Metodi matematici 2

Metodi matematici 2
TEST
Cognome
6CFU
Nome
30 giugno 2011
Matricola
Si indichi la soluzione senza procedimento. Nel caso si intenda annullare una risposta crocettare la
risposta ritenuta errata. Risultati corretti al secondo decimale, tassi in forma percentuale..
1 - Sconto una cambiale al tasso dell’8%. L’ammontare pagato è pari alla metà del
valore della cambiale. Qual è la scadenza della cambiale?
R:
2 - Si intende impiegare un capitale per 21 mesi. I tassi spot di mercato sono
18
i 0; 21
12 = 6% e i 0; 12 = 5:6%: Se si sceglie di investire inizialmente per i primi 18
21
mesi, si dovrà poi reinvestire al futuro tasso spot i 18
12 ; 12 per i rimanenti mesi. Per
18 21
quali tassi futuri i 12 ; 12 il montante con il reimpiego dopo 18 mesi è maggiormente
conveniente dell’impiego a 21 mesi al tasso del 6%? N.B. Solite convenzioni sui tassi:
semplici annui per durate inferiori all’anno, altrimenti composti annui.
R:
3 - Sul mercato viene scambiato un BOT con scadenza residua 7 mesi che era stato
emesso al prezzo di 97. Se il tasso di rendimento al netto delle tasse per il venditore
è del 4% allora la quotazione al lordo delle tasse del BOT stesso è (si prescinda dalle
convenzioni di calcolo dei tempi):
R:
4 - Determinare il tasso interno di rendimento di un bond a cedola …ssa, coupon
annuali, tasso cedolare 4% e con scadenza 2 anni, il cui prezzo secco sia 101. Si
prescinda dagli aspetti …scali.
R:
5 - Un decisore con un costo opportunità del 17% per i prossimi 3 anni ed un capitale
disponibile di 3000 valuta la convenienza ad impiegare il proprio capitale nei seguenti
investimenti, eventualmente in modo congiunto all’attivazione di un …nanziamento.
I ‡ussi delle tre operazioni sono descritti nella tabella sottostante. Si indichi la scelta
ottimale.
tempi
0
1
2
3
Invest. 1
2000 600 1000 800
Invest. 2
1500 600
800
400
Finanz.
500
100
300
300
R:
6 - Si ammortizza all’italiana un debito di e100000, su un orizzonte di 4 anni, con
rate annuali. Qual è l’importo della prima rata a¢ nché il tasso applicato sia del
6%?
R:
7 - Determinare
2
3i valori2di tali
3 per cui i seguenti vettori siano l.i.:
1
5
x1 = 4 2 5 ; x2 = 4 10 5
3
R:
.
8 - Un gestore di portafoglio deve ripartire un capitale di 1000 tra 2 titoli che quotano
rispettivamente 5 e 8. Il gestore desidera costruire un portafoglio che replichi un
fattore di rischio rispetto al quale i due titoli hanno sensibilità rispettivamente 0.5
e 2. Le quantità da detenere dei due titoli sono:
R: n1 =
n2 =
.
9 - Si determinino
omogeneo avente la seguente matrice dei
3
2 le soluzioni del sistema
5
1
12
6 18 5.
coe¢ cienti: A = 4 3
2 12
4
R:S=
10 - Si consideri la funzione f (x; y) = x + y 2 x: Si disegni la curva di livello 0; ovvero
f 1 (0).
R:
11 - Si risolva il seguente problema di ottimo vincolato lineare: max 2x + y; sub :
3x + 2y 6; x + 2y 4; x; y 0:
R:
12 - Si determinino gli eventuali punti di minimo o massimo della funzione f (x; y) =
ln(1 + x2 + 2y 2 ). Speci…candone la natura.
R:
2
Metodi matematici 2
TEST
Cognome
4CFU
Nome
30 giugno 2011
Matricola
Si indichi la soluzione senza procedimento. Nel caso si intenda annullare una risposta crocettare la
risposta ritenuta errata. RISULTATI CORRETTI AL SECONDO DECIMALE, TASSI IN FORMA
PERCENTUALE.
1 - Sconto una cambiale al tasso dell’8%. L’ammontare pagato è pari alla metà del
valore della cambiale. Qual è la scadenza della cambiale?
R:
2 - Si intende impiegare un capitale per 21 mesi. I tassi spot di mercato sono
18
i 0; 21
12 = 6% e i 0; 12 = 5:6%: Se si sceglie di investire inizialmente per i primi 18
21
mesi, si dovrà poi reinvestire al futuro tasso spot i 18
12 ; 12 per i rimanenti mesi. Per
21
quali tassi futuri i 18
12 ; 12 il montante con il reimpiego dopo 18 mesi è maggiormente
conveniente dell’impiego a 21 mesi al tasso del 6%? N.B. Solite convenzioni sui tassi:
semplici annui per durate inferiori all’anno, altrimenti composti annui.
R:
3 - Sul mercato viene scambiato un BOT con scadenza residua 7 mesi che era stato
emesso al prezzo di 97. Se il tasso di rendimento al netto delle tasse per il venditore
è del 4% allora la quotazione al lordo delle tasse del BOT stesso è (si prescinda dalle
convenzioni di calcolo dei tempi):
R:
4 - Determinare il tasso interno di rendimento di un bond a cedola …ssa, coupon
annuali, tasso cedolare 4% e con scadenza 2 anni, il cui prezzo secco sia 101. Si
prescinda dagli aspetti …scali.
R:
5 - Un decisore con un costo opportunità del 17% per i prossimi 3 anni ed un capitale
disponibile di 3000 valuta la convenienza ad impiegare il proprio capitale nei seguenti
investimenti, eventualmente in modo congiunto all’attivazione di un …nanziamento.
I ‡ussi delle tre operazioni sono descritti nella tabella sottostante. Si indichi la scelta
ottimale.
tempi
0
1
2
3
Invest. 1
2000 600 1000 800
Invest. 2
1500 600
800
400
Finanz.
500
100
300
300
R:
3
6 - Si ammortizza all’italiana un debito di e100000, su un orizzonte di 4 anni, con
rate annuali. Qual è l’importo della prima rata a¢ nché il tasso applicato sia del
6%?
R:
7 - Determinare
2
3i valori2di tali
3 per cui i seguenti vettori siano l.i.:
1
5
x1 = 4 2 5 ; x2 = 4 10 5
3
R:
.
8 - Un gestore di portafoglio deve ripartire un capitale di 1000 tra 2 titoli che quotano
rispettivamente 5 e 8. Il gestore desidera costruire un portafoglio che replichi un
fattore di rischio rispetto al quale i due titoli hanno sensibilità rispettivamente 0.5
e 2. Le quantità da detenere dei due titoli sono:
R: n1 =
n2 =
.
9 - Si determinino
omogeneo avente la seguente matrice dei
3
2 le soluzioni del sistema
5
1
12
6 18 5.
coe¢ cienti: A = 4 3
2 12
4
R:S=
10 - Si determini il rango della seguente matrice:
2
3
2
1
8
1 5
A= 4 3 4
4
2 16
4
Metodi Matematici 2
Appello
30 giugno 2011
Soluzioni Test
Domanda
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6CFU
6 anni e 3 mesi
18 21
i 12 ; 12 > 8:1778%
98.7792
3.474%
Attivare solo il …nanziamento
31000
6= 15
n1 = 332; n2 = 82:5
2
3
2x3
x = 4 2x3 5 con x3 2 R
x3
y
4CFU
6 anni e 3 mesi
18 21
i 12 ; 12 > 8:1778%
98.7792
3.474%
Attivare solo il …nanziamento
31000
6= 15
n1 = 332; n2 = 82:5
2
3
2x3
x = 4 2x3 5 con x3 2 R
x3
1
-1
1
x
-1
10
11
12
asse verticale
(x; y) = (4 ; 0)
minimo in (x; y) = (0 ; 0)
5
2
-
Metodi matematici 2
TEST soluzioni
30 giugno 2011
4 e 6 CFU
Si indichi la soluzione senza procedimento. Nel caso si intenda annullare una risposta crocettare la
risposta ritenuta errata. Risultati corretti al secondo decimale, tassi in forma percentuale..
Si riportano i procedimenti risolutivi di alcuni quesiti. I rimanenti quesiti di cui
non è riportato il procedimento sono identici, a meno delle cifre, a numerosissimi
altri quesiti di passati appelli.
4 e 6 CFU
3 - Sul mercato viene scambiato un BOT con scadenza residua 7 mesi che era stato
emesso al prezzo di 97. Se il tasso di rendimento al netto delle tasse per il venditore
è del 4% allora la quotazione al lordo delle tasse del BOT stesso è (si prescinda dalle
convenzioni di calcolo dei tempi):
Se il tasso di rendimento netto di tasse per il venditore è del 4%, si ha che,
tenendo conto della ritenuta di 12:5% (100 97) = 0:375 che era stata aggiunta
al prezzo originario di acquisto, il prezzo netto di tasse della compravendita deve
essere
5
97:375 1 + 0:04
= 98:998
12
L’imposta sostitutiva che l’acquirente deve riconoscere al venditore è
7
(100
12
97) 0:125 = 0:21875
Quindi il prezzo, tasse escluse, del Bot risulta essere: 98:998 0:21875 = 98:779:
7 - Determinare
3 per cui i seguenti vettori siano l.i.:
3i valori2di tali
2
5
1
x1 = 4 2 5 ; x2 = 4 10 5
3
Si potrebbero fare considerazioni più semplici ma procediamo con la tecnica che
consente di dirimere la questione. Si forma la matrice le cui righe corrispondono ai
vettori in questione:
1
2 3
A=
5 10
La si riduce ottenendo
A=
1
0
2
3
0 15 +
da cui si evince che perché siano indipendenti deve essere diverso da 15.
12 - Si determinino gli eventuali punti di minimo o massimo della funzione f (x; y) =
ln(1 + x2 + 2y 2 ). Speci…candone la natura.
6
Si tratta di una funzione composta la cui funzione esterna, ln; è strettamente
crescente per cui è su¢ ciente analizzare la funzione interna 1 + x2 + 2y 2 . Con i
classici metodi si trova come unico estremante il punto (0; 0) che è punto di minimo
globale forte.
7