L’infinito in Matematica
Marco Degiovanni
Università Cattolica del Sacro Cuore
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
PROGETTO DI ECCELLENZA
L'UNIVERSITA A SCUOLA
A SCUOLA DI UNIVERSITA
FACOLTA DI SCIENZE
MATEMATICHE, FISICHE
E NATURALI
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Finito o infinito?
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Finito o infinito?
Numeri con solo due cifre significative.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Finito o infinito?
Numeri con solo due cifre significative.
Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a
zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono
scrivere solo zeri.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Finito o infinito?
Numeri con solo due cifre significative.
Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a
zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono
scrivere solo zeri.
Esplicitamente i numeri ammissibili sono:
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Finito o infinito?
Numeri con solo due cifre significative.
Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a
zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono
scrivere solo zeri.
Esplicitamente i numeri ammissibili sono:
0, 1, 2, . . . , 9, 10,
11, 12, . . . , 99, 100,
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Finito o infinito?
Numeri con solo due cifre significative.
Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a
zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono
scrivere solo zeri.
Esplicitamente i numeri ammissibili sono:
0, 1, 2, . . . , 9, 10,
11, 12, . . . , 99, 100,
110, 120, . . . , 990, 1000,
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Finito o infinito?
Numeri con solo due cifre significative.
Nell’ambito dei numeri interi e maggiori o uguali a
zero, dalla eventuale terza cifra in poi si possono
scrivere solo zeri.
Esplicitamente i numeri ammissibili sono:
0, 1, 2, . . . , 9, 10,
11, 12, . . . , 99, 100,
110, 120, . . . , 990, 1000,
1100, 1200, . . . , 9900, 10000, etc.
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Finito o infinito?
Alcuni esempi di addizione:
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Finito o infinito?
Alcuni esempi di addizione:
3 + 4 = 7,
120 + 4 = 120 ,
120 + 3 = 120 ,
120 + 7 = 130 .
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Finito o infinito?
Alcuni esempi di addizione:
3 + 4 = 7,
120 + 4 = 120 ,
120 + 3 = 120 ,
120 + 7 = 130 .
Conseguenza:
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Finito o infinito?
Alcuni esempi di addizione:
3 + 4 = 7,
120 + 4 = 120 ,
120 + 3 = 120 ,
120 + 7 = 130 .
Conseguenza:
(120 + 3) + 4 = 120 + 4 = 120 ,
120 + (3 + 4) = 120 + 7 = 130 .
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Finito o infinito?
Alcuni esempi di addizione:
3 + 4 = 7,
120 + 4 = 120 ,
120 + 3 = 120 ,
120 + 7 = 130 .
Conseguenza:
(120 + 3) + 4 = 120 + 4 = 120 ,
120 + (3 + 4) = 120 + 7 = 130 .
Non vale la proprietà associativa della somma!
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Per avere delle buone proprietà formali, occorre un
universo numerico infinito (per iniziare, l’insieme dei
numeri naturali N).
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Meno elementare, più maneggevole
Per avere delle buone proprietà formali, occorre un
universo numerico infinito (per iniziare, l’insieme dei
numeri naturali N).
Ma in N non sempre si può fare la divisione.
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Meno elementare, più maneggevole
Per avere delle buone proprietà formali, occorre un
universo numerico infinito (per iniziare, l’insieme dei
numeri naturali N).
Ma in N non sempre si può fare la divisione.
Peraltro, in ambito geometrico, esiste una
costruzione per dividere un segmento in parti uguali.
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Meno elementare, più maneggevole
Per avere delle buone proprietà formali, occorre un
universo numerico infinito (per iniziare, l’insieme dei
numeri naturali N).
Ma in N non sempre si può fare la divisione.
Peraltro, in ambito geometrico, esiste una
costruzione per dividere un segmento in parti uguali.
Esiste una sostanziale equivalenza fra modelli
numerici e modelli geometrici?
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Meno elementare, più maneggevole
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
1
2
3
4
5
Figura: La divisione di un segmento lungo 5 unità in tre parti uguali.
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Meno elementare, più maneggevole
Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire
dignità di numero all’operazione impossibile, che
viene lasciata indicata.
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Meno elementare, più maneggevole
Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire
dignità di numero all’operazione impossibile, che
viene lasciata indicata.
Va poi verificato che sia possibile gestire in modo
soddisfacente tali operazioni lasciate indicate.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire
dignità di numero all’operazione impossibile, che
viene lasciata indicata.
Va poi verificato che sia possibile gestire in modo
soddisfacente tali operazioni lasciate indicate.
La frazione 5/3 è l’impossibile divisione 5 diviso 3
lasciata indicata.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire
dignità di numero all’operazione impossibile, che
viene lasciata indicata.
Va poi verificato che sia possibile gestire in modo
soddisfacente tali operazioni lasciate indicate.
La frazione 5/3 è l’impossibile divisione 5 diviso 3
lasciata indicata.
D’altra parte su tali divisioni lasciate indicate si può
proprio lavorare in modo pienamente soddisfacente.
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Meno elementare, più maneggevole
Se 5 diviso 3 non si può fare, si cerca di conferire
dignità di numero all’operazione impossibile, che
viene lasciata indicata.
Va poi verificato che sia possibile gestire in modo
soddisfacente tali operazioni lasciate indicate.
La frazione 5/3 è l’impossibile divisione 5 diviso 3
lasciata indicata.
D’altra parte su tali divisioni lasciate indicate si può
proprio lavorare in modo pienamente soddisfacente.
È la nascita dei numeri razionali (positivi).
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo
dei numeri starle dietro.
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Meno elementare, più maneggevole
Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo
dei numeri starle dietro.
Quanto è lunga la diagonale del quadrato di lato
unitario?
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo
dei numeri starle dietro.
Quanto è lunga la diagonale del quadrato di lato
unitario?
Se c’è un corrispettivo nel mondo dei numeri, deve
essere qualcosa il cui quadrato fa 2.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo
dei numeri starle dietro.
Quanto è lunga la diagonale del quadrato di lato
unitario?
Se c’è un corrispettivo nel mondo dei numeri, deve
essere qualcosa il cui quadrato fa 2.
Ma nessun numero razionale al quadrato fa 2.
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Meno elementare, più maneggevole
Ma la Geometria corre e non è facile per il mondo
dei numeri starle dietro.
Quanto è lunga la diagonale del quadrato di lato
unitario?
Se c’è un corrispettivo nel mondo dei numeri, deve
essere qualcosa il cui quadrato fa 2.
Ma nessun numero razionale al quadrato fa 2.
Per più di duemila anni il mondo degli enti
geometrici viene reputato di dignità concettuale
maggiore rispetto a quello dei numeri, ritenuto
insostituibile solo per gli scopi “pratici” (misura e
determinazione del valore di un appezzamento di
terreno, etc.).
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Anche in questo caso, l’unica soluzione è quella di
conferire dignità di numero all’impossibile
operazione.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Anche in questo caso, l’unica soluzione è quella di
conferire dignità di numero all’impossibile
operazione.
√
Nascono cosı̀ 2 e tutte le radici, su cui è
effettivamente possibile operare in modo
soddisfacente.
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Meno elementare, più maneggevole
Anche in questo caso, l’unica soluzione è quella di
conferire dignità di numero all’impossibile
operazione.
√
Nascono cosı̀ 2 e tutte le radici, su cui è
effettivamente possibile operare in modo
soddisfacente.
Il punto arduo è individuare il contenitore dentro cui
far vivere i vecchi numeri razionali, le radici e
qualche ulteriore compagno di viaggio che si è
aggiunto (π, il numero di Nepero e . . . e poi è
meglio essere accoglienti).
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Finalmente, nella seconda metà dell’Ottocento,
viene individuato l’insieme R dei numeri reali, che
risulta essere un contenitore perfettamente
soddisfacente.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Finalmente, nella seconda metà dell’Ottocento,
viene individuato l’insieme R dei numeri reali, che
risulta essere un contenitore perfettamente
soddisfacente.
Tra l’altro, in questo modo si realizza il sogno della
perfetta corrispondenza fra modello geometrico e
modello numerico.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Finalmente, nella seconda metà dell’Ottocento,
viene individuato l’insieme R dei numeri reali, che
risulta essere un contenitore perfettamente
soddisfacente.
Tra l’altro, in questo modo si realizza il sogno della
perfetta corrispondenza fra modello geometrico e
modello numerico.
Anzi, i numeri reali sono cosı̀ maneggevoli, che
vengono utilizzati anche per descrivere l’evoluzione
delle popolazioni.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Meno elementare, più maneggevole
Finalmente, nella seconda metà dell’Ottocento,
viene individuato l’insieme R dei numeri reali, che
risulta essere un contenitore perfettamente
soddisfacente.
Tra l’altro, in questo modo si realizza il sogno della
perfetta corrispondenza fra modello geometrico e
modello numerico.
Anzi, i numeri reali sono cosı̀ maneggevoli, che
vengono utilizzati anche per descrivere l’evoluzione
delle popolazioni.
Il discreto viene approssimato con il continuo.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)?
Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo
x, quanto è lungo il suo perimetro `p ?
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)?
Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo
x, quanto è lungo il suo perimetro `p ?
180
`p = 2 n tan
x.
n
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)?
Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo
x, quanto è lungo il suo perimetro `p ?
180
`p = 2 n tan
x.
n
E quanto è lunga una circonferenza di raggio x?
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)?
Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo
x, quanto è lungo il suo perimetro `p ?
180
`p = 2 n tan
x.
n
E quanto è lunga una circonferenza di raggio x?
`c = 2πx .
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Finito o infinito (sfrondiamo un po’ i dati)?
Se un poligono regolare di n lati ha apotema lungo
x, quanto è lungo il suo perimetro `p ?
180
`p = 2 n tan
x.
n
E quanto è lunga una circonferenza di raggio x?
`c = 2πx .
Se n è molto grande, risulta
180
n tan
≈ π.
n
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Implementazione e uso del cervello
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
Ma all’inizio e alla fine c’è un modello finito.
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Implementazione e uso del cervello
Ma all’inizio e alla fine c’è un modello finito.
La gestione degli errori (di misura, di
arrotondamento, etc.)
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
L’equazione di secondo grado
x 2 − 2bx + 1 = 0
con b > 1
ha due soluzioni 0 < x1 < x2 . Quanto fa x1 ?
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
L’equazione di secondo grado
x 2 − 2bx + 1 = 0
con b > 1
ha due soluzioni 0 < x1 < x2 . Quanto fa x1 ?
Ma certo, è
p
x1 = b − b 2 − 1 .
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
L’equazione di secondo grado
x 2 − 2bx + 1 = 0
con b > 1
ha due soluzioni 0 < x1 < x2 . Quanto fa x1 ?
Ma certo, è
p
x1 = b − b 2 − 1 .
Che cosa risulta, con la scelta
b = 5 · 10n ?
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Implementazione e uso del cervello
Siccome la soluzione x1 di
x 2 − 2bx + 1 = 0
è destinata a essere molto piccola, deve venire in
prima approssimazione la stessa soluzione di
−2bx + 1 = 0 ,
ossia x1 =
1
2b
= 10−n−1 .
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Implementazione e uso del cervello
Siccome la soluzione x1 di
x 2 − 2bx + 1 = 0
è destinata a essere molto piccola, deve venire in
prima approssimazione la stessa soluzione di
−2bx + 1 = 0 ,
1
ossia x1 = 2b
= 10−n−1 .
A un livello più accurato si puo’ osservare che
x1 =
1
1 + x12 ≈ 10−n−1 1 + 10−2n−2 .
2b
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Implementazione e uso del cervello
Il risultato di un calcolo al computer dipende dal
computer stesso.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
Il risultato di un calcolo al computer dipende dal
computer stesso.
Se n non è troppo grande, si ottiene un risultato
plausibile, mentre se n è troppo grande il computer
fornisce un messaggio di errore.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
Il risultato di un calcolo al computer dipende dal
computer stesso.
Se n non è troppo grande, si ottiene un risultato
plausibile, mentre se n è troppo grande il computer
fornisce un messaggio di errore.
Per valori di n intermedi, si ottengono risultati
errati, dovuti agli errori di approssimazione.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
Il problema è che, in questo caso, nell’espressione
p
x1 = b − b 2 − 1 ,
il numero molto piccolo x1 viene ottenuto come
differenza di due numeri grossi.
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
Il problema è che, in questo caso, nell’espressione
p
x1 = b − b 2 − 1 ,
il numero molto piccolo x1 viene ottenuto come
differenza di due numeri grossi.
Ad esempio, se si parte da
100 − 99 = 1
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
Il problema è che, in questo caso, nell’espressione
p
x1 = b − b 2 − 1 ,
il numero molto piccolo x1 viene ottenuto come
differenza di due numeri grossi.
Ad esempio, se si parte da
100 − 99 = 1
e si sostituisce 100 con 101, con un errore relativo
dell’1%,
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
Il problema è che, in questo caso, nell’espressione
p
x1 = b − b 2 − 1 ,
il numero molto piccolo x1 viene ottenuto come
differenza di due numeri grossi.
Ad esempio, se si parte da
100 − 99 = 1
e si sostituisce 100 con 101, con un errore relativo
dell’1%, si ottiene
101 − 99 = 2
con un errore relativo del 100%!
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
Implementazione e uso del cervello
Contro ogni regola di economia ed eleganza (radici
a numeratore, per favore!), è preferibile la
riscrittura, matematicamente equivalente,
p
1
√
x1 = b − b 2 − 1 =
.
b + b2 − 1
Brescia, I.I.S. Castelli, 11 marzo 2015
