I fluidi
Fluido: ogni sostanza che non ha forma propria, ma assume quella del
recipiente che lo contiene (sia liquidi che gas).
Liquidi
volume definito
superficie limite
densità ρH2O = 103kg/m3
incompressibili
Gas
non hanno volume proprio, ma
occupano quello a disposizione
densità ρaria = 1.3 kg/m3
compressibile
I fluidi sono sistemi continui formati da un numero infinito di elementi
dm = ρdV. Ogni parte può scorrere rispetto alle altre e alle pareti del
contenitore, non c’è attrito statico. Per il fluido in quiete le forze sono
sempre normali alla superficie di separazione.
Le forze non sono applicate in un punto, forze di volume ∝ dV e forze
di superficie ∝ dS.
Fisica 1
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1
Pressione: forza F applicata su di una superficie S
p=
F dF
=
S dS
La pressione non ha caratteristiche direzionali
y
pc
c
θ
pa
a
Elemento di fluido all’interno di un fluido,
trascuriamo la forza peso. Le facce hanno
aree date da Sa = La, Sb = Lb, Sc = Lc.
L’elemento è in equilibrio ⇨ ΣFext = 0.
pb
b
x
− pc S c cosθ + pa S a = 0 ⇒
pc S c sin θ − pb S b = 0 ⇒
Fisica 1
pa c cosθ
=
=1
pc
a
pb c sin θ
=
=1
pc
b
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p a = pb = p c
2
Pressione: rapporto tra la forza agente su una superficie infinitesima che
circonda il punto e l’area della superficie stessa
dF
p=
;
dS
F
p=
S
È perpendicolare alla superficie e non dipende dalla direzione, è funzione
scalare del punto. Unità di misura nel SI è il pascal (Pa)
1 Pa = 1 N/m2
1 bar = 105 Pa
patm = 1.01325·105 Pa = 1 atm
1 mm Hg = 1 torr = 1/760 atm = 133.3 Pa
Fisica 1
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3
Lavoro delle forze di pressione
F
S
dW = Fdh = pSdh = pdV
dh
dV
F = pdS
W = ∫V pdV
V
V2
1
In generale una pressione esterna provoca una variazione di volume
del fluido dovuta al lavoro fatto dalla pressione
z
Equilibrio statico: in un fluido in quiete
p(z+Δz)
tutti gli elementi hanno accelerazione e
velocità nulle rispetto ad un sistema di
z+Δz
ρVg
riferimento inerziale, quindi
Δz
z
Fp + FV = 0
p(z)
y
FV = forza peso
x
Fisica 1
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4
Δz = z 2 − z1 , V = SΔz , m = ρV , ρ = costante
Per le forze di volume abbiamo
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg = − ρVg
Considerando le forze di pressione, si ha
p ( z1 ) S − p( z1 + Δz ) S = pS − ( p + Δp ) S = −ΔpS
Imponendo l’equilibrio ricaviamo
− ΔpS − ρVg = −ΔpS − ρSΔzg = 0
Δp
= − ρg
Δz
Per gli assi x ed y, in modo analogo si trova
Δp Δp
=
=0
Δx Δy
p non varia lungo x ed y, ma solo lungo z
Fisica 1
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5
In un fluido in quiete sottoposto alla forza peso, la pressione varia con z
per permettere l’equilibrio statico. p ↑ e z ↓. In un fluido con ρ costante
in quiete sotto l’azione della forza di gravità, la pressione varia come
p0
p ( z 2 ) = p ( z1 ) − ρg ( z z − z1 )
Poniamo z1 = 0 e z2 = -h con h > 0 per la pressione
a profondità h si ha
h
p(h)
p(h) = p0 + ρgh
Legge di Stevino
In un liquido con ρ = costante la pressione cresce linearmente con la
profondità
In un lago sottoposto alla pressione atmosferica, la pressione cresce con
la profondità di ~ 1 bar ogni 10 metri
p (h) = (105 + 9.8 ⋅ 103 h) Pa
Fisica 1
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6
Principio di Pascal: ogni variazione Δp di pressione esterna provoca
una uguale variazione di pressione in ogni punto del fluido.
In un piano orizzontale (z = costante), la pressione risulta costante,
superficie isobarica. Ep,m = gz è l’energia potenziale gravitazionale
per unità di massa, essa dipende solo da z ed è costante su un piano
orizzontale, quindi una superficie isobarica è anche equipotenziale.
Sullo stesso piano risulta costante anche ρ, pertanto si ha che su una
superficie isobarica è
p = costante, E p . m = costante, ρ = costante
Superficie limite di un liquido in quiete è orizzontale. Superficie di
separazione tra due liquidi non miscibili è orizzontale.
Principio dei vasi comunicanti o paradosso dell’idrostatica
Fisica 1
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7
p1
Manometro a U
p2
h
Se p1 > p2 allora
p1 − p2
h=
ρg
Misura della pressione relativa tramite la misura di h.
Minore è la densità del liquido nel manometro, più
piccole sono le Δp che il manometro rileva.
Barometro di Torricelli
Barometro a mercurio. Una colonna di Hg a T = 0 °C
e con h = 0.760 m esercita una pressione pari a quella
atmosferica (ρHg = 13.595·103 kg/m3 e g = 9.80665 m/s2
h
patm
patm = 1.01325 ⋅ 105 Pa
valore normale dell’atmosfera
Fisica 1
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8
Principio di Archimede
Isoliamo un volume V all’interno di un fluido in
equilibrio statico e sotto l’azione della gravità.
La condizione di equilibrio implica (m = ρV)
FA
FA
FV
F’V
v v
v
v
v
v
Fp + FV = Fp + mg = 0 ⇒ Fp = −mg
Sostituiamo ora al volume V di fluido un volume
identico di una sostanza qualunque con ρ’ ≠ ρ, le
Fp non variano, mentre varia la FV e non c’è più
equilibrio. La forza totale agente sulla nuova
sostanza vale
v' v
v
v
' v
'
FV + Fp = m g − mg = (ρ − ρ )g
FA
Fisica 1
F’V
Se ρ’ > ρ la risultante è concorde con g e il corpo
scende nel fluido, se ρ’ < ρ il corpo sale
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9
Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso
del volume di fluido che viene occupato dal corpo immerso
v
v
FA = − ρVg
dove ρ è la densità del fluido e V il volume della parte immersa
FA è applicata al centro di massa del fluido spostato che, in genere, non
coincide con quello del corpo immerso. Se le due forze applicate al corpo
FV e FA sono applicate su rette d’azione distinte e parallele, sul corpo
agisce un momento che lo fa ruotare.
Forza di attrito interno: è presente quando c’è scorrimento relativo tra
due elementi di fluido, è tangente all’area di contatto tra gli elementi, è
sempre contraria alla velocità relativa
v1 > v2
v1
v2
Fisica 1
F2,1
F1,2
Δh
v + Δv
Δv
F = ηS
Δh
v
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10
Unità di misura della viscosità è il kg/ms, nella pratica si usa il poise
1 poise = 10-1 kg/ms
1 centipoise = 10-2 poise = 10-3 kg/ms
La viscosità varia con la temperatura per H2O a 0 °C vale 1.79·10-2 poise,
a 20 °C 1.00·10-2 poise, a 100 °C 0.30·10-2 poise.
Fluido ideale: fluido per cui η = 0 e ρ = costante, fluido non viscoso e
incompressibile. Viscosità assume un significato solo per i fluidi in
movimento.
Fisica 1
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11
Fluidi in moto
Per lo studio di un fluido in moto seguiamo la descrizione euleriana,
consideriamo un punto P(x,y,z) del fluido e la velocità v(x,y,z,t) dell’
elemento di fluido che all’istante t passa per P. v varia nel tempo e nello
spazio. Descrivere il fluido è conoscere v(x,y,z,t) in tutto il fluido
(regime variabile).
Analizziamo il caso in cui v(x,y,z), ovvero scegliamo di studiare i fluidi
in regime stazionario per cui ogni elemento di fluido che passa per P
ha sempre la stessa velocità e la mappa delle velocità non cambia con t.
Linee di corrente: linee che in ogni punto hanno
direzione e verso della velocità, ovvero sono tangenti
al vettore velocità. In regime stazionario le linee di
corrente coincidono con le traiettorie degli elementi
di fluido.
In regime stazionario per un punto passa una sola linea di corrente, per
cui le linee di corrente non si incontrano mai
Fisica 1
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12
Tutte le linee di corrente che passano per una data sezione definiscono
un tubo di flusso.
Prendiamo un tubo di flusso di sezione infinitesima dS perpendicolare
alle linee di corrente: nel tempo dt il volume di fluido dV che passa per
dS, vale
dV = dSvdt
dq =
dV
= vdS
dt
portata
La portata è il volume di fluido che è passato attraverso dS nell’unità
di tempo. Unità di misura m3/s
Fluido incompressibile in regime stazionario⇨portata costante
attraverso qualunque sezione.
Considero il volume tra S1 ed S2. La massa può
entrare ed uscire solo dalle sezioni, non può
variare perché la densità è costante, portata attraS2
verso le sezioni è la stessa.
S1
Fisica 1
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13
In regime stazionario se la densità è costante, è costante la portata di
un tubo di flusso infinitesimo: vdS = costante; dove la sezione aumenta,
la velocità diminuisce, e viceversa
Per un tubo di flusso a sezione finita si ottiene
q = ∫S dq = ∫S vdS = v m S
con vm = media delle velocità nei vari punti della sezione (spaziale).
Per un fluido incompressibile in regime stazionario
v m S = costante
Legge di Leonardo (anche gas)
• regime stazionario e fluido incompressibile ⇨ portata costante
• S↓ v↑ e viceversa
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14
Teorema di Bernoulli
z
F1
S1
Fluido ideale, η = 0, ρ = costante, in regime
stazionario in un condotto a sezione variabile
S’1
v1
S2 S’2
F2 v
ΔV1 = S1 s1 , ΔV2 = S 2 s2 , ΔV1 = ΔV2
z1
Cerchiamo una relazione che leghi in tutto
s2
z2
il condotto velocità e pressione.
Punto di partenza: teorema dell’energia
x
W = ΔEK
Forze agenti sul fluido sono la forza peso e le forze di pressione.
Il moto complessivo equivale a spostare ΔV1 in ΔV2.
Lavoro della forza peso è
s1
2
W = −ΔE p = −mg ( z 2 − z1 ) = − ρΔVg ( z 2 − z1 )
Fisica 1
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15
Le uniche forze di pressione che fanno lavoro sono F1 ed F2, quindi
v v v v
W p = F1 • s1 + F2 • s2 = p1 S1 s1 − p2 S 2 s2 = p1ΔV1 − p2 ΔV2 = ( p1 − p2 )V
Infine per la variazione di energia cinetica otteniamo
Quindi
1 2 1 2 1
ΔEK = mv 2 − mv1 = ρΔV (v 22 − v12 )
2
2
2
W + W p = ΔEK
− ρΔVg ( z
2
− z )+ (p
1
− p2
1
)ΔV = 1 ρΔV (v
2
Separando i termini relativi alle due sezioni si ha
2
)
−
v
2
1
2
1 2
1 2
p1 + ρv1 + ρgz1 = p2 + ρv 2 + ρgz 2
2
2
Fisica 1
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16
Infine
1 2
p + ρv + ρgz = costante
2
Teorema di Bernoulli
In un fluido ideale in moto in regime stazionario, la somma di pressione,
energia cinetica per unità di volume ed energia potenziale per unità di
volume, è costante lungo un qualsiasi tubo di flusso
Se il condotto è orizzontale abbiamo
1 2
p + ρv = costante
2
Dove la sezione è maggiore la velocità è minore e la pressione è
maggiore. Se la sezione è costante, pressione e velocità restano costanti.
La pressione misurata in un punto di un fluido in quiete è maggiore di
quella esistente nel fluido in movimento
Fisica 1
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17
p0-Δp
p0
p0
Nebulizzatore: dall’esterno viene mantenuto
un flusso di aria in un tubo che presenta una
strozzatura ed ha una estremità immersa nel
liquido e l’altra in aria per l’uscita delle
goccioline.
Nella strozzatura la pressione diminuisce e
crea una depressione che aspira il liquido.
Il liquido, salendo, si mescola all’aria e si
nebulizza.
Numero di linee di corrente per unità di sezione = misura della velocità
del fluido attraverso la sezione
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18
Flusso in un tubo a sezione costante
p2
p1
Regime stazionario e tubo a sezione
costante⇨ velocità costante
p1 + ρgh1 = p = p2 + ρgh2
h2
h1
p
La pressione ha il valore più alto nel
punto più basso.
Con una pompa faccio salire un fluido di una quota h con una portata
q = vS. La pompa deve dare la differenza di pressione ρgh, quindi una
forza ρghS e una potenza ρghSv =ρghq. Se h = 1 m, q = 1 l/s, per la
potenza si ottiene
P = 103 ⋅ 9.8 ⋅1 ⋅10 −3 = 9.8 W
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19
Tubo di Venturi
p1
p2
v1
v1
v2
v2 =
Il tubo di Venturi serve a misurare pressioni
e portate inserendolo in un tratto orizzontale
di una condotta di sezione S1.
1 2
1 2
p1 + ρv1 = p2 + ρv 2
2
2
v1 S1 = v 2 S 2
2( p1 − p2 )
ρ
S12
2( p1 − p2 ) S 22
, v1 =
2
2
S1 − S 2
S12 − S 22
ρ
Misurando Δp, si ricava v1 e quindi la portata q = v1S1
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20
Tubo di Pitot
B
A
O
In O il fluido è fermo rispetto all’ostacolo.
In A e B, distanti a sufficienza dall’ostacolo,
la pressione e la velocità del fluido sono le
stesse, allora
1 2
1 2
p A + ρv A = pB + ρv B = pO
2
2
Faccio due piccoli fori nel tubo di Pitot in O e B e misuro la pressione
del fluido nei due punti e ottengo al velocità del fluido rispetto all’
ostacolo
vB =
2( p0 − pB )
ρ
Viene utilizzato per misurare la velocità degli aerei
Fisica 1
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21
Teorema di Torricelli
Recipiente con sezione molto grande rispetto a
p0
quella del foro di uscita alla sua base.
Voglio ricavare la velocità di deflusso
h
Dato che la sezione del recipiente è molto più
v p0
grande di quella del foro, il liquido scende molt
lentamente e la sua velocità sulla superficie
libera può essere trascurata.
Tubo di flusso dalla superficie libera al foro, applico Bernoulli
1 2
1 2
⎛
⎞
⎛
⎞
ρ
v
ρ
=
+
ρ
v
+
ρ
p
+
+
gz
p
gz
⎟
⎜
⎟
⎜
2
2
⎠ sup ⎝
⎠ foro
⎝
Assumendo come riferimento il livello del foro e posto psup = pforo = p0
e vsup = 0
1 2
p0 + ρgh = p0 + ρv ⇒ v = 2 gh
2
Torricelli ottenne questo risultato senza conoscere il T. di Bernoulli
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22
Moto laminare
F
S
v
h
v=0
Fluido reale in moto con velocità moderata.
Moto laminare: moto stazionario con linee di
corrente costanti nel tempo.
La forza per mantener il moto laminare
stazionario vale
v
F = ηS
h
F equivale ad una forza di attrito interno, F esterna ed F di attrito sono
uguali nel caso illustrato, quindi siamo in equilibrio dinamico e di moto
uniforme.
Fluido in un condotto. La velocità aumenta
avvicinandoci all’asse del condotto, gli strati
R
vmax
con v uguale sono ora cilindri coassiali.
Se il cilindro è lungo l e tra i suoi estremi
v=0
c’è una Δp = p1 –p2 si ricava
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23
p1 − p2 2
(R − r 2 )
v( r ) =
4ηl
(
p1 − p2 )R 2
v max =
per r = 0
4ηl
v min = 0 per r = R
v varia con r
La portata del condotto è data dalla legge di Hagen-Poiseuille
πR 4 p1 − p2
q=
8η
l
Ricordando che q=πR2vm, dove vm = velocità media sulla sezione, si ha
q
R 2 p1 − p2
p1 − p2 8η
⇒
= 2 vm
vm = 2 =
πR 8η l
l
R
Nel regime laminare q, vm e v di ciascuno strato cilindrico sono ∝ al
gradiente di pressione (p1-p2)/l
Fisica 1
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24
Moto vorticoso
La legge di Hagen-Poiseuille è sempre vera se il raggio del condotto è
molto piccolo (capillari), per raggi superiori esiste un valore limite di
velocità che separa il regime laminare da quello turbolento o vorticoso.
Formazione di vortici è dovuta ad elevate forze di attrito interno in
direzione trasversale alla velocità, quindi strati di fluido a contatto con
velocità molto diverse, oppure ostacoli o variazioni repentine di forma
del condotto.
Per un condotto cilindrico transizione laminare ⇨ numero di Reynolds
ρvR
ℜ=
= 1200
numero di Reynolds
η
η
velocità critica
vc = 1200
ρR
p1 − p2 k ρv 2m
=
R 2
l
Fisica 1
In regime vorticoso il gradiente di pressione
è ∝ a v2
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25
Moto in un fluido
Moto di un corpo in un fluido si manifesta attraverso una forza che si
oppone al moto, è chiamata resistenza del mezzo e dipende dal moto
relativo. Gallerie a vento.
Sfera in fluido ideale in moto, simmetria delle linee di corrente ⇨ la
sfera resta ferma. Paradosso di D’Alambert.
Se il fluido è reale si forma una scia vorticosa, la pressione a valle della
sfera è minore e la sfera viene trascinata nel moto dal fluido.
La resistenza del mezzo dipende dalla forma e dalla sezione del corpo
in moto, da densità e viscosità del fluido e dalla velocità relativa.
1
Fres = cSρv 2
2
resistenza del mezzo
c = coefficiente di resistenza, adimensionale
v
v
Fres = −6πηRv
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Legge di Stokes
26
