Resistenza di terra, resistività del terreno
Metodi di Misura
Resistenza di terra
Immaginiamo di iniettare una corrente I nel suolo (omogeneo, di
conducibilità σ , resistività ρ = 1/ σ ) mediante un elettrodo sferico immerso
nel suolo per una profondità pari al suo raggio a .
La corrente si diffonderà nel suolo seguendo traiettorie radiali che si
congiungono al centro dell’elettrodo. La densità di corrente J (r ) a distanza
r dal centro dell’elettrodo sarà data da
J (r ) =
I
2π r 2
Per via del passaggio della corrente nel suolo (resistivo) si instaura un campo
elettrico E (r ) = ρ J (r ) . Il campo elettrico è radiale
Il potenziale V (r ) a distanza r dall’elettrodo nel suolo sarà costante
sulla semi-superficie sferica di raggio r , e pari a
r
V (r ) = − ∫ E (r )dr + V (a)
a
quindi
V (r ) =
ρI
ρI
−
+ V (a )
2π r 2π a
Dato che V (∞) = 0 segue che
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V (r ) =
ρI
2π r
Notare che il potenziale nel terreno non dipende dal raggio a dell’elettrodo.
Il potenziale dell’elettrodo è
V (a) =
ρI
= RT I
2π a
Dove si è posta RT la resistenza dell’elettrodo,
RT =
ρ
2π a
Nel caso di due elettrodi sferici a distanza d , tali per cui uno funge da
andata e l’altro da ritorno della corrente I , il campo elettrico ed il potenziale
nel terreno possono essere ricavati sovrapponendo gli effetti. Le formule
precedenti continuano a valere a patto che sia d >> a (ad esempio d ≥ 5a ).
Si consideri il caso di due elettrodi puntiformi. Il potenziale a distanza
r dall’elettrodo #1 nel quale la corrente I viene iniettata è
V1 (r ) =
ρI
2π r
Il potenziale dell’elettrodo #2 dal quale la corrente viene prelevata, a distanza
r ′ da questo secondo elettrodo, è
V2 (r ) = −
ρI
2π r ′
Il potenziale complessivo è
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V (r , r ′) = V1 (r ) + V2 (r ′) =
ρI
ρI
−
2π r 2π r ′
Figura 1: potenziale al suolo prodotto da due elettrodi emisferici puntiformi
posti nei punti di coordinate (normalizzate) x = −0.5, y = 0 e x = 0.5, y = 0 .
Al suolo, in coordinate cartesiane xy , si ha
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⎛
⎞
⎟
−
2
2
2
2 ⎟
−
+
+
+
0.5
0.5
x
y
x
y
(
)
(
)
⎝
⎠
ρI ⎜
V ( x, y ) =
2π d ⎜
1
1
dove si è posto
r=d
( x − 0.5)
2
+ y 2 , r′ = d
( x + 0.5)
2
+ y2
In figura 1 è riportato l’andamento delle curve di livello del potenziale al
suolo. Le coordinate x e y sono normalizzate rispetto alla distanza d fra gli
elettrodi. L’elettrodo nel quale è iniettata la corrente I si trova in posizione
x = −0.5, y = 0 , l’elettrodo dal quale è prelevata la corrente I si trova in
posizione x = 0.5, y = 0 . Il potenziale è normalizzato rispetto a ρ I
. La
2π d
figura 1 può essere interpretata come potenziale in profondità nel suolo nel
piano perpendicolare al suolo e passante per i due elettrodi. I valori y ≤ 0
corrispondono, in questa interpretazione, alla profondità. I valori y > 0 non
hanno significato.
Si osservi in figura 2 che le linee equipotenziali formano
approssimativamente dei cerchi a distanze piccole rispetto alla distanza fra gli
elettrodi. Il potenziale segue l’andamento di figura 2 anche nel caso in cui gli
elettrodi non sono puntiformi ma di forma tale da essere tangenti in ogni
punto alla superficie equipotenziale che si ottiene nel caso di elettrodi
puntiformi. Il potenziale assunto dall’elettrodo è quello corrispondente alla
superficie equipotenziale tangente. Nel caso di elettrodi sferici di raggio
piccolo rispetto alla distanza fra gli elettrodi il potenziale segue
approssimativamente l’andamento descritto in figura 2.
La figura 2 permette di valutare quantitativamente quanto si riduce il
potenziale al suolo al crescere della distanza dai due elettrodi. Si può
prendere il punto di coordinate x = 0, y = 0 come riferimento per la distanza,
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ed il potenziale di uno dei due elettrodi (quello di cui si vuole ad esempio
valutare la resistenza mediante una misura con tre picchetti, si veda più
avanti).
Lungo la congiungente i centri dei due elettrodi è r ′ = d − r e quindi il
potenziale V (r ) è
V (r ) = V1 (r ) + V2 (r ) =
ρI
ρI
ρI ⎛ 1
1 ⎞
−
=
−
⎜
⎟
2π r 2π (d − r ) 2π ⎝ r d − r ⎠
Figura 2: potenziale al suolo prodotto da due elettrodi puntiformi posti nei
punti di coordinate r / d = 0 e r / d = 1 .
In figura 2 è riportato l’andamento del potenziale normalizzato
V0 (r / d ) = V (r ) ⋅ 2π d
ρ I in funzione del rapporto r / d . In corrispondenza
degli elettrodi il potenziale è costante (gli elettrodi hanno raggio pari a 1/20 e
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1/10 della distanza, il centro degli elettrodi è in 0 e in 1). Per r / d = 0.5 il
potenziale presenta un flesso (qualunque sia il raggio degli elettrodi).
Per un elettrodo cilindrico a sezione circolare di lunghezza L grande rispetto
al diametro D (picchetto) vale che
RT =
ρ ⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎤
ln ⎜
⎟ −1
2π L ⎢⎣ ⎝ D ⎠ ⎥⎦
Un picchetto di lunghezza L presenta una resistenza più grande di un
elettrodo sferico di raggio L (quanto più grande dipende dal termine con il
logaritmo). Il potenziale varia più bruscamente con la distanza nei pressi di
un picchetto piuttosto che di un elettrodo sferico (a parità di resistenza).
Tuttavia il potenziale a distanza grande rispetto a L è lo stesso. Il potenziale
a distanza grande rispetto alla dimensione dell’elettrodo non dipende né dalla
forma né dalla dimensione dell’elettrodo (a parità di resistenza).
Per un suolo argilloso con umidità del 20 % ρ ≈ 10.7 kΩ·cm. Un
picchetto di lunghezza L = 60 cm e diametro D = 5 cm presenta una
resistenza RT = 61.9 Ω.
Resistività del terreno
Si allineino quattro elettrodi a distanza l l’uno dall’altro grande rispetto alle
loro dimensioni. Nei due elettrodi più lontani ( A1 e A2 ) si inietti e prelevi una
corrente I . Si misuri poi la differenza di potenziale fra gli elettrodi interni (V1
e V2 ). Posto d = 3l , il potenziale generato dagli elettrodi A1 e A2 a distanza r
dall’elettrodo A1 lungo la congiungente fra i due elettrodi è:
V (r ) =
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ρI ⎛ 1
1 ⎞
⎜ −
⎟
2π ⎝ r d − r ⎠
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Quindi la differenza di potenziale fra V1 e V2 è:
∆V = V1 − V2 =
ρ I ⎡⎛ 1
1 ⎞ ⎛1
1 ⎞⎤
⎜ −
⎟−⎜ −
⎟
⎢
2π ⎣⎝ l d − l ⎠ ⎝ 2l d − 2l ⎠ ⎥⎦
A conti fatti
∆V =
ρI
2π l
La differenza di potenziale ∆V dipende soltanto dalla distanza reciproca fra
gli elettrodi l e dalla resistività del terreno ρ . Non dipende dalle dimensioni
e dalla forma degli elettrodi.
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Schema di misura resistenza di terra RT - Metodo della caduta di tensione
E’ un metodo consolidato già dalle norme C.E.I. del 1962.
X è il dispersore di resistenza incognita RT , A e B sono due sonde ausiliarie
dette sonda di tensione e di corrente, rispettivamente.
RT =
V
I
La sonda B deve essere ad una distanza dal contorno del dispersore X pari ad
almeno 5 volte la dimensione massima del dispersore stesso. La sonda A deve
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essere ad una distanza da X tale per cui allontanandola ulteriormente RT non
vari significativamente.
La disposizione dei tre elettrodi può essere qualunque (non c’è ragione per
allinearli).
Il trasformatore è necessario per alimentare in modo fluttuante (“floating”,
senza un capo a terra) la coppia di elettrodi A e B. Sia il voltmetro che
l’amperometro devono essere floating (strumenti palmari alimentati a
batterie).
La resistenza della sonda B non influisce sul valore letto ma sulla sensibilità
della misura. La resistenza della sonda A è in serie alla impedenza interna del
voltmetro e quindi in genere è trascurabile (impedenza del voltmetro molto
grande, ad esempio 10 MΩ || 100 pF).
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Schema di misura resistenza di terra RT - Metodo del confronto
E’ una variazione del metodo della caduta di tensione. La tensione V fra A e
X viene misurata con un metodo di zero in corrente alternata.
E’ la tecnica usata negli strumenti portatili.
S è uno strumento rivelatore di corrente alternata. Fra i nodi M e N si trova
una resistenza di valore R1 , CR è un cursore che permette di variare la
resistenza R fra i nodi M e CR.
Spostando il cursore CR si fa sì che il rivelatore segni zero. In tale condizione
risulta:
VXA = RT I = RI
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e quindi
RT = R
La resistenza R è tarata e quindi è noto il valore di RT .
Il metodo è di notevole accuratezza (la resistenza R è molto accurata) e
sensibilità (per via della elevata sensibilità dello strumento S).
L’effetto della resistenza della sonda B è eliminato in quanto, quando lo
strumento S segna zero, la sonda B non è attraversata da corrente (lo stesso
vale per la resistenza fra A e CR). L’effetto delle resistenze delle sonde A e B
è limitare la sensibilità.
La resistenza del cordone MX può introdurre un errore sistematico se è molto
lungo (la resistenza del cordone può essere in ogni caso misurata a parte e
aggiunta al valore di R).
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Schema a blocchi di termometro portatile (Metodo del confronto)
Strumento MIT 800 - PANTEC
N
I nodi E, S, H, N corrispondono a X, A, B, CR, rispettivamente (cfr. pag 10).
La corrente alternata iniettata ha frequenza di 108 Hz (per l’immunità dalle
correnti di dispersione nel terreno a frequenze di 50 Hz e 60 Hz e
armoniche).
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La tensione la tensione differenza VRC (tensione ai capi del resistore variabile
di riferimento R , amplificata) meno VRE (tensione fra i nodi S ed E) viene
filtrata a banda stretta e rivelata.
R.E. SWITCH permette di selezionare la portata.
DIGITAL DIAL KNOB permette di selezionare il valore di R in
corrispondenza del quale l’indicatore di zero indica lo zero.
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