CAPITOLO 3 CIRCUITI DI RESISTORI Pagina 3.1

CAPITOLO 3
CIRCUITI DI RESISTORI
Pagina
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Introduzione
Connessione in serie e connessione in parallelo
3.2.1 Bipoli resistivi in serie
3.2.2 Bipoli resistivi in paralleli
Circuiti resistivi lineari e sovrapposizione degli effetti
3.3.1 Circuiti resistivi lineari con un solo generatore
3.3.2 Circuiti resistivi lineari più generatori
Generatore equivalente di Thévenin-Norton
Non amplificazione delle tensioni e delle correnti
170
170
172
177
184
184
186
191
200
170
3.1 Introduzione
Nel presente Capitolo, verrà introdotto il concetto di equivalenza tra bipoli
resistivi e verranno enunciati e dimostrati alcune proprietà generali sui circuiti di
resistori. L’uso del concetto di equivalenza e delle proprietà, che verranno
descritte, spesso portano a una drastica semplificazione di problemi altrimenti
molto difficili da risolvere. Essi rappresentano anche inestimabili strumenti
mediante i quali, in seguito, saranno dedotti un gran numero di risultati. In
particolare, verranno proposti metodi che consentono di determinare la soluzione
di un circuito resistivo senza dovere scrivere esplicitamente le equazioni circuitali.
Un concetto fondamentale nella teoria dei circuiti elettrici è quello di
equivalenza. In generale, può accadere che, due bipoli, che rappresentano
componenti di diversa costituzione fisica, hanno la stessa relazione caratteristica.
Definizione: bipoli equivalenti
Due bipoli si dicono equivalenti se e solo se le loro relazioni caratteristiche
coincidono.
♦
Tramite l’equivalenza tra bipoli è possibile ridurre un circuito di resistori e
generatori ideali a un “circuito semplice” costituito da due soli bipoli, un
generatore ideale e un resistore. Dopo avere risolto il circuito semplice, tutte le
grandezze del circuito in esame possono essere ricostruite tramite delle semplici
regole.
La prima fase della procedura (la riduzione al circuito semplice) corrisponde
esattamente alla riduzione del sistema di equazioni circuitali a una sola equazione
in una sola incognita tramite la procedura dell’eliminazione in avanti per
sostituzione nel metodo di Gauss e la seconda parte corrisponde alla procedura
della ricostruzione all’indietro.
3.2 Connessione in serie e connessione in parallelo
In questo paragrafo saranno esaminate le caratteristiche di bipoli “composti”
costituiti da bipoli resistivi “elementari” - resistori lineari e generatori ideali collegati in serie, in parallelo e in serie-parallelo.
G. Miano, Introduzione ai circuiti
171
Definizione: bipoli collegati in serie
I bipoli B1 e B 2 sono collegati in serie se:
(i) sono connessi a uno stesso nodo (Figura 3.1);
(ii) le correnti nei due bipoli sono uguali, se si scelgono dei riferimenti opportuni
per i versi, come, ad esempio, quelli mostrati in Figura 3.1.
♦
B1 e B 2 sono collegati in serie, i1 = i2 (a); B 3 e B 4 non sono collegati in serie,
i1 ≠ i2 (b)
Fig. 3.1
I due bipoli B1 e B 2 nel circuito riportato in Figura 3.1b non sono collegati in
serie; infatti, essendo in generale i3 ≠ 0, si ha che i1 ≠ i2 .
i
i
+
+
i1
+
i2
v1 B1
−
+
i2
v1 B1
B2 v2
−
(a)
Fig. 3.2
v3
B3
i1
B2 v2
−
+
−
(b)
(a) I bipoli B1 e B 2 sono collegati in parallelo, v1 = v2 ; (b) in generale, essendo
v3 ≠ 0 , si ha v1 ≠ v2 .
Definizione: bipoli collegati in parallelo
I bipoli B1 e B 2 sono collegati in parallelo ai nodi “1” e “2”, se i loro terminali
sono connessi ai nodi “1” e “2”, così come è illustrato in Figura 3.2a. Le
G. Miano, Introduzione ai circuiti
172
tensioni di due bipoli in parallelo sono uguali, se si scelgono dei riferimenti
opportuni per i versi, come, ad esempio, quelli mostrati in Figura 3.2.
♦
I due bipoli B1 e B 2 nel circuito riportato in Figura 3.2b non sono collegati in
parallelo; infatti, supponendo che v3 ≠ 0, si ha che v1 ≠ v2 .
+
+
+
v1
−
+
v
v2
−
R eq
−
−
(a)
Fig. 3.3
N
i
(b)
Due bipoli connessi in serie, insieme col resto del circuito (a) e corrispondente
circuito equivalente (b)
3.2.1 Bipoli resistivi in serie
Si consideri il circuito illustrato in Figura 3.3, in cui i bipoli resistivi R 1 e R 2 sono
collegati in serie. Ai nodi “1” e “3” è connesso il resto del circuito, denotato con
N (esso potrebbe essere costituito anche da bipoli non lineari e dinamici). Si
vuole ottenere la relazione caratteristica del bipolo equivalente alla serie dei due
bipoli R 1 e R 2 .
Applicando la prima legge di Kirchhoff ai nodi “1” e “2” si ottiene:
i = i1 = i2 ;
(1)
applicando la seconda legge di Kirchhoff, si ottiene
v = v1 + v2 .
Si assuma, ora, che i due bipoli statici siano controllati in corrente, cioè:
G. Miano, Introduzione ai circuiti
(2)
173
v1 = r1 (i1 ), v 2 = r2 (i2 ) .
(3)
Sostituendo le (3) nella (2) e utilizzando la (1) si ottiene la relazione caratteristica
del bipolo equivalente serie:
v = req (i) = r1 (i ) + r2 (i ).
(4)
Per determinare la tensione v e la corrente i , nonché tutte le grandezze del resto
del circuito N , basta risolve il circuito equivalente riportato in Figura 3.3b, dove
al posto della serie R 1 -R 2 c’è il bipolo resistivo equivalente definito
dall’equazione caratteristica (4). Il circuito equivalente ha un elemento in meno: in
questo modo abbiamo ridotto la complessità del problema. Una volta note la
tensione v e la corrente i è possibile determinare immediatamente tutte le
grandezze che sono scomparse durante la riduzione (v1 , v 2 , i1 e i2 ).
Sebbene qualsiasi connessione costituita da due resistori non lineari (controllati in
corrente) in serie possa essere rappresenta tramite un opportuno bipolo
equivalente, ora analizzeremo solo le connessioni in serie fondamentali che si
incontrano nei circuiti costituiti da resistori lineari e generatori ideali; a questa
classe di circuiti si dà il nome di circuiti resistivi lineari.
Resistori lineari in serie
Si considerino due resistori lineari, con resistenze R1 e R2 , collegati in serie. In
questo caso si ha
v1 = r1 (i1 ) = R1i1 , v2 = r2 (i2 ) = R2i2 ,
(5)
v = (R1 + R2 )i = Req i,
(6)
e la (4) diventa
cioè il resistore con resistenza
Req = (R1 + R2 ) ,
(7)
G. Miano, Introduzione ai circuiti
174
è equivalente al bipolo costituito dal resistore con resistenza R1 in serie con il
resistore di resistenza R2 , Figura 3.4.
+
+
1
v1
R1
+
2
v2
v
R2
3
−
Fig. 3.4
1
Req = R1 + R2
3
Due resistori lineari collegati in serie e resistore equivalente.
Esiste una semplice relazione tra la tensione su ciascun resistore della serie (v1 e
v 2 ) e la tensione v della serie. È facile dimostrare che
v1 = v
R1
R2
, v2 = v
,
R1 + R2
R1 + R2
(8)
i riferimenti per i versi delle tensioni sono quelli riportati in Figura 3.4. Queste
sono le formule del partitore di tensione. Quando le due resistenze R1 e R2
sono uguali, il valore della resistenza equivalente è due volte il valore delle singole
resistenze della serie, le tensioni v1 e v 2 sono uguali e sono la metà della tensione
della serie, v1 = v2 = v / 2 .
Osservazione
La sostituzione di due resistori collegati in serie con il resistore equivalente,
corrisponde alla riduzione del sistema di equazioni circuitali attraverso
l’eliminazione per sostituzione; la ricostruzione delle tensioni su ogni resistore,
una volta nota la tensione sulla serie, attraverso le formule del partitore,
corrisponde all’eliminazione all’indietro nell’algoritmo di Gauss.
È immediato verificare che nel caso di m resistori in serie R1 , R2 , ..., Rm , la
resistenza del bipolo serie equivalente vale
m
Req = R1 + R2 + ... + Rm = ∑ Ri .
i=1
G. Miano, Introduzione ai circuiti
(9)
175
La tensione vi del i −esimo resistore è legata alla tensione v della serie tramite la
relazione
vi = (±)v
Ri
∑ j =1 Rj
m
;
(10)
nella (10) deve essere considerato il segno positivo se i riferimenti per i versi delle
due tensioni sono concordi o, in caso contrario, il segno negativo.
♦
+
+
1
i
e1
v
i
Fig. 3.5
1
3
1
e
eeq = e1 + e2
2
v
j
2
j
e2
−
1
3
3
−
(a)
3
(b)
Generatori collegati in serie
Generatori di tensione ideali in serie
Si considerino due generatori di tensione ideali, con tensioni e1 e e2 , collegati in
serie (Figura 3.5a). In questo caso si ha
v1 = e1 , v2 = e2 ,
(11)
v = e1 + e2 .
(12)
quindi la (4) diventa
Inoltre, la corrente i non dipende direttamente dalla tensione v . Pertanto il bipolo
generatore di tensione ideale con tensione
eeq = e1 + e2
(13)
G. Miano, Introduzione ai circuiti
176
è equivalente al bipolo costituito dal generatore di tensione con tensione e1 in
serie con il generatore di tensione e2 .
Non è significativo il caso di due generatori ideali di corrente in serie, perché da
luogo a un modello incompatibile (a meno che le due correnti non siano eguali e
in tal caso il bipolo equivalente è ancora un generatore di corrente con la stessa
corrente dei due generatori).
Generatore ideale di tensione in serie con un generatore ideale di corrente
Si consideri un generatore di tensione ideale, con tensione e , connesso in serie
con un generatore ideale di corrente con corrente j , (Figura 3.5b).
In questo caso la tensione della serie non è nota, e la corrente è uguale a J 2 per
qualsiasi valore della tensione. Pertanto la serie tra un generatore di corrente
ideale e un generatore di tensione ideale è equivalente a un generatore ideale di
corrente.
+
1
v
i
e
v
e
2
R
−
−e / R
3
(a)
Fig. 3.6
i
(b)
Un resistore in serie con un generatore ideale di tensione.
Un resistore in serie con un generatore di tensione ideale
Si consideri un generatore di tensione ideale, con tensione e , connesso in serie
con un resistore lineare di resistenza R , (Figura 3.6). La caratteristica del bipolo è
equivalente è
v = e + Ri .
G. Miano, Introduzione ai circuiti
(14)
177
Essa è la caratteristica del generatore “reale” di tensione; i riferimenti sono quelli
illustrati in Figura 3.6. Il generatore reale di tensione è un bipolo attivo
Infine, un generatore di corrente ideale, che imprime la corrente J , collegato in
serie a un resistore è equivalente a un generatore di corrente ideale che imprime
la corrente J .
3.2.2 Bipoli resistivi in parallelo
Si consideri il circuito di Figura 3.7, in cui due bipoli statici R1 e R2 sono collegati
in parallelo, ai nodi “1” e “2”. Anche in questo caso la natura del circuito N è
irrilevante se si vuole ottenere solo la caratteristica del bipolo equivalente al
parallelo di R1 con R2 .
+
−
Fig. 3.7
(a) Due bipoli connessi in parallelo, insieme col resto del circuito e (b)
corrispondente circuito equivalente.
Applicando la seconda legge di Kirchhoff, si ha che le tensioni v1 e v2 sono
eguali, cioè
(15)
v = v1 = v2 ;
applicando la prima legge di Kirchhoff, si ottiene
i = i1 + i2 .
(16)
Si assuma, ora, che i due bipoli siano controllati in tensione, cioè:
i1 = g1 (v1 ), i2 = g2 (v2 ) .
(17)
Sostituendo le (17) nella (16) e utilizzando la (15), si ottiene la relazione
caratteristica del bipolo equivalente al parallelo:
G. Miano, Introduzione ai circuiti
178
i = geq(v ) = g1 (v ) + g2 (v ) .
(18)
Per determinare la tensione v e la corrente i , nonché tutte le grandezze del resto
del circuito N , si risolve il circuito equivalente riportato in Figura 3.7b, dove al
posto del parallelo R 1 -R 2 c’è il bipolo resistivo equivalente definito
dall’equazione caratteristica (4). Anche in questo caso il circuito equivalente ha un
elemento in meno: in questo modo abbiamo ridotto la complessità del problema.
Una volta note la tensione v e la corrente i è possibile determinare
immediatamente tutte le grandezze che sono scomparse durante la riduzione (v1 ,
v 2 , i1 e i2 ). Sebbene il bipolo equivalente parallelo possa essere costruito da due
resistori non lineari (controllati in corrente), qui noi considereremo solo le
connessioni in parallelo fondamentali, che si incontrano nei circuiti resistivi lineari.
Resistori lineari in parallelo
Si considerino due resistori lineari, con resistenze R1 e R2 , collegati in parallelo. Si
ha
 1
1 
i =
+
v,
 R1 R 2 
(19)
cioè il resistore con conduttanza
Geq = G1 + G2 ,
(20)
è equivalente al bipolo costituito dal resistore con conduttanza G1 = 1/ R1 in
parallelo al resistore di conduttanza G2 = 1/ R2 , Figura 3.8.
i2
i
i1
Fig. 3.8
Due resistori collegati in parallelo e corrispondente resistore equivalente
G. Miano, Introduzione ai circuiti
179
Se invece della conduttanza equivalente si considera la resistenza equivalente, si
ha
R eq =
R1R 2
R1 + R 2
(21)
Esiste una semplice relazione tra la corrente in ogni resistore del parallelo ( i1 e i2 )
e la corrente i del parallelo. È facile dimostrare che
i1 = i
G1
G2
, i2 = i
;
G1 + G2
G1 + G2
(22)
i riferimenti per i versi delle correnti sono quelli illustrati in Figura 3.8. Queste
sono le formule del partitore di corrente.
Le relazioni (22) formulate attraverso le resistenze diventano:
i1 = i
R2
R1
, i2 = i
.
R1 + R2
R1 + R2
(23)
Quando le due resistenze R1 e R2 sono uguali, il valore della resistenza
equivalente è la metà del valore delle singole resistenze del parallelo, le correnti i1
e i2 sono uguali e sono la metà della corrente del parallelo, i1 = i2 = i / 2 .
Osservazione
La sostituzione di due resistori in parallelo con il resistore equivalente,
corrisponde di nuovo alla riduzione del sistema di equazioni circuitali attraverso
l’eliminazione per sostituzione; la ricostruzione delle correnti in ogni resistore, una
volta nota la corrente del parallelo, attraverso le formule del partitore,
corrisponde all'eliminazione all'indietro nell’algoritmo di Gauss.
È immediato verificare che nel caso di m resistori in parallelo R1 , R2 , ..., Rm la
conduttanza del bipolo parallelo equivalente vale
Geq =
m 1
1
1
1
+
+ ...+
= ∑ .
R1
R2
R m i=1 Ri
(24)
La corrente i j del j − esimo resistore è legata alla corrente totale del parallelo dalla
relazione
G. Miano, Introduzione ai circuiti
180
i j = (±)i
Gj
m
∑ h =1 Gh
;
(25)
nella (25) deve essere considerato il segno positivo se i versi di riferimento delle
correnti i j e i sono discordi rispetto al nodo o, in caso contrario, il segno
negativo.
♦
Generatori di corrente ideali in parallelo
Si consideri il caso in cui due generatori di correnti ideali, con correnti j1 e j2
sono collegati in parallelo. Il bipolo generatore di corrente ideale con corrente
jeq = j1 + j2 ;
(26)
è equivalente al bipolo costituito dalla serie del generatore ideale di corrente con
corrente j1 con il generatore di tensione j2 , Figura 3.9a.
1
1
1
1
jeq = j1 + j2 j
e
3
3
2
Fig. 3.9
(a)
j
(b)
Generatori collegati in parallelo.
Generatore ideale di tensione in parallelo con un generatore ideale di
corrente
Si considerino un generatore di tensione ideale, con tensione e , connesso in
parallelo con un generatore ideale di corrente con corrente j , (Figura 3.9b). La
corrente del parallelo non è nota e la tensione è uguale a e per qualsiasi valore
G. Miano, Introduzione ai circuiti
181
della corrente. Pertanto questo bipolo è equivalente a un generatore di tensione
ideale che imprime la tensione e .
Non è significativo il caso di due generatori ideali di tensione in parallelo, perché
da luogo a un modello incompatibile (a meno che le due tensioni non siano eguali
e in tal caso il bipolo equivalente è ancora un generatore di tensione con la stessa
tensione dei due generatori).
Resistore in parallelo con un generatore di corrente ideale
Si consideri un generatore di corrente ideale, con corrente j , connesso in
parallelo con un resistore lineare di resistenza R e quindi conduttanza G =1/ R .
La caratteristica del bipolo equivalente è
i = j + Gv .
(27)
Essa è la caratteristica del generatore “reale” di corrente; i riferimenti per i versi
sono quelli illustrati in Figura 3.10. Il generatore reale di corrente è un bipolo
attivo.
Infine, il parallelo tra un generatore di tensione ideale con tensione e e un
resistore è equivalente a un generatore di tensione ideale con tensione e .
i
i
j
R
+
−
v
−
(a)
Fig. 3.10
j
− j /G
i
(b)
(a) Circuito equivalente al generatore reale di corrente e (b) curva
caratteristica.
Osservazione
Il bipolo costituito da un resistore di resistenza R collegato in serie con un
generatore indipendente di tensione, che imprime la tensione e , è equivalente al
bipolo costituito dallo stesso resistore collegato in parallelo con un generatore
G. Miano, Introduzione ai circuiti
182
indipendente di corrente che imprime la corrente j = e / R; i versi di riferimento
per le variabili circuitali sono quelli indicati nelle Figure 3.6 e 3.10. Ovviamente
vale anche il viceversa; in questo caso abbiamo e = Rj . Il lettore dimostri questa
proprietà di equivalenza.
Questa equivalenza può essere molto utile nella soluzione di circuiti che
contengono più generatori indipendenti. Come vedremo sostituire un resistore
collegato in serie con un generatore di tensione con l’equivalente parallelo in cui
al posto del generatore di tensione c’è il generatore di corrente (o viceversa) può
ridurre di molto la complessità del circuito.
♦
Esempio
Si consideri il circuito rappresentato in Figura 3.11. Esso può essere ridotto
utilizzando le equivalenze serie e parallelo a un circuito “semplice” costituito dal
generatore ideale di tensione e da un resistore lineare. Le regole del partitore di
tensione e di corrente consentono, poi, di ricostruire tutte le tensioni e le correnti
del circuito.
Il generatore di tensione è in serie con il resistore di resistenza R1 e il resistore di
resistenza R3 è in serie con il resistore di resistenza R4 . Se fosse nota la corrente
i1 , attraverso le regole del partitore di corrente si potrebbero determinare le altre
due correnti e quindi, anche, le tensioni su ogni resistore.
+
−
Fig. 3.11
Circuito resistivo lineare con un solo generatore.
La corrente i1 può essere determinata riducendo il circuito a un circuito
“semplice” costituito dal generatore e da un solo resistore. La procedura di
riduzione è riportata in Figura 3.12. La corrente i1 vale
G. Miano, Introduzione ai circuiti
183
i1 =
E
= 2 A.
Req(3)
(28)
Utilizzando la formula del partitore di corrente è possibile calcolare le correnti i2
e i3 (i resistori con resistenze R2 e Req(1) sono in parallelo nel circuito N (1) ). Si
ottiene
Req(1)
R2
i2 =
=
1
A
e
i
=
= 1 A.
3
R2 + Req(1)
R2 + Req(1)
(29)
Infine, le tensioni dei resistori valgono
v1 = R1i1 = 2.5 V, v2 = R2 i2 = 5 V, v3 = R3 i3 = 3 V, v4 = R4 i4 = 2 V.
+
−
+
−
+
−
Fig. 3.12
(30)
+
−
Descrizione della procedura di riduzione.
Questo esempio mostra come si può risolvere un circuito con un solo generatore
senza utilizzare esplicitamente le equazioni circuitali (le equazioni di Kirchhoff e le
equazioni costitutive). La procedura descritta è equivalente alla soluzione del
sistema di equazioni circuitali con il metodo di Gauss: la riduzione del circuito
avviene per ispezione ed è guidata dalle proprietà del grafo.
G. Miano, Introduzione ai circuiti
184
+
−
Fig. 3.13
Esempio di circuito che non può essere risolto con la sola riduzione serie e
parallelo
Tutti i circuiti resistivi con un solo generatore possono essere risolti in questo
modo? Purtroppo la risposta è no. Si consideri, ad esempio, il circuito illustrato in
Figura 3.13. In questo caso non è possibile individuare né collegamenti in
parallelo né collegamenti in serie. È ancora possibile determinare un resistore
equivalente al bipolo di resistori N . La resistenza del resistore equivalente può
essere determinata attraverso degli strumenti di analisi che saranno introdotti in
seguito. Per ora il lettore calcoli la corrente i che circola nel resistore con
resistenza R usando il metodo dei potenziali di nodo.
3.3 Circuiti resistivi lineari e sovrapposizione degli effetti
In questo paragrafo, saranno enunciate e dimostrate alcune proprietà generali dei
circuiti resistivi lineari, ovvero il teorema della sovrapposizione degli effetti e il
teorema di Thévenin-Norton. Essi costituiscono utili strumenti di analisi per i
circuiti resistivi lineari.
3.3.1 Circuiti resistivi lineari con un solo generatore
Si consideri un circuito costituito da elementi resistivi lineari e un solo generatore
ideale, ad esempio, un generatore ideale di tensione (Figura 3.14). Siano
T
T
i = (i1 ,i2 ,...,il ) le correnti e v = (v1 , v 2 , ..., vl ) le tensioni del circuito. I lati sono
stati ordinati in modo tale che il generatore di tensione ideale corrisponda al lato
“l ”. Gli altri l − 1 lati sono resistori lineari; la resistenza del k − esimo resistore è
indicata con Rk , con 1 ≤ k ≤ l − 1.
G. Miano, Introduzione ai circuiti
185
1
i
+
e
il
+
vl
vk
−
n
−
1 i
ik
Rk
+
e
vl
il
L
(a)
Fig. 3.14
Req
−
n
(b)
(a) Circuito resistivo lineare con un solo generatore; (b) circuito equivalente.
Le equazioni circuitali sono
Ai = 0,
Bv = 0,
v k − Rk ik = 0 per k = 1, 2,...,l −1,
vl = e,
(31)
(32)
(33)
(34)
dove A e B sono, rispettivamente, una matrice di incidenza ridotta e una matrice
di maglia fondamentale del circuito. Il sistema di equazioni (31) e (32) sono le
equazioni di interconnessione del circuito (equazioni di Kirchhoff per le correnti e
per le tensioni); le equazioni (33) sono le equazioni caratteristiche dei resistori;
infine, l’equazione (34) è l’equazione caratteristica del generatore ideale di
tensione. Tutte queste equazioni sono algebriche lineari; inoltre, ad eccezione
dell’ultima equazione, tutte le equazioni sono anche omogenee.
A causa della linearità ogni corrente e ogni tensione è direttamente proporzionale
alla tensione del generatore ideale di tensione (oppure alla corrente del generatore
di corrente nel caso in cui nel circuito vi fosse un solo generatore di corrente
indipendente). Siano
˜i j = H j ⋅ 1 V,
v˜ j = K j ⋅ 1 V per 1 ≤ j ≤ b
(35)
le correnti e le tensioni del circuito per e = 1 V ; le grandezze H j sono
omogenee, dimensionalmente, con una conduttanza e le grandezze K j sono
G. Miano, Introduzione ai circuiti
186
adimensionali. Siccome il sistema di equazioni (31)-(34) è lineare, la soluzione del
circuito per un generico valore di e è
i j = H j e, v j = K j e per 1 ≤ j ≤ b.
(36)
La verifica di questa proprietà può essere effettuata sostituendo le espressioni (36)
nelle equazioni circuitali. Il lettore la esegua. In particolare, la corrente i nel
terminale “1” del bipolo N vale
i = e/Req
(37)
dove Req = −1/ Hb . Dunque un qualsiasi bipolo N costituito da soli resistori
lineari (senza generatori) può essere sempre rappresentato da un bipolo resistore
equivalente con resistenza Req . Se i resistori che costituiscono il bipolo N sono
tutti passivi, cioè Rk > 0 k = 1, 2,...,l −1, allora per Req vale la relazione
Req ≥ 0;
(38)
(questa relazione può essere dimostrata utilizzando la conservazione delle potenze
elettriche).
3.3.2
Circuiti resistivi lineari con più generatori
Si consideri, ora, un circuito costituito da resistori lineari e da più generatori
ideali, ad esempio, un circuito con un generatore ideale di tensione e uno di
corrente (Figura 3.15). La proprietà che verrà dimostrata è indipendente dal
numero e dal tipo di generatori ideali presenti; soltanto per semplificare la
notazione ne sono stati considerati solo due.
T
T
Siano i = (i1 ,i2 ,...,il ) le correnti e v = (v1 , v 2 , ..., vl ) le tensioni del circuito. I lati
sono stati ordinati in modo tale che: al generatore di tensione ideale corrisponda il
lato “l ” e al generatore di corrente ideale il lato “l − 1”. Gli altri l − 2 lati sono
resistori lineari e la resistenza del k − esimo resistore è indicata con Rk
1 ≤ k ≤ l − 2. Le equazioni circuitali sono
Ai = 0,
Bv = 0,
v k − Rk ik = 0 per k = 1, 2,...,l − 2,
G. Miano, Introduzione ai circuiti
(39)
(40)
(41)
187
il−1 = j,
vl = e .
1
e
il
2 il −1
+
+
vl
vk
−
n
−
(42)
(43)
ik
+
j
vl −1
Rk
−
n−1
L
Fig. 3.15
Circuito resistivo lineare con due generatori indipendenti.
Si considerino ora i due circuiti ausiliari L ′ e L ′ ′ rappresentati in Figura 3.16: il
circuito L ′ , rappresentato in Figura 3.16a, è stato ottenuto a partire dal circuito in
esame spegnendo il generatore di tensione; il circuito L ′ ′ , rappresentato in Figura
3.16b, è stato ottenuto a partire dal circuito in esame spegnendo il generatore di
corrente. Ricordiamo che spegnere un generatore ideale di tensione equivale a
sostituirlo con un corto circuito, mentre spegnere un generatore ideale di corrente
equivale a sostituirlo con un circuito aperto. Denotiamo con un apice tutte le
grandezze relativo al circuito ausiliario L ′ e con due apici tutte le grandezze
relative al circuito ausiliario L ′ ′ .
1
+
ik′
vl′
vk′
Rk
−
n
−
+
e
il′
2 il′−1 = 0
1
+
+
vl′−1
vl′′ = 0
−
n−1
il′′ −
n
+
v ′′k
ik′′
+
Rk
vl′′−1
j
−
n−1
−
L ′′
(b)
L′
(a)
Fig. 16
2 il′′−1
Circuiti ausiliari del circuito rappresentato in Figura 3.15.
Le equazioni dei due circuiti ausiliari sono
G. Miano, Introduzione ai circuiti
188
circuito ausiliario N ′
circuito ausiliario N ′′
Ai ′ = 0,
Ai ′ ′ = 0,
B v ′ = 0,
B v ′ ′ = 0,
v k′ − Rk ik′ = 0, k = 1, 2,...,l − 2 v k′ ′ − Rk ik′ ′ = 0, k = 1, 2,...,l − 2
il−1
′ = J,
il−1
′ ′ = 0,
vl′ = 0.
vl′ ′ = E.
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
Essendo il sistema (39)-(43) lineare la sua soluzione può essere sempre espressa
come sovrapposizione lineare delle soluzioni dei due circuiti ausiliari, cioè
i = i ′ + i ′′ ,
v = v ′ + v ′′.
(49)
La verifica di questa proprietà può essere effettuata sostituendo le espressioni (49)
nelle equazioni circuitali del circuito in esame. Il lettore la esegua. Le relazioni
(49) si prestano a questa interpretazione.
Proprietà della sovrapposizione degli effetti
La generica corrente (o tensione) in un circuito di resistori lineari e di generatori
ideali, è la somma delle correnti (o tensioni) che ciascuno dei generatori
indipendenti produrrebbe se agisse da solo con tutti gli altri generatori
indipendenti “spenti”.
♦
Una immediata conseguenza della proprietà della sovrapposizione e delle (36) è
che qualsiasi corrente i j (1 ≤ j ≤ l ) del circuito in esame è data da una
combinazione lineare delle sorgenti del tipo
ij = H j E + Qj J
(50)
e qualsiasi tensione v j (1 ≤ j ≤ l ) è data da una combinazione lineare delle
sorgenti del tipo
v j = K j E + Pj J
G. Miano, Introduzione ai circuiti
(51)
189
dove i fattori H j , K j , Pj , Q j sono costanti dipendenti unicamente dai parametri
circuitali e non dai generatori indipendenti.
Esempio
Si consideri il circuito rappresentato in Figura 3.17 e si determini la potenza
elettrica assorbita dal resistore R1 . L’espressione della potenza assorbita da R1 è
p1 = R1i12 = i12 .
(52)
Per determinare la corrente i1 si può usare la sovrapposizione degli effetti, le
equivalenze serie e parallelo e le regole del partitore di tensione e di corrente.
+
−
Fig. 3.17
Circuito resistivo lineare con due generatori indipendenti.
Applicando la sovrapposizione degli effetti, la corrente i può essere espressa come
i1 = i1′ + i1′ ′
(53)
dove i1′ è la corrente del resistore R1 quando è spento il generatore di corrente ed
è acceso quello di tensione e i1′ ′ è la corrente nel resistore R1 quando è spento il
generatore di tensione ed è acceso quello di corrente. I due circuiti ausiliari sono
rappresentati, rispettivamente, in Figura 3.18 e in Figura 3.19. Si osservi che,,
essendo
p1 = R1 (i1′ + i1′ ′) = R1 i1′ 2 + 2R1i1′i1′ ′ + R1i1′ ′ 2
2
(54)
per la potenza non vale la proprietà della sovrapposizione. Ciò è semplicemente
conseguenza del fatto che la potenza è un’espressione quadratica della corrente (o
della tensione).
G. Miano, Introduzione ai circuiti
190
Calcolo di i1′ .
Il generatore di tensione è in serie con il resistore di resistenza R1 e il resistore di
resistenza R3 è in serie con il resistore di resistenza R4 (Figura 3.18); inoltre la
serie R3 -R4 è in parallelo con R2 . La corrente i1′ può essere determinata
riducendo il circuito L ′ a un circuito “semplice” costituito dal generatore di
tensione e da un solo resistore. La procedura di riduzione è descritta in Figura
3.18. Allora la corrente i1′ vale
i1′ =
+
−
E
= 10 A.
Req(3)
+
−
+
−
Fig. 3.18
Fig. 3.19
(55)
+
−
Circuito ausiliario L ′ e procedura di riduzione
Circuito ausiliario L ′ ′ e procedura di riduzione
G. Miano, Introduzione ai circuiti
191
Calcolo di i2′ .
La corrente i ′3′ nel circuito L ′ ′ (Figura 3.19) può essere calcolata usando la
formula del partitore di corrente ( R4 e Req(2 ) sono in parallelo); applicandola si
ottiene
i3′ ′ = J
R4
= 12.5 A.
R4 + Req( 2 )
(56)
A questo punto, essendo nota la corrente i ′3′ , la corrente i1′′ nel circuito L ′ ′
(Figura 3.19) può essere calcolata usando, ancora, la formula del partitore di
corrente ( R1 e R2 sono in parallelo); applicandola si ottiene
i1′ ′ = i3′ ′
R2
= 6.25 A.
R1 + R2
(57)
Allora corrente la corrente i1 vale i1 = i1′ + i1′ ′ = 16.25 A e, quindi, la potenza
assorbita dal resistore di resistenza R1 vale p1 ≅ 264.1 W.
3.4 Generatore equivalente di Thévenin-Norton
Nella prima parte di questo paragrafo è stato dimostrato che un qualsiasi bipolo
N costituito da soli resistori lineari, quindi senza generatori indipendenti, può
essere sempre rappresentato da un bipolo resistore equivalente con resistenza
Req . Si consideri, ora, un bipolo N L composto da resistori lineari e generatori
indipendenti, Figura 3.20a. Vogliamo determinare la caratteristica i − v di questo
bipolo.
Per determinare la curva caratteristica i − v di N L e, quindi, il bipolo equivalente,
bisogna determinare la relazione tra la corrente i e la tensione v per tutti i valori
di corrente e di tensione ammissibili. Ciò può essere fatto attraverso un
esperimento concettuale in cui si impone la corrente i attraverso un generatore
di corrente indipendente e si determina la tensione v (Figura 3.20b,
caratterizzazione su base corrente del bipolo), oppure si impone la tensione v
attraverso un generatore indipendente di tensione e si determina la corrente i
(Figura 3.20c, caratterizzazione su base tensione del bipolo). Le due
caratterizzazioni sono equivalenti, fatta eccezione per due casi molto particolari.
G. Miano, Introduzione ai circuiti
192
1 i
1
+
+
i
v
−
1 i
v
v
−
L
2
2
2
(a)
Fig. 3.20
L
L
(b)
(c)
Bipolo costituito da resistori e generatori indipendenti (a); circuito per la
caratterizzazione di su base corrente (b) e su base tensione (c)
Si consideri la caratterizzazione su base corrente. Bisogna determinare la
relazione che lega la tensione v alla corrente impressa i . Si assuma che il circuito
di Figura 3.20b abbia una e una sola soluzione per ogni valore di i . Siccome il
circuito è lineare, la relazione cercata può essere determinata attraverso la
sovrapposizione degli effetti. A tale scopo si considerino i due circuiti ausiliari
rappresentati in Figura 3.21. Il primo è stato ottenuto spegnendo nel circuito di
Figura 3.21b tutti i generatori indipendenti di L , mentre il secondo è stato
ottenuto spegnendo solo il generatore di corrente “ausiliario” che imprime la
corrente i .
i
1
1
+
+
v′
i ′′ = 0 v ′′
−
−
2
Fig. 3.21
L
L′
(a)
2
L
L ′′
(b)
Circuiti ausiliari associati al circuito di Figura 3.20b
Il bipolo L ′ è costituito da soli resistori lineari, circuiti aperti (corrispondenti ai
generatori di correnti spenti) e corto circuiti (corrispondenti ai generatori di
tensione spenti). Esso può essere rappresentato tramite un resistore equivalente.
Sia Req la resistenza equivalente di L ′ ; allora la tensione v ′ vale
v ′ = Req i.
G. Miano, Introduzione ai circuiti
(58)
193
Nel circuito illustrato in Figura 3.21b le sorgenti sono solo quelle interne al
circuito L ( i ′′ = 0 ). Si indichi con E0 la tensione di L quando la corrente i è
uguale a zero, la cosiddetta tensione a circuito aperto o a vuoto. La tensione a
vuoto è indipendente dalla corrente i , dipende solo dalla struttura interna del
bipolo resistivo L . Applicando la sovrapposizione degli effetti si ha
v = v ′ + v ′′ ;
(59)
utilizzando l’equazione (58) dalla (59) abbiamo
v = Req i + E0 .
(60)
La (60) è la caratteristica del bipolo L . Essa coincide con la caratteristica del
generatore “reale” di tensione. Di conseguenza, il comportamento ai terminali di
un qualsiasi bipolo costituito da resistori lineari e generatori indipendenti è
equivalente a un generatore reale di tensione. Questo risultato notevole va sotto il
nome di Teorema di Thévenin.
1 i
1 i
Req
+
v
−
L
2
Fig. 3.22
E0
v
2
Generatore equivalente di Thévenin.
Teorema di Thévenin
Si consideri un bipolo L costituito da resistori lineari e generatori indipendenti. Si
assuma che il circuito ottenuto collegando il bipolo resistivo “lineare” L a un
generatore ideale di corrente ammetta una e una sola soluzione. Allora il
comportamento ai terminali di L è equivalente al generatore equivalente di
Thévenin riportato in Figura 3.22, dove:
Req , detta resistenza equivalente di Thévenin, è la resistenza equivalente del
bipolo L , dopo avere spento tutti i generatori ideali all’interno di L ;
G. Miano, Introduzione ai circuiti
194
E0 , detta tensione di circuito aperto (o tensione a vuoto), è la tensione fra i
terminali “1” e “2” di L quando esso è collegato a un circuito aperto.
♦
Si consideri ora la caratterizzazione su base tensione e si assuma che il circuito di
Figura 3.20c ammetta una e una sola soluzione per ogni valore di v . Il lettore
dimostri, applicando la sovrapposizione degli effetti, che la relazione tra la
corrente i e la tensione v vale
i = Geq v + J cc .
(61)
dove Geq è la conduttanza equivalente del bipolo L quando tutti i generatori sono
spenti e J cc è la corrente nel terminale “1” quando il bipolo L è collegato a un
corto circuito. La relazione (61) è la relazione caratteristica di un generatore
“reale” di corrente. Di conseguenza, il comportamento ai terminali di un qualsiasi
bipolo costituito da resistori lineari e generatori indipendenti è equivalente a un
generatore reale di tensione. Questo risultato notevole va sotto il nome di
Teorema di Norton.
1 i
1 i
+
v
−
v
J cc
L
2
Fig. 3.23
Req
2
Generatore equivalente di Norton.
Teorema di Norton
Si consideri un bipolo L costituito da resistori lineari e generatori indipendenti. Si
assuma che il circuito ottenuto collegando il bipolo resistivo “lineare” L a un
generatore ideale di tensione ammetta una e una sola soluzione. Allora L può
essere rappresentato attraverso il generatore equivalente di Norton riportato in
Figura 3.22, dove:
Geq , detta conduttanza equivalente di Norton, è la conduttanza equivalente
del bipolo N L , dopo avere spento tutti i generatori all'interno di L ;
G. Miano, Introduzione ai circuiti
195
J cc , detta corrente di corto circuito, è la corrente nel terminale “1” di L
quando esso è collegato a un corto circuito.
♦
Quando Req ≠ 0 e Geq ≠ 0 le relazioni (60) e (61) sono invertibili e, quindi, il
comportamento ai terminali del bipolo L può essere rappresentato sia dal
generatore equivalente di Thévenin che dal generatore equivalente di Norton.
Valgono, allora, le relazioni
Req =
1
E
, J cc = − 0 .
Geq
Req
(62)
Queste relazioni consentono di determinare i parametri del generatore equivalente
di Norton del bipolo L a partire dai parametri del generatore equivalente di
Thévenin, e viceversa. Utilizzando la seconda delle (62) è possibile determinare la
resistenza equivalente di Thévenin nota la tensione a vuoto E0 e la corrente di
corto circuito J cc . Questo è un risultato assai interessante dal punto di vista
pratico, perché consente di determinare la relazione caratteristica di un sistema
elettrico assimilabile a un bipolo di resistori e generatori indipendenti attraverso
due misure: la misura della tensione a vuoto e la misura della corrente di corto
circuito. Il lettore provi a individuare dei casi in cui Req = 0 o Geq = 0 ; può anche
accadere che E0 = 0 e/o J cc = 0 , pur essendovi dei generatori.
1 i
1i
Req
+
N
v
−
2
(a)
Fig. 3.24
v
L
E0
N
2
(b)
(a) Circuito costituito da un bipolo resistivo lineare con generatori indipendenti
e un bipolo non necessariamente lineare o resistivo; (b) circuito equivalente
ottenuto applicando Thévenin.
I circuiti equivalenti di Thévenin-Norton hanno una grande importanza nell’analisi
dei circuiti. Attraverso di essi è possibile ridurre notevolmente la complessità delle
parti di un circuito costituite da resistori lineari e generatori indipendenti. Si
G. Miano, Introduzione ai circuiti
196
consideri, ad esempio, il circuito costituito da un bipolo L , composto da resistori
lineari e generatori indipendenti, e da un bipolo N non necessariamente lineare o
resistivo (esso può essere anche di tipo dinamico), Figura 3.24a. Se si è interessati
alla tensione v e/o alla corrente i conviene rappresentare il bipolo L attraverso il
circuito equivalente di Thévenin (o Norton), e quindi studiare il circuito
rappresentato in Figura 3.24b, che è più semplice di quello di partenza. In
conclusione possiamo sostituire qualsiasi parte di un circuito, assimilabile a un
bipolo resistivo lineare con generatori indipendenti, con due soli elementi
circuitali, o un generatore reale di tensione oppure un generatore reale di
corrente, senza, così, influenzare il funzionamento della restante parte del circuito.
Esercizio
Si determini nel circuito illustrato in Figura 3.25 la potenza assorbita dal resistore
R4 , p4 = R 4 i 24 . In questo caso la corrente i4 non può essere determinata solo
attraverso le equivalenze serie e parallelo e le formule dei partitori, perché vi sono
delle connessioni tipo “triangolo” o tipo “stella”.
+
−
Fig. 3.25
0
+
−
(a) Circuito in esame e (b) circuito equivalente ottenuto applicando Thévenin.
Il calcolo di i4 può essere semplificato notevolmente se si usa il generatore
equivalente di tensione per rappresentare la parte del circuito racchiusa dalla linea
tratteggiata in Figura 3.26a. In Figura 3.26b è rappresentato il circuito
equivalente ottenuto applicando Thévenin. Bisogna determinare i parametri E0 e
Req .
G. Miano, Introduzione ai circuiti
197
+
+
−
0
L
−
0
Fig. 3.26
Bipolo resistivo “lineare” L (a) e
generatore spento (b).
bipolo resistivo “lineare” L con il
Calcolo di E0
Per calcolare E0 bisogna risolvere il circuito di Figura 3.26a. Questo circuito può
essere risolto utilizzando l’equivalenza serie e parallelo e le formule dei partitori. Il
resistore R3 è in serie con R5 ; la serie R3 − R5 è a sua volta in parallelo con R1 ;
questo parallelo è, infine, in serie con R2 . Quindi la resistenza equivalente R , che
vede il generatore E , vale
R=
R1 (R3 + R5 )
+ R2 = 6.4 Ω
R1 + R3 + R5 )
(63)
La corrente i è data da i = E / R = 1.5625. Per determinare E * basta conoscere
la corrente i5 . Infatti applicando la seconda legge di Kirchhoff si ottiene
E * = E − R5 i5 . La corrente i5 può essere determinata utilizzando il partitore di
corrente. Si ottiene
i5 = i
R1
= 0.625 A
R1 + R3 + R5
(64)
Quindi abbiamo E * = E − R5 i5 = 7.5 V .
Calcolo di Req .
Per calcolare Req si possono applicare le equivalenze serie e parallelo al bipolo
illustrato in Figura 3.26b. Il resistore R1 è in parallelo con R2 ; il parallelo R1 R2 è
G. Miano, Introduzione ai circuiti
198
a sua volta in serie con R3 ; questa serie è, infine, in parallelo con R5 . Quindi la
resistenza equivalente Req vale
 RR

R5  1 2 + R3 
 R1 + R2

Req =
=2Ω
R1 R2
R5 +
+ R3
R1 + R2
(65)
Ora è possibile calcolare la corrente i4 . Si ha
E*
i4 =
1.875 A
Req + R4
(66)
La potenza assorbita dal resistore R4 vale p4 = R4 i42 ≅ 7.0 W.
Il lettore determini la potenza erogata dal generatore di tensione del circuito in
esame, rappresentato in Figura 3.25a. Essa non coincide con quella erogata dal
generatore di tensione del circuito equivalente rappresentato in Figura 3.25b.
Perché?
Esempio
Si determini nel circuito illustrato in Figura 3.27 la tensione del diodo.
+
+
+
−
Fig. 3.27
00
L
−
+
−
−
(a) Circuito con un elemento non lineare; (b) circuito equivalente ottenuto
applicando Thévenin.
Il calcolo di v può essere semplificato notevolmente se si usa di nuovo il
generatore equivalente di tensione per rappresentare la parte del circuito
G. Miano, Introduzione ai circuiti
199
racchiusa dalla linea tratteggiata in Figura 3.27a. In Figura 3.27b è rappresentato
il circuito equivalente ottenuto applicando Thévenin.
+
+
−
0
L
−
Fig. 3.28
La tensione a vuoto e la resistenza equivalente valgono E * = 3 V e Req = 20 Ω .
Pertanto la tensione v deve verificare l’equazione non lineare
v + 20g(v) = 3;
(67)
si assuma per il diodo la caratteristica (diodo esponenziale)
g(v ) = 10 −9 [exp (v/0.05 ) − 1].
(68)
L’equazione non lineare può essere risolta per via grafica (Figura 3.29):
y = (3 − v )/20.
(69)
è la caratteristica del bipolo resistivo lineare, la cosiddetta retta di carico, e
y = g(v )
(70)
è l’equazione costitutiva del diodo. Una soluzione approssimata è v ≅ 0.9, i ≅ 0.1.
Il lettore risolva l’equazione non lineare (70) utilizzando, anche, il metodo di
Newton-Raphson.
G. Miano, Introduzione ai circuiti
200
0,20
0,15
(A) 0,10
0,05
0
0
Fig. 3.29
0,2
0,4 v (V) 0,6
0,8
1
Soluzione grafica dell’equazione non lineare (67)
Il generatore equivalente di Thévenin-Norton può essere applicato anche nella
soluzione di circuiti dinamici lineari del primo ordine (cioè, con un solo elemento
dinamico) per ridurre la complessità della parte resistiva del circuito.
Affronteremo questo argomento nel Capitolo successivo, dove studieremo i
circuiti dinamici.
3.5 Non amplificazione delle tensioni e delle correnti
L’ultimo argomento che tratteremo in questo Capitolo riguarda una notevole
proprietà dei circuiti resistivi che contengono un solo elemento attivo.
Può accadere che in un circuito di elementi statici, quindi senza condensatori e
induttori, e con un solo elemento attivo (ad esempio, con un solo generatore) la
tensione (corrente) di un elemento passivo possa essere più grande, in valore
assoluto, del valore assoluto della tensione (corrente) dell’unico elemento attivo?
In altre parole, la tensione (corrente) dell’unico elemento attivo può essere
amplificata ? La risposta è no.
G. Miano, Introduzione ai circuiti
201
Teorema di non amplificazione delle tensioni
Si consideri un circuito costituito da un solo bipolo attivo e da resistori passivi (i
resistori possono essere non lineari). La tensione dell’unico bipolo attivo è, in
valore assoluto, la più grande tra tutte le tensioni del circuito.
Dimostrazione
Innanzi tutto si scelga il riferimento per la tensione v a dell’unico bipolo attivo in
modo tale che essa sia positiva e si indichino i nodi ai quali esso è collegato così
come è indicato in Figura 3.30a (questa è solo un’ipotesi di lavoro). Si consideri
un generico nodo del circuito (diverso dai nodi “1” e “n ”) e lo si indichi con
“s ”; è utile riferirsi al caso riportato in Figura 3.30b. Si scelgano i riferimenti per
i versi delle correnti dei bipoli collegati con il nodo “s ” come quelli illustrati in
Figura 3.30b: il riferimento per il verso della generica corrente ik (k = l, m, p, q ) è
quello che va dal nodo “ k ” al nodo “s ”. La scelta di questi versi di riferimento
per le correnti è anche essa un’ipotesi di lavoro (la tesi del teorema non dipende
dai riferimenti scelti; se si scelgono i riferimenti in questo modo è più semplice
dimostrarla).
+
ia
im
1
e1
il
bipolo
attivo
va
“statico”
−
s
iq
q
l
bipoli
passivi
“statici”
n
en
ip
(a)
Fig. 3.30
m
p
(b)
(a) Circuito di bipoli statici con un solo elemento attivo; (b) il nodo “s” è un
nodo interno.
Applicando la prima legge di Kirchhoff al nodo “s ” si ha
im + il + i p + iq = 0 .
(71)
G. Miano, Introduzione ai circuiti
202
Dalla (70) segue necessariamente che:
(i) o le correnti im , il , ip e iq sono tutte nulle;
(ii) oppure alcune sono positive, altre sono negative e altre nulle.
Escludiamo la prima possibilità perché poco significativa. Allora si ha almeno una
corrente positiva e un’altra negativa con i riferimenti scelti per i versi delle
correnti; si assuma
ils > 0,
ims < 0 ,
(72)
(73)
Siccome tutti i bipoli collegati al nodo “s ” sono statici e passivi, si ha
pls = ils v ls > 0,
pms = v ms ims > 0 .
(74)
(75)
Stiamo escludendo che la potenza assorbita possa essere uguale a zero quando la
corrente è diversa da zero. Ciò, in realtà, non è sempre vero. Basti pensare ai
corto circuiti. Comunque escludiamo questa possibilità.
Dalle (72)-(55) si ottiene
vls = el − es > 0,
v ms = e m − es < 0 ,
(76)
(77)
dove em , es e el sono i potenziali dei nodi “ m ”, “s ” e “l ”. Le relazioni (76) e
(77) implicano che il potenziale del nodo “s ” non è né il più grande e né il più
piccolo dell’insieme dei potenziali nodali e1 ,e 2 , ..., en del circuito. Se invece tutte le
correnti che interessano il nodo “s ” fossero nulle, essendo i bipoli strettamente
passivi, avremmo che tutte le tensioni sarebbero nulle. Anche in questo caso il
potenziale del nodo “s ” non è né il più grande e né il più piccolo dell’insieme dei
potenziali nodali e1 ,e 2 , ..., en del circuito. Ciò vale per ogni nodo interno al
circuito di resistori passivi.
L’insieme dei potenziali e1 ,e 2 , ..., en è un insieme finito e limitato. Pertanto esso
deve ammettere necessariamente un massimo e un minimo. Siccome il potenziale
di qualsiasi nodo diverso da “1” e “n ” non può essere né il massimo e né il
minimo, allora e1 è il potenziale massimo ed en è il potenziale minimo (perché si è
assunto e1 − en = va ≥ 0). Quindi è possibile ordinare i nodi in modo tale da avere
per i potenziali la relazione d’ordine
G. Miano, Introduzione ai circuiti
203
e1 ≥ e2 ≥ ... ≥ e n -1 ≥ e n .
(78)
Dunque la tensione dell’unico bipolo attivo è la più grande, in valore assoluto, tra
tutte quelle del circuito.
Una proprietà analoga esiste anche per le correnti. Noi qui la enunceremo senza
dimostrarla.
Teorema di non amplificazione delle correnti
Si consideri un circuito costituito da un solo bipolo attivo e da resistori
strettamente passivi (i resistori possono essere non lineari). Allora, la corrente
dell’unico bipolo attivo è, in valore assoluto, la più grande tra le correnti del
circuito.
♦
Questo teorema può essere dimostrato semplicemente se si usa il concetto di
insieme di taglio e si scelgono i versi di riferimento per le correnti in modo tale
che esse non siano negative. Una volta stabilito quale corrente confrontare con la
corrente dell’unico elemento attivo, bisogna individuare un insieme di taglio che
le contiene entrambe. Comunque questi sono solo dei suggerimenti, rivolti al
lettore curioso e volenteroso.
Osservazione
La proprietà di non amplificazione non vale se il circuito contiene almeno due
elementi attivi, ad esempio, due generatori. In questo caso la tensione o la
corrente di un resistore può essere, in modulo, più grande del modulo della
tensione o della corrente di uno dei due generatori.
La proprietà di non amplificazione non vale neanche nei circuiti che contengono
bipoli dinamici passivi. Ciò è conseguenza del fatto che la potenza assorbita da un
condensatore o da un induttore può essere in alcuni istanti positiva e in altri istanti
negativa a seconda se sta aumentando o diminuendo l’energia in essi
immagazzinata. I condensatori e gli induttori, pur essendo elementi passivi, non
dissipano l’energia che assorbono in calore, ma la immagazzinano. L’energia
immagazzinata può essere successivamente restituita al circuito, e quando ciò
accade la potenza da essi assorbita è negativa.
G. Miano, Introduzione ai circuiti
204
La proprietà di non amplificazione per le tensioni (correnti) non vale quando a
uno stesso nodo sono collegati solo circuiti aperti (corto circuiti). In questo caso le
tensioni (correnti) dei circuiti aperti (corto circuiti) sono, in valore assoluto, più
grandi di quella dell’unico bipolo attivo. L’esempio più semplice è costituito da
due condensatori (induttori) in serie (parallelo) in funzionamento stazionario
(ricordiamo che il condensatore in regime stazionario si comporta come un
circuito aperto e l’induttore come un corto circuito).
G. Miano, Introduzione ai circuiti