Circuito puramente capacitivo in regime sinusoidale
E' così chiamato un circuito totalmente privo di resistenza ohmica e di effetti d'autoinduzione
dovuti a variazioni di campi elettromagnetici. L'unico parametro elettrico che caratterizza un
circuito puramente capacitivo è la sua capacità elettrica. La capacità del circuito rappresenta
l'attitudine del circuito ad accumulare carica elettrica quando nel dielettrico circostante sia
presente un campo elettrico. Se V è la d.d.p., Q la carica accumulata, C la capacità elettrica, si
ha:
Al fine di dedurre il comportamento della capacità in regime sinusoidale, è importante ricordare
il fenomeno della carica e della scarica del condensatore facendo particolare attenzione al verso
della corrente i(t) e della tensione vC(t) ai capi del condensatore:
N.B.: l'istante t = 0 [s] coincide, sia per la carica che per la scarica all'istante di chiusura
dell'interruttore nel relativo circuito. Le varie funzioni vC(t) ed i(t) sia nella carica che nella
scarica sono di tipo esponenziale, con costante di tempo pari a R·C [s] e quindi con un tempo
d'esaurimento pari a circa 5·R·C [s]. Nel caso di circuito in corrente continua, in ogni caso, una
volta esauritosi il transitorio la corrente nel circuito è identicamente nulla in quanto il
condensatore costituisce a regime un'interruzione del ramo ove si trova inserito.
Supponiamo ora di avere un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, collegato ai
morsetti di un generatore di tensione sinusoidale v(t). Vediamo di ricavare qualitativamente
l'andamento della corrente. Le considerazioni che seguono sono conseguenti al fatto che:
a) durante gli intervalli di carica la corrente deve avere lo stesso verso (segno) della tensione,
mentre durante gli intervalli di scarica la corrente è opposta alla tensione;
b) la corrente ha modulo massimo quando inizia la carica, nullo quando la tensione di carica
raggiunge il massimo.
Nel primo quarto di periodo (1), avendosi un intervallo di carica la tensione aumenta
positivamente da zero al valore massimo VCM , il condensatore deve corrispondentemente
assorbire una corrente di carica positiva, la quale parte dal suo valore massimo IM e va poi
gradatamente diminuendo fino a ridursi a zero nell'istante in cui il condensatore raggiunge il suo
stato di massima carica.
Nel secondo quarto di periodo (2), trattandosi di un intervallo di scarica la tensione alle armature
diminuisce da VCM a zero, il condensatore dovrà corrispondentemente scaricarsi mediante una
corrente analoga alla precedente ma di verso (segno) opposto e perciò negativa.
Nel terzo quarto di periodo (3), trattandosi di un intervallo di carica di segno opposto a quello
della fase (1), la tensione alle armature aumenterà da zero a -VCM ed il condensatore sarà
interessato da una corrente di carica che varierà da -IM a zero.
Nell'ultimo quarto di periodo (4), trattandosi di un intervallo di scarica la tensione alle armature
diminuirà in valore assoluto da |-VCM| a zero e la corrente dovrà variare analogamente a quanto
avvenuto nell'intervallo (3) ma con verso (segno) opposto.
E' importante osservare che la tensione ai capi del condensatore è obbligata ad essere uguale a
quella sinusoidale del generatore, cioè deve essere v(t) = vC(t) e che la corrente, sia durante gli
intervalli di carica che di scarica, non potrà variare con legge esponenziale essendo sia la carica
che la scarica non libere ma vincolate dalla tensione sinusoidale presente ai capi del
condensatore. Quindi anche la corrente i(t) sarà sinusoidale.
Si riconosce in tal modo che mentre la tensione alle armature del condensatore varia secondo la
funzione sinusoidale vC(t) , la corrente attraverso il condensatore varia secondo una funzione i(t)
pure sinusoidale, ma sfasata di un quarto di periodo in anticipo rispetto alla tensione. In forma
analitica:
vC(t) = VCM·sen(·t) [V] , i(t) = IM·sen(·t + /2) [A]
Si può poi dimostrare che è IM = ·C·VCM [A] ed analoga relazione vale per i valori efficaci.
Intuitivamente si può infatti osservare che tanto più grandi sono C e VCM , tanto più grande sarà
la quantità di carica accumulata sulle armature del condensatore. Inoltre la variazione nel tempo
della quantità di carica accumulata rappresenta l'intensità della corrente e, perciò, se è elevato
sarà più grande la corrente essendo più grande la variazione di carica nel tempo.
Passando dall'espressione delle grandezze sinusoidali nella forma di valori istantanei alla forma
simbolica (vettori ruotanti e relativi numeri complessi) quanto ottenuto può essere così riassunto:
con VC [V] ed I [A] valori efficaci.
La quantità:
è chiamata reattanza capacitiva ed ha le dimensioni di una resistenza. La quantità
è chiamata reattanza capacitiva immaginaria ed è un operatore vettoriale in
quanto se applicato al numero complesso rappresentante la corrente fornisce il numero
complesso rappresentante la tensione ai capi del condensatore:
La figura riportata sopra mostra le varie grandezze sinusoidali prese fino ad ora in
considerazione rappresentate sul piano di Gauss.
