CONDIZIONI DI PLASTICITA’
2
1. Teoria di Galileo
2. Teoria della max tensione principale pos. e neg.
3. Teoria di Tresca
4. Teoria di Beltrami-Haigh (energia di deformazione)
5. Teoria di Von Mises (energia di distorsione)
6. RELAZIONI TENSIONI DEFORMAZIONI IN CAMPO PLASTICO
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CONDIZIONI DI PLASTICITA’
Nella pratica le condizioni di sollecitazione non sono di tipo unidirezionale.
In tal caso si pone il problema di individuare sia gli stati tensionali che provocano l’inizio
dl flusso plastico, sia le relazioni esistenti tra tensioni e deformazioni in campo plastico.
Le condizioni di plasticità servono ad individuare la tensione minima di innesco delle
deformazioni permanenti
Teoria di Galileo (massima tensione principale positiva)
Se la max tensione principale positiva raggiunge il valore della tensione di scorrimento il
materiale subisce deformazione plastica. Non è ingrado di valutare gli stati tensionali composti
e non pone alcun riferimento agli stati tensionali di compressione.
Teoria della massima tensione principale positiva e negativa
Se la max tensione principale positiva raggiunge il valore della tensione di scorrimento e la
minima tensione principale negativa supera ilvalore di –σ0 il materiale subisce deformazione
plastica. Non è ingrado di valutare gli stati tensionali composti
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CONDIZIONI DI PLASTICITA’
Teoria di Tresca (massima tensione tangenziale)
Lo scorrimento plastico si verifica quando la massima sollecitazione tangenziale
raggiunge un valore limite, calcolabile facendo riferimento al caso della trazione semplice
monoassiale
Ipotizzando σ1< σ2< σ3, la tensione tangenziale massima¼ τmax=(σ3-σ1)/2 (Mohr)
nella prova di trazione σ1=σ2=0, σ3= σ0 ¼ τ0=σ0/2
τmax =
(σ3 − σ1 ) ≤ τ
2
σ3 - σ1 ≤ σ 0
σ2 – σ1 ≤ σ 0
σ3 – σ2 ≤ σ 0
0
=
σ0
2
Superficie aperta
• Stati tensionali idrostatici illimitati
σ1 – σ3 ≤ − σ 0
σ1 - σ2 ≤ −σ0
σ2 - σ3 ≤ −σ0
• Spigoli non fisicamente ammissibili
• Non compaiono le tensioni intermedie
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CONDIZIONI DI PLASTICITA’
Teoria di Beltrami-Haigh (dell'energia di deformazione)
la deformazione plastica si verifica quando l'energia di deformazione elastica
raggiunge un valore limite, calcolabile facendo riferimento al caso della trazione semplice
monoassiale
l'energia di deformazione elastica limite vale
W0= ½ σ0 ε0
nella prova di trazione
We = ½ (σ1 ε1 + σ2 ε2 + σ3 ε3) in uno stato generico
dove σ1, σ2, σ3 e ε1, ε2, ε3 sono le tensioni e le deformazioni lungo le tre direzioni principali
1
[σ1 − ν(σ2 + σ3 )]
E
1
ε 2 = [σ2 − ν(σ3 + σ1 )]
E
1
ε3 = [σ3 − ν(σ1 + σ2 )]
E
ε1 =
Eguagliando
W0= We
σ02 = σ12 + σ22 + σ32 − 2ν(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 )
ellissoide di rivoluzione con asse coincidente con la
trisettrice del primo ottante
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CONDIZIONI DI PLASTICITA’
Teoria di Beltrami-Haigh (dell'energia di deformazione)
la deformazione plastica si verifica quando l'energia di deformazione elastica
raggiunge un valore limite, calcolabile facendo riferimento al caso della trazione semplice
monoassiale
l'energia di deformazione elastica limite vale
W0= ½ σ0 ε0
nella prova di trazione
We = ½ (σ1 ε1 + σ2 ε2 + σ3 ε3) in uno stato generico
dove σ1, σ2, σ3 e ε1, ε2, ε3 sono le tensioni e le deformazioni lungo le tre direzioni principali
1
[σ1 − ν(σ2 + σ3 )]
E
1
ε 2 = [σ2 − ν(σ3 + σ1 )]
E
1
ε3 = [σ3 − ν(σ1 + σ2 )]
E
ε1 =
Eguagliando
W0= We
σ02 = σ12 + σ22 + σ32 − 2ν(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 )
ellissoide di rivoluzione con asse coincidente con la
trisettrice del primo ottante
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CONDIZIONI DI PLASTICITA’
Teoria di Von Mises (dell’energia di distorsione)
la deformazione plastica si verifica quando l'energia di deformazione elastica raggiunge un valore
limite, calcolabile facendo riferimento al caso della trazione semplice monoassiale. Si considera
l'aliquota di energia di deformazione correlata alla variazione di forma, e non di volume, cioè
l’energia di distorsione
Tensori idrostatico (V) Tensiore deviatorico (forma)
⎡σ1 0
⎢0 σ
2
⎢
⎢⎣ 0 0
0 ⎤ ⎡ σm
0⎥=⎢0
⎥ ⎢
σ3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
Wv =
0
σm
0
0 ⎤ ⎡σ1 − σm
0 ⎥+⎢ 0
⎥ ⎢
σm ⎥⎦ ⎢⎣ 0
1
1⎛ 1
⎞
σ m ∑ ε i = ⎜ ∑ σ i ×∑ ε i ⎟
2
2⎝3
⎠
1
[σ1 − ν(σ2 + σ3 )]
E
1
ε 2 = [σ2 − ν(σ3 + σ1 )]
E
1
ε3 = [σ3 − ν(σ1 + σ2 )]
E
0
σ 2 − σm
0
0 ⎤
0 ⎥
⎥
σ3 − σm ⎥⎦
σm = (σ1+σ2+σ3) / 3
Energia di deformazione correlata
alla variazione di volume
ε1 =
∑ εi =
1
(1 − 2ν )∑ σi
E
3
1
1
2
2
⎡
(1 − 2ν )(∑ σi ) = (1 − 2ν )⎢∑ σi + ∑ σiσ j ⎤⎥
Wv =
i, j=1
6E
6E
⎣
⎦
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3 1
3
1 3
We = ∑ σiεi = ⎡∑ σi2 − ν ∑ σiσj ⎤
⎥⎦
i=1 2
i, j=1
2E ⎢⎣i=1
Energia di deformazione totale
3
1 ⎡3 2
⎤ 1 (1 − 2ν )⎡ ∑3 σ 2 + ∑3 σ σ ⎤ = Energia di distorsione
∑ σi − ν ∑ σi σ j −
⎥⎦ 6E
⎢⎣i =1 i i, j =1 i j ⎥⎦
i, j =1
2E ⎢⎣i =1
(variazione di forma)
3
3
(1 + ν ) ⎡2 σ2 − σ σ ⎤ = (1 + ν ) (σ − σ )2 + (σ − σ )2 + (σ − σ )2
=
∑ i
∑ i j
1
2
2
3
3
1
⎥⎦
i, j =1
6E ⎢⎣ i =1
6E
1+ν 2
Nel caso di tensione unidirezionale (σ2=σ3=0), ed al
2σ 0
Wd 0 =
limite di scorrimento (σ1=σ0)
6E
Wd = We − Wv =
[
]
Wd = Wd0
⇒
(1 + ν ) [(σ
6E
]
=
1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ1 )
2
2
2
(1 + ν ) 2σ2
6E
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 = 2σ02
(σ
− σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6(τ2xy + τ2yz + τ 2zx ) = 2σ 02
2
x
2
2
τ =1/radq(3) x σ
0
0
Cilindro circoscritto al prisma a sezione
esagonale di Tresca.
In caso di materiali già deformati va inserita la
tensione di flusso plastico Cεn
0
RELAZIONE TENSIONI-DEFORMAZIONI IN CAMPO PLASTICO
Von Mises Æ τ0=0,577 σ0 ; Tresca Æ τ0=0,5 σ0.
in campo elastico esiste una corrispondenza biunivoca tra tensioni e deformazioni:
noto lo stato tensionale, da esso è possibile ricavare in modo univoco il campo
deformativo e viceversa
in campo plastico, ove, al fine di valutare lo stato di
deformazione non è più sufficiente conoscere il campo
tensionale, è necessario analizzare l'intera storia di
carico che ha portato allo stato tensionale finale.
Prova di Mendelsson.
Trazione pura
Von Mises:
σx2+3τ2xy=σ02
A – B – C – D (allungamenti permanenti,
scorrimenti elastici)
Torsione pura
E – F – H – D (scorrimenti permanenti,
allungamenti elastici)
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