Capitolo
8
Oscillazioni ed onde
meccaniche
1. Il moto periodico
Quali sono le caratteristiche del moto periodico?
Una particella si muove di moto periodico quando continuamente ripassa per le
stesse posizioni con identici valori di velocità ed accelerazione.
Il più piccolo intervallo temporale dopo il quale il moto si ripete con le medesime
caratteristiche si chiama periodo del moto, e si indica con la lettera T . Diremo che
durante un intervallo temporale pari al periodo viene descritto un ciclo del moto. La
natura presenta numerosi esempi di fenomeni periodici, che vanno dal respirare, al
battito del cuore, fino al moto orbitale di un pianeta.
Il periodo si misura tramite il rapporto seguente:
T
tempo trascorso
numero dei cicli svolti
infatti, dato che ogni frazione esprime il quantitativo del numeratore associato ad
un’unità del denominatore, tale rapporto rappresenta i secondi associati ad un ciclo.
Analogamente il suo reciproco:
f
numero dei cicli svolti
tempo trascorso
è il quantitativo di cicli associati ad una unità del denominatore, cioè i cicli descritti
in un secondo, e prende il nome di frequenza, ed indicata con la lettera f . Il periodo
1
si misura in secondi al ciclo, e nel Sistema Internazionale le sue unità di misura sono
s , in quanto il numero di cicli non ha dimensioni fisiche. La frequenza si misura in
cicli al secondo ed anche qui, essendo il numero di cicli una grandezza adimensionale,
nel SI le unità di misura della frequenza risultano s1 , a cui viene dato il nome di
Hertz: 1 Hz 1 s1 . In base alla definizione la frequenza è il reciproco del periodo:
f
1
T
Esempio 1
In un moto periodico vengono compiuti 3 cicli in 5 secondi. Calcolare frequenza e
periodo.
T
tempo trascorso
5
s 1.67 s
numero dei cicli svolti
3
f
numero dei cicli svolti
3
s1 0.600 Hz
tempo trascorso
5
Esempio 2
Il processore di un PC lavora con una frequenza di clock
di 2.20 GHz
( 1 GHz 109 Hz , cioè svolge 2.20 109 operazioni binarie ogni secondo). Quanto
tempo impiega per eseguire un’operazione?
Si tratta di calcolare il periodo, che è il tempo corrispondente ad un singolo ciclo:
1
1
T
s 0.455 109 s
9
f
2.20 10
2. Il moto armonico
Cosa è il moto armonico?
F
F
Eq.
Si dice moto armonico quel particolare moto periodico che si ottiene quando una
particella viene sottoposta ad una forza di richiamo F diretta verso una posizione di
equilibrio, e la cui intensità, variabile nel tempo, sia direttamente proporzionale alla
distanza da tale posizione.
Analizziamo il caso in cui il moto armonico è rettilineo. Indicato con x il vettore
spostamento che ha la coda nel punto di equilibrio e la punta nella posizione
istantanea della particella, si ha dunque che nel moto armonico:
2
F kx
Fx = -kx < 0
dove la costante che figura è k 0 e le sue unità di misura sono N/m , in modo
che moltiplicata per una lunghezza produca N al primo membro dell’equazione.
L’intensità della forza vale F k x , ed è quindi tanto maggiore quanto più è
x
0
x
Fx = 0
grande la distanza, e quando la massa si trova nella posizione di equilibrio la forza
vale zero essendo x 0 . Il segno negativo nell’equazione F kx indica come
la direzione della forza sia sempre parallela e contraria al vettore x , e quindi
orientata verso la posizione di equilibrio. Una forza con tali caratteristiche viene
detta forza elastica, ed il numero k costante elastica.
0
Fx = -kx > 0
Quali esempi di moto armonico si osservano?
Un esempio di moto armonico sono le oscillazioni di una massa attaccata ad una
molla, in un piano orizzontale senza attrito. La massa della molla deve però essere
trascurabile rispetto a quella che viene attaccata alla sua estremità. La costante
elastica determina la rigidità della molla: a parità di deformazione, una molla con k
grande è più rigida (cioè esercita una forza maggiore) rispetto ad una molla con k
piccolo. Se mettiamo un asse di riferimento con l’origine nella pozione di equilibrio
ed indichiamo con Fx la componente orizzontale della forza, l’equazione vettoriale
x x 0
di prima ora diviene scalare, cioè Fx kx , una relazione detta legge di Hooke. La
massima distanza dalla posizione di equilibrio viene chiamata ampiezza A del moto.
Molti sono i sistemi fisici che si comportano seguendo la legge di Hooke: dai
pennoni delle bandiere fino ai grattacieli. Notiamo infine che un elastico non esercita
una forza elastica dato che può solo tirare verso la posizione di esuli brio, ma non
spingere.
Che legame esiste fra moto armonico e moto circolare uniforme?
E’ possibile pensare al moto armonico come alla proiezione sull’asse delle ascisse (o
delle ordinate, è lo stesso) della posizione di una particella che si muova di moto
circolare uniforme con velocità d’intensità v . Se la traiettoria circolare ha raggio
pari all’ampiezza A del moto armonico, è possibile individuare una velocità
angolare opportuna, per cui la posizione della particella che oscilla legata
all’estremità della molla coincide in ogni istante con l’ombra di un’altra particella ad
essa identica che gira sulla circonferenza con velocità di modulo costante. Infatti,
indicata con F la forza centripeta all’origine del moto circolare - qualunque ne sia
natura - la sua componente Fx lungo l’asse orizzontale risulta:
Fx F cos
2
v
x
ed essendo F m
, ed inoltre cos
come si vede dal triangolo in figura,
A
A
si ottiene:
2
v
x
Fx m
kx
A A
3
F
Fx
-A
0
+A
Acos
A
x
y
x
Avendo indicato il prodotto di tutte le quantità costanti con un unico simbolo:
m 2
k
v . Abbiamo così dimostrato che la componente della forza lungo l’asse
A2
orizzontale è una forza di richiamo di tipo elastico. Poiché in un moto circolare
uniforme risulta v R ( A) . Il valore della velocità angolare del moto
circolare la cui proiezione genera il moto armonico di costante k , risulta legato alla
costante elastica dalla relazione:
k
m 2
m 2 2
v
A
2
A
A2
k
m
Il valore di viene detto pulsazione del moto. Dato che moltiplicando per un
intervallo temporale si ottiene il numero di radianti percorsi in tale intervallo, in un
periodo T vengono spazzati un quantitativo di radianti pari a T , ed essendo 2 i
radianti corrispondenti ad un giro si ha T 2 , cioè:
T 2
m
k
Notare infine che la frequenza (e di conseguenza il periodo T e la pulsazione )
non dipendono dall’ampiezza A del moto.
Esempio 3
Si osserva che una massa m 2.30 Kg attaccata ad una molla oscilla sedici volte
in 2.00 s . Trovare la costante elastica della molla e la forza che essa esercita sulla
massa quando questa si trova 4.00 cm a destra del punto di equilibrio
Il periodo e la pulsazione di questo moto armonico risultano essere:
2.00
2
6.28
T
s 0.125 s
rad/s 50.2 rad/s
16
T
0.125
si ricava quindi la costante elastica:
k
m
k m 2 2.30 50.22 N/m 5.80 103 N/m
Quando la massa dista x 4.00 cm 4.00 103 m si ha che la componente della
forza vale:
Fx kx 5.80 103 4.00 102 N 230 N
di segno negativo in quanto diretta verso sinistra dove si trova la posizione di
equilibrio.
4
Esempio 4
Una molla posta in verticale con appesa una massa m 0.850 Kg si allunga di
15.0 cm rispetto alla posizione di equilibrio. Trovare il periodo delle oscillazioni che
la massa compie in un piano orizzontale.
Felastica
15.0 cm
Quando la molla è in equilibrio in verticale, lungo l’asse delle ordinate si ha:
Felastica W 0 kx mg 0
W
mg
0.850 9.81
N/m 55.6 N/m
x
0.150
quindi il periodo delle oscillazioni in orizzontale vale:
k
T 2
m
0.850
6.28
s 0.776 s
k
55.6
Come si scrive la legge oraria della posizione in un moto armonico?
Con riferimento all’asse delle ascisse nella precedente figura si ha che:
x (t ) A cos A cos t
avendo sfruttato la legge oraria dell’angolo per il moto circolare uniforme, t .
Nel caso in cui la particella che gira dovesse partire da un angolo iniziale 0 e si
t 0
avesse 0 t risulterebbe:
t
x (t ) A cos(t 0 )
In questo contesto viene detta pulsazione del moto armonico, e si misura in
radianti al secondo, come la velocità angolare del moto circolare ad esso legato; la
quantità t 0 si chiama nel suo complesso fase del moto armonico, mentre si dice
fase iniziale il valore dell’angolo 0 . In maniera del tutto analoga si sarebbe potuto
proiettare lungo l’asse delle ordinate ed ottenere una forma equivalente per la legge
oraria del moto armonico:
y(t ) A sin(t 0 )
Esempio 5
La legge oraria di un moto armonico è x (t ) 3 cos(5t 2) . Si dica quanti cicli sono
compiuti ogni secondo, qual è la durata di ciascuno di essi, e quanto vale la fase
dopo 3.5 s .
Da un’analisi dell’equazione data risulta 5 rad/s pertanto risulta:
5
-A
0
0
+A
A cos( t 0 )
x
2
6.28
s 1.26 s
5
Per la fase abbiamo:
(5 3.5 2) rad 19.5 rad
T
y
0
3.00
f
1
0.79 Hz
T
Esempio 6
Un cocomero viene messo in fresco dentro ad un recipiente colmo di acqua. Nel
momento della prima immersione la linea di galleggiamento viene fatta scendere di
3.00 cm sotto al pelo dell’acqua, ed il cocomero comincia ad oscillare di moto
armonico compiendo quattro cicli in 6.00 s . Dopo aver scritto la legge oraria della
quota y(t ) della linea di galleggiamento, si dica dove si trova dopo 0.200 s e dopo
0.650 s .
4
0.667 Hz da cui:
6.00
2 f 6.28 0.667 rad/s 4.19 rad/s
Si ha A 3.00 cm e f
Se iniziamo a contare il tempo nell’istante in cui il cocomero sta sott’acqua, la fase
iniziale dovrà essere tale per cui y(0 s)= 3.00cm , quindi:
y(0) 3.00 A sin( 0 0 ) 3.00 sin(0 )
sin 0 1,
0
2
La legge oraria risulta allora:
y(t ) A sin(t 0 ) 3.00 sin(4.19t )
2
La quota della linea di galleggiamento dopo 0.200 s e dopo 0.650 s risulta essere:
y(0.200) 3.00 sin(4.19 0.200 1.57) cm 2.01 cm
y(0.650) 3.00 sin(4.19 0.650 1.57) cm 2.74 cm
Pertanto se t 0.200 s la linea di galleggiamento sarà 2.01 cm sotto al pelo
dell’acqua, mentre se t 0.650 s la linea di galleggiamento sarà 2.74 cm sopra al
pelo dell’acqua.
6
3. Il pendolo semplice
Cosa si intende per pendolo semplice?
Il pendolo semplice è un dispositivo costituito da una massa m che oscilla legata al
capo di un filo di lunghezza L ed agganciato ad un punto di sospensione. Il caso
che qui si considera è solo quello ideale, in cui la massa del filo è trascurabile
rispetto ad m , ed il filo stesso è inestensibile, cioè la sua lunghezza non cambia mai
nonostante la sollecitazione a cui viene sottoposto.
L
T
Il moto armonico può non essere rettilineo?
Il moto armonico può avvenire anche lungo una traiettoria curva, come nel caso
dell’arco di circonferenza descritto dal pendolo. In questo caso il moto si considera Wn
armonico se la coordinata curvilinea s(t ) che separa la massa m dalla posizione di
s(t )
Wt
0
W
equilibrio, segue una legge oraria della forma vista per il caso rettilineo:
s(t ) A cos(t 0 )
Questo accade solo se la componente della forza tangenziale alla traiettoria agisce
sempre come
richiamo verso una posizione di equilibrio, ed ha intensità
direttamente proporzionale alla lunghezza s(t ) dell’arco di traiettoria che occorre
percorrere per raggiungerla.
Il moto di un pendolo semplice è un moto armonico?
Per rispondere alla domanda se le oscillazioni del pendolo siano armoniche,
dobbiamo ricavare un’espressione per la forza tangenziale e vedere se risulta
proporzionale alla distanza s(t ) percorsa dal pendolo sulla circonferenza. Come si
vede dal disegno, la componente tangenziale del peso agisce come forza di richiamo
dato che è sempre diretta verso il punto più basso, e la sua intensità vale:
Wt mg sin
Ora se l’angolo è espresso in radianti si ha che per valori minori di
8
la sua
misura e quella del seno risultano pressoché indistinguibili1, cioè:
sin
1
Se
rad
8
se
sin
(23)
8
0
0.3927 rad si ha sin 0.3827 quindi se si sostituisce al seno dell’angolo la
misura in radianti dell’angolo stesso si commette un errore
sin
sin
0.39270.3827
0.3827
0.02613 cioè
di circa il 3% .
7
1
che sostituita nell’espressione per la forza di richiamo produce:
s(t )
Wt mg mg
k s(t )
L
s(t )
avendo sfruttato la definizione di radiante,
ed indicato i valori costanti
L
mg
con k
. Come si vede, nel caso delle oscillazioni che formano piccoli angoli
L
(
8
) il moto del pendolo semplice risulta armonico.
Quanto vale il periodo delle piccole oscillazioni del pendolo semplice?
Sfruttando la relazione precedentemente ricavata si ottiene il periodo delle piccole
oscillazioni
T 2
m
mL
L
2
2
k
mg
g
Si traggono quindi le seguenti conclusioni:
(1) Le piccole oscillazioni sono isòcrone cioè hanno tutte la stessa durata,
indipendentemente dal valore dell’ampiezza A .
(2) Il periodo delle piccole oscillazioni non dipende dalla massa appesa.
(3) Il periodo delle piccole oscillazioni è tanto maggiore quanto più lungo è il
filo del pendolo.
Esempio 7
Un pendolo semplice compie 40 oscillazioni al minuto. Si calcoli la lunghezza del
filo e si dica cosa succede al periodo se questa viene dimezzata.
Risulta T
T 2
L
g
60
s 1.50 s da cui si ricava la lunghezza del filo:
40
L
gT 2
9.81 1.502
m 1.76 m
12.56
42
Se l lunghezza del filo è dimezzata il periodo nuovo periodo T risulta diviso per
un fattore 2 rispetto al vecchio:
L
L
T
1.50
s 1.06 s
g
2
2
2
quindi le oscillazioni del nuovo pendolo più corto sono più rapide.
T 2
2
g
1
2
Esempio 8
Il capitano Polipox giunge su di un lontano pianeta di raggio R 7500 Km e
decide di misurarne la massa facendo oscillare un pendolo semplice appena
atterrato sulla superficie. Se il filo del pendolo è lungo L 80.0 cm e si osservano
30 oscillazioni in un minuto, aiutate il capitano a calcolare la massa del pianeta.
8
Il pendolo ha un periodo di:
30
T
s 0.500 s
60
L’accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta vale:
GM
gP
R2
che sostituita nell’espressione del periodo produce:
T 2
L
R 2L
2
gP
GM
da cui si ha il valore della massa del pianeta:
M
4 2 R 2 L
4 9.86 (7.500 106 )2 0.800
Kg
GT 2
6.67 1011 0.5002
4 9.86 56.25 0.800
101211 Kg 1064 1023 Kg 1.06 1026 Kg
6.67 0.250
9
