Esercizi sull`applicazione della legge di Coulomb a cariche puntiformi

Esercizi sull’applicazione della legge di Coulomb a cariche puntiformi
a) Quattro cariche elettriche q’,q’’ e q sono poste sui vertici di un quadrato di lato L,
come mostrato in figura. Che relazione deve esistere tra la carica q’’ e le due
cariche q affinche` la forza sulla carica q’, posta nell’origine, sia uguale a zero?
y
2
3
q’’
q
L
x
q
q’
1
Soluzione
Il campo elettrostatico nell’origine e` la somma dei campi elettrostatici generati dalle due
cariche q localizzate nelle posizioni r1  Le x e r2  Le y e dalla carica q’’ posta in
r3  L(e x  e y ) . I tre campi elettrostatici nell’origine sono rispettivamente:
E1  
E2  
E3  
q
4 0 L2
q
4 0 L2
ex
ey
q ''
(e  e y )
4 0 2 L2 x
Affinche` la forza elettrostatica su una carica q’ arbitraria posta nell’origine sia nulla,
deve annullarsi il campo totale:
E  E1  E2  E3  
q ''
q '' 

e x (q 
)  e y (q 
) 0

4 0 L 
2
2 
1
2
che e` soddisfatta se e solo se q ''  2q .
b) Tre cariche elettriche q1, q2 e q3 sono poste nei vertici di un triangolo equilatero di
lato a. Che relazione deve esistere tra le cariche elettriche affinche` il campo
elettrico nel centro C del triangolo sia uguale a zero?
q3
C
q2
q1
Soluzione
I versori u1 , u2 , u3 che vanno dal punto C, scelto come origine del sistema di
riferimento, ai tre vertici occupati rispettivamente dalle cariche q1 , q2 , q3 sono:
3
1
ex  e y
2
2
3
1
u2 
ex  e y
2
2
u3  e y
u1  
e il campo elettrostatico in C, somma dei campi da ciascuna carica, e`:
E

3
1 3  3
1
q u  q2 u2  q3 u3   
(q1  q2 )e x  (q1  q2  2q3 )e y 
2  1 1
2 
4 0 a
4 0 a  2
2

1
che ha tutte le sue componenti nulle se e solo se q1=q2=q3.
c) N cariche elettriche q (con N pari) sono equidistribuite lungo una circonferenza di
raggio R, che prendiamo sul piano xy con origine nel centro. Calcolare il campo
elettrico in un punto P(0,0,z) sull’asse della circonferenza ad altezza z.
Assumendo N=10, R=2 m, q=500C e z=2 m, calcolare la forza che agisce su
una carica di -20 C posta nel punto P.
Soluzione
La simmetria delle cariche lungo la circonferenza e` tale che a ogni carica ne corrisponde
una diametralmente opposta. Il campo elettrostatico di ciascuna coppia nel punto P,
somma dei due singoli campi, e` diretto lungo l’asse z poiche` le componenti nel piano
R 2  z 2 . La
z
per cui
2
R  z2
della circonferenza si cancellano. La distanza tra una carica e il punto P e`
componente lungo l’asse z del versore che va dalla carica al punto P e`
il campo elettrostatico totale nel punto P e` dato da:
E (0, 0, z )  E P 
Nq
z
e .
2
4 0 ( R  z 2 )3 / 2 z
Con i dati del problema abbiamo che la forza agente sulla carica Q=-20 C posta nel
punto P vale:
2
F  QE P  20  106  9  109  10  500  106 
e  79.5ez N .
(4  4)3/ 2 z