POLARIZZAZIONE ESERCIZIO 1 Un fascio di luce naturale attraversa una serie di polarizzatori ognuno dei quali ha l’asse di polarizzazione ruotato di 45◦ rispetto al precedente. Determinare quale frazione dell’energia del fascio incidente è presente nel fascio uscente dal terzo polarizzatore. SOLUZIONE La luce naturale non è polarizzata, cioè tutti i piani di vibrazione sono ugualmente probabili. Ne segue quindi che se E0 cos ϕ è la componente filtrata dal polarizzatore risulta: I < (E0 cos ϕ)2 > 1 = = 2 I0 2 E0 (1) dove < (E0 cos ϕ)2 > è il valore mediato nel tempo. Perciò dopo il primo polarizzatore risulta I0 /2. Per il secondo polarizzatore, per la legge di Malus: 1 I2 = I1 cos2 (45◦ ) = I0 1 I0 = 2 2 4 (2) I0 I0 1 = 4 2 8 (3) e per il terzo polarizzatore: I3 = I2 cos2 (45◦ ) = Dopo il terzo polarizzatore la polarizzazione del fascio di luce è ortogonale a quella del fascio emerso dal primo polarizzatore. Tale risultato (rotazione di π2 del piano di polarizzazione) può essere ottenuto solo usando almeno 2 polarizzatori. 2 ESERCIZIO 2 Una lamina di calcite a quarto (no = 1, 6584, ns = 1, 4864) quarto d’onda per luce con λ = 0, 6µm. Un’onda con tale λ e I= 400 W/m2 incide normalmente alla lamina. Essaè espressa da Ey = E0 cos (kx − ωtt), √ Ez = 3E0 sin (kx − ωt) essendo l’asse y parallelo all’asse ottico del cristallo. Calcolare lo spessore minimo della lamina e lo stato di polarizzazione dell’onda uscente. Se ortogonalmente all’onda uscente viene posto un polarizzatore il cui asse forma un angolo α = 80◦ con l’asse y, calcolare l’intensità emessa dal polarizzatore. Si supponga ne = 1, 4864 e no = 1, 6585 SOLUZIONE Nella lamina e quarto d’onda si ha uno sfasamento tra le onde ∆Φ = (2m + 1) π2 con ∆Φ = (n0 − ne ) d 2π λ . Il minimo sfasamento si ha per m=0 → ∆Φ = π2 2π π λ 1 (n0 − ne ) d = → d = = 0, 87µm λ 2 4 n0 − ne pongo il raggio ordinario in anticipo di π2 √ √ Ey = E0 cos (kx − ωt); Ez = 3E0 sin kx − ωt + π2 = 3E0 cos (kx − ωt) 3 Ez = L’onda uscente ha polarizzazione rettilinea, e tra le componenti vale E y √ tan ϑ = 3, dove ϑ è l’angolo che il piano di polarizzazione forma con l’asse ottico: ϑ = 60◦ . Per la legge di Malus dopo il polarizzatore ho I1 = I0 cos2 ϕ, W con ϕ = 80◦ − 60◦ → I1 = 400 · 0, 9 = 362 m 2 4 ESERCIZIO 3 Un fascio di luce contenente tutte le λ comprese tra λ1 = 0, 6µm e λ2 = 0, 7µm incide su un sistema di due polaroidi P1 e P2 incrociati, cioè con gli assi ottici a 90◦ tra loro. Tra i polaroidi c’è una lamina di quarzo (n0 =1,5442, ne =1,5533) spessa d=600 µm tagliata parallelamente all’asse ottico col quale gli assi dei polaroidi formano angoli di 45◦ . Assumendo n0 ed ne indipendenti da λ, calcolare per quali λ la luce esce dalla lamina con polarizzazione rettilinea e quali di tali λ vengono trasmesse dal polarizzatore P2 . SOLUZIONE Dopo P1 la luce ha polarizzazione rettilinea −→ la lamina non deve alterare il rapporto tra le componenti: ∆Φ = mπ 2π d (n0 − ne ) = mπ λ λ= 2 · 6 · 102 · 10−6 · 9, 1 · 10−3 1, 092 · 10−5 2d (n0 − ne ) = = metri m m m m1 da λ1 = m2 da λ1 = 2d(n0 −ne ) m1 2d(n0 −ne ) m2 quindi ho: m=16; λ = 0,682 µm −→ ∆Φ = 8 (2π) 5 ⇒ m1 = 18, 2 ⇒ m2 = 15, 6 m=17; λ = 0,642 µm −→ ∆Φ = 8 (2π) + π sfasamento di π m=18; λ = 0,606 µm −→ ∆Φ = 9 (2π) affinché P2 trasmetta occore ruotare il piano di polarizzazione di 90◦ con il cristallo, cioè sfasare una delle due componenti di un angolo π. 6 ESERCIZIO 4 Discutere la differenza di fase tra onda ordinaria e straordinaria e lo stato di polarizzazione dell’onda uscente quando un’onda polarizzata linearmente incide su una lamina sottile di materiale uniassico. SOLUZIONE Il cristalli è spesso d, ha le facce tagliate parallele all’alsse ottico ed è disposto in modo che l’asse ottico sia perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda. La direzione dell’asse ottico e Y e l’indice di rifrazione nella direzione dell’asse ottico è n1 . La direzione Z corrisponde alla direzione di polarizzazione del raggio ordinario (indice di rifrazione n2 ). Si suppone che un’onda polarizzata linearmente in direzione che forma un angolo α con l’asse Y incida sulla lamina. Il campo elettrico dell’onda incidente è descritto da E = E0 sin(ωt − kx) e le componenti lungo lasse Y e Z sono: Ey = E0y sin(ωt − kx) Ez = E0z sin(ωt − kx) E0y = E0 cos α E0z = E0 sin α Nel cristallo l’onda si separa in due onde con campi elettrici polarizzati lungo gli assi Y e Z. Tali onde corrispondono rispettivamente all’onda straordinaria (Y) e ordinaria (Z). Le velocità di propagazione sono rispettivamente 7 onda straordinaria: v1 = nc1 → vω1 = ωnc 1 kn1 onda ordinaria: V2 = nc2 → kn2 dove k=ω/c è il vettore dell’onda nel vuoto. Il campo elettrico delle onde, dopo aver attraversato lo spessore d, hanno l’espressione: Ey = E0y sin(ωt − k1 d) Ez = E0z sin(ωt − k2 d) La differenza di fase tra le due onde risulterà: δ = (ωt−k2 d)−(ωt−k1 d) = (k1 −k2 )d = (kn1 −kn2 )d = k(n1 −n2 )d = 2π(n1 − n2 d λ Dopo la lamina le due onde si ricombinano dando origine ad un’onda singola. A causa della differenza di fase δ l’onda non sarà più polarizzata lineamente ma avrà polarizzazione ellittica. Gli assi dell’ellisse sono paralleli agli assi Y e Z se δ è multiplo dispari di π/2, cioè se π 2π λ (n1 − n2 )d= intero dispari per 2 (n1 − n2 )d= intero dispari per π4 Se δ è un multiplo intero di π 2π λ (n1 − n2 )d= intero per π (n1 − n2 )d= intero per λ 2 l’onda trasmessa è polarizzata linearmente. Se l’intero è pari la direzione di polarizzazione dell’onda trasmessa è la stessa dell’onda incidente; se l’intero è dispari l’onda trasmessa è polarizzata in un piano simmetrico rispetto al piano XZ. I due piano (dellonda incidente e dell’onda riflessa) se α = 45 risultano ortogonali tra loro. Le lamine che corrispondo alle due situazioni sono chiamate rispetivamente lamina quarto d’onda e lamina mezz’onda. Le stesse lamine che trasformano una polarizzazione lineare in ellittica possono essere usate in senso inverso: una luce entrante con polarizzazione lettica può uscire polarizzata in un piano. 8