Monaco Alfonso
Cinematica 2d
1
Moto parabolico
Il moto nelle direzioni X e Y possono essere separati
Nella direzione X il moto è rettilineo uniforme
Nella direzione Y il moto è uniformemente accelerato (per effetto
della gravità)
n
n
n
Questi due moti combinati danno una traiettoria parabolica
n
Y
x (t) = V0X*t = V0*CosA*t;
y (t) = V0Y*t – g*t2/2 = V0*SinA*t – g*t2/2;
g
V0
V0Y
y = V0Y/V0X *x – g*x2/(2*V0X2)
A
V0X
X
2
Esercizio (traccia)
n
n
n
Un sasso viene lanciato con una velocità di modulo
pari a v = 17 m/s e con un angolo di q = 58° sopra
l’orizzontale.
Trascurando la resistenza dell’aria, determinare il
tempo impiegato a raggiungere la massima altezza.
Qual è la massima altezza e la sua distanza
dall’origine?
3
Esercizio (soluzione)
1.
2.
|V0| = 17 m/s
Angolo A = 58°
Y
V0Y
V0
h
A
X
L
Fisica con elementi di matematica Cinematica 2D
4
Esercizio (soluzione)
1.
2.
|V0| = 17 m/s
Angolo A = 58°
• t per raggiungere
la max altezza = ?
La massima altezza viene raggiunta
quando la componente lungo Y della
velocità è nulla!!!
VY = V0Y – g t = V0*Sen(A) – g*t = 0
Y
t = V0*SenA /g = 17 Sen (58°)/9.8 = 1.47 s
V0Y
V0
h
A
X
L
5
Esercizio (soluzione)
1.
2.
|V0| = 17 m/s
Angolo A = 58°
• h = ?, L = ?
Componente X: moto rettilineo uniforme
L = V0X t = V0*Cos(A)*t = 17 * Cos(58°) * 1.47 = 13.24 m
Y
V0X
V0Y
V0
h
A
X
L
6
Esercizio (soluzione)
1.
2.
|V0| = 17 m/s
Angolo A = 58°
• h = ?, L = ?
Componente Y: moto rettilineo uniformemente ritardato
h = V0Y*t – g t2/2 = V0*SenA *t – g t2/2 =
Y
17 * Sen(58°) * 1.47 – 9.8 * 1.472 /2 = 10.60 m
V0X
V0Y
V0
h
A
X
L
7
Esercizio (traccia)
n
1)
2)
3)
Una palla viene lanciata da una finestra dell’ultimo
piano di un edificio. La palla ha una velocità iniziale v0 =
10 m/s ed una inclinazione verso il basso di 30.0°. La
palla arriva al suolo dopo 3.0 sec.
Determinare:
La distanza L misurata dalla base dell’edificio, in un
piano orizzontale, del punto di impatto con il suolo;
L’altezza da cui viene lanciata la palla;
Il tempo impiegato dalla palla per raggiungere un punto
nell’aria, 10.0 m al di sotto del livello di lancio.
8
Esercizio (soluzione)
1.
2.
3.
• L = ?
|V0| = 10 m/s
Angolo A = - 30°
Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s
Y
V0
A
h
X
L
9
Esercizio (soluzione)
1.
2.
3.
• L = ?
|V0| = 10 m/s
Angolo A = - 30°
Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s
L = V0X*T = V0*Cos(A) *t = 10 * Cos (-30°) * 3.0 = 25.98 m
Y
V0
A
h
X
L
10
Esercizio (soluzione)
1.
2.
3.
|V0| = 10 m/s
Angolo A = - 30°
Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s
• h = ?
Condizione iniziale sulla
componente Y
Quando la palla tocca terra la sua
componente Y sarà y = 0 !!!
0 = h + V0Y*T – g *T2/2
Y
V0
h = - V0 *Sen(A) *T + g *T2/2 =
A
h
= - 10 * Sen(-30*) * 3.0 +9.8 32/2 =
= 59.1 m
X
L
11
Esercizio (soluzione)
1.
2.
3.
|V0| = 10 m/s
Angolo A = - 30°
Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s
• t (y = 59.1 - 10) = ?
h + V0Y *t – g*t2/2 = 59.1 -10
In questo caso dobbiamo imporre
y = 59.1 – 10 = 49.1 m !!!
g*t2/2 - V0Y*t -10 = 0
Y
Equazione di secondo grado in t
V0
A
Ammette DUE soluzioni:
h
1. t = 1.01 s
2. t = -2.02 s
X
L
NON ACCETTABILE
12
Esercizio (traccia)
n
a)
b)
Un proiettile viene sparato con velocità iniziale v0 =
250 m/s da un’arma posta ad una altezza di 30 metri
rispetto al terreno e con un angolo di inclinazione
verso l’alto di 30°. Calcolare:
per quanto tempo rimane il proiettile in aria;
a che distanza orizzontale il proiettile andrà a colpire il
terreno.
13
Esercizio (soluzione)
1.
2.
3.
|V0| = 250 m/s
Angolo A = 30°
h0 = 30 m
• T = ?
V0
V0Y
A
h
V0X
X
L
14
Esercizio (soluzione)
1.
2.
3.
|V0| = 250 m/s
Angolo A = 30°
h0 = 30 m
• T = ?
Moto lungo Y
y = y0 + V0Y *t – g*t2/2
h + V0 *Sen(A) T – g *T2/2 = 0
Equazione di secondo grado in T
V0
1. T = 25.75 sec
V0Y
2. T = -0.24 sec
A
h
V0X
NON ACCETTABILE
X
L
15
Esercizio (soluzione)
1.
2.
|V0| = 250 m/s
Angolo A = 30°
• L = ?
Componente X: moto rettilineo uniforme
L = V0X*T = V0 Cos(A)*T = 250 * Cos(30°) * 25.75 = 5575 m
V0
V0Y
A
h
V0X
X
L
16
Esercizio (traccia)
n
1.
2.
3.
Un aereo di soccorso lancia un pacco viveri mentre vola
a 200 m di altezza rispetto al suolo e ad una velocità di
40.0 m/s. Determinare:
dopo quanto tempo il pacco viveri raggiunge il suolo;
a quale distanza il pacco raggiunge il suolo, rispetto al
punto in cui viene lasciato cadere (distanza sull’asse X).
Con quale velocità la palla raggiunge il suolo
17
Esercizio (soluzione)
1.
2.
• T = ?, L = ?
|V0| = 40 m/s
h = 200 m
Y
V0
h
X
L
18
Esercizio (soluzione)
1.
2.
|V0| = 40 m/s
h = 200 m
• T = ?, L = ?
Quando la palla tocca terra la sua
Condizione iniziale sulla
componente Y sarà y = 0 !!!
componente Y
Notate che non c’è componente Y per la
0 = h – g*T2/2
velocità!!!
Y
V0
T = (2*h/g)0.5 = 6.39 sec
h
L = V0*T= 255.6 m
X
L
Fisica con elementi di matematica Cinematica 2D
19
Esercizio (soluzione)
1.
2.
|V0| = 40 m/s
h = 200 m
• Vfin = ?
VfinX = V0 = 40 m/s
Y
V0
poiché non c’è accelerazione lungo X!!
VfinY = -g*T = -62,62 m/s
h
poiché non c’è velocità iniziale lungo Y
X
L
|Vfin| = (VfinX
Vfin
2+
VfinY
2)0.5 =
74.31 m/s
In senso orario
rispetto all’asse X
positivo
Direzione Vfin = ArcTan(VfinY/VfinX) = -57.43°
Fisica con elementi di matematica Cinematica 2D
20
Moto circolare
Velocità angolare media: ω = Δθ/ Δt
Y
Vt
R
Δθ
X
Notate l’analogia con il moto rettilineo; al
posto dello spostamento abbiamo la
variazione dell’angolo
ω può essere definita istante per istante se Δt tende a 0
In generale: vt = ω × R
21
Moto in 2 D (circonferenza)
Moto circolare uniforme:
Y
Vt
R
ω è costante in modulo direzione e verso.
ac
Vale l’equazione oraria: θ = θ0 + ω t
θ
X
La velocità tangenziale vale (costante in
modulo ma non in direzione): vt = ω*R
ω = 2π/Τ = 2π*f
Τ (periodo): tempo necessario a compiere un giro (s)
f (frequenza): giri effettuati nell’unità di tempo = 1/T (s-1 = Hz)
L’accelerazione è diretta verso l’interno della traiettoria
(accelerazione centripeta).
Dipende dal cambio della direzione di vt e non dal suo modulo
(che è costante)
Il suo modulo è ac = ω2*R = Vt2/R
22
Esercizio (traccia)
n
n
n
Un disco in vinile viene messo in rotazione da
un giradischi in modo da compiere 33,3 giri al
minuto.
Calcolare la velocità angolare del disco.
Uno dei brani musicali incisi sul disco dura 4
min e 12 sec. Calcolare quante rotazioni
compie il disco durante la riproduzione del
brano.
23
Esercizio (soluzione)
1.
2.
Frequenza f = 33.3 min-1
tbrano = 4 min 12 s = 252 s
• velocità angolare ω = ?,
• Numero di rotazioni in tbrano = ?
Y
f = 33.3 min-1 = 33.3/60 s-1 = 0.556 s-1 = 0.566 Hz
X
24
Esercizio (soluzione)
1.
2.
Frequenza f = 33.3 min-1 = 0.566 hz
tbrano = 4 min 12 s = 252 s
• velocità angolare ω = ?,
• Numero di rotazioni in tbrano = ?
Y
Il moto è circolare uniforme (velocità
angolare costante poiché la frequenza è
costante)
X
ω = 2 π f = 6.28 * 0.556 = 3.49 radianti/s
25
Esercizio (soluzione)
1.
2.
Frequenza f = 33.3 min-1 = 0.566 hz
tbrano = 4 min 12 s = 252 s
Y
• velocità angolare ω = ?,
• Numero di rotazioni in tbrano = ?
Il numero di giri dipende dalla durata del
brano e dalla frequenza!!!
X
n = tbrano* f = 252 * 0.556 = 142.2 giri
26
Esercizio (traccia)
n
n
n
Un disco ha raggio R = 20 cm e ruota con velocità
angolare costante ω = 10 rad/s.
Calcolare la velocità tangenziale di un oggetto fermo
sul disco a distanza 10 cm dal centro e sul bordo.
Calcolare l’accelerazione centripeta a 10 cm dal
centro e sul bordo.
27
Esercizio (soluzione)
1.
2.
3.
ω = 10 rad/sec
R = 20 cm = 0.2 m
r = 10 cm = 0.1 m
• vt(r=10)=?, vt(r=20)=?
Y
vt
vt
R
X
28
Esercizio (soluzione)
1.
2.
3.
ω = 10 rad/s
R = 20 cm = 0.2 m
r = 10 cm = 0.1 m
• vt(r=0.1)=?, vt(r=0.2)=?
Il moto è circolare uniforme (velocità angolare
costante)
Y
vt
vt
La velocità tangenziale dipende dalla posizione
sul disco
R
X
vt(r=10) = ω*r = 10 * 0.1 = 1 m/s
vt(r=20) = ω*r = 10 * 0.2 = 2 m/s
Anche se la velocità angolare è la stessa, oggetti a distanza
diversa dal centro hanno velocità tangenziali diverse
29
Esercizio (soluzione)
1.
2.
3.
ω = 10 rad/s
R = 20 cm = 0.2 m
r = 10 cm = 0.1 m
• ac(r=0.1)=?, ac(r=0.2)=?
Il moto è circolare uniforme (velocità angolare
costante)
Y
C’è solo accelerazione centripeta (poiché la
velocità varia in DIREZIONE ma non in
MODULO)
at
R
X
ac(r=0.1) = ω2*r = 102 * 0.1 = 10 m/s2
ac(r=0.2) = ω2*r = 102 * 0.2 = 20 m/s2
Oggetti a distanza diversa dal centro hanno accelerazioni
centripete diverse.
30
Esercizio (traccia)
n
1.
2.
3.
Un’auto procede in direzione Nord-Est con velocità
costante v = 75 km/h. all’istante t0 una seconda auto si
trova a 20 km dalla prima in direzione Est. La seconda
auto si muove, partendo da ferma, con accelerazione
cotante. Sapendo che le due auto si incontrano dopo
20 min, determinare:
Il punto P dove le due auto si incontrano;
Il modulo e la direzione di a;
Quanta strada ha percorso la seconda auto.
31
Esercizio (soluzione)
v = 75 km/h = 21 m/s
L = 20 km = 2*104 m
t = 20 min = 1200 s
y
v
a
x
L
32
Esercizio (soluzione)
vx = v*cos(45°) = 16 m/s
vy = v*sen(45°) = 16 m/s
v = 75 km/h = 21 m/s
L = 20 km = 2*104 m
t = 20 min = 1200 s
P(x,y) = ?
La prima auto si muove di moto
rettilineo uniforme
y
v
a
Xp = vx*t = 16 * 1200 = 19200 m
Yp= vy*t = 16*1200 = 19200 m
x
L
33
Esercizio (soluzione)
vx = v*cos(45°) = 16 m/s
vx = v*cos(45°) = 16 m/s
v = 75 km/h = 21 m/s
L = 20 km = 2*104 m
t = 20 min = 1200 s
a=?
La seconda auto si muove di moto
rettilineo unif. accelerato
y
v
x2 = L -1/2*ax*t2
y2 = 1/2*ay*t2
a
Imponiamo xp=x2 , yp=y2 ,
x
L
|a| = (ax2 + ay2)1/2 = 0.027 m/s2
dir(a) = arctg(ay/ax) = 98°
ax = 2*(L- xp)/t2 = 0.001 m/s2
ay = 2*(xp)/t2 = 0.027 m/s2
34
Esercizio (soluzione)
vx = v*cos(45°) = 16 m/s
vx = v*cos(45°) = 16 m/s
v = 75 km/h = 21 m/s
L = 20 km = 2*104 m
t = 20 min = 1200 s
s2 = ?
y
v
x2 = 800 m
y2= 19200m
a
s2= (x22 + y22)1/2 = 19217 m
x
L
35
Esercizio (traccia)
n
n
Una palla all’estremità di una fune ruota con moto
uniforme lungo una circonferenza orizzontale di raggio
R = 0.250 m. Il piano della circonferenza è ad una
altezza di 2.00 m dal suolo. La fune si rompe e la palla
atterra a 4.00 m (misurati sull’orizzontale) dal punto in
cui la fune si muove.
Calcolare l’accelerazione centripeta della palla durante
il suo moto.
36
Esercizio (soluzione)
1.
2.
r = 0.25 m, h = 2 m
L=4m
• accelerazione centripeta = ?
Y
V0
r
V0
dopo il distacco
della pallina
h
h
X
Per l’accelerazione
centripeta ci serve la
velocità V0
L
Usiamo il moto
parabolico!!!!
37
Esercizio (soluzione)
1.
2.
r = 0.25 m, h = 2 m
L=4m
Y• accelerazione
centripeta = ?
V0
r
V0
dopo il distacco
della pallina
h
h
X
L
Chiamiamo T l’istante in cui la palla tocca terra
Componente X: L = V0 T
V0 = L / T
Componente Y: h - gT2/2 = 0
T = (2 h / g)0.5
38
Esercizio (soluzione)
1.
2.
r = 0.250 m, h = 2 m
L=4m
Y• accelerazione
centripeta = ?
V0
r
V0
dopo il distacco
della pallina
h
h
X
L
Combinandole otteniamo
Accelerazione centripeta
V0 = (g L2 / 2h)0.5 = 6.26 m/s
ac = V02/r = 156.75 m/s2
39
