FISICA APPLICATA 2
DIPOLI ELETTRICI E MAGNETICI
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26/11/2012
DIPOLO ELETTRICO
La configurazione costituita da una carica positiva +q e da
una carica negativa −q (uguale in valore assoluto alla prima,
ma di segno opposto) è detta dipolo elettrico. Costruito con
la distanza d tra le due cariche il vettore d orientato dalla carica negativa alla carica positiva, si può definire la grandezza
vettoriale momento di dipolo elettrico p come segue
p = q d.
(1)
Come unità di misura nel S.I. si ha [p] = C m.
2
DIPOLO ELETTRICO IN CAMPO ESTERNO
Si colloca un dipolo elettrico p in un campo elettrico esterno
E uniforme. Per campo esterno s’intende un campo elettrico
le cui sorgenti siano diverse dalle due cariche costituenti il
dipolo stesso.
Come illustrato nella slide successiva, il dipolo subisce l’azione di due forze uguali in intensità ed opposte in verso. La
somma di queste due forze è nulla, ma sul dipolo agisce una
coppia meccanica (detta anche momento torcente) τ data
da
τ = p × E.
(2)
3
In questo caso la coppia τ tende a far ruotare il dipolo in
senso orario. Il modulo di τ è τ = p E sin(θ) = qE d sin(θ).
4
ENERGIA POTENZIALE DEL DIPOLO
Si può dimostrare che il dipolo, trovandosi sotto l’azione di
forze elettrostatiche, possiede un’energia potenziale U data
da
U = −p · E = −p E cos(θ) .
(3)
Il minimo di U corrisponde alla posizione di equilibrio stabile
e si ottiene per θ = 0, cioè quando p è parallelo al campo
elettrico esterno E.
5
DIPOLI MAGNETICI
Se si pone una spira rettangolare di area A e percorsa dalla
corrente I in un campo magnetico B esterno uniforme, si
riscontra che la spira tende a ruotare in maniera da allineare
la propria normale n alla direzione di B. Alla stessa conclusione si può giungere anche con il calcolo. In analogia con
la (2), si trova che sulla spira agisce una coppia τ data da
τ = µ × B,
(4)
dove, sempre in base al calcolo o all’esperimento, risulta
necessario definire µ come
µ = A I n.
(5)
6
La relazione (5) definisce il momento di dipolo magnetico
µ della spira.
Questa definizione può essere applicata a
qualsiasi spira piana di area A. Anche nel caso di spire non
piane si riesce facilmente a definire il momento di dipolo
magnetico.
Nel caso della (5) il verso della normale n al piano della spira
va scelto in modo da attraversare dai piedi alla testa un
osservatore che veda la corrente I fluire in senso antiorario
(vedi slide successiva).
Come unità di misura nel S.I. si ha [µ] = A m2 = TJ [per
l’ultima uguaglianza vedi (6) successiva].
7
Teorema di equivalenza di Ampere:
un ago magnetizzato
posto in un campo B si comporta esattamente come una
spira di opportuno momento di dipolo magnetico µ.
8
DIPOLO MAGNETICO: ENERGIA POTENZIALE
Anche nel caso magnetico si può dimostrare che un dipolo
di momento µ, se si trova in un campo esterno B uniforme,
possiede un’energia potenziale U data da
U = −µ · B = −µ B cos(θ) .
(6)
Anche in questo caso il minimo di U corrisponde alla posizione di equilibrio stabile e si ottiene per θ = 0, cioè quando
µ è parallelo al campo magnetico esterno B.
9
All’orientazione di µ parallela a B corrisponde la minima energia, all’orientazione antiparallela corrisponde la massima
energia. Quindi, per ruotare un dipolo dall’orientazione parallela a quella antiparallela bisogna fornirgli l’energia
∆U = Uf −Ui = −µ B cos(π)− (−µ B cos(0)) = 2 µ B . (7)
In assenza di apporto energetico dall’esterno, i dipoli (macroscopici) si orientano (e restano orientati) lungo le linee
di forza del campo B. Questo fatto è alla base del funzionamento della bussola e del metodo comunemente illustrato
per tracciare le linee di forza di B. L’allineamento può essere
apprezzabilmente ostacolato dall’agitazione termica nel casi
di dipoli microscopici.
10
MOMENTO MAGNETICO DEL PROTONE
Esistono momenti magnetici di dipolo su scala microscopica poiché i costituenti elementari della materia (atomi
e/o molecole) possono avere un momento magnetico di
dipolo. Risulta opportuno illustrare le proprietà magnetiche
della particella elementare protone in quanto le applicazioni
biomediche della tecnica diagnostica Risonanza Magnetica
Nucleare (RMN - detta brevemente Risonanza Magnetica
ed indicata d’ora in avanti con l’acronimo inglese MR) sono
basate quasi tutte sul segnale emesso dal momento magnetico del nucleo dell’atomo di idrogeno dell’acqua (H2O).
Detto nucleo è costituito da un protone, che ha massa
mp = 1.672623 · 10−27 kg e carica e = +1.602177 · 10−19 C.
11
Il comportamento delle particelle microscopiche come il protone è governato dalle leggi della meccanica quantistica,
le quali prevedono comportamenti spesso in contraddizione
con il senso comune e con l’esperienza quotidiana. Se si studia il comportamento di un protone in un campo magnetico
esterno, si osservano due fenomeni di natura quantistica,
fenomeni che non sarebbero presenti se al posto del protone
venisse messo un comune ago magnetico. Il manifestarsi dei
due fenomeni quantistici è legato al fatto che nel protone
(come peraltro in analoghi sistemi microscopici) il momento
magnetico µp è collegato alla presenza di un momento angolare di spin s.
12
Il momento magnetico µp del protone può essere espresso in
termini dello spin s mediante la relazione
µp = γ s ,
(8)
dove γ, detto rapporto giromagnetico del protone, è dato
da
e
e
= 2.7928
= 2.6751 · 10+8 T −1 s−1 .
γ=g
mp
mp
(9)
Per il protone il fattore numerico g vale circa 2.7928 - per
altri nuclei assume valori diversi. Il rapporto carica/massa
C . Si può verificare
per il protone vale mep = 9.5788 · 10+7 kg
che vale la relazione tra unità del S.I. C kg −1 = T −1 s−1.
13
Si vuole studiare il comportamento di un protone posto in un
campo magnetico esterno uniforme B◦ abbastanza intenso
e che assumiano sia diretto lungo l’asse z. Indicato con k il
versore dell’asse z, si potrà scrivere
B◦ = B◦ k .
(10)
In base alla (6), alla (8) ed alla definizione di prodotto
scalare, l’energia potenziale magnetica posseduta dal protone potrà essere scritta come segue
U = −µp · B◦ = −B◦
µp z = −B◦ γ (s)z ,
(11)
in termini della componente z di µp (o di s).
14
A questo stadio intervengono le leggi della meccanica quantistica, le quali producono il primo fenomeno non classico.
1 e
Il protone ha spin caratterizzato da numero quantico 2
questo implica che la componente z dello spin s può as-
sumere i due soli valori
(s)±
z
h
= ±5.27286 · 10−35 J s ,
=±
4π
(12)
dove al + corrisponde lo stato detto spin-up e al − corrisponde lo stato spin-down. La costante di Planck h vale
h = 6.626076·10−34 J s. Corrispondentemente, alla componente z del momento magnetico µp del protone spetteranno,
in base alle (8) e (9), solo i due valori
h
= ±1.4106 · 10−26 J T −1 .
µp z = ±γ
4π
±
(13)
15
Per portare un protone posto in un campo di intensità B◦
dalla situazione di minima energia (spin-up) alla situazione
di massima energia (spin-down) gli si dovrà fornire, in base
alla (7), un’energia
+
∆U = 2 µp z
h
h
B◦ = 2 γ
B◦ = γ
B◦ .
4π
2π
(14)
16
RELAZIONE DI PLANCK
La meccanica quantistica collega i livelli discreti di energia
di un sistema di natura elettromagnetica con determinate
frequenze attraverso la relazione di Planck
∆U = U2 − U1 = h ν12 ,
(15)
relazione che va interpretata nella seguente maniera:
se
voglio portare il sistema dall’energia U1 al valore (superiore) U2, devo fornigli energia elettromagnetica di frequenza
ν12 - se invece il sistema decade dall’energia U2 al valore
U1, esso emetterà energia elettromagnetica della stessa frequenza ν12. Pertanto la frequenza ν12 costituisce una frequenza caratteristica (frequenza di risonanza) per transizioni
dal livello 1 al livello 2 e viceversa.
17
FREQUENZA DI LARMOR
Se si applica la relazione di Planck (15) al salto di energia
spin-up ↔ spin-down dato dalla (14) si ottiene la frequenza
γ
νL =
B◦ = 42.576 B◦ T −1 M Hz ,
2π
(16)
la quale, per un protone posto in un campo B◦, rappresenta
la frequenza di risonanza idonea ai trasferimenti (nei due
sensi) di energia elettromagnetica tra protone e ambiente
circostante. Si può arrivare all’espressione (16) anche eseguendo un calcolo di elettromagnetismo classico attraverso
il Teorema di Larmor ed il risultato (16) è anche noto come
frequenza di Larmor. Nel caso standard di uno scanner MR
con B◦ = 1.5 T si ha νL = 63.864 M Hz.
18
MOTO DI PRECESSIONE
Una volta definita con la (16) la frequenza di Larmor, si può
illustrare il secondo fenomeno non classico che diversifica il
comportamento del protone in un campo B◦ da quello di un
ago magnetizzato. A differenza di quanto avviene per un
ago magnetizzato, il quale tende sempre ad allinearsi lungo
la direzione di B◦ qualunque sia il suo orientamento iniziale, il
protone non si orienta lungo la direzione di B◦, ma vi precede
attorno. L’angolo che µp inizialmente forma con B◦ resta
costante mentre µp ruota attorno alla direzione del campo
magnetico come una trottola attorno alla verticale passante
per il punto di appoggio. L’aspetto quantistico di questo
comportamento risiede nel fatto che lo spin s accompagna
il momento magnetico µp.
19
Invece il fatto che un oggetto dotato di momento angolare possa andare incontro ad un moto di precessione, come
quello di una trottola, è previsto dalla meccanica classica
del corpo rigido. Nel caso del protone il moto di precessione
avviene alla velocità angolare di Larmor ωL = 2π νL = γ B◦.
20
MAGNETIZZAZIONE DI UN CORPO
Una volta noto il comportamento di un protone posto in
un campo B◦, s’intende studiare il comportamento di un
oggetto macroscopico contenente un’elevata concentrazione di H2O (e quindi di protoni) quando questo viene posto
in un campo magnetico esterno B◦ piuttosto intenso. Considerazioni statistico-termodinamiche di tipo classico sono
sufficienti a predire il comportamento dell’oggetto in quanto
il numero di sistemi elementari che lo compongono è dell’or∼ 6.022 · 10+23 mol−1.
dine del numero di Avogadro N =
A
La fisica quantistica è già intervenuta per predire il comportamento dei singoli sistemi elementari. Le informazioni e i
valori numerici ricavati da questo studio preliminare vanno
inserito nel modello statistico-termodinamico classico.
21
Due tendenze opposte agiscono sull’insieme dei protoni: da
una parte la tendenza all’allineamento (stato spin-up) che
abbassa l’energia del sistema e che risulta energeticamente
favorita e dall’altra la tendenza del sistema ad occupare in
maniera eguale tutti gli stati accessibili (tendenza al massimo disordine/massima entropia).
Indicato con Nup il numero di protoni nello stato spin-up
e con Ndown il numero di protoni nello stato spin-down, la
distribuzione di Boltzmann dà il rapporto tra i due numeri
Nup
NA ∆U
NA (Uup − Udown)
= exp −
= exp
Ndown
R T
R T
!
(17)
dove ∆U è data dalla (14), T è la temperatura assoluta e
R = 8.314 J K −1 mol−1 è la costante dei gas.
22
Risultando di fatto molto piccolo (ma positivo) il valore
dell’esponente, si trova per lo scostamento percentuale tra
i numeri Nup e Ndown l’espressione approssimata
Nup − Ndown ∼ NA ∆U
NA γ h B ◦
=
,
=
Nup + Ndown
2 R T
4π R T
(18)
che per B◦ = 1.5 T e T = 290 K vale circa 5 · 10−6.
Il vettore momento magnetico complessivo µ che si manifesta nell’oggetto posto nel campo esterno B◦ risulta la
somma vettoriale dei singoli µp.
La piccola, ma apprezzabile, eccedenza dei momenti nello
stato spin-up rispetto a quelli spin-down porta ad un’apprezzabile componente longitudinale del momento magnetico
macroscopico dell’oggetto orientata parallelamente a B◦.
23
I singoli momenti µp durante il loro moto di precessione
avranno anche componenti trasverse (perpendicolari a B◦),
ma in ogni istante queste saranno orientate a caso e la loro
somma vettoriale si annullerà per ragioni statistiche. Pertanto il momento magnetico macroscopico risultante sarà
solo longitudinale.
24
