EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA
1) mi a i = F i + f i 2 + f i 3 + ........ + f iN
Dove:
N è il numero dei punti materiali
F i forze esterne
f iK forza interna che agisce su Pi ad opera di
PK
mi a i = F i + f i1 + ....... + f ii + f ii +1 + ....... + f iN
f ii = 0
Sommo
N
∑
1
N
i
mi a i = ∑ i F i + ∑ ........
1
Osservo adesso
2) m2 a 2 = F 2 + f 21 + ..... + f 23 + ....... + f 2 N
A
f 12
f 21
nella eq. 1) corrisponde
nella 2)
Per il principio di azione e reazione
Ad esempio
f 12 + f
21
=0
f iK = − f
Ki
e così via.
La somma di tutte le forze interne è = 0
Resta:
N
∑ i mi
1
N
d vi
(e)
= ∑Fi = R
dt
i =1
dove R (e) è il risultante delle sole forze esterne
N
ma
Q = ∑ i mi v i
dQ
allora
=R
(e )
dt
dQ
se ci sono reazioni vincolari: dt = R (e ) + R'( e )
Ora riprendo mi a i = F i + f i1 + f i 2 + ....... + f ii + ....... + f iN
1
f ii = 0
Moltiplico vettorialmente per ( Pi − 0 ) e sommo
N
N
N
∑ i ( Pi − 0) ∧ mi a i = ∑ i ( Pi − 0) ∧ F i + ∑ i ( Pi − 0) ∧ [ f i1 + ......]
1
1
1
Il momento delle due forze
f iK
Pi
f
Pk
f iK
e
f
Ki
risulta nullo
Ki
b
O
N
N
( e)
Quindi ∑ i ( Pi − 0) ∧ mi a i = ∑ i ( Pi − 0) ∧ F i = M ( 0 )
1
Dato
1
N
Γ ( 0 ) = ∑ i ( Pi − 0) ∧ mi v i
1
derivo e ottengo
N
N
d Γ( 0)
= ∑ i ( v i − v 0 ) ∧ mi v i + ∑ i ( Pi − 0 ) ∧ mi a i
dt
1
vi ∧ vi = 0
1
N
d Γ( 0)
( e)
= −v 0 ∧ ∑ i mi v i + M ( 0 )
dt
1
d Γ( 0)
( e)
+ v 0 ∧ mv = M ( 0 )
dt
Se ci sono reazioni vincolari
Se O è fisso
Se O ≡ P
Se v 0 // v
v0 = 0
;
dt
+ v 0 ∧ mv = M ( 0 )
v 0 ∧ mv = 0
( P baricentro)
v∧v =0
v0 ∧ v = 0
R
v
O
d Γ( 0)
vo
( e)
+ M '( 0 )
( e)
d Γ( 0)
resta :
dt
= M ( 0 ) + M '( 0 )
Le equazioni della dinamica sono quindi :
dQ
=R
dt
d Γ( 0)
dt
( e)
= M ( 0)
( e)
con opportuno polo.
Esaminiamo la prima
Q = mv
dQ
dt
⇒
= ma
ma = R
( e)
Il centro di massa si muove come un punto in cui è concentrato tutta la
massa del sistema e applicato il risultante delle forze esterne.
Questa si dice LEGGE DEL MOTO DEL BARICENTRO.
dQ
Se R=0
Se
dt
dQx
=0
dt
Rx = 0
ESEMPIO:
Se per t =0
Q = Q 0 = vettore
=0
Qx = costante
v x ( 0) = 0
rimane
Piano verticale carrello liscio
costante
vx =
vx ( t ) = 0
Rx + R ' x = 0
costante
∀t
se t=0
x = costante
vx = 0
x = costante
y’
P
y
Φ
x
ϑ
Posto un asse y passante per la posizione iniziale di P ,
P scende lungo quest’asse
Il sistema che pareva avere due coordinate libere x e ϑ , con la scelta
dell’asse y’ passante per il baricentro si ha una sola coordinata libera ϑ .
Cannone che spara. Al tempo t=0 è fermo.
M
m
V
V?
v
m
M
QX =
MV + mv=0
V =−
m
v
M
quindi il cannone arretra
Uomo che tenta di camminare su piano liscio
P
v x ( t = 0) = 0
se
L’uomo porta avanti una gamba ma il resto del corpo arretra e l’uomo cade
e non riesce a camminare: Per camminare occorre l’attrito.
Rx = 0
x = costante
2 a equazione
cardinale della dinamica
Caso per cui
v 0 ∧ mv = 0
d Γ( 0)
dt
Se
Se
= M ( 0)
M ( 0) = 0
M Z0 = 0
ESEMPI DI
Γ ( 0 ) = costante
Γ 0 Z = costante
ΓZ
costante
Ballerina su suolo liscio
P
ω
M (P) = 0
Φ
ΓPz = costante
ΓPz = Iω
1) t=0 braccia aperte
ω = ω iniziale
I c = I corpo
I b = I braccia aperte
2) finale, braccia lungo il corpo
I B = I braccia chiuse
Ω = Ω finale
Γiniziale = ( I c + I b )ω = Γ finale = ( I c + I B ) Ω
Ma a braccia aperte I è maggiore I b > I B
(I + I )
Ω= c b ω
Ω >ω
( IC + I B )
DISCO OMOGENEO DI CENTRO O FISSO
M,R
Φ
O
Mg
MR 2
MR 2
ω=
ω0
2
2
Per cui ω = ω0
ASTA OMOGENEA m,l
m, l
P
ω0 iniziale
O≡P
ml 2 •
ml 2
Γz =
ϑ = cos tan te =
ω0
12
12
•
ϑ = ω0
Γ0 z = cos t
Piano orizzontale
O
m, l
ϑ
m, l
ϕ
•
Γ0 z =
•
costante (date dai valori iniziali di ϑ eϕ )
Γ0 z = Γ0 z1 + Γ0 z 2 = costante
Quantità additiva
Piano orizzontale
m
M 1R
O
La molla è una forza interna
Per cui M 0 z ( e ) = 0
Γ0 z = costante
ASTA A T
piano orizzontale
m, l
m
k
O
La molla è una forza interna
per cui M 0 Z = 0
Γ0 z = costante
