ! % #F #Fy ( % #F #F (
% #Fy #F (
x
$ z * !ˆ + '
$ x * k̂ = ' $
$ * k̂ = $2 k̂
!" F =' z $
* ı̂ + ' $ * !ˆ + '
* ı̂ + '
#x
#y )
#y
#y
#z
#z
#x
#x
#y
#z
#z
&
)
&
)
&
)
&
)
&
)
& #x
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
35!
( )
1
0
( )
1
2
% #0 # $x 2 ( % #0 #0 (
% # $x 2
! ! % #F #Fy ( % #F #F (
% #Fy #F (
#0 (
x
$ z * !ˆ + '
$ x * k̂ = ' $
$ * k̂ = $2x k̂
!" F =' z $
* ı̂ + ' $ * !ˆ + '
* ı̂ + '
'
*
'
#x
#y *)
#y
#z
#y
#z
#z
#x
#x
#y
#z
#x
&
)
&
)
&
)
&
)
&
)
&
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
36!
Teorema di Stokes
Teorema di Stokes (II)
•! Per comprendere il significato
del Teorema di Stokes:
""!
•! Il flusso del rotore di un campo vettoriale, attraverso una
superficie aperta !, è uguale alla circuitazione del campo vettoriale
lungo il bordo ! = !! di tale superficie:
$$ (
#
! !
! ""!
! " F i n̂ d# = #
F
$ idP
)
!
#
(Teorema di Stokes)
•! Per ogni rettangolino si ha, per
quanto abbiamo visto:
–! L’integrale al I membro è un integrale
di superficie;
!
i
per cui si ha:
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
$i
38!
!
!
!
! " !U = 0
( )
•! Infatti:
! $ #U
!
!
#U
#U
! " !U = ! " &
!ˆ +
ı̂ +
#z
#y
% #x
( )
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
'
k̂ ) = det
(
ı̂
!ˆ
k̂
#
#x
#
#y
#
#z
#U
#x
#U
#y
#U
#z
=
$ # #U # #U '
$ # #U # #U '
*
*
=&
!ˆ +
ı̂ + &
)
% #y #z #z #y (
% #z #x #x #z )(
!
$ # #U # #U '
*
+&
k̂ = 0
)
% #x #y #y #x (
! !
! !
= # $ F i n̂1 d%1 + # $ F i n̂2 d% 2 + $
! !
= "" # $ F i n̂ d%
)
*
•! Il rotore di un gradiente è sempre nullo:
I 2 contributi si
cancellano tra loro
! ""!
F
i
dP
=
F
i
dP
+
F
#"
#"
#" i dP + $ =
(
i $i
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
•! Si ha pertanto:
! ""!
! ""!
%
!
'
Proprietà del Rotore
–! In quanto, nella somma, i
contributi all’integrale lungo
le linee interne si cancellano
a 2 a 2 (essendo esse
percorse in verso opposto
in ogni coppia di rettangolini
adiacenti).
(
!
Ai #0
! ""!
1
F
i n̂i =
% i dP
d# i #
$i
! ""!
i n̂i d# i = #
% F i dP
37!
Teorema di Stokes (III)
)
!
(! " F )
•! In altri contesti " indica una derivata parziale.
(
!
(! " F )
–! Il simbolo ! in questo caso indica
il bordo:
•! La circuitazione sulla linea chiusa " si può scrivere
come la somma delle circuitazioni sulle
linee chiuse "1, "2,… :
! ""! )
&
!
(! " F ) i n̂ = lim (( A1 #% F i dP ++
–! L’integrale al II membro è un
integrale di linea;
!2
%#
d!1 , d! 2 , d! 3 ,…
%#
!1
!
immaginiamo di suddividere la superficie ! in tanti rettangolini di
dimensione infinitesima:
•! Nota Bene:
!
!
$$ (! " F ) i n̂ d# = #$ F idP
#
39!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
40!
Rotore del Campo Magnetico
Legge di Ampère-Maxwell ed Equazione di
! !
!
d
!
Continuità
"! Bid l = µ !! ! i n̂ dS + µ # dt !! E i n̂ dS
0
l
•! La legge di Ampère-Maxwell si può scrivere anche in forma locale.
Utilizzando il teorema di Stokes:
! !
B
"! i d l =
l
!! (
$l
! !
" # B i n̂ dS
)
!
#l
!
0
l
si ha (se !l è in quiete):
$$ (
!
"! Bid l = µ !! ! i n̂ dS + µ #
"l
0 0
!
d
E i n̂ dS
dt !!
"
l
•! Consideriamo la legge di Ampère-Maxwell in forma integrale e
prendiamo una linea chiusa l talmente piccola da potere essere
considerata un punto.
•! In questo modo la superficie !l può essere considerata una
superficie chiusa !. Si ha perciò:
)
!
! !
! !
d
! !
B
r
,t
id
l
= µ0 !! ! r ,t i n̂ d" + µ0# 0 !! E r ,t i n̂ d"
"!
dt "
l
"
( )
#l
•! Considerando poi l’arbitrarietà della
superficie !l si ha:
( )
( )
l
l
! !
d
! !
0 = µ0 #
!! ! r ,t i n̂ d" + µ0 # 0 dt #
!! E r ,t i n̂ d"
"
"
( )
!
! !
$E
!
! " B = µ0 ! + µ0# 0
$t
! !
"
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
41!
Legge di Ampère-Maxwell ed Equazione di
Continuità (II)
!
( )
V "
l
!l
l
!
''' &% !
( )
(equazione di
continuità)
V "
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
42!
Calcolo di Campi Magnetici con la Legge di
Ampère-Maxwell
•! La verifica può essere effettuata anche utilizzando la forma locale,
ricordando che la divergenza di un rotore è sempre identicamente
nulla.
•! La legge di Ampère-Maxwell può essere utilizzata per calcolare
campi magnetici, in alternativa alla I formula di Laplace.
•! L’utilizzo della legge di Ampère-Maxwell per il calcolo di campi
magnetici risulta particolarmente conveniente quando le sorgenti del
campo (le correnti) possiedono un sufficiente grado di simmetria.
•! Consideriamo la legge di Ampère-Maxwell in forma locale:
!
! !
$E
!
! " B = µ0 ! + µ0# 0
$t
!
!
! ! !
$E (
! ! %
!i ! " B = !i µ0 ! + !i ' µ0# 0
$t *)
&
!
! !
!
! !
!
$
! $
# 0!i E
!i E = !i ! +
0 = µ0 !i ! + µ0 # 0
$t
$t
! ! $+
(equazione di continuità)
=0
!i ! +
$t
d
!l
( )
#
!! ! ( r ,t ) i n̂ d" = $ dt !!! % ( r ,t ) dV = $)()()( &t ( r ,t ) dV
(legge di Ampère-Maxwell – forma locale).
)
"l
•! Verifichiamo esplicitamente che la legge di Ampère-Maxwell
contiene l’equazione di continuità.
!
! !
!
'' &E
i n̂ dS
! " B i n̂ dS = µ0 $$ ! i n̂ dS + µ0% 0 ))
(( &t
#l
(
0 0
"l
( )
(
)
(
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
43!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
44!
Campo Magnetico Generato da un Filo
Elettrico Rettilineo Indefinito
Campo Magnetico Generato da un Filo
Elettrico Rettilineo Indefinito (II)
•! Consideriamo un filo elettrico rettilineo indefinito neutro percorso
da una corrente di intensità costante.
•! Se il campo magnetico generato dal filo avesse una “componente
radiale” essa dovrebbe essere presente, con il medesimo
orientamento (sempre verso l’interno o sempre verso l’esterno) su
tutti i punti della superficie laterale di un cilindro con asse sul filo.
•! Per le caratteristiche di simmetria del sistema, tutti i punti P dello
spazio aventi la medesima distanza r dal filo debbono essere
equivalenti:
•! Poiché la “componente radiale” non avrebbe flusso attraverso le basi
del cilindro, mentre sulla superficie laterale avrebbe il medesimo
orientamento su tutti i punti, seguirebbe che il
!
z
flusso del campo magnetico attraverso tale
Br !
cilindro non sarebbe nullo contraddicendo la
Br
legge di Gauss.
!
–! Nessun effetto fisico può distinguere tra loro due punti dello spazio
equidistanti dal filo.
•! Poiché il campo magnetico è un effetto della corrente i, dobbiamo
attenderci che anche il campo magnetico possieda lo stesso tipo di
simmetria.
z
i
P1
P2
P5
P3
P6
P7
P4
x
y
Campo Magnetico Generato da un Filo
Elettrico Rettilineo Indefinito (III)
A
x
C
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
46!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
•! Dunque il campo magnetico può avere soltanto una componente
tangente alla superficie cilindrica e giacente su di un piano normale
al filo.
•! Tale componente deve avere la medesima intensità su tutti i punti
della superficie laterale di un cilindro con asse sul filo.
•! Considerando il percorso ABCD in figura la circuitazione è nulla
essendo assenti correnti concatenate e campi
! elettrici. I lati BD e CA
non danno contributo alla circuitazione di B in quanto a esso
perpendicolari. Dunque la somma dei contributi
! lati AB e CD è
! dei
nulla. Il lato CD può essere
! ! all’infinito, dove B = 0. Dunque anche sul
lato AB deve essere B = 0.
z
!
Br
Campo Magnetico Generato da un Filo
Elettrico Rettilineo Indefinito (IV)
•! Se il campo magnetico generato dal filo avesse una “componente
parallela al filo” essa dovrebbe essere presente, con il medesimo
orientamento su tutti i punti della superficie laterale di un cilindro
con asse sul filo.
•! Dunque il campo magnetico non può
avere una componente parallela al
filo.
!
Br
x
45!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
Br y
•! Dunque il campo magnetico non può
avere una componente radiale.
!
•! Consideriamo la circuitazione di B lungo la circonferenza l ottenuta
dall’intersezione del cilindro con un piano normale al filo.
!
Bp!
Bp
! y
B ! Bp
Bp
D
47!
•! Entro una superficie con bordo l il campo elettrico può essere non
nullo soltanto sul filo, ma in
!
ogni caso sarebbe costante nel tempo e
!
B
z
non produrrebbe alcuna corrente di
B
spostamento.
l
x
!
B
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
!
B
y
48!
Campo Magnetico Generato da un Filo
Elettrico Rettilineo Indefinito (V)
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide
•! La corrente concatenata alla circonferenza l è la corrente i che
scorre nel filo. Avremo perciò:
•! Consideriamo un solenoide neutro percorso da una corrente di
intensità costante.
!
! !
! !
d
! !
B
r
,t
id
l
= µ0 !! ! r ,t i n̂ d" + µ0# 0 !! E r ,t i n̂ d"
"!
dt "
l
"l
l
!
! !
"! B r ,t id l = µ0i + 0 = µ0i
( )
( )
•! Per le caratteristiche di simmetria del sistema, tutti i punti dello
spazio aventi la medesima distanza r dall’asse di simmetria del
solenoide debbono essere equivalenti:
( )
( )
l
–! Nessun effetto fisico può distinguere tra loro due punti dello spazio
equidistanti dall’asse del solenoide.
!
! !
•! Poiché B " dl e B è costante lungo la circonferenza, si ha:
!
!
! !
! !
!
!
B
r
,t
id
l
=
B
r
,t
d
l
= B R "
"!
"!
! dl = 2" R B R
l
( )
l
( )
( )
!
2" R B R = µ0 i
( )
( )
l
z
i
!
µi
B R = 0
2! R
( )
x
!
B
!
B
•! Poiché il campo magnetico è un effetto della corrente i, dobbiamo
attenderci che anche il campo magnetico possieda lo stesso tipo di
simmetria.
!
B
l
!
B
y
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide (II)
50!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
•! Chiediamoci ora se il campo magnetico possa avere una componente
tangente alla superficie cilindrica e giacente su un piano normale
all’asse del solenoide.
•! Nel piano della circonferenza l è nullo il campo elettrico ed è
approssimativamente nulla anche la corrente se le spire sono molte
per cui la singola spira, di fatto, giace sul piano di l. La circuitazione
del campo magnetico lungo l è perciò nulla.
•! Poiché la “componente radiale” non avrebbe flusso attraverso le basi
del cilindro, mentre sulla superficie laterale avrebbe il medesimo
!
orientamento su tutti i punti, seguirebbe che
z
Br !
il flusso del campo magnetico attraverso tale
Br
cilindro non sarebbe nullo contraddicendo la
!
legge di Gauss.
Br
i
x
z
!
B
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide (III)
•! Se il campo magnetico generato dal solenoide avesse una
“componente radiale” essa dovrebbe essere presente, con il
medesimo orientamento (sempre verso l’interno o sempre verso
l’esterno) su tutti i punti della superficie laterale di un cilindro con
l’asse sull’asse del solenoide.
•! Dunque il campo magnetico non può
avere una componente radiale.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
49!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
i
R
y
!
Br
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
!
Br
•! Poiché, per simmetria, su tutta la circonferenza l il campo deve avere
la stessa intensità il campo magnetico non può avere una
componente tangente alla superficie cilindrica
!
! l B
e giacente su di un piano normale all’asse del
t
z
Bt
solenoide.
i
x
51!
!
Bt
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
y
!
Bt
52!
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide (IV)
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide (V)
•! Dunque il campo magnetico può avere soltanto una componente
parallela all’asse del solenoide.
•! Consideriamo ora il percorso chiuso l.
•! Se n è il numero di spire per unità di lunghezza, e L la lunghezza dei
lati AB e CD, il numero di spire concatenate con l è nL e la corrente
concatenata con l è nLi. Il campo elettrico può essere presente sulle
spire, ma è costante e non dà luogo a corrente di spostamento. Si ha
perciò:
•! Consideriamo i due percorsi chiusi l e l#.
•! Nell’area racchiusa da l# è nulla sia la corrente concatenata sia il
campo elettrico, dunque è nulla anche la circuitazione.
I lati B#C# e
!
D#A# non danno contributo alla circuitazione di B in quanto a esso
perpendicolari. Dunque la somma dei contributi! dei! lati A#B# e C#D# è
nulla. Il lato C#D# può essere
! ! all’infinito, dove B = 0. Dunque anche sul
lato A#B# deve essere B = 0. Fuori dal solenoide il campo magnetico
è nullo.
i
z
A
x
C
!
Bp!
Bp y
!
B ! Bp
Bp
D
! !
l
B
z
B
A
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A!
l!
D!
B!
C! D
l
C
AB
!
i
x
z
A
C
( )
!
Bp!
Bp y
!
B ! Bp
Bp
D
x
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
B
A
D!
l!
B
A
L z
B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A!
l!
D!
B!
C! D
l
C
54!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
L z
B
i
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A!
C
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
R
•! Si osservi che il risultato che avevamo ottenuto applicando la I
formula di Laplace valeva soltanto sull’asse del solenoide, mentre il
risultato che abbiamo ottenuto con la legge di Ampère-Maxwell è
numericamente uguale ma vale per tutti i punti interni al solenoide,
anche fuori dall’asse.
AB
R
A
0
!
B = µ0 ni
( )
AB
z
!
Bp!
Bp y
!
B ! Bp
Bp
D
!
B L = µ0 nLi
!
!
! !
! !
B r ,t id l = "
! B r ,t id l = µ0 nLi + 0 = µ0 nLi
( )
i
0
l
( )
l
•! Segue che:
l
! !
!
•! Poiché B " dl e B è costante (per simmetria) lungo AB, si ha:
!
!
! !
! !
!
!
"! B r ,t id l = "! B r ,t dl = B "! dl = B L
AB
!
! !
d
E r ,t i n̂ d"
!!
dt "
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide (VII)
•! I lati BC e DA non danno contributo alla circuitazione di B in quanto a
esso perpendicolari. Il lato CD non dà contributo alla circuitazione in
quanto fuori dal solenoide il campo magnetico è nullo. Si ha dunque:
! ( )
! !
0 0
"l
53!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
Campo Magnetico Generato da un
Solenoide (VI)
! !
0
"! B ( r ,t ) id l = µ nLi + 0 = µ nLi
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
R
!
"! B ( r ,t ) id l = µ !! ! ( r ,t ) i n̂ d" + µ #
B!
C! D
Domenico Galli – Fisica Generale B – 7. Le Equazioni del Campo Magnetico!
l
C
55!
x
z
A
C
!
Bp!
Bp y
!
B ! Bp
Bp
D
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
R
B
A
L z
B
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A!
D!
l!
B!
C! D
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l
C
56!
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Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
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