L`infinito in Matematica
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L’infinito in Matematica Marco Degiovanni Università Cattolica del Sacro Cuore Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 PROGETTO DI ECCELLENZA L'UNIVERSITA A SCUOLA A SCUOLA DI UNIVERSITA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Numeri con solo due cifre significative. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Numeri con solo due cifre significative. Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono scrivere solo zeri. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Numeri con solo due cifre significative. Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono scrivere solo zeri. Esplicitamente i numeri ammissibili sono: Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Numeri con solo due cifre significative. Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono scrivere solo zeri. Esplicitamente i numeri ammissibili sono: 0, 1, 2, . . . , 9, 10, 11, 12, . . . , 99, 100, Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Numeri con solo due cifre significative. Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono scrivere solo zeri. Esplicitamente i numeri ammissibili sono: 0, 1, 2, . . . , 9, 10, 11, 12, . . . , 99, 100, 110, 120, . . . , 990, 1000, Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Numeri con solo due cifre significative. Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono scrivere solo zeri. Esplicitamente i numeri ammissibili sono: 0, 1, 2, . . . , 9, 10, 11, 12, . . . , 99, 100, 110, 120, . . . , 990, 1000, 1100, 1200, . . . , 9900, 10000, etc. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Alcuni esempi di addizione: Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Alcuni esempi di addizione: 3 + 4 = 7, 120 + 4 = 120 , 120 + 3 = 120 , 120 + 7 = 130 . Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Alcuni esempi di addizione: 3 + 4 = 7, 120 + 4 = 120 , 120 + 3 = 120 , 120 + 7 = 130 . Conseguenza: Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Alcuni esempi di addizione: 3 + 4 = 7, 120 + 4 = 120 , 120 + 3 = 120 , 120 + 7 = 130 . Conseguenza: (120 + 3) + 4 = 120 + 4 = 120 , 120 + (3 + 4) = 120 + 7 = 130 . Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito? Alcuni esempi di addizione: 3 + 4 = 7, 120 + 4 = 120 , 120 + 3 = 120 , 120 + 7 = 130 . Conseguenza: (120 + 3) + 4 = 120 + 4 = 120 , 120 + (3 + 4) = 120 + 7 = 130 . Non vale la proprietà associativa della somma! Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Per avere delle buone proprietà formali, occorre un universo numerico infinito (per iniziare, l’insieme dei numeri naturali N). Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Per avere delle buone proprietà formali, occorre un universo numerico infinito (per iniziare, l’insieme dei numeri naturali N). Ma in N non sempre si può fare la divisione. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Per avere delle buone proprietà formali, occorre un universo numerico infinito (per iniziare, l’insieme dei numeri naturali N). Ma in N non sempre si può fare la divisione. Peraltro, in ambito geometrico, esiste una costruzione per dividere un segmento in parti uguali. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Per avere delle buone proprietà formali, occorre un universo numerico infinito (per iniziare, l’insieme dei numeri naturali N). Ma in N non sempre si può fare la divisione. Peraltro, in ambito geometrico, esiste una costruzione per dividere un segmento in parti uguali. Esiste una sostanziale equivalenza fra modelli numerici e modelli geometrici? Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 1 2 3 4 5 Figura: La divisione di un segmento lungo 5 unità in tre parti uguali. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire dignità di numero all’operazione impossibile, che viene lasciata indicata. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire dignità di numero all’operazione impossibile, che viene lasciata indicata. Va poi verificato che sia possibile gestire in modo soddisfacente tali operazioni lasciate indicate. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire dignità di numero all’operazione impossibile, che viene lasciata indicata. Va poi verificato che sia possibile gestire in modo soddisfacente tali operazioni lasciate indicate. La frazione 5/3 è l’impossibile divisione 5 diviso 3 lasciata indicata. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire dignità di numero all’operazione impossibile, che viene lasciata indicata. Va poi verificato che sia possibile gestire in modo soddisfacente tali operazioni lasciate indicate. La frazione 5/3 è l’impossibile divisione 5 diviso 3 lasciata indicata. D’altra parte su tali divisioni lasciate indicate si può proprio lavorare in modo pienamente soddisfacente. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire dignità di numero all’operazione impossibile, che viene lasciata indicata. Va poi verificato che sia possibile gestire in modo soddisfacente tali operazioni lasciate indicate. La frazione 5/3 è l’impossibile divisione 5 diviso 3 lasciata indicata. D’altra parte su tali divisioni lasciate indicate si può proprio lavorare in modo pienamente soddisfacente. È la nascita dei numeri razionali (positivi). Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo dei numeri starle dietro. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo dei numeri starle dietro. Quanto è lunga la diagonale del quadrato di lato unitario? Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo dei numeri starle dietro. Quanto è lunga la diagonale del quadrato di lato unitario? Se c’è un corrispettivo nel mondo dei numeri, deve essere qualcosa il cui quadrato fa 2. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo dei numeri starle dietro. Quanto è lunga la diagonale del quadrato di lato unitario? Se c’è un corrispettivo nel mondo dei numeri, deve essere qualcosa il cui quadrato fa 2. Ma nessun numero razionale al quadrato fa 2. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo dei numeri starle dietro. Quanto è lunga la diagonale del quadrato di lato unitario? Se c’è un corrispettivo nel mondo dei numeri, deve essere qualcosa il cui quadrato fa 2. Ma nessun numero razionale al quadrato fa 2. Per più di duemila anni il mondo degli enti geometrici viene reputato di dignità concettuale maggiore rispetto a quello dei numeri, ritenuto insostituibile solo per gli scopi “pratici” (misura e determinazione del valore di un appezzamento di terreno, etc.). Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Anche in questo caso, l’unica soluzione è quella di conferire dignità di numero all’impossibile operazione. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Anche in questo caso, l’unica soluzione è quella di conferire dignità di numero all’impossibile operazione. √ Nascono cosı̀ 2 e tutte le radici, su cui è effettivamente possibile operare in modo soddisfacente. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Anche in questo caso, l’unica soluzione è quella di conferire dignità di numero all’impossibile operazione. √ Nascono cosı̀ 2 e tutte le radici, su cui è effettivamente possibile operare in modo soddisfacente. Il punto arduo è individuare il contenitore dentro cui far vivere i vecchi numeri razionali, le radici e qualche ulteriore compagno di viaggio che si è aggiunto (π, il numero di Nepero e . . . e poi è meglio essere accoglienti). Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Finalmente, nella seconda metà dell’Ottocento, viene individuato l’insieme R dei numeri reali, che risulta essere un contenitore perfettamente soddisfacente. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Finalmente, nella seconda metà dell’Ottocento, viene individuato l’insieme R dei numeri reali, che risulta essere un contenitore perfettamente soddisfacente. Tra l’altro, in questo modo si realizza il sogno della perfetta corrispondenza fra modello geometrico e modello numerico. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Finalmente, nella seconda metà dell’Ottocento, viene individuato l’insieme R dei numeri reali, che risulta essere un contenitore perfettamente soddisfacente. Tra l’altro, in questo modo si realizza il sogno della perfetta corrispondenza fra modello geometrico e modello numerico. Anzi, i numeri reali sono cosı̀ maneggevoli, che vengono utilizzati anche per descrivere l’evoluzione delle popolazioni. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Meno elementare, più maneggevole Finalmente, nella seconda metà dell’Ottocento, viene individuato l’insieme R dei numeri reali, che risulta essere un contenitore perfettamente soddisfacente. Tra l’altro, in questo modo si realizza il sogno della perfetta corrispondenza fra modello geometrico e modello numerico. Anzi, i numeri reali sono cosı̀ maneggevoli, che vengono utilizzati anche per descrivere l’evoluzione delle popolazioni. Il discreto viene approssimato con il continuo. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)? Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo x, quanto è lungo il suo perimetro `p ? Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)? Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo x, quanto è lungo il suo perimetro `p ? 180 `p = 2 n tan x. n Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)? Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo x, quanto è lungo il suo perimetro `p ? 180 `p = 2 n tan x. n E quanto è lunga una circonferenza di raggio x? Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)? Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo x, quanto è lungo il suo perimetro `p ? 180 `p = 2 n tan x. n E quanto è lunga una circonferenza di raggio x? `c = 2πx . Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)? Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo x, quanto è lungo il suo perimetro `p ? 180 `p = 2 n tan x. n E quanto è lunga una circonferenza di raggio x? `c = 2πx . Se n è molto grande, risulta 180 n tan ≈ π. n Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Ma all’inizio e alla fine c’è un modello finito. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Ma all’inizio e alla fine c’è un modello finito. La gestione degli errori (di misura, di arrotondamento, etc.) Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello L’equazione di secondo grado x 2 − 2bx + 1 = 0 con b > 1 ha due soluzioni 0 < x1 < x2 . Quanto fa x1 ? Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello L’equazione di secondo grado x 2 − 2bx + 1 = 0 con b > 1 ha due soluzioni 0 < x1 < x2 . Quanto fa x1 ? Ma certo, è p x1 = b − b 2 − 1 . Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello L’equazione di secondo grado x 2 − 2bx + 1 = 0 con b > 1 ha due soluzioni 0 < x1 < x2 . Quanto fa x1 ? Ma certo, è p x1 = b − b 2 − 1 . Che cosa risulta, con la scelta b = 5 · 10n ? Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Siccome la soluzione x1 di x 2 − 2bx + 1 = 0 è destinata a essere molto piccola, deve venire in prima approssimazione la stessa soluzione di −2bx + 1 = 0 , ossia x1 = 1 2b = 10−n−1 . Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Siccome la soluzione x1 di x 2 − 2bx + 1 = 0 è destinata a essere molto piccola, deve venire in prima approssimazione la stessa soluzione di −2bx + 1 = 0 , 1 ossia x1 = 2b = 10−n−1 . A un livello più accurato si puo’ osservare che x1 = 1 1 + x12 ≈ 10−n−1 1 + 10−2n−2 . 2b Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Il risultato di un calcolo al computer dipende dal computer stesso. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Il risultato di un calcolo al computer dipende dal computer stesso. Se n non è troppo grande, si ottiene un risultato plausibile, mentre se n è troppo grande il computer fornisce un messaggio di errore. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Il risultato di un calcolo al computer dipende dal computer stesso. Se n non è troppo grande, si ottiene un risultato plausibile, mentre se n è troppo grande il computer fornisce un messaggio di errore. Per valori di n intermedi, si ottengono risultati errati, dovuti agli errori di approssimazione. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Il problema è che, in questo caso, nell’espressione p x1 = b − b 2 − 1 , il numero molto piccolo x1 viene ottenuto come differenza di due numeri grossi. Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Il problema è che, in questo caso, nell’espressione p x1 = b − b 2 − 1 , il numero molto piccolo x1 viene ottenuto come differenza di due numeri grossi. Ad esempio, se si parte da 100 − 99 = 1 Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Il problema è che, in questo caso, nell’espressione p x1 = b − b 2 − 1 , il numero molto piccolo x1 viene ottenuto come differenza di due numeri grossi. Ad esempio, se si parte da 100 − 99 = 1 e si sostituisce 100 con 101, con un errore relativo dell’1%, Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Il problema è che, in questo caso, nell’espressione p x1 = b − b 2 − 1 , il numero molto piccolo x1 viene ottenuto come differenza di due numeri grossi. Ad esempio, se si parte da 100 − 99 = 1 e si sostituisce 100 con 101, con un errore relativo dell’1%, si ottiene 101 − 99 = 2 con un errore relativo del 100%! Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015 Implementazione e uso del cervello Contro ogni regola di economia ed eleganza (radici a numeratore, per favore!), è preferibile la riscrittura, matematicamente equivalente, p 1 √ x1 = b − b 2 − 1 = . b + b2 − 1 Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
